Método de Gauss. Ejercicios resueltos.

Matrices

Se llama matriz de orden (dimensión) $m \times n$ a un conjunto de $m \times n$ elementos dispuestos en $m$ filas y en $n$ columnas.

Se representa por $$ A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right)$$ y de forma abreviada $A = (a_{ij})$, siendo $a_{ij}$ el elemento que se encuentra en la fila $i$ y en la columna $j$.

Dado el siguiente sistema de $m$ ecuaciones y $n$ incognitas.

$$\left\{\begin{array}{lll} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\ \quad \vdots \qquad \quad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots & = & \vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{1} + \ldots + a_{mn}x_{n} & = & b_{m} \\ \end{array}\right.$$ Según la existencia y la unicidad de las soluciones:

$$ \large \matrix{ \text{ Sistemas } \cr \text{de} \cr \text{ecuaciones} } = \cases{ \textbf{Compatible} \text{, el sistema tiene solución } \large \cases{ \textbf{Determinado} \text{: solución única. } \cr \cr \textbf{Indeterminado} \text{, infinitas soluciones } } \cr \cr \textbf{Incompatible} \text{, el sistema no tiene solución. } \cr } $$

Método de Gauss

El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales es una generalización del método de reducción y consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.

Para ello trabajaremos con lo que se llama la matriz ampliada, se denota así,

$$(A | B) = \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_{n} \end{array} \right) $$

En la 1ª columna pondremos los coeficientes de la $x$, en la 2ª columna los coeficientes de la $y$, y así sucesivamente. En la última columna, la $(b_i)$, irán los términos independientes.


Mediante operaciones elementales por filas trasnformaremos la matriz de coeficientes de las variables en una matriz escalonada con ceros por debajo de la diagonal principal, la que forman los elementos $a_{i,i}$, obteniendo así, un sistema equivalente al inicial. Veamos que entendemos por operaciones elementales:

1. Intercambiar dos filas entre sí.
2. Multiplicar (o dividir) una fila por un número distinto de cero.
3. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.

Veamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales $2 \times 2$:

$$\left\{\begin{array}{cccc} 10x & - \ 3y & = & 13 \\ 2x & - \ 7y & = & 9 \end{array}\right.$$
¿Cuántos métodos tenemos para resolver este sistema? ¿Cuál de ellos elegirías? ¿Por qué?
La experiencia dice que la mayoría de las veces el mejor método de resolución de sistemas es el de «reducción» y es el que usaremos en este ejemplo. Para ello multiplico la segunda ecuación por -5 y le sumo la primera:
$$ \left\{\begin{array}{cccc} 10x & - \ 3y & = & 13 \cr \ \ & \ 32y & = & -32 \end{array}\right.$$

Hemos conseguido hacer desaparecer la «$x$» de la segunda ecuación y ahora podemos despejar las variables fácilmente empezando por la «$y$» en la segunda ecuación y despejando la $x$ en la primera.

Veamos un ejemplo, resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema $3 \times 3$:
$$ \left\{\begin{array}{ccccc} 3x & - 2y & + 3z & = & 2 \cr 4x & - 3y & + z & = &-1 \cr x & + 5y & - 6z & = &5 \end{array}\right.$$

$$ \begin{array}{ccc} \xrightarrow{ E_{2} = 4E_{1} - 3E_{2} } & \xrightarrow{E_{3} = E_{1} - 3E_{3}} & \xrightarrow{E_{3} = E_{3} + 17E_{2}} \\ \left \{ \begin{array}{ccccc} 3x & - 2y & + 3z &= & 2 \cr 4x & - 3y & + z & = &-1 \cr x & + 5y & - 6z & = &5 \end{array}\right. \rightarrow & \left \{ \begin{array}{ccccc} 3x & - 2y & + 3z &= & 2 \\ & y & + 9z & = & 11 \\ & - 17y & + 21z & = &-13 \end{array}\right. \rightarrow & \left \{ \begin{array}{ccccc} 3x & - 2y & + 3z &= & 2 \\ & y & + 9z & = &11 \\ & & 174z & = &174 \end{array}\right. \\ && \\ & \text{Usando matrices} & \\ && \\ %onecolumn & onecolumn & onecolumn \\ %\hline %onecolumn & onecolumn & onecolumn \\ %\hline \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 3 & 2 \\ 4 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 5 & -6 & 5 \end{array} \right) \rightarrow & \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 9 & 11 \\ 0 & -17 & 21 & -13 \end{array} \right) \rightarrow & \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 9 & 11 \\ 0 & 0 & 174 & 174 \end{array} \right) \end{array}$$

