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El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


Cuando uno enseña, dos aprenden. «Robert Heinlein»


Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

martes, 4 de marzo de 2025

Identidades notables. Sacar factor común (Propiedad distributiva). Ejercicios con soluciones.

Empezaremos por definir lo que es una expresión algebraica, es una combinación de números, variables (letras) y operaciones matemáticas (+, -, ×, ÷).
Ejemplos de expresiones algebraicas:
  • 3x+5
  • a24b
  • 2x+1x3
  • 5xyz2y2+7
Componentes de una expresión algebraica:
  • Números: Se llaman coeficientes si están multiplicando una variable (por ejemplo, en 3x, el número 3 es el coeficiente).
  • Variables: Representan valores desconocidos y suelen ser letras (como x,y,z,α,...).
  • Exponentes: Indican cuántas veces se multiplica una variable por sí misma (por ejemplo, en x2, el exponente es 2).
  • Operaciones: Son las sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, etc.
Las expresiones algebraicas no incluyen signos de igualdad (=). Cuando se añade un signo de igualdad, se convierte en una igualdad algebraica.

Una identidad notable es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se cumple para cualquier valor de las variables involucradas. Se llaman «notables» porque aparecen con frecuencia, facilitan el cálculo y la factorización de expresiones algebraicas.

  1. La propiedad conmutativa de la suma y del producto: a+b=b+aa×b=b×a
  2. La propiedad asociativa de la suma (resta) y del producto: a+(b+c)=(a+b)+ca×(b×c)=(a×b)×c
  3. La propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a×(b+c)=a×c+b×c a×(bc)=a×cb×c
  4. Cuadrado de una suma: (a+b)2=a2+2ab+b2
  5. Cuadrado de una diferencia: (ab)2=a22ab+b2
  6. Diferencia de cuadrados a2b2=(ab)(a+b)
  7. Cubo de una suma: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
  8. Cubo de una diferencia: (ab)3=a33a2b+3ab2b3
  9. Suma y diferencia de cubos: a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) a3b3=(ab)(a2+ab+b2)
Vamos con unos ejercicios de desarrollar identidades notables, el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta y suma por diferencia, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:

(a±b)2=a2±2ab+b2a2b2=(a+b)(ab)


  1. (x+5y)2

  2. (2x+y)2

  3. (3x+4y)2

  4. (x2+1)2

  5. (2x+3x2)2

  6. (x5y)2

  7. (2xy)2

  8. (3x4y)2

  9. (x21)2

  10. (2x3x2)2

  11. (x+5y)(x5y)

  12. (2x+y)(2xy)

  13. (3x+4y)(3x4y)

  14. (x2+1)(x21)

  15. (2x+3x2)(2x3x2)

  16. (x+2y)2

  17. (s2z)2

  18. (s+2t)(s2t)

  19. (x+12y)2

  20. (3x5+7)2

  21. ( 2 3x)2

  22. (3ab4)2



Ahora vamos con otro tipo de ejercicios, vamos a hacer justo lo contrario, convertir expresiones en cuadrados o productos, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:



  1.  25x2 99

  2. x4+2x2+1

  3. 81x4+18x2y+y2

  4. 4x2y41

  5. 4x2+12x3+9x4

  6. x610x3+25

  7. x2+16x+64

  8.  y4 16121

  9. 64x10y12

  10. 25x4+100y2+100x2y

  11. 3x25y8

  12. x+y+2 xy 



Ahora vamos con ejercicios de sacar factor común, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio. Veamos unos ejemplos:

a4+2a33a2=a2(a2+2a3)

12x46x3+15x2=3x3(4x22x+5)

1x3y3z6x2y2z4+4x3yz=2x2yz(5xy23yz3+x)


Para sacar factor común de una expresión algebraica seguiremos los siguientes pasos:

  1. Sacar el Máximo común divisor de los coeficientes de cada uno de los términos que forman la expresión algebraica.

  2. Determinar las variables con el menor exponente.

  3. Para comprobar si hemos hecho correctamente el ejercicio podemos aplicar la propiedad distributiva al resultado obtenido y nos dará por resultado la expresión inicial.


  1. 3x+12

  2. mx+m

  3. a2+ab

  4. 8m2+12m

  5. 3am3+6a3m

  6. 3x415x3

  7. t38t2+t

  8. 6a2b12ab2+3a3b3

  9. 15abc2+45a2bc

  10. 15abx9b2x

  11. x5+2x35x2

  12. 16x34x2

  13. am2an2+a2mn

  14. 2a2b+4ab210a3b3

  15. 9a36a2

  16. 21a5+49a3

  17. 14acd7cd+21c2d2

  18. 3a36a2+9a

  19. 8q4t+2q3t26q2t4

  20. 5x2y215xy+20xyz

  21. 17m3n351m2n2+85mn

  22. 12m3n318m2n224m4n4

  23. x4+x3x2+x

  24. m2n2+mn22m2n4



Ahora vamos con ejercicios de sacar factor común agrupando por términos, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio. Veamos unos ejemplos:

ax+bx+ay+by=(a+b)(x+y)



Para sacar factor común agrupando por términos de una expresión algebraica seguiremos los siguientes pasos:

  1. Agrupar términos que tienen factor común: ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)

  2. Sacamos factor común a los términos agrupados: =x(a+b)+y(a+b)=

  3. Formamos factores: uno con los términos con factor común y otros con los términos no comunes, que es la solución. =(a+b)(x+y)

Veamos otro ejemplo: 3m26mn+4m8n

3m26mn+4m8n=(3m26mn)+(4m8n)= 3m(m2n)+4(m2n)=(3m+4)(m2n) Veamos otro ejemplo: ax2bx2ay+4by

ax2ay2bx+4by=a(x2y)2b(x2y)= (a2b)(x2y)


Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

sábado, 18 de enero de 2025

Divisiones de polinomios. Ejercicios resueltos.



















Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

lunes, 27 de mayo de 2024

Operaciones con fracciones algebraicas. Ejercicios resueltos.

Colección de 34 ejercicios de Fracciones algebraicas F. A.

Vamos a repasar una serie de cosas antes de entrar en materia con las fracciones algebraicas:

Vocabulario:
  1. Amplificar: Multiplicar numerador y denominador por el mismo número o expresión algebraica.
  2. Polinomio irreducible: Es el polinomio que ya no se puede factorizar más, puede ser de grado 1 o de grado 2. Ejemplos: x2+3, x+7.


  1. Las identidades notables:
    • (a+b)2=a2+2ab+b2

    • (ab)2=a22ab+b2

    • (a+b)(ab)=a2b2

    • (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

    • (ab)3=a33a2b+3ab2b3

    • a3b3=(ab)(a2+ab+b2)

    • a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

  2. TEOREMA DEL FACTOR (Ruffini)
    Teorema del factor: Un polinomio p(x) tiene como factor el término xa si el valor numérico del polinomio p(x) para x=a es 0.

    Si dividimos el polinomio p(x)=3x35x24 entre x2, haciéndolo por Ruffini vemos que el resto es 0.
    Utilizando la comprobación de la división tenemos que: d(x)=c(x)d(x)+r(x) al ser el resto r(x)=0 tenemos que p(x)=c(x)d(x) por lo tanto:
    3x35x24=(3x2+x+2)(x2), y por lo tanto x2 es un factor de p(x).


  3. Fórmula cuadrática: Factorizar x2+x6 es lo mismo que resolver la ecuación x2+x6=0

    x= b± b24ac  2a= 1± 141(6)  2= 1± 1+24  2= 1± 25  2= 1±5 2=
    =42=2x1=262=3x2=3. Luego x2+x6=(x2)(x+3)
  4. Sacando factor común: x2+5x6=x2+5x+xx6=x2+6xx6=x(x+6)(x+6)=(x1)(x+6) Así las raíces de este polinomio son 1 y -6.

    x2x2=x22x+x2=x(x2)(x2)=(x1)(x2) Las raíces del polinomio son 1 y 2.

    2x2x15=2x26x+5x15=2x(x3)+5(x3)=(2x+5)(x3) Las raíces del polinomio son 3 y  5 2.

    x27x+12=x23x4x12=x(x3)4(x3)=(x4)(x3) Las raíces del polinomio son 3 y 4.

    7x2+33x10=7x2+35x2x10=7x(x+5)2(x+5)=(7x2)(x+5) Las raíces del polinomio son -5 y  2 7.

    x2+2x15=x2+5x3x15=x(x+5)3(x+5)=(x3)(x+5) Las raíces del polinomio son 3 y -5.

    3x2+7x26=3x26x+13x26=3x(x2)+13(x2)=(3x+13)(x2) Las raíces del polinomio son 2 y  13 3.

  5. Aplicando las fórmulas de Cardano-Vietta para un polinomio de 2o grado: Un polinomio de 2o grado es de la forma ax2+bx+c=0 con a0. Las dos raíces del polinomio x1 y x2 cumplen lo siguiente, si divido el polinomio por a, tengo x2+bax+ca y como he calculado sus ráices tengo que: x2+bax+ca=(xx1)(xx2) Desarrollando (xx1)(xx2) me queda: (xx1)(xx2)=x2x1xx2x+x1x2=x2(x1+x2)x+x1x2 Como los dos polinomios han de ser iguales, sus coeficientes han de ser iguales, igualando coeficientes, el de x2 está claro, ya que es 1: {ba=(x1+x2)ca=x1x2 Para el caso particular de a=1 las condiciones son lasa siguientes: {b=(x1+x2)c=x1x2 Veamos unos ejemplos:

     x211x+28

    {11=(x1+x2)11=x1+x228=x1x2 Es decir, dos números cuya suma sea 11 y su producto sea 28, son 4 y 7, que claramente cumplen las condiciones de Cardano-Vieta.

      Otro ejemplo: x2+6x7

    A veces sólo con la condición de que el producto de las raíces es el término independiente podemos sacar las raíces.

    En este polinomio se ve fácilmente que 1 es raíz, la suma de los coeficientes da 0. Como el producto de las raíces es -7 y una raíz es 1, la otra es -7. Ya hemos calculado las dos raíces sin problemas.

    Vamos a comprobar que cumplen las fórmulas de Cardano-Vieta: {6=(17)=(6)7=1(7) Así las raíces de este polinomio son 1 y -7.

      Otro ejemplo: 5x27x12

    En este ejemplