$ \huge{ \ \text{ Autor del blog } \ \mathbb{R}a\!\!\int\!\!{\alpha}{\varepsilon}\ell \ \ {\rm I\!R}{\acute{\textrm{a}}}\pi\partial{\in} z \ \ \mathbf{G}a\tau\varsigma\acute{\iota}@} \quad \mathbb{R}^2 \mathbb{G} $


El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


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Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

lunes, 26 de octubre de 2020

Racionalizar

¿Qué es racionalizar?

$\textbf{¿Qué es un radical?}$ Es aquel número que no puede ser simplificado para extraer su raíz, es decir, que no es una raíz exacta y por ello el signo del radical aparece, es decir, una potencia cuyo exponente es una fracción irreducible. Ejemplos:

$$\sqrt{2}; \qquad \sqrt[3]{2}; \qquad \sqrt[7]{5}; ... $$





Recordemos que:
$$ \Large{ \sqrt[\color{red}{n}]{a} = a^{ \dfrac{1}{\color{red}{n}} } \qquad \text{ y } \qquad \sqrt[\color{red}{n}]{a^m} = a^{ \dfrac{m}{ \color{red}{n} } } } $$ Ejemplos:
$$ \Large{ \sqrt{5} = 5^{\dfrac{1}{2} } \qquad \sqrt[3]{7} = 7^{\dfrac{1}{3} } \qquad \sqrt[5]{16} = 16^{\dfrac{1}{5} } = 2^{\dfrac{4}{5} } } $$ Además: $$ \Large{ \sqrt[n]{\ a^n\ } = \left ( \sqrt[n]{\ a\ } \right )^n = a } $$ o lo que es lo mismo: $$ \Large{ \overbrace{ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} }^{ 2 \text{- veces} } = a } $$
$$ \Large{ \overbrace{ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} }^{ 3 \text{- veces} } = a } $$
$$ \Large{ \overbrace{ \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a} }^{ 4 \text{- veces} } = a } $$
$$ \qquad \qquad \cdots \qquad \qquad $$
$$ \Large{ \overbrace{ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a} \cdots \cdot \sqrt[n]{a} }^{ n \text{- veces} } = a } $$
Ejemplos:
$$ \Large{ \left (\sqrt{5} \right )^2 = \sqrt{\ 5^2\ } = 5 \qquad \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7} = 7 } $$ $$ \Large{ \sqrt[6]{5^6} = 5 \qquad \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} = 3 } $$

Antes de racionalizar vamos a recordar algunas propiedades. La primera, potencias, con algunos ejercicios sencillos:

  1. $\sqrt{\ 3\ } \cdot x = 3, ¿x? \qquad $
    $ x = \sqrt{\ 3\ }$ ya que $ \sqrt{\ 3\ } \cdot \sqrt{\ 3\ } = 3 $


  2. $\sqrt[4]{\ 5^3\ } \cdot x = 5, ¿x? \qquad $
    $ x = \sqrt[4]{\ 5\ }$ ya que $ \sqrt[4]{\ 5^3\ } \cdot \sqrt[4]{\ 5\ } = \sqrt[4]{\ 5^4\ } = 5 $


  3. $\sqrt[3]{\ 7\ } \cdot x = 7, ¿x? \qquad $
    $ x = \sqrt[3]{\ 7^2\ }$ ya que $ \sqrt[3]{\ 7\ } \cdot \sqrt[3]{\ 7^2\ } = \sqrt[3]{\ 7^3\ } = 7 $


  4. $\sqrt[10]{\ 11^7\ } \cdot x = 11, ¿x? \qquad $
    $ x = \sqrt[10]{\ 11^3\ }$ ya que $ \sqrt[10]{\ 11^7\ } \cdot \sqrt[10]{\ 11^3\ } = \sqrt[10]{\ 11^{10}\ } = 11 $


  5. $\sqrt[n]{\ a^s\ } \cdot x = a, ¿x? \qquad $
    $ x = \sqrt[n]{\ a^{n-s}\ }$ ya que $ \sqrt[n]{\ a^s\ } \cdot \sqrt[n]{\ a^{n - s}\ } = \sqrt[n]{\ a^{s + n - s }\ } = \sqrt[n]{\ a^{ n }\ } = a $


La segunda, una identidad notable: $$ \huge \textcolor{blue}{ \fcolorbox{red}{white}{ $ (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2 $ } } $$ Para ello volveremos a realizar estos ejercicios:

  1. $ ¿ \left (\sqrt{\ 3\ } - 3 \right ) \cdot \left (\sqrt{\ 3\ } + 3 \right ) = ? \qquad $
    $ = \left (\sqrt{\ 3\ } \right )^2 - 3^2 = 3 - 9 = - 6 $


  2. $ ¿ \left (2\sqrt{\ 5\ } - 1 \right ) \cdot \left (2\sqrt{\ 5\ } + 1 \right ) = ? \qquad $
    $ = \left (2\sqrt{\ 5\ } \right )^2 - 1^2 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19 $


  3. $¿ \left (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 2\ } \right ) \cdot \left (\sqrt{\ 5\ } + \sqrt{\ 2\ } \right ) = ? \qquad $
    $ = \left (\sqrt{\ 5\ } \right )^2 - \left (\sqrt{\ 2\ } \right )^2 = 5 - 2 = 3 $


  4. $ ¿ \left (\sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 11\ } \right ) \cdot \left (\sqrt{\ 11\ } + \sqrt{\ 3\ } \right ) = ? \qquad $
    $ = \left (\sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 11\ } \right ) \cdot \left (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 11\ } \right ) = \left (\sqrt{\ 3\ } \right )^2 - \left (\sqrt{\ 11\ } \right )^2 = 3 - 11 = -8 $


  5. $ ¿ \left (7 - \sqrt{\ 13\ } \right ) \cdot \left (7 + \sqrt{\ 13\ } \right ) = ? \qquad $
    $ = 7^2 - \left (\sqrt{\ 13\ } \right )^2 = 49 - 13 = 36 $


  6. ¿ Cuál sería el conjugado de $ \left (- \sqrt{\ 5\ } + \sqrt{\ 21\ } \right ) ? $
    ¿Ya te rindes ?



Para acabar, si tenemos $\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 11\ }$, entonces $\sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 11\ }$ es su conjugado.

Si en lugar de tener la suma, tenemos la resta, su conjugado será la suma. Es decir, si tenemos $\sqrt{\ 2\ } - \sqrt{\ 21\ }$ entonces su conjugado es $\sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 21\ }$

¿Qué es racionalizar fracciones con radicales en el denominador?

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes que no tengan radicales en el denominador.

  • Veamos el caso en que el denominador tiene un solo término. Racionalizar en estos casos se puede ver como poner exponente «1» al radical. Veamos algunos casos:
1) Tiene una raíz cuadrada en el denominador, se multiplica numerador y denominador por la misma raíz.

Ejemplo 1:
$$ \dfrac{7}{ \sqrt{5} } = \dfrac{7\sqrt{5} }{ \sqrt{5} \sqrt{5} } = \dfrac{7}{5} \sqrt{5} = \dfrac{ 7 \sqrt{5} }{5} $$

Con exponentes fraccionarios:

$$ \dfrac{7}{ \sqrt{5} } = \dfrac{7}{ 5^{\frac{1}{2}} } = \dfrac{7 \cdot 5^{\frac{1}{2}} }{ 5^{\frac{1}{2}} 5^{\frac{1}{2}} } = \dfrac{7}{5^{ \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right ) } } \sqrt{5} = \dfrac{ 7 \sqrt{5} }{5} $$ \\

Ejemplo 2:
$$ \dfrac{13}{ 3 \sqrt{11} } = \dfrac{13 \sqrt{11} }{ 3\sqrt{11} \sqrt{11} } = \dfrac{13}{3 \cdot 11} \sqrt{11} = \dfrac{ 13 \sqrt{11} }{33} $$

Con exponentes fraccionarios:

$$ \dfrac{13}{ 3 \sqrt{11} } = \dfrac{13}{ 3 \cdot 11^{\frac{1}{2}} } = \dfrac{13 \cdot 11^{\frac{1}{2}} }{ 3 \cdot 11^{\frac{1}{2}} \cdot 11^{\frac{1}{2}} } = \dfrac{13}{3 \cdot 11^{\left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right ) }} \sqrt{11} = \dfrac{ 13  \sqrt{11} }{3 \cdot 11} = \dfrac{ 13 \sqrt{11} }{33} $$

2) Tiene una raíz cuadrada en el denominador y no es necesario multiplicar y dividir por la raíz cuadrada del denominador, basta simplificar. Ejemplo:

$$ \dfrac{\ 7\ }{\ \sqrt{\ 7\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 7\ } \cdot \sqrt{\ 7\ }\ }{\ \sqrt{7}\ } = \dfrac{\ \cancel{ \sqrt{\ 7\ } } \cdot \sqrt{\ 7\ }\ }{\ \cancelto{1}{ \sqrt{\ 7\ } }\ } = \sqrt{\ 7\ } $$

3) Antes de racionalizar, se pueden extraer factores en el radical del denominador. Ejemplo:

$$ \dfrac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{18} } = \dfrac{2 \sqrt{3} }{ 3 \sqrt{2} } = $$

Simplificamos:

$$ = \dfrac{2 \sqrt{3} }{ 3 \sqrt{2} } = \dfrac{ \sqrt{2} \sqrt{3} }{ 3 } = \dfrac{ \sqrt{6} }{ 3 } $$

4) Tiene una raíz de índice cualquiera $n$, ($n \neq 2$), se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice $n$ que complete una potencia de exponente $n$ o de forma que los exponentes en forma de fracción sumen «1», es decir, amplifica la fracción por $\color{blue}{ \sqrt[n]{\ c^{n-m}\ } }$.

Ejemplo 1:
$$ \dfrac{7}{ \sqrt[3]{5^2} } = \dfrac{7 \sqrt[3]{5} }{ \sqrt[3]{5^2} \cdot \sqrt[3]{5} } = \dfrac{7}{5} \sqrt[3]{5} = \dfrac{ 7 \sqrt[3]{5} }{5} $$

Con exponentes fracconarios:

$$ \dfrac{7}{ \sqrt[3]{5^2} } = \dfrac{7}{ 5^\frac{2}{3} } = \dfrac{7 \cdot 5^\frac{1}{3} }{ 5^\frac{2}{3} \cdot 5^\frac{1}{3} } = \dfrac{7}{5^{\left ( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right )}} = \dfrac{7}{5} \sqrt[3]{5} = \dfrac{ 7 \sqrt[3]{5} }{5} $$

Ejemplo 2:
$$ \dfrac{11}{ \sqrt[7]{2^3} } = \dfrac{11 \sqrt[7]{2^4} }{ \sqrt[7]{2^3} \cdot \sqrt[7]{2^4} } = \dfrac{11}{2} \sqrt[7]{2^4} = \dfrac{ 11 \sqrt[7]{2^4} }{2} $$

Con exponentes fracconarios:

$$ \dfrac{11}{ \sqrt[7]{2^3} } = \dfrac{11}{ 2^{ \frac{3}{7} } } = \dfrac{11 \cdot 2^{ \frac{4}{7} } }{ 2^{ \frac{3}{7} } \cdot 2^{ \frac{4}{7} } } = \dfrac{11 \cdot 2^{ \frac{4}{7} } }{ 2^{\left ( \frac{4}{7} + \frac{3}{7} \right ) } } = \dfrac{11 \cdot 2^{\frac{4}{7}} }{2} = \dfrac{11}{2} \sqrt[7]{2^4}  = \dfrac{ 11 \sqrt[7]{2^4} }{2} $$

  • Si el denominador de la fracción contiene dos términos, y los dos son una raíz cuadrada o una raíz cuadrada y un número, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, es decir, si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa. Vamos a utilizar la siguiente identidad notable «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados»:

\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]

a) En el denominador hay dos raíces restando, mutiplicamos numerador y denominador por la suma de raíces y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$$ \dfrac{8}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \dfrac{8 \left ( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right ) }{ \left ( \sqrt{5} - \sqrt{3} \right ) \cdot \left ( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right ) } = \dfrac{8 \left ( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right ) }{ \left ( \sqrt{5} \right )^2 -  \left ( \sqrt{3} \right )^2 } = \dfrac{8 \left ( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right ) }{ 2 } = 4 \left ( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right ) $$

b) En el denominador hay dos raíces sumando, mutiplicamos numerador y denominador por la resta de raíces y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$$ \dfrac{12}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \dfrac{12 \left ( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right ) }{ \left ( \sqrt{7} + \sqrt{3} \right ) \cdot \left ( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right ) } = \dfrac{ 12 \left ( \sqrt{7} + \sqrt{3} \right ) }{ \left ( \sqrt{7} \right )^2 -  \left ( \sqrt{3} \right )^2 } = \dfrac{12 \left ( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right ) }{ 4 } = 3 \left ( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right ) $$

c) En el denominador hay un número restando a una raíz o al revés, mutiplicamos numerador y denominador por la suma del número y la raíz y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$$ \dfrac{25}{4 - \sqrt{11} } = \dfrac{25 \left ( 4 + \sqrt{11} \right )}{ \left ( 4 - \sqrt{11} \right ) \left (4 + \sqrt{11} \right ) } = \dfrac{25 \left ( 4 + \sqrt{11} \right ) }{16 - 11} = \dfrac{25 \left ( 4 + \sqrt{11} \right ) }{5} = 5 \left ( 4 + \sqrt{11} \right ) $$

d) En el denominador hay un número sumando a una raíz, mutiplicamos numerador y denominador por la resta del número y la raíz y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$$ \dfrac{6}{3 + \sqrt{7}} = \dfrac{6 \left ( 3 - \sqrt{7} \right )}{ \left ( 3 + \sqrt{7} \right ) \left (3 - \sqrt{7} \right ) } = \dfrac{6 \left ( 3 - \sqrt{7} \right ) }{9 - 7} = \dfrac{6 \left ( 3 - \sqrt{7} \right ) }{2} = 3 \left ( 3 - \sqrt{7} \right ) $$

e) Si una o las dos raíces están multiplicados por un número. Ejemplo:

$$ \dfrac{3 \sqrt{2} - 1}{2 \sqrt{5} - \sqrt{2} } = \dfrac{ \left ( 3 \sqrt{2} - 1 \right ) \cdot \left ( 2 \sqrt{5} + \sqrt{2} \right ) }{ \left ( 2 \sqrt{5} - \sqrt{2} \right ) \cdot \left ( 2 \sqrt{5} + \sqrt{2} \right ) } = \dfrac{ 6 \sqrt{10} + 6 - 2\sqrt{5} - \sqrt{2} }{ \left ( 2 \sqrt{5} \right )^2 - \left ( \sqrt{2} \right )^2 } = \dfrac{ 6 \sqrt{10} + 6 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{2} }{ 18 } $$

f) En el denominador hay tres raíces cuadradas, aplicamos la propiedad asociativa. Ejemplo:

$$ \dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{3} }{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} } = \dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{3} }{ \left (\sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) + \sqrt{6} } = \dfrac{ \left ( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) \cdot \left [ \left ( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) - \sqrt{6} \right ] }{ \left [ \left (\sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) + \sqrt{6} \right ] \cdot \left [ \left (\sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) - \sqrt{6} \right ] } = $$

$$ = \dfrac{ \left ( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right )^2 - \left (\sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) \cdot \sqrt{6} }{ \left (\sqrt{2} + \sqrt{3} \right )^2 - \left ( \sqrt{6} \right )^2 } = \dfrac{ 2 + 2\sqrt{6} + 3 - \sqrt{12} - \sqrt{18} }{ 2 + 2\sqrt{6} + 3 - 6 } = \dfrac{ 5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} }{ 2\sqrt{6} - 1 } = $$

Ahora ya puedo aplicar alguno de los casos comentados anteriormente:

$$ = \dfrac{ \left ( 5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} \right ) \cdot \left ( 2\sqrt{6} - 1 \right ) }{ \left ( 2\sqrt{6} - 1 \right ) \cdot \left ( 2\sqrt{6} + 1 \right ) } = \dfrac{ 10\sqrt{6} + 24 - 4\sqrt{18} - 6\sqrt{12} - 5 - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} }{ \left ( 2\sqrt{6} \right )^2 - \left ( 1 \right )^2 } = $$

$$ \dfrac{ 8\sqrt{6} + 19 - 12\sqrt{2} - 12\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} }{ \left ( 2\sqrt{6} \right )^2 - \left ( 1 \right )^2 } = \dfrac{ 8\sqrt{6} + 19 - 15\sqrt{2} - 14\sqrt{3} }{ 23 } $$

g) En el denominador hay tres raíces cuadradas, y podemos sacar factores y agrupar radicales. Ejemplo:

$$ \dfrac{ 1 + \sqrt{2} }{ \sqrt{8} + \sqrt{3} + \sqrt{2} } = \dfrac{ 1 + \sqrt{2} }{ 2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2} } = \dfrac{ 1 + \sqrt{2} }{ 3\sqrt{2} + \sqrt{3} } = $$

Y ahora puedo aplicar alguno de los casos anteriores:

$$ = \dfrac{ \left ( 1 + \sqrt{2} \right ) \cdot \left ( 3\sqrt{2} - \sqrt{3} \right ) }{ \left ( 3\sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) \cdot  \left ( 3\sqrt{2} - \sqrt{3} \right ) } = \dfrac{ 3\sqrt{2} - \sqrt{3} + 6 - \sqrt{6} }{ \left ( 3\sqrt{2} \right )^2 - \left ( \sqrt{3} \right )^2 } = \dfrac{ 3\sqrt{2} - \sqrt{3} + 6 - \sqrt{6} }{ 15 } $$



Veamos una serie de ejercicios para repasar lo que hemos visto:






Amplificamos la fracción por $ \sqrt{3} $: $$ \dfrac{\ 2\ }{\ \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 2 \sqrt{3}\ }{\ \sqrt{3} \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 2 \sqrt{3}\ }{3} $$






Amplificamos la fracción por $ \sqrt{5} $: $$ \dfrac{\ 1\ }{\ \sqrt{5}\ } = \dfrac{\ \sqrt{5}\ }{\ \sqrt{5} \sqrt{5}\ } = \dfrac{\ \sqrt{5}\ }{5} $$






Amplificamos la fracción por $ \sqrt{3} $: $$ \dfrac{\ 5\ }{\ 2 \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 5 \sqrt{3}\ }{\ 2 \sqrt{3} \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 5 \sqrt{3}\ }{ 2 \cdot 3 } = \dfrac{\ 5 \sqrt{3}\ }{ 6 } $$






Recordemos que $ \dfrac{\ \sqrt{2}\ }{\ \sqrt{3}\ } = \sqrt{ \dfrac{\ 2\ }{ 3 } } $
Amplificamos la fracción por $ \sqrt{3} $: $$ \dfrac{\ \sqrt{2}\ }{\ \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ \sqrt{2} \sqrt{3}\ }{\ \sqrt{3} \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ \sqrt{2 \cdot 3}\ }{ 3 } = \dfrac{\ \sqrt{6}\ }{ 3 } $$






