«Las distancias desde un punto exterior a una circunferencia hasta los dos puntos de tangencia son siempre iguales.»
Explicación geométrica:
Punto Exterior (P): Considera un punto P fuera de una circunferencia.
Puntos de Tangencia (A y B): Desde P, traza dos rectas tangentes a la circunferencia, tocándola en los puntos A y B.
Radios (OA y OB): Traza los radios desde el centro (O) hacia los puntos de tangencia A y B.
Perpendicularidad: Un radio es siempre perpendicular a su recta tangente en el punto de tangencia (OA \(\bot\) PA, OB \(\bot\) PB).
Triángulos Congruentes: Los triángulos \(\triangle\)OAP y \(\triangle\)OBP son triángulos rectángulos que comparten la hipotenusa OP, tienen un cateto (OA y OB) igual al radio, y ambos son rectos en A y B. Por lo tanto, son triángulos congruentes (por el criterio Hipotenusa-Cateto).
Igualdad de Segmentos: Como los triángulos son congruentes, sus lados correspondientes también son iguales, lo que significa que la longitud del segmento PA es igual a la longitud del segmento PB (PA = PB).
«Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales, los segmentos determinados en una de las transversales son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en la otra»
Aplicaciones del Teorema de Tales:
Este teorema es la base para entender la semejanza de figuras y tiene aplicaciones muy prácticas, como:
Calcular alturas: a partir de establecer proporciones.
Dividir segmentos: Permite dividir una línea en partes exactamente iguales o proporcionales.
Escalas: Es fundamental en cartografía y arquitectura para reducir o ampliar dibujos manteniendo las proporciones reales.
¿Qué son Figuras Semejantes?
Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño. Es como hacer "zoom" en una foto: todo se agranda o se achica, pero no se deforma.Para que dos figuras sean semejantes, deben cumplir dos condiciones obligatorias:
Sus ángulos correspondientes son iguales (la forma no cambia).
Sus lados correspondientes son proporcionales.
Esto último significa que si divides un lado de la figura grande entre el lado correspondiente de la pequeña, siempre te da el mismo número. Ese número se llama Razón de Semejanza ($k$).
\[ \mfrac{\text{Lado Grande}}{\text{Lado Pequeño}} = k \]
Criterios de Semejanza de Triángulos:
Para saber si dos triángulos son semejantes, no hace falta medir todos sus lados y todos sus ángulos. Basta con que cumplan uno de los siguientes tres criterios:
Criterio 1: AA (Ángulo - Ángulo) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.¿Por qué? Porque como los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180°, si tienen dos iguales, el tercero obligatoriamente también será igual. Es el criterio más usado en problemas de sombras y alturas.
Criterio 2: LLL (Lado - Lado - Lado) Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales.Ojo: No significa que midan lo mismo, sino que la división entre sus lados correspondientes da siempre el mismo resultado.
\[ \mfrac{a}{a'} = \mfrac{b}{b'} = \mfrac{c}{c'} = k \]
Criterio 3: LAL (Lado - Ángulo - Lado)Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.Es importante que el ángulo sea el que está en medio de los dos lados que conocemos.
El Caso Especial: Posición de Tales
En los exámenes, la forma más común de ver triángulos semejantes es uno metido dentro de otro. Esto se llama Triángulos en posición de Tales. Si cortas un triángulo con una línea paralela a uno de sus lados, el triángulo pequeño que se forma arriba es automáticamente semejante al triángulo grande total. Fórmula clave para ejercicios:
\[ \mfrac{\text{Altura Grande}}{\text{Altura Pequeña}} = \mfrac{\text{Base Grande}}{\text{Base Pequeña}} = \mfrac{\text{Sombra Grande}}{\text{Sombra Pequeña}} \]
Criterios para triángulos rectángulos:
Tienen un ángulo agudo igual (por ser ambos rectos y compartir uno agudo, aplican el criterio AA).
Sus catetos son proporcionales.
La hipotenusa y un cateto son proporcionales.
$\bullet \ $ Observa la siguiente figura y calcula GF y CD:
$\bullet \ $ Calcula el área del cuadrado:
$\bullet \ $ Comprueba, si las siguientes parejas de triángulos son o no semejantes.
Uno de lados 12, 9 y 4 y el otro, 12, 27 y 36.
Uno con ángulos 43° y 67°, y el otro, 70° y 67°.
$\bullet \ $ Las siguientes figuras son semejantes:
Halla la medida del lado AD.
Calcula la medida de los lados A'D', B'C' y C'D'.
$\bullet \ $ ¿Calcula el valor de $r$?
$\bullet \ $ Veamos un ejercicio para aplicar el Teorema de Tales:
El hombre está de pie.
Las paredes son verticales y paralelas.
Teorema de la altura:
En todo triángulo «rectángulo», la altura ($h$) relativa a la hipotenusa es el producto (la media geométrica) de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa ($n$ y $m$).
$m$ es la proyección del cateto $c$ sobre la hipotenusaa $b$.
$n$ es la proyección del cateto $a$ sobre la hipotenusa $b$.
La hipotenusa $b$ es igual a la suma de las proyecciones de los catetos $b = n + m$.
La altura $h$ separa el triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos, el azul y el naranja.
Después del giro, los triángulos están en posición de Tales y son semejantes, luego:
\[ \mfrac{h}{n} = \mfrac{m}{h} \Rightarrow h^2 = m \cdot n \Rightarrow h = \msqrt{m \cdot n} \]
Teorema del cateto:
En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).
En todo triángulo «rectángulo», un cateto ($a$ o $c$) es el producto (media geométrica) entre la hipotenusa (b) y la proyección de ese cateto ($n$ o $m$) sobre la hipotenusa.
$m$ es la proyección del cateto $c$ sobre la hipotenusaa $b$.
$n$ es la proyección del cateto $a$ sobre la hipotenusa $b$.
La hipotenusa $b$ es igual a la suma de las proyecciones de los catetos $b = n + m$.
Los tres triángulos son semejantes:
Si aplicamos el Teorema de Tales a la pareja de triángulos grande (azul claro) y el más pequeño (azul oscuro):
\[ \text{Trabajando con el cateto } c \text{ con la proyección } m \quad \mfrac{c}{m} = \mfrac{b}{c} \Rightarrow c^2 = m \cdot b \Rightarrow c = \msqrt{m \cdot b} \]
Si aplicamos el Teorema de Tales a la pareja de triángulos grande (azul claro) y el mediano (naranja):
\[ \text{Trabajando con el cateto } a \text{ con la proyección } n \quad \mfrac{a}{n} = \mfrac{b}{a} \Rightarrow a^2 = n \cdot b \Rightarrow a = \msqrt{n \cdot b} \]
Altura del triángulo rectángulo a partir de los lados
Si aplicamos el Teorema del Cateto tenemos:
\[ c^2 = m \cdot b \Rightarrow m = \mfrac{c^2}{b} \qquad \qquad a^2 = n \cdot b \Rightarrow n = \mfrac{a^2}{b} \]
Si sustituimos en la fórmula que nos da el Teorema de la Altura:
\[ h = \msqrt{m \cdot n} = \msqrt{ \mfrac{c^2}{b} \cdot \mfrac{a^2}{b} } = \msqrt{ \mfrac{c^2 \cdot a^2}{ b^2 } } = \mfrac{a \cdot c}{b} \]
Es decir, la altura de una triángulo rectángulo es el producto de los catetos dividido por la hipotenusa.
Un cuadrilátero convexo es un polígono de cuatro lados donde todos sus ángulos internos miden menos de 180° y sus dos diagonales se intersectan en el interior de la figura, a diferencia de los cóncavos, que tienen un ángulo mayor a 180° y al menos una diagonal exterior. Los tipos comunes de cuadriláteros convexos incluyen paralelogramos, rectángulos, rombos, cuadrados, trapecios y trapezoides, y la suma de sus ángulos siempre es 360°.
Características principales:
Ángulos: Todos sus ángulos interiores son menores a 180°.
Diagonales: Ambas diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) se encuentran dentro del cuadrilátero.
Posición: Si trazas una línea por cualquiera de sus lados, el cuadrilátero queda completamente en un solo «lado» (semiplano) de esa línea.
El teorema de «Pitot» establece que en un cuadrilátero convexo que inscribe una circunferencia, el resultado de la suma de los lados opuestos es el mismo:
\[ \overline{AD} + \overline{BC} = \overline{AB} + \overline{DC} \]
Otro posible enunciado:
Teorema de «Pitot» afirma que en cualquier cuadrilátero circunscriptible (que tiene una circunferencia inscrita), la suma de sus lados opuestos es igual.
Este teorema se demuestra a partir de la siguiente fundamental:
«La propiedad fundamental es que dos tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia miden lo mismo.»
Los puntos $P, Q, R \text{ y } S$ son los puntos de tangencia del cuadrilátero con la circunferencia.
A partir del principio fundamental de las dos tangentes trazadas a partir de un punto tenemos:
\[ \overline{AP} = \overline{AS} = a \]
\[ \overline{BP} = \overline{BQ} = b \]
\[ \overline{CQ} = \overline{CR} = c \]
\[ \overline{DR} = \overline{DP} = d \]
Del teorema tenemos:
\[ \overline{AS} + \overline{SD} + \overline{BQ} + \overline{QC} = \overline{AP} + \overline{PB} + \overline{CR} + \overline{RD} \]
\[ a + d + b + c = a + b + c + d \]
El japonés Kubo es el jugador con nombre de forma geométrica más joven en participar en una Copa del Mundo, superando al jugador argentino Redondo y al colombiano Cuadrado.
¿Cuál es el área de la zona azul?
¿Cuál es el área de la zona sombreada?
¿Cuál es el área de la franja?
¿Cuál es el área de la zona rayada?
Usando el Teorema de Tales demuestra que la fórmula de la pirámide cuadrada truncada de altura $h$ con de bases $a$ y $b$ respectivamente es $V = \mfrac{h}{3} \cdot (a^2 + ab + b^2)$.
Jorge y Samuel quieren pintar una cruz como la de la figura en el suelo del patio del colegio, antes de comenzar querían saber cual es el área a pintar para calcular mejor la pintura que necesitan, ¿podrías ayudarles? ¿Cuál es el área de la figura sombreada? El Lado del cuadrado mide 10 m.
Un estanque de agua se llena en 10 horas usando un grifo grande y necesita 15 horas para llenarse con un grifo más pequeño.
¿En cuánto tiempo se llena usando ambos grifos a la vez?
¿Qué curva tiene mayor longitud la verde o la azul?
La Regla de L'Hôpital se aplica a las indeterminaciones del tipo $\zdivz$ y $\idivi$.
Regla de L’Hôpital
Sean $f,g: \R \longrightarrow \R$ funciones derivables en algún intervalo abierto que contenga a $a \in \R$, excepto posiblemente en $a$.
Supongamos que $g'(x)$ nunca es cero y que se cumple una de las siguientes condiciones:
Este límite se puede hacer de varias formas, pero lo haremos usando L'Hôpital:
\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{(1 + x)^4 - 1 }{ x } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{ 4(1 + x)^3 }{ 1 } } = \milmt{x}{0}{ \ 4(1 + x)^3 } = 4 \]
Ejercicio: ¿De cuántas formas se puede hacer este límite?
Si las funciones $f(x)$ y $g(x)$ son derivables $n$-veces, la regla de l'Hôpital se puede aplicar $n$-veces.
Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en algún punto de ese intervalo.
La función es continua en el intervalo $[1, 5]$, como consecuencia podemos afirmar que está acotada en dicho intervalo. Por ser continua en el intervalo $[1, 5]$ se cumple el teorema de teorema de Weierstrass, que afirma que se alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo $[1, 5]$.
El denominador de la función no se anula para ningún valor de $x$ puesto que $1 + x^2 ≥ 1$.
Por lo tanto, la función es continua en el intervalo $[-1, 1]$. Aplicando el teorema de Wierstrass (o teorema del máximo-mínimo), la función alcanza máximo y mínimo absolutos en ese intervalo. Para calcular los máximos y los mínimos de la función estudiamos entre que valores oscila la función para el intervalo dado.
\[ -1 \leq x \leq \Rightarrow 0 \leq x^2 \leq 1 \Rightarrow 1 \leq x^2 + 1 \leq 2 \Rightarrow \mfrac{1}{2} \leq \mfrac{1}{1 + x^2} \leq 1 \]
Es decir, el valor mínimo de la función es $\mfrac{1}{2}$ y el valor máximo 1. Para calcular en que puntos se alcanzan el mínimo y el máximo, resolvemos las
siguiente igualdades:
\[ \mfrac{1}{2} = \mfrac{1}{1 + x^2} \Rightarrow 2 = 1 + x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \]
Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, con $f(a) \cdot f(b) < 0 $ ( la función toma valores de signo contrario en los extremos), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$, es decir, una raíz, tal que $f(c) = 0$.
Consideramos la función $f(x) = x – \cos x$. Esa función es continua en todo $\R$, en particular en $\left [ 0, \mfrac{\pi}{2} \right ]$. Además:
Luego verifica las hipótesis del teorema de Bolzano. Por tanto, existe un punto $c \in \left (0, \mfrac{\pi}{2} \right )$ tal que $f (c) = 0$:
$f(c) = 0 \Rightarrow f(c) = c – \cos c = 0 \Rightarrow c = \cos c$
Esto es, la ecuación $x = \cos x$ tiene una solución que es $c$.