Resolvemos el sistema escalonado que resulta sustituyendo de abajo hacia arriba. De la última ecuación se despeja $z$ y obtenemos que $z = 1$. De la penúltima $y + 9 \cdot 1 = 11$, de donde $y = 11 - 9 = 2$. De la primera ecuación obtenemos $3x - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 2$, es decir, $3x = 2 + 4 - 3$ luego $3x = 3$ y por tanto $x = 1$.
Para finalizar, realizamos la comprobación, en las tres ecuaciones que forman el sistema:
$$\left\{\begin{array}{ccccc} 3 \cdot 1 & - 2 \cdot 2 & + 3 \cdot 1 & = & 2 \\ 4 \cdot 1 & - 3 \cdot 2 & + 1 & = &-1 \\ 1 & + 5 \cdot 2 & - 6 \cdot 1 & = &5 \end{array}\right.$$



Veamos unos ejemplos utiliando el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones:



$$ a)\ \left\{\begin{array}{lll} \ x + \ y - z & = & 0 \\ \ x - 2y + z & = & 0 \\ 2x - \ y & = & 0 \end{array}\right. $$ $$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & 0 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \\ \\ \end{array} $$

$$ \left\{\begin{array}{lll} \ x + \ y - z & = & 0 \\ \ \ \ - 3y + 2z & = & 0 \end{array}\right. $$ El sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Vamos a calcularlas:
Hacemos $z = \lambda$ y en la segunda ecuación obtenemos $y = \dfrac{2 \cdot \lambda}{3}$. Y si sustituimos en la primera ecuación, $x = z - y = \lambda - \dfrac{2 \cdot \lambda}{3} = \dfrac{\lambda}{3}$.



$$ b)\ \left\{\begin{array}{lll} \ x + \ y - z & = & 1 \\ \ x - 2y + z & = & 3 \\ 3x - 3y + z & = & 8 \\ \end{array}\right. $$ $$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 3 & -3 & 1 & 8 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 3 \cdot E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 & 2 \\ 0 & -6 & 4 & 5 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} $$

Llegamos a una ecuación imposible $0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 1$. Luego el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.





$$c)\ \left\{\begin{array}{lll} 2x - \ y + \ z & = & 3 \\ \ x + 2y - \ z & = & 4 \\ \ x - 8y + 5z & = & -6 \end{array}\right.$$ $$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 1 & -8 & 5 & -6 \end{array} \right) E_{1} \leftrightarrow E_{2} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & -8 & 5 & -6 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 2 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -5 \\ 0 & -10 & 6 & -10 \end{array} \right) \\ \\ \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{2}} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

$$ \left\{\begin{array}{lll} \ x + 2y - z & = & 4 \\ \ \ \ 5y - 3z & = & 5 \end{array}\right. $$ El sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Vamos a calcularlas:
Hacemos $z = \lambda$ y en la segunda ecuación obtenemos $y = 1 + \dfrac{3 \cdot \lambda}{5}$. Y si sustituimos en la primera ecuación, $x = 4 - 2y + z = 4 - 2 - \dfrac{6 \cdot \lambda}{5} + \lambda = 2 - \dfrac{\lambda}{5}$.



$$d)\ \left\{\begin{array}{lll} -x + 3y - z & = & 1 \\ \ x + 4y & = & 3 \\ 2x - 6y + 2z & = & 8 \\ \end{array}\right.$$ $$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & +3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & 3 \\ 2 & -6 & 2 & 8 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{1} = -1 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = \dfrac{1}{2} \cdot E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 0 & 3 \\ 1 & -3 & 1 & 4 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & -1 \\ 0 & 7 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array} \right) \end{array} $$

Llegamos a una ecuación imposible $0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 5$. Luego el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.


