Fracciones parciales. Descomposición de fracciones algebraicas en fracciones más sencillas.

 Fracciones Parciales

Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes son iguales.

Si dos polinomios son iguales, coincide su valor para cualquier valor de $x$.

Fracciones Propias e Impropias

Definición: Se dice que una fracción racional ${\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}$ es una fracción propia, si el grado del polinomio $P(x)$ es menor que el grado del polinomio $Q(x)$. En caso contrario, es decir, si el grado de $P(x)$ es mayor o igual al de $Q(x)$, la fracción se llama impropia. 

Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio mas una fracción propia. Es decir, 

$${\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}=C(x)+{\displaystyle \frac{d(x)}{Q(x)}}$$

Vamos a descomponer un fracción propia en suma de fracciones más sencillas. Tenemos 4 casos:

Caso I: El denominador $Q(x)$ es un producto de factores lineales distintos. Esto significa que podemos escribir

$$Q(x)=(a_{1}x+b_1)(a_{2}x+b_2)\cdots (a_{k}x+b_k)$$

en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes $A_1,A_2,\cdots ,A_k$ tales que

$${\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}={\displaystyle \frac{A_1}{a_{1}x+b_1}}+{\displaystyle \frac{A_2}{a_{2}x+b_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{A_k}{a_{k}x+b_k}}$$

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales la fracción: $${\displaystyle \frac{7x+3}{x^2+3x-4}}$$

Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como sigue:

$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$$

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

$${\displaystyle \frac{7x+3}{x^2+3x-4}}={\displaystyle \frac{7x+3}{(x+4)(x-1)}}={\displaystyle \frac{A}{x+4}}+{\displaystyle \frac{B}{x-1}}$$

Para encontrar los valores de $A$ y $B$, ponemos común denominador, obteniendo

$$7x+3=A(x-1)+B(x+4)$$

En este punto tenemos dos opciones:

     a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

        $$7x+3=Ax-A+Bx+4B$$ 

    De $x$ tenemos que $7x=Ax+Bx$;

    del término independiente $3=-A+4B$

    b) Calculando valores de los polinomios. ¿Qué valores de $x$ vamos a coger? Está claro, ¿no? Cogeremos las raíces, $x=1$ y $x=-4$

Por lo que la fracción original queda:

$${\displaystyle \frac{7x+3}{x^2+3x-4}}={\displaystyle \frac{5}{x+4}}+{\displaystyle \frac{2}{x-1}}$$

Ejemplo 2 $${\displaystyle \frac{x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}}$$

Solución Se tiene que el denominador se puede factorizar como sigue:

$$2x^3+3x^2-2x=x(2x^2+3x-2)=x(2x-1)(x+2)$$

Luego, la descomposición en fracciones parciales es:

$${\displaystyle \frac{x^2+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}}={\displaystyle \frac{A}{x}}+{\displaystyle \frac{B}{2x-1}}+{\displaystyle \frac{C}{x+2}}$$

Ponemos denominador común y tenemos: 

$${\displaystyle \frac{x^2+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}}={\displaystyle \frac{A(2x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x-1)}{x(2x-1)(x+2)}}$$

igualando numeradores se obtiene

$$x^2+2x-1=A(2x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x-1)(1)$$

En este punto tenemos dos opciones:

a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: \

$$x^2+2x-1=A(2x^2+4x-x-2)+B(x^2+2x)+C(2x^2-x)$$

$$x^2+2x-1=2A{x}^2+3Ax-2A+B{x}^2+2Bx+2C{x}^2-Cx$$

$$x^2+2x-1=x^2(2A+B+2C)+x(3A+2B-C)-2A$$

es decir

$$A={\displaystyle \frac{1}{2}},B={\displaystyle \frac{1}{5}},\text{y}C=-{\displaystyle \frac{1}{10}}$$

así

$${\displaystyle \frac{x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{x}}+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{5}}}{2x-1}}+{\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{10}}}{x+2}}={\displaystyle \frac{1}{2x}}+{\displaystyle \frac{1}{5(2x-1)}}-{\displaystyle \frac{1}{10(x+2)}}$$

    b) Calculando valores de los polinomios. Si en (1) damos valores tenemos:

$$x^2+2x-1=A(2x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x-1)$$

$$x=0⟹-1=-2A\Rightarrow A={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

$$x=-2⟹-1=C(-2)(2\cdot (-2)-1)\Rightarrow -1=10C\Rightarrow C=-{\displaystyle \frac{1}{10}}$$

$$x={\displaystyle \frac{1}{2}}⟹{\displaystyle \frac{1}{4}}=B{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}+2)\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{4}}=B{\displaystyle \frac{5}{4}}\Rightarrow B={\displaystyle \frac{1}{5}}$$