Amplificamos la fracción por $ \sqrt{7} $: $$ \dfrac{\ 2 - \sqrt{2}\ }{\ \sqrt{7}\ } = \dfrac{\ \sqrt{7} \left (2 - \sqrt{2} \right ) \ }{\ \sqrt{7} \sqrt{7}\ } = \dfrac{\ \sqrt{7} \left (2 - \sqrt{2} \right ) \ }{ 7 } = \dfrac{\ 2\sqrt{7} - \sqrt{\ 2 \cdot 7 \ } \ }{ 7 } = \dfrac{\ 2\sqrt{7} - \sqrt{\ 14\ } \ }{ 7 } $$






Este ejercicio se puede hacer de dos formas:
$\odn{1}{a}$ Amplificamos la fracción por $ \sqrt{3} $: $$ \dfrac{\ 3\ }{\ 2\sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 3 \sqrt{3} \ }{\ 2 \sqrt{3} \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 3 \sqrt{3}\ }{ 2 \cdot 3 } = \dfrac{\ \cancel{3} \sqrt{3}\ }{ 2 \cdot \cancel{3} } = \dfrac{\ \sqrt{3}\ }{ 2 } $$

$\odn{2}{a}$ Simplificando, recordemos que $ 3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} $: $$ \dfrac{\ 3\ }{\ 2\sqrt{3}\ } = \dfrac{\ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\ }{\ 2\sqrt{3}\ } = \dfrac{\ \sqrt{3} \cdot \cancel{ \sqrt{3} }\ }{\ 2 \cancel{ \sqrt{3} }\ } = \dfrac{\ \sqrt{3}\ }{\ 2\ } $$






¿Amplificamos la fracción por $ \sqrt{8} $ o pensamos si podemos hace algo antes? ¿podemos sacar algún factor de la raíz? $$ \dfrac{\ 12\ }{\ \sqrt{8}\ } = \dfrac{\ 12 \ }{\ 2 \sqrt{2}\ } = \dfrac{\ \cancelto{6}{12} \ }{\ \cancel{2} \sqrt{2}\ } = \dfrac{\ 6 \ }{ \sqrt{2} } $$

Y ahora podemos amplificar o simplificar por $\sqrt{2}$, en este caso amplifico: $$ \dfrac{\ 6 \sqrt{2} \ }{\ \sqrt{2} \sqrt{2}\ } = \dfrac{\ 6 \sqrt{2}\ }{\ 2\ } = \dfrac{\ \cancelto{3}{6} \sqrt{2} \ }{\ \cancel{ 2 }\ } = 3 \sqrt{2} $$






Ahora el índice de la raíz no es 2. $$ \dfrac{1}{\ \sqrt[3]{\ 2\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt[3]{\ 2^2\ }}{\ \sqrt[3]{\ 2\ } \sqrt[3]{\ 2^2\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt[3]{\ 2^2\ }\ }{\ \sqrt[3]{\ 2^3\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt[3]{\ 4\ }\ }{2} $$







Ahora el índice de la raíz no es 2.

Veamos que $ \dfrac{3}{\ \sqrt[5]{\ 9\ }\ } = \dfrac{3}{\ \sqrt[5]{\ 3^2\ }\ } $

Tenemos que amplificar la fracción por $ \sqrt[5]{\ 3^3\ } $
$$ \dfrac{ 3 \cdot \sqrt[5]{\ 3^3\ }\ }{\ \sqrt[5]{\ 3^2\ } \cdot \sqrt[5]{\ 3^3\ } \ } = \dfrac{\ 3 \cdot \sqrt[5]{\ 3^3\ }\ }{\ \sqrt[5]{\ 3^5\ } } = \dfrac{\ 3 \cdot \sqrt[5]{\ 3^3\ }\ }{ 3 } = \dfrac{\ \cancel{3} \cdot \sqrt[5]{\ 3^3\ }\ }{ \cancel{3} } = \sqrt[5]{\ 3^3\ } = \sqrt[5]{\ 27 \ } $$







Ahora el índice de la raíz no es 2.

Veamos que $ \dfrac{ 10 }{\ 3 \ \sqrt[4]{\ 125\ }\ } = \dfrac{ 10 }{\ 3 \ \sqrt[4]{\ 5^3\ }\ } $

Tenemos que amplificar la fracción por $ \sqrt[4]{\ 5\ } $
$$ \dfrac{ 10 \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{\ 3 \sqrt[4]{\ 5^3\ } \cdot \sqrt[4]{\ 5\ } \ } = \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{\ 3 \sqrt[4]{\ 5^4\ } } = \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{ 3 \cdot 5 } = \dfrac{\ \cancelto{2}{10} \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{ 3 \cdot \cancel{5} } = \dfrac{2 \sqrt[5]{\ 3^3\ } }{3} $$







Ahora el índice de la raíz no es 2.

Solamente queremos quitar la raíz del denominador, la del numerador no nos molesta.