Vamos a proponer una serie de ejercicios:

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 6 \\ 2 & 3 & -2 & 8 \\ 4 & 2 & -6 & 6 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 2 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 4 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 6 \\ 0 & -3 & 2 & -4 \\ 0 & -10 & 2 & -18 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = 10 \cdot E_{3} - 3 \cdot E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 6 \\ 0 & 3 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & -14 & -14 \end{array} \right) \\ \\ \\ \end{array} $$

De la 3ª fila despejamos $z$ y tenemos que $z = 1$, de la 2ª ecuación despejamos $y$, tenemos que $$3y - 2z = 4 \Rightarrow 3y = 4 + 2 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2 $$ Y de la 1ª ecuación obtenemos el valor de $x$: $$ x = 6 -3y + 2z = 6 - 6 + 2 = 2 $$

Para finalizar, realizamos la comprobación, en las tres ecuaciones que forman el sistema:
$$\left\{\begin{array}{l} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 2 + 6 - 2 = 6 \\ 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 + 6 - 2 = 8 \\ 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 6 \cdot 1 = 8 + 4 - 6 = 6 \end{array}\right.$$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 3 \\ 3 & -2 & 1 & 7 \\ 5 & 2 & -5 & 1 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 5 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 3 \\ 0 & -8 & 10 & -2 \\ 0 & -8 & 10 & -14 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 3 \\ 0 & -8 & 10 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -12 \end{array} \right) \end{array} $$

La última fila es la ecuación $0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = -12$ que no tiene sentido lo que nos hace ver que este sistema es incompatible.

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 8 \\ 2 & -4 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 6 & -4 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & -5 & 5 & -10 \\ 0 & -3 & 10 & 20 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = \frac{-1}{5}E_{2} } \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -3 & 10 & 20 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} + 3 \cdot E_{2}} \\ \end{array}} \\ \\ \\ & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 7 & -14 \end{array} \right) & \end{array} $$

El sistema es compatible determinado. Vamos a calcular la solución empezando por la 3ª ecuación, así
$$7 \cdot z = -14 \Rightarrow z = -2$$
Ahora vamos a despejar $y$ en la 2ª ecuación:
$$ y = 2 + z = 2 - 2 = 0 $$ De la 1ª ecuación despejamos $x$:

$$ x = \dfrac{8 - y + 2 \cdot z }{2} = \dfrac{8 - 4 }{2} = \dfrac{ 4 }{2} = 2 $$

Para finalizar, realizamos la comprobación, en las tres ecuaciones que forman el sistema:
$$\left\{\begin{array}{l} 2 \cdot 2 + 0 - 2 \cdot (-2) = 4 + 4 = 8 \\ 2 \cdot 2 - 4 \cdot 0 + 3 \cdot (-2) = 4 - 6 = -2 \\ 4 \cdot 2 - 0 + 6 \cdot (-2) = 8 - 12 = -4 \end{array}\right.$$

$$ \begin{array}{ccc} \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & -6 \\ 2 & -3 & 5 & 6 \\ 5 & -3 & 8 & 6 \end{array} \right ) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 2 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 5 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & -6 \\ 0 & -9 & 9 & 18 \\ 0 & -18 & 18 & 36 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & -6 \\ 0 & -9 & 9 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) { \begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = \dfrac{-1}{9} \cdot E_{2} } \\ \end{array}} \\ \\ \\ & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) & \end{array} $$

$$ \left \{ \begin{array}{l} x + 3y - 2z = -6 \\ \ \ \ \ \ \ \ y - z = -2 \end{array} \right . $$

La última fila que tiene todo ceros nos dice que hay una ecuación que nos dice la misma información que las dos que no se anulan, por eso el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Vamos a calcularlas todas, para ello hacemos que $z = \alpha $, siendo $\alpha$ cualquier número $\mathbb{R}$. Ahora calculamos el valor de $y$:
$$y = z - 2 = \alpha - 2 $$
Ahora despejamos $x$:
$$ x = 6 - 3y + 2z = 6 - 3 \cdot (\alpha - 2) + 2 \cdot \alpha = 6 - 3 \cdot \alpha + 6 + 2 \cdot \alpha = 12 - \alpha $$ Las infinitas soluciones son $$(x, y, z) = (12 - \alpha, \alpha - 2, \alpha) \ \ \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 4 \\ 2 & 5 & -2 & 10 \\ 4 & 9 & -6 & 18 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 2 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 4 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

$$ \left \{ \begin{array}{l} x + 2y - 2z = 4 \\ \ \ \ \ \ \ \ y + 2z = 2 \end{array} \right . $$