Sabemos que la función tangente no está definida en $x = \mfrac{\pi}{2}$, y $\mfrac{\pi}{2} \in \left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$.
Por tanto, la función $f$ no es continua en todos los puntos del intervalo $\left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$.
Como no cumple una de las condiciones del teorema de Bolzano, no podemos aplicarlo y asegurar que existe $c \in \left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$ tal que $f(c) = 0$. Es decir, no podemos asegurar que $f$ tenga una raíz en $\left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$.
Propiedad de Darboux:
Si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y $k$ es cualquier número entre $f(a)$ y $f(b) \left (k \in ( f(a), f(b) ) \right )$, entonces existe un valor $d$ entre $a$ y $b$ ($ d \in (a, b)$) para el cual $f(d) = k$.
Es una consecuencia del teorema de Bolzano. Su demostración es sencilla, pues basta con definir otra función, $g(x) = f(x) − k$, y aplicarle el teorema de Bolzano. En efecto:
La función $g(x) = f(x) − k$ es continua en $[a, b]$, por ser diferencia de dos funciones continuas en $[a, b]$. Además, $g(a) = f(a) - k < 0$ y $g(b) = f(b) - k > 0$.
Luego, $g(x)$ cumple las hipótesis del teorema de Bolzano. En consecuencia, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$. Pero esto significa que $g(c) = k − f (c) = 0 \Rightarrow f(c) = k$.
La función $f(x) = \msqrt{x + 1}$, es continua en el intervalo $[0, 3]$; además, en sus extremos toma los valores $f(0) = 1$ y $f(3) = 2$. Por tanto, la función toma todos los valores entre 1 y 2; por ejemplo, el valor 1,5. Ese valor lo toma en la solución de la ecuación $1,5 = \msqrt{x + 1}$ , que es:
\[ 1,5 = \msqrt{x + 1} \Rightarrow 2,25 = x + 1 \Rightarrow x = 1,25 \Rightarrow 1,25 \in [0, 3] \].
Como la función es continua y en los extremos del intervalo toma los valores $f(0) = 5$ y $f(2) = 3$, se deduce que toma todos los valores entre 3 y 5; en particular el valor 4. Esto es, existirá algún punto $c \in (0, 2)$ tal que $f(2) = 4$.
Como 2 no está entre 3 y 5, no puede afirmarse que la función tome ese valor para algún punto del intervalo $(0, 2)$; pero tampoco puede afirmarse que no lo tome. (De hecho hay dos valores que toman el valor 2).
Teorema de Rolle:
Sea $f:[a, b] \to \mathbb {R}$ es una función continua en un intervalo cerrado $\displaystyle [a, b] $ diferenciable en el intervalo abierto $ \displaystyle (a,b) $ y que cumple $ f(a) = f(b) $ entonces existe al menos un punto $c \in (a, b) $ tal que $ f'(c) = 0$.
La función es continua en $[0, 2]$. No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto $x = 1$.
$$ f(x) = \begin{cases} -x + 1 \text{ si } 0 \leq x < 1 \cr \cr x - 1 \text{ si } 1 \leq x < 2 \end{cases}$$
$$ f'(x) = \begin{cases} -1 \text{ si } 0 < x < 1 \cr \cr 1 \text{ si } 1 < x < 2 \end{cases}$$
$f(x)$ es una función continua en los intervalos $[−1, 0]$ y $[0, 1]$ y derivable en los intervalos abiertos $(−1, 0)$ y $(0, 1)$ por ser una función polinómica.
Además se cumple que:
\[ f(−1) = f(0) = f(1) = 0 \]
Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.
\[ f'(c) = 0 \Rightarrow 1 - 3c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = \mfrac{1}{3} \Rightarrow c = \pm \msqrt{ \mfrac{1}{3} } = \pm \mfrac{1}{ \msqrt{3} } = \pm \mfrac{ \msqrt{3} }{3} \]
\[ \mfrac{ - \msqrt{3} }{3} \in (-1, 0) \qquad \qquad \mfrac{ \msqrt{3} }{3} \in (0, 1) \]
Teorema del valor medio o de Lagrange:
Sea $f:[a, b] \to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ entonces existe al menos un punto $c \in (a, b) $ tal que
\[ f'(c) = \mfrac{\ f(b) - f(a)\ }{ b - a } \]
$f(x)$ es continua en [0, 2] y derivable en $(0, 2)$ por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:
Con los siguientes números usados una sola vez cada uno, salvo repeticiones, y las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división debes calcular el siguiente