  Caso II: El denominador $Q(x)$ es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Si $Q(x)$ tiene un factor lineal repetido $k$ veces de la forma ${(a_{1}x+b_1)}^k,$ entonces la descomposición en fracciones parciales contiene $k$ términos de la forma:

$${\displaystyle \frac{A_1}{a_{1}x+b_1}}+{\displaystyle \frac{A_2}{{(a_{1}x+b_1)}^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{A_k}{{(a_{1}x+b_1)}^k}}\text{ donde }{A}_1,A_2,\cdots ,A_k\text{ son constantes. }$$ \

Ejemplo 3 Descomponer en fracciones parciales:

$${\displaystyle \frac{5x^2-36x+48}{x(x-4{)}^2}}$$

La descomposicion en fracciones parciales es:

$${\displaystyle \frac{5x^2-36x+48}{x(x-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{A}{x}}+{\displaystyle \frac{B}{(x-4)}}+{\displaystyle \frac{C}{(x-4{)}^2}}$$

Poniendo denominador común

$${\displaystyle \frac{5x^2-36x+48}{x(x-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{A(x-4{)}^2+Bx(x-4)+Cx}{x(x-4{)}^2}}$$

Igualando numeradores tenemos 

$$5x^2-36x+48=A(x-4{)}^2+Bx(x-4)+Cx(2)$$

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$$5x^2-36x+48=A(x^2-8x+16)+B(x^2-4x)+Cx$$

$$5x^2-36x+48=x^2(A+B)+x(-8A-4B+C)+16A$$

obteniendo el sistema:

Luego:

$${\displaystyle \frac{5x^2-36x+48}{x(x-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x-4}}-{\displaystyle \frac{4}{(x-4{)}^2}}$$

   b) Calculando valores de los polinomios. Si damos valores en (2) tenemos: \ \ 

$x=0⟹48=16A\Rightarrow A={\displaystyle \frac{48}{16}}=3$ \ \

$x=4⟹-16=4C\Rightarrow C={\displaystyle \frac{-16}{4}}=-4$ \ \

$x=1⟹17=9A-3B+C\Rightarrow 17=27-3B-4\Rightarrow -6=-3B\Rightarrow B=2$

Ejemplo 4 Descomponer en fracciones parciales:

$${\displaystyle \frac{4x-4}{x^3-4x^2+4x}}$$

Factorizamos el denominador

$$x^3-4x^2+4x=x(x-2{)}^2$$ 

Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es:

$${\displaystyle \frac{4x-4}{x(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{A}{x}}+{\displaystyle \frac{B}{x-2}}+{\displaystyle \frac{C}{(x-2{)}^2}}$$

poniendo común denominador:

$${\displaystyle \frac{4x-4}{x(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{A(x-2{)}^2+Bx(x-2)+Cx}{x(x-2{)}^2}}$$

igualando numeradores tenemos: 

$$4x-4=A(x-2{)}^2+Bx(x-2)+Cx\text{(4)}$$ 

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$$4x-4=A(x-2{)}^2+Bx(x-2)+Cx$$

$$4x-4=A{x}^2-4Ax+4A+B{x}^2-2Bx+Cx$$

obteniendo el sistema:

Luego:

$${\displaystyle \frac{4x-4}{x^3-4x^2+4x}}={\displaystyle \frac{-1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x-2}}-{\displaystyle \frac{2}{(x-2{)}^2}}$$ 

   b) Calculando valores de los polinomios. Si damos valores en (4) tenemos:

$x=2⟹4=2C\Rightarrow C={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$

$x=0⟹-4=4A\Rightarrow A={\displaystyle \frac{-4}{4}}=-1$

$x=1⟹0=A-B+C\Rightarrow B=A+C=2-1=1$

Ejemplo 5 Descomponer en fracciones parciales una fracción impropia:

$${\displaystyle \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}}$$

Comenzaremos por dividir los polinomios

$${\displaystyle \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}}=x+1+{\displaystyle \frac{4x}{x^3-x^2-x+1}}$$

luego, factorizando el denominador $x^3-x^2-x+1$ resulta

$$x^3-x^2-x+1=(x+1)(x-1{)}^2$$

Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es:

$${\displaystyle \frac{4x}{(x+1)(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{(x-1{)}^2}}+{\displaystyle \frac{C}{x+1}}$$

poniendo denominador común:

$$4x=A(x+1)(x-1)+B(x+1)+C(x-1{)}^2(5)$$

$$4x=A(x^2-1)+B(x+1)+C(x^2-2x+1)$$

$$4x=x^2(A+C)+x(B-2C)-A+B+C$$

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

del cual de obtiene: $A=1,B=2$ y $C=-1$ de modo que

$${\displaystyle \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}}=x+1+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{2}{(x-1{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$$

   b) Si damos valores en (5) tenemos:

$$x=1⟹4=2B\Rightarrow B=2$$

$$x=-1⟹-4=4C\Rightarrow C=-1$$

$$x=0⟹0=-A+B+C\Rightarrow 0=-A+2-1\Rightarrow A=1$$

Al principio habéis visto que habría 4 casos, los dos que quedan los añadiré más adelante. 

A continuación proponemos unos cuantos ejercicios:

Lo primero que tenmos que haces es factorizar el denominador: $x^2-5x+6$. Podemos usar la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado o Ruffini. Sea el método que sea, vemos que podemos factorizar el denominador $x^2-5x+6=(x-2)\cdot (x-3)$

Así sabemos que ${\displaystyle \frac{5x+13}{x^2-5x+6}}={\displaystyle \frac{A}{x-2}}+{\displaystyle \frac{B}{x-3}}$ con $A$ y $B$ constantes.

$${\displaystyle \frac{5x+13}{x^2-5x+6}}={\displaystyle \frac{A}{x-2}}+{\displaystyle \frac{B}{x-3}}={\displaystyle \frac{A\cdot (x-3)+B\cdot (x-2)}{(x-2)\cdot (x-3)}}$$ Ahora tenemos que ver que $5x+13=A\cdot (x-3)+B\cdot (x-2)$ y para resolver esto, es decir, que dos polinomios son iguales lo podemos hacer de dos formas:

1. Igualando coeficientes
2. Evaluando valores

Vamos hacerlo evaluando valores:

Si $x=2\Rightarrow 5\cdot 2+13=-B\Rightarrow 23=-B\Rightarrow B=-23$

Si $x=3\Rightarrow 5\cdot 3+13=A\Rightarrow A=28$

Luego $${\displaystyle \frac{5x+13}{x^2-5x+6}}={\displaystyle \frac{28}{x-3}}-{\displaystyle \frac{23}{x-2}}$$

Lo primero que tenmos que haces es factorizar el denominador: $x^3+6x^2+11x+6$. Usaremos Ruffini para calcuar las posibles raíces, vemos que las raíces no pueden ser positivas ya que nunca sería cero. Probamos con -1 y vemos que es raíz. Así tenemos que $x^3+6x^2+11x+6=(x+1)\cdot (x^2+5x+6)$ Si seguimos aplicando Ruffini tenemos que $x^3+6x^2+11x+6=(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)$.

Así sabemos que ${\displaystyle \frac{6x^2+22x+18}{x^3+6x^2+11x+6}}={\displaystyle \frac{A}{x+1}}+{\displaystyle \frac{B}{x+2}}+{\displaystyle \frac{C}{x+3}}$ con $A$, $B$ y $C$ constantes.

$${\displaystyle \frac{6x^2+22x+18}{x^3+6x^2+11x+6}}={\displaystyle \frac{A}{x+1}}+{\displaystyle \frac{B}{x+2}}+{\displaystyle \frac{C}{x+3}}={\displaystyle \frac{A\cdot (x+2)\cdot (x+3)+B\cdot (x+1)\cdot (x+3)+C\cdot (x+1)\cdot (x+2)}{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)}}$$ Ahora tenemos que ver que $6x^2+22x+18=A\cdot (x+2)\cdot (x+3)+B\cdot (x+1)\cdot (x+3)+C\cdot (x+1)\cdot (x+2)$ y para resolver esto, es decir, que dos polinomios son iguales lo podemos hacer de dos formas:

1. Igualando coeficientes
2. Evaluando valores

Vamos hacerlo evaluando valores:

Si $x=-1\Rightarrow 6\cdot (-1{)}^2+22\cdot (-1)+18=A\cdot (-1+2)\cdot (-1+3)\Rightarrow 2=2\cdot A\Rightarrow A=1$

Si $x=-2\Rightarrow 6\cdot (-2{)}^2+22\cdot (-2)+18=B\cdot (-2+1)\cdot (-2+3)\Rightarrow -2=-B\Rightarrow B=2$

Si $x=-3\Rightarrow 6\cdot (-3{)}^2+22\cdot (-3)+18=C\cdot (-3+1)\cdot (-3+2)\Rightarrow 6=2C\Rightarrow C=3$

Luego $${\displaystyle \frac{6x^2+22x+18}{x^3+6x^2+11x+6}}={\displaystyle \frac{1}{x+1}}+{\displaystyle \frac{2}{x+2}}+{\displaystyle \frac{3}{x+3}}$$

En este caso el grado de los polinomios del numerador y denominador son iguales, tenemos que hacer la división «en caja» y nos quedará:

$$-(x^2+4x+6)=(x^2-3x+2)\cdot (-1)-(7x+4)\Rightarrow -{\displaystyle \frac{x^2+4x+6}{x^2-3x+2}}=-1-{\displaystyle \frac{7x+4}{x^2-3x+2}}$$ Luego tenemos que descomponer ${\displaystyle \frac{7x+4}{x^2-3x+2}}$ es fracciones simples:

El denominador $x^2-3x+2$, como 1 es raíz se factoriza rápidamente $x^2-3x+2=(x-1)\cdot (x-2)$ luego

${\displaystyle \frac{7x+4}{x^2-3x+2}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{x-2}}={\displaystyle \frac{A\cdot (x-2)+B\cdot (x-1)}{x^2-3x+2}}$

Evaluando tenemos:

Si $x=1\Rightarrow 7\cdot 1+4=-A\Rightarrow A=-11$

Si $x=2\Rightarrow 7\cdot 2+4=B\Rightarrow B=18$

Luego $${\displaystyle \frac{7x+4}{x^2-3x+2}}={\displaystyle \frac{-11}{x-1}}+{\displaystyle \frac{18}{x-2}}$$ y por tanto $$-{\displaystyle \frac{x^2+4x+6}{x^2-3x+2}}=-1-{\displaystyle \frac{7x+4}{x^2-3x+2}}=-1-{\displaystyle \frac{18}{x-2}}+{\displaystyle \frac{11}{x-1}}$$

$${\displaystyle \frac{2}{x-2}}+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{1}{(x-1{)}^2}}$$

$${\displaystyle \frac{2}{(x-2{)}^2}}-{\displaystyle \frac{2}{x+3}}-{\displaystyle \frac{2}{x-1}}$$

$$1+{\displaystyle \frac{-3x^2+14x+32}{x^3+2x^2-4x-8}}=1+{\displaystyle \frac{3}{x-2}}-{\displaystyle \frac{6}{x+2}}+{\displaystyle \frac{2}{(x+2{)}^2}}$$

Caso III: El denominador $Q(x)$ contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite.
Si $Q(x)$ tiene un factor cuadrático no repetido de la forma $a{x}^2+bx+c$, en donde, $b^2-4ac<0$, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma:
$${\displaystyle \frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}}\text{ donde }A\text{ y }B\text{ son constantes }$$
Ejemplo 6 Descomponer en fracciones parciales: $${\displaystyle \frac{4x^2-8x+1}{x^3-x+6}}$$ Tenemos que $${\displaystyle \frac{4x^2-8x+1}{x^3-x+6}}={\displaystyle \frac{4x^2-8x+1}{(x+2)(x^2-2x+3)}}={\displaystyle \frac{A}{x+2}}+{\displaystyle \frac{Bx+C}{x^2-2x+3}}$$ multiplicando por el común denominador: $$4x^2-8x+1=A(x^2-2x+3)+(Bx+C)(x+2)(4)$$ $$4x^2-8x+1=A{x}^2-2Ax+3A+B{x}^2+2Bx+Cx+2C$$ $$4x^2-8x+1=x^2(A+B)+x(-2A+2B+2C)+3A+2C$$ obteniendo el sistema $$\{\begin{array}{ll}A+B& =4\Rightarrow B=4-A\\ -2A+2B+C& =-8\\ 3A+2C& =1\Rightarrow C={\displaystyle \frac{1-3A}{2}}\end{array}$$ Por lo tanto, $$-2A+2(4-A)+{\displaystyle \frac{1-3A}{2}}=-8\Rightarrow -4A+16-4A+1-3A=-16\Rightarrow -11A=-33\Rightarrow A=3$$ Luego $B=4-3=1$ y $C={\displaystyle \frac{1-9}{2}}={\displaystyle \frac{-8}{2}}=-4$ Así:
$${\displaystyle \frac{4x^2-8x+1}{x^3-x+6}}={\displaystyle \frac{3}{x+2}}+{\displaystyle \frac{x-4}{x^2-2x+3}}$$ Si tomamos valores en (4) tenemos:

$x=-2⟹33=A11\Rightarrow A=3$

$x=0⟹1=3A+2C\Rightarrow 1-9=2C\Rightarrow -8=2C\Rightarrow C=-4$

$x=1⟹-3=2A+(B+C)3\Rightarrow -3=6+3B-12\Rightarrow 9=6+3B\Rightarrow 3=3B\Rightarrow B=1$


Ejemplo 7: $${\displaystyle \frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}}$$
Solución Se tiene que la fracción se puede descomponer de la siguiente forma:
$${\displaystyle \frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}}={\displaystyle \frac{2x^2-x+4}{x(x^2+4)}}={\displaystyle \frac{A}{x}}+{\displaystyle \frac{Bx+C}{x^2+4}}$$ De donde se obtiene multiplicando por el común denominador:
$$2x^2-x+4=A(x^2+4)+(Bx+C)x(5)$$ $$2x^2-x+4=A{x}^2+4A+B{x}^2+Cx$$ $$2x^2-x+4=x^2(A+B)+Cx+4A$$ $$\{\begin{array}{ll}A+B& =2\\ C& =-1\\ 4A& =4\Rightarrow A=1\end{array}$$ $$A+B=2\Rightarrow A=1.$$ Por lo cual $${\displaystyle \frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}}={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{x-1}{x^2+4}}$$
Si tomamos valores en (5)

$x=0⟹4=A4\Rightarrow A=1$

$x=1⟹5=A5+(B+C)\Rightarrow B=-C$

$x=-1⟹7=5-(-B+C)\Rightarrow 2=-2C\Rightarrow C=-1\Rightarrow B=1$

Caso IV: El denominador $Q(x)$ contiene un factor irreductible repetido.

Si $Q(x)$ tiene un factor cuadrático repetido $k$ veces de la forma ${(a{x}^2+bx+c)}^k$, donde $b^2-4ac<0$, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene $k$ términos de la forma: $${\displaystyle \frac{A_{1}x+B_1}{a{x}^2+bx+c}}+{\displaystyle \frac{A_{2}x+B_2}{{(a{x}^2+bx+c)}^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{A_{k}x+B_k}{{(a{x}^2+bx+c)}^k}}$$ donde $A_1,A_2,\cdots ,A_k,$ y $B_1,B_2,\cdots B_k$ son constantes.

Ejemplo 8: Descomponer en fracciones parciales $${\displaystyle \frac{1-x+2x^2-x^3}{x{(x^2+1)}^2}}$$ Solución: La forma de descomponer esta division de polinimios en fracciones parciales es: $${\displaystyle \frac{1-x+2x^2-x^3}{x{(x^2+1)}^2}}={\displaystyle \frac{A}{x}}+{\displaystyle \frac{Bx+C}{x^2+1}}+{\displaystyle \frac{Dx+E}{{(x^2+1)}^2}}$$ Multiplicando por $x{(x^2+1)}^2$ y luego igualando coeficientes
$$1-x+2x^2-x^3=A(x^2+1{)}^2+(Bx+C)x(x^2+1)+x(Dx+E)(6)$$ $$1-x+2x^2-x^3=A(x^4+2x^2+1)+(Bx+C)(x^3+x)+D{x}^2+Ex$$ $$1-x+2x^2-x^3=A(x^4+2x^2+1)+B{x}^4+B{x}^2+C{x}^3+Cx+D{x}^2+Ex$$ $$1-x+2x^2-x^3=x^4(A+B)+x^{3}C+x^2(2A+B+D)+x(C+E)+A$$ se obtiene el siguiente sistema: $$\{\begin{array}{ll}A+B& =0\\ C& =-1\\ 2A+B+D& =2\\ C+E& =-1\\ A& =1\end{array}$$ Cuya solución es: $A=1$, como $B=-A\Rightarrow B=-1$, como $C=-1\Rightarrow E=0$ y así $D=1$.
Entonces $${\displaystyle \frac{1-x+2x^2-x^3}{x{(x^2+1)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{x+1}{x^2+1}}+{\displaystyle \frac{x}{{(x^2+1)}^2}}$$
Tomando valores en (6) tenemos:
$x=0⟹1=A$

$x=1⟹1=4A+2(B+C)+(D+E)\Rightarrow -3=2B+2C+D+E$

$x=-1⟹5=4A-2(B+C)-(-D+E)\Rightarrow 1=2B-2C+D-E$

$x=2⟹-1=25A+10(2B+C)+2(2D+E)\Rightarrow -26=20B+10C+4D+2E$

$x=-2⟹19=25A-10(2B+C)-2(-2D+E)\Rightarrow -6=20B-10C+4D-2E$

se obtiene el siguiente sistema: $$\{\begin{array}{ll}2B+2C+D+E& =-3\\ 2B-2C+D-E& =1\\ 20B+10C+4D+2E& =-26\\ 20B-10C+4D-2E& =-6\end{array}$$ Sumamos la $1^{\underset{―}{a}}$ y $2^{\underset{―}{a}}$ ecuación y tenemos: (a) $-1=2B+D$

Sumamos la $3^{\underset{―}{a}}$ y $4^{\underset{―}{a}}$ ecuación y tenemos: (b) $-4=5B+D$

Restamos $(a)$ y $(b):3=-3B\Rightarrow B=-1\Rightarrow D=1$

Restamos la $1^{\underset{―}{o}}$ y $2^{\underset{―}{a}}$ ecuación y tenemos: (c) $-2=2C+E$

Restamos la $3^{\underset{―}{a}}$ y $4^{\underset{―}{a}}$ ecuación y tenemos: (d) $-5=5C+E$

Restamos $(c)$ y $(d):3=-3C\Rightarrow C=-1\Rightarrow E=0$

Ejemplo 9: $${\displaystyle \frac{x^3}{x^4+4x^2+4}}$$ Solución La forma de descomponer esta division de polinimios en fracciones parciales es: $${\displaystyle \frac{x^3}{x^4+4x^2+4}}={\displaystyle \frac{Ax+B}{x^2+2}}+{\displaystyle \frac{Cx+D}{(x^2+2{)}^2}}$$
Multiplicando por el mínimo común múltiplo y luego igualando coeficientes
$$x^3=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(7)$$
$$x^3=A{x}^3+2Ax+B{x}^2+2B+Cx+D$$
$$x^3=A{x}^3+B{x}^2+x(2A+C)+2B+D$$
se obtiene el siguiente sistema: $$\{\begin{array}{ll}A& =1\\ B& =0\\ 2A+C& =0\Rightarrow C=-2\\ 2B+D& =0\Rightarrow D=0\end{array}$$ En este caso no merece la pena tomar valores en $x$, pero ser puede hacer sin problemas.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com