Tenemos que amplificar la fracción por $ \sqrt[3]{\ 5^2\ } $
$$ \dfrac{ \sqrt[5]{\ 25\ } \cdot \sqrt[3]{\ 5^2\ } }{\ 5 \cdot \sqrt[3]{\ 5\ }\ \cdot \sqrt[3]{\ 5^2\ } } = (*) $$ Para juntar estas dos raíces de distinto índice en una raíz con el mismo índice tenemos que poner índice común, que será el mínimo común múltiplo de ambos índices, es decir, usamos la propiedad:
$$ x^{ \frac{\ m\ }{\ n\ }\ } = \sqrt[n]{\ x^{m}\ } = \sqrt[p \cdot n]{\ x^{p \cdot m}\ } = x^{ \frac{\ p \cdot m\ }{\ p \cdot n\ }\ } $$ Además usaremos la siguiente propiedad: $$ \sqrt[n]{\ a \ } \cdot \sqrt[n]{\ b \ } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } \Leftrightarrow a^{ \frac{\ 1\ }{ n } } \cdot b^{ \frac{\ 1\ }{ n } } = \left ( a \cdot b \right )^{ \frac{\ 1\ }{ n } } $$ Haciendo operaciones con el numerador tenemos que:
$$ \sqrt[5]{\ 25\ } \cdot \sqrt[3]{\ 5^2\ } = \sqrt[5]{\ 5^2\ } \cdot \sqrt[3]{\ 5^2\ } = \sqrt[15]{\ 5^6\ } \cdot \sqrt[15]{\ 5^{10}\ } = \sqrt[15]{\ 5^6 \cdot 5^{10}\ } = \sqrt[15]{\ 5^{16}\ } = 5 \cdot \sqrt[15]{\ 5 \ } $$ Sustituyendo en $(*)$: $$ (*) = \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{\ 5 \cdot \sqrt[3]{\ 5^3\ } } = \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{ 3 \cdot 5 } = \dfrac{\ \cancelto{2}{10} \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{ 5 \cdot \cancel{5} } = \dfrac{2 \sqrt[5]{\ 3^3\ } }{3} $$







Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $ \sqrt{\ 7\ } - \sqrt{\ 3\ } $, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 9\ }{\ \sqrt{\ 7\ } - \sqrt{\ 3\ }\ } = \dfrac{\ 9 \left ( \sqrt{\ 7\ } + \sqrt{\ 3\ } \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 7\ } - \sqrt{\ 3\ } \right ) \cdot \left ( \sqrt{\ 7\ } + \sqrt{\ 3\ } \right ) \ } = \dfrac{\ 9 \left ( \sqrt{\ 7\ } + \sqrt{\ 3\ } \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 7\ } \right )^2 - \left ( \sqrt{\ 3\ } \right )^2 \ } = \dfrac{\ 9 \left ( \sqrt{\ 7\ } + \sqrt{\ 3\ } \right )\ }{\ 7 - 3 \ } = \dfrac{\ 9 \left ( \sqrt{\ 7\ } + \sqrt{\ 3\ } \right )\ }{\ 4\ } $$







Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $ 7 + \sqrt{\ 7\ } $, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 7\ }{\ 7 - \sqrt{\ 7\ }\ } = \dfrac{\ 7 \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right )\ }{\ \left ( 7 - \sqrt{\ 7\ } \right ) \cdot \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right ) \ } = \dfrac{\ 7 \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right )\ }{\ 7^2 - \left ( \sqrt{\ 7\ } \right )^2 \ } = $$ $$ = \dfrac{\ 7 \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right )\ }{\ 49 - 7 \ } = \dfrac{\ 7 \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right )\ }{\ 42\ } = \dfrac{\ \cancel{7} \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right )\ }{\ \cancel{42}{6}\ } = \dfrac{\ 7 + \sqrt{\ 7\ } \ }{\ 6\ } $$







Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $ \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } $, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 4\ }{\ \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ }\ } = \dfrac{\ 4 \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } \right ) \ } = \dfrac{\ 4 \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 3\ } \right )^2 - \left ( \sqrt{\ 2\ } \right )^2 \ } = $$ $$ = \dfrac{\ 4 \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 3\ } \right )\ }{\ 3 - 2 \ } = \dfrac{\ 4 \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ 1\ } = 4 \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } \right ) $$







Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $ \sqrt{\ 8\ } - 2 $, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 5\ }{\ \sqrt{\ 8\ } + 2\ } = \dfrac{\ 5 \left ( \sqrt{\ 8\ } - 2 \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 8\ } + 2 \right ) \cdot \left ( \sqrt{\ 8\ } - 2 \right ) \ } = \dfrac{\ 5 \left ( \sqrt{\ 8\ } - 2 \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 8\ } \right )^2 - 2^2 \ } = $$ $$ = \dfrac{\ 5 \left ( \sqrt{\ 8\ } - 2 \right )\ }{\ 8 - 4 \ } = \dfrac{\ 5 \left ( \sqrt{\ 8\ } - 2 \right )\ }{\ 4\ } $$







Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $ 1 + \sqrt{\ 3\ } $, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 1 + \sqrt{\ 2\ } }{\ 1 - \sqrt{\ 3\ }\ } = \dfrac{\ (1 + \sqrt{\ 2\ } )(1 + \sqrt{\ 3\ }\ ) }{\ (1 - \sqrt{\ 3\ } )(1 + \sqrt{\ 3\ })\ } = \dfrac{\ 1 + \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 2\ } \sqrt{\ 3\ }\ }{\ 1 - (\sqrt{\ 3\ } )^2\ } = \dfrac{\ 1 + \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 1 - 3\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 1 + \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 6\ }\ }{\ - 2\ } = \dfrac{\ - (1 + \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 6\ })\ }{2} $$







Tenemos que amplificar la fracción por $ \sqrt{\ x\ }$:
$$ \dfrac{\ 2 - \sqrt{\ x\ }\ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ x\ }\ } = \dfrac{\ (\ 2 - \sqrt{\ x\ }\ )( \sqrt{\ x\ }\ ) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ x\ } \cdot \sqrt{\ x\ }\ } = \dfrac{\ 2 \cdot \sqrt{\ x\ } - x \ }{\ 2 \cdot x\ } $$







Este ejercicio tiene una raíz de raíz en el denominador. Vamos poco a poco, $\odn{1}{o}$ quitamos la raíz que contiene a la raíz:
$$ \dfrac{\ 1\ }{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ }\ }{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \cdot \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ \ } } = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ }\ }{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } = $$
Ahora quitamos la raíz que queda, multiplicando por el conjugado $ 3 - \sqrt{\ 2\ }$

$$ = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \cdot \left ( 3 - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ \left ( 3 + \sqrt{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( 3 - \sqrt{\ 2\ } \right )\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \cdot \left ( 3 - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ 3^2 - \left ( \sqrt{\ 2\ } \right )^2\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \cdot \left ( 3 - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ 9 - 2\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \cdot \left ( 3 - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{ 7 } $$






Tenemos que amplificar la fracción por $ a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ }$, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 2 \cdot a }{\ a \cdot \sqrt{\ x\ } + 3 \cdot \sqrt{\ a\ }\ } = \dfrac{\ 2 \cdot a \cdot ( a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ } ) }{\ (a \cdot \sqrt{\ x\ } + 3 \cdot \sqrt{\ a\ }) \cdot (a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ })\ } = \dfrac{\ 2 \cdot a \cdot (a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ })\ }{\ (a \cdot \sqrt{\ x\ })^2 - (3 \cdot \sqrt{\ a\ })^2\ } = $$
$$ = \dfrac{\ 2 \cdot a \cdot (a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ })\ }{\ a^2 \cdot x - 9 \cdot a\ } = \dfrac{\ 2 \cdot \cancel{a} \cdot (a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ })\ }{\ \cancel{a} \cdot (a \cdot x - 9 ) } = \dfrac{\ 2 \cdot (a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ })\ }{\ a \cdot x - 9 } $$







Tenemos que amplificar la fracción por $ 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ }$, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 4 \cdot a - x }{\ 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } - x \cdot \sqrt{\ a\ }\ } = \dfrac{\ ( 4 \cdot a - x )\cdot ( 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ } ) }{\ (2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } - x \cdot \sqrt{\ a\ }) \cdot (2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ })\ } = \dfrac{\ ( 4 \cdot a - x ) \cdot ( 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ } ) }{\ 4 \cdot a^2 \cdot x - x^2 \cdot a\ } = $$
$$ = \dfrac{\ ( 4 \cdot a - x ) \cdot ( 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ } ) }{\ a \cdot x \cdot (4 \cdot a - x)\ } = \dfrac{\ \cancel{(4 \cdot a - x)} \cdot ( 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ } ) }{\ a \cdot x \cdot \cancel{(4 \cdot a - x)}\ } = \dfrac{\ 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ }\ }{\ a \cdot x\ } $$







Tenemos que amplificar la fracción por $ 2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ })$, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{ 6 }{\ 2 + (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ })\ } = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ [2 + (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ] \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ })]\ } = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ 2^2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ })^2\ } = $$
$$ = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ 4 - (5 - 2 \sqrt{\ 15\ } + 3)\ } = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ 4 - 8 + 2 \sqrt{\ 15\ }\ } = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ 4 - (8 - 2 \sqrt{\ 15\ })\ } = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ 2 \sqrt{\ 15\ } - 4\ } = $$ $$ = \dfrac{\ \cancelto{3}{6} \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ \cancel{2} \cdot (\sqrt{\ 15\ } - 2)\ } = \dfrac{\ 3 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ \sqrt{\ 15\ } - 2\ } = $$
Ahora ya tenemos una ráiz y amplificamos por $ \sqrt{\ 15\ } + 2 $: $$ = \dfrac{\ 3 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ] \cdot (\sqrt{\ 15\ } + 2) \ }{\ (\sqrt{\ 15\ } - 2) \cdot (\sqrt{\ 15\ } + 2)\ } = \dfrac{\ 3 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ] \cdot (\sqrt{\ 15\ } + 2) \ }{\ 15 - 4\ } = \dfrac{\ 3 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ] \cdot (\sqrt{\ 15\ } + 2) \ }{\ 11\ } $$