La última fila que tiene todo ceros nos dice que hay una ecuación que nos dice la misma información que las dos que no se anulan, por eso el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Vamos a calcularlas todas, para ello hacemos que $z = \alpha $, siendo $\alpha$ cualquier número $\mathbb{R}$. Ahora calculamos el valor de $y$:
$$y = 2 - 2z = 2 - 2 \alpha $$
Ahora despejamos $x$:
$$ x = 4 - 2y + 2z = 4 - 2\cdot (2 - 2 \alpha) - 2 \alpha = 4 - 4 + 4 \alpha + 2 \alpha = 6 \alpha $$ Las infinitas soluciones son $$(x, y, z) = (6 \alpha, 2 - 2\alpha, \alpha) \ \ \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -5 \\ 5 & -1 & 2 & 11 \\ 6 & 1 & 1 & 5 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 5 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 6 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & -11 & 7 & 36 \\ 0 & -11 & 7 & 35 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & -11 & 7 & 36 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right) \end{array} $$

La última fila es la ecuación $0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = -1$ que no tiene sentido lo que nos hace ver que este sistema es incompatible.

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -2 & 15 \\ 1 & 1 & -1 & 7 \end{array} \right) {\begin{array}{c} E_{1} \leftrightarrow E_{3} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 7 \\ 3 & 2 & -2 & 15 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & -6 \\ 0 & -1 & 3 & -14 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \end{array}} \\ \\ \\ & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 2 & -8 \end{array} \right) & \end{array} $$

El sistema es compatible determinado. Vamos a calcular la solución empezando por la 3ª ecuación, así
$$2 \cdot z = -8 \Rightarrow z = -4$$
Ahora vamos a despejar $y$ en la 2ª ecuación:
$$ y = z + 6 = -4 + 6 = 2 $$ De la 1ª ecuación despejamos $x$:

$$ x = 7 - y + z = 7 - 2 - 4 = 1 $$

Para finalizar, realizamos la comprobación, en las tres ecuaciones que forman el sistema:
$$\left\{\begin{array}{l} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-4) = 2 + 2 - 4 = 0 \\ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot (-4) = 3 + 4 + 8 = 15 \\ 1 + 2 - 1 \cdot (-4) = 1 + 2 + 4 = 7 \end{array}\right.$$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 2 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 0 & -4 & 5 & -5 \\ 0 & -7 & 7 & -7 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{ E_{3} = \dfrac{-1}{7} \cdot E_{3} } \\ E_{3} \leftrightarrow E_{2} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 5 & -5 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} + 4 \cdot E_{2}} \\ \end{array}} \\ \\ \\ & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) & \end{array} $$

El sistema es compatible determinado. Vamos a calcular la solución empezando por la 3ª ecuación, así
$$ z = -1 $$
Ahora vamos a despejar $y$ en la 2ª ecuación:
$$ y = z + 1 = -1 + 1 = 0 $$ De la 1ª ecuación despejamos $x$:

$$ x = 4 - 3y + 2z = 4 - 2 = 2 $$

Para finalizar, realizamos la comprobación, en las tres ecuaciones que forman el sistema:
$$\left\{\begin{array}{l} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 - 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4 \\ 2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 4 - 1 = 3 \\ 3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 6 - 1 = 5 \end{array}\right.$$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & -8 & 5 & -6 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 2 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_3 - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -5 \\ 0 & -10 & 6 & -10 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{2} } \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es compatible indeterminado. Vamos a calcular las infinitas soluciones:
$ z = \alpha$, luego $ 5y - 3z = 5 \Rightarrow y = \dfrac{5 + 3z}{5} = \dfrac{5 + 3 \alpha }{5} $. Y si despejamos $x$ tenemos que
$$ x = 4 - 2y + z = 4 - 2 \dfrac{5 + 3 \alpha }{5} + \alpha = \dfrac{20 - 10 - 6 \alpha + 5 \alpha }{5} = \dfrac{10 - \alpha }{5} $$ $$ (x, y, z ) = \left (\dfrac{10 - \alpha }{5}, \dfrac{5 + 3 \alpha }{5}, \alpha \right ) \ \ \ \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 2 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_3 - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 2 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{ E_{2} = \dfrac{1}{2} \cdot E_{2} } \\ \xrightarrow{ E_{3} = \dfrac{-1}{2} \cdot E_{2} } \end{array}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es claramente compatible indeterminado. De la última línea tenemos $z = -1$. De la segunda línea tenemos que $ t = \alpha$ y así $ y = 1 + t = 1 + \alpha $. Por último, de la primera ecuación o línea tenemos que $$ x = y - z - t = 1 + \alpha - (-1) - \alpha = 1 + \alpha + 1 - \alpha = 2 $$ Luego las soluciones son $$ (x, y, z, t) = (2, 1 + \alpha, -1, \alpha) \ \ \forall \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 7 & 10 \\ 5 & -1 & 1 & 8 \\ 1 & 4 & -10 & -11 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 5 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_3 - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 7 & 10 \\ 0 & -14 & 34 & -42 \\ 0 & 7 & -17 & -21 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = \dfrac{-1}{2} \cdot E_{2} } \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2} } \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 7 & 10 \\ 0 & 7 & -17 & -21 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es claramente compatible indeterminado. $ z = \alpha$, luego $ 7y - 17z = -21 \Rightarrow y = \dfrac{17\alpha - 21}{7}$. Y si despejamos $x$ tenemos que

$$ x = 10 + 3y - 7z = 10 + 3 \dfrac{17\alpha - 21}{7} - 7\alpha = \dfrac{70 + 51\alpha - 63 - 49 \alpha }{7} = \dfrac{7 + 2\alpha }{7} $$ $$ (x, y, z ) = \left (\dfrac{7 + 2\alpha }{7}, \dfrac{17\alpha - 21}{7}, \alpha \right ) \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 7 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es claramente compatible indeterminado. $ z = \alpha$, luego $ y - z = 1 \Rightarrow y = 1 + z = 1 + \alpha $. Y si despejamos $x$ tenemos que

$$ x = 6 - y - z = 6 - 1 - \alpha - \alpha = 5 - 2 \cdot \alpha $$ $$ (x, y, z ) = \left (5 - 2 \cdot \alpha, 1 + \alpha, \alpha \right ) \ \ \ \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = 2 \cdot E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_3 - 2 \cdot E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & 3 & 0 \\ 0 & 7 & -3 & 0 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2} } \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es claramente compatible indeterminado. $ z = \alpha$, luego $ 7y = 3z \Rightarrow y = \dfrac{3\alpha}{7}$. Y si despejamos $x$ tenemos que \\ $$ 2x = 3y - z \Rightarrow x = \dfrac{1}{2} \cdot (3y - z ) = \dfrac{1}{2} \cdot \left ( 3\dfrac{3 \alpha}{7} - \alpha \right ) = \dfrac{1}{2} \cdot \left ( \dfrac{9 \alpha - 7 \cdot \alpha }{7} \right ) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2 \cdot \alpha}{7} = \dfrac{\alpha}{7} $$ $$ (x, y, z ) = \left (\dfrac{\alpha}{7}, \dfrac{3\alpha}{7}, \alpha \right ) \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & -1 & -4 \\ 3 & 1 & 1 & 8 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 3 \cdot E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & -2 & -10 \\ 0 & -2 & -2 & -10 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \xrightarrow{E_{2} = \dfrac{-1}{2} \cdot E_{2}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es claramente compatible indeterminado. $ z = \alpha$, luego $ y + z = 5 \Rightarrow y = 5 - z = 5 - \alpha $. Y si despejamos $x$ tenemos que \\ \\ $$ x = 6 - y - z = 6 - 5 + \alpha - \alpha = 1 $$ $$ (x, y, z ) = \left (1, 5 - \alpha, \alpha \right ) \ \ \ \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com