Agrupamos convenientemente para aplicar suma por diferencia de cuadrados:
$$ \dfrac{\ 4\ }{\ \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } + \sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{\ 4\ }{\ \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } + \sqrt{\ 6\ }\ } \cdot \dfrac{\ ( \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } ) - \sqrt{\ 6\ }\ }{\ ( \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } ) - \sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{\ 4 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } -\sqrt{\ 6\ })\ }{\ (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } )^2 - \sqrt{\ 6\ }^2\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 4 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ })\ }{\ 8 + 2 \cdot \sqrt{15} - 6\ } = \dfrac{\ 4 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ })\ }{\ 2 + 2 \cdot \sqrt{15} \ } = \dfrac{\ 4 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ })\ }{\ 2 \cdot (1 + \sqrt{15} )\ } = $$ Ahora ya tenemos una sola raíz cuadrada, amplificamos por el conjugado: $$ = \dfrac{\ \cancelto{2}{4} \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ })\ }{\ \cancel{2} \cdot (1 + \sqrt{15} )\ } \cdot \dfrac{ \sqrt{\ 15\ } - 1}{\ \sqrt{\ 15\ } - 1\ } = \dfrac{\ 2 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ } ) \cdot (\sqrt{\ 15\ } - 1)\ }{\ \sqrt{15}^2 - 1^2\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 2 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ } ) \cdot (\sqrt{\ 15\ } - 1)\ }{\ 15 - 1\ } = \dfrac{\ \cancel{2} \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ } ) \cdot (\sqrt{\ 15\ } - 1)\ }{ \cancelto{7}{14} } = $$ $$ = \dfrac{\ (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ }) \cdot (\sqrt{\ 15\ } - 1)\ }{7} $$






Racionalización de suma y resta de raíces cúbicas





  • Si el denominador de la fracción contiene dos términos, y los dos son una raíz cúbica, resta o suma de ellas.

I) En el denominador hay una resta de dos raíces cúbicas. Utilizaremos la siguiente identidad

\[ a^3 - b^3 = \left (a - b \right ) \cdot \left (a^2 + ab + b^2 \right ) \]

Ejemplo:

Vamos a racionalizar la siguiente expresión $ \dfrac{8}{ \sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{5}} $

En este caso $a = \sqrt[3]{7}$ y $b = \sqrt[3]{7}$, multiplicamos numerador y denominador por $a^2 + ab + b^2$,

que en este caso será $\sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} $

$$ \dfrac{8}{ \sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{5}} = \dfrac{8 \cdot \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) }{ \left ( \sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{5} \right ) \cdot \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) } = $$

$$ = \dfrac{8 \cdot \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) }{ \sqrt[3]{7^3} + \sqrt[3]{7^2 \cdot 5} + \sqrt[3]{7 \cdot 5^2} - \sqrt[3]{5 \cdot 7^2} - \sqrt[3]{5^2 \cdot 7} - \sqrt[3]{5^3} } = \dfrac{8 \cdot \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) }{ 7 - 5 } = $$

$$ = \dfrac{ 8 \cdot \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) }{ 2 } = 4 \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) $$

II) En el denominador hay una suma de dos raíces cúbicas. Utilizaremos la siguientidad identidad

\[ a^3 + b^3 = \left (a + b \right ) \cdot \left (a^2 - ab + b^2 \right ) \]

Ejemplo:

Vamos a racionalizar la siguiente expresión $ \dfrac{18}{ \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{3}} $

En este caso $a = \sqrt[3]{6}$ y $b = \sqrt[3]{3}$, multiplicamos numerador y denominador por $a^2 - ab + b^2$,

que en este caso será $\sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} $

$$ \dfrac{18}{ \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{3}} = \dfrac{18 \cdot \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) }{ \left ( \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{3} \right ) \cdot \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) } = $$

$$ = \dfrac{18 \cdot \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) }{ \sqrt[3]{6^3} - \sqrt[3]{6^2 \cdot 3} + \sqrt[3]{6 \cdot 3^2} + \sqrt[3]{6^2 \cdot 3} - \sqrt[3]{6 \cdot 3^2} + \sqrt[3]{3^3} } = \dfrac{18 \cdot \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) }{ 6 + 3 } = $$

$$ = \dfrac{ 18 \cdot \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) }{ 9 } = 2 \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) $$

¿Como se racionalizaría por ejemplo una suma o una resta de raíces de índice superior a 3?


Veamos unos ejemplos: $$ \dfrac{18}{\ \sqrt[4]{\ 7\ } - \sqrt[4]{\ 3\ }\ } $$ $$ \dfrac{18}{\ \sqrt[4]{\ 6\ } + \sqrt[4]{\ 13\ }\ } $$ $$ \dfrac{14}{\ \sqrt[5]{\ 11\ } - \sqrt[5]{\ 4\ }\ } $$ $$ \dfrac{19}{\ \sqrt[5]{\ 6\ } + \sqrt[4]{\ 13\ }\ } $$ Proximamente en otra entrada.



Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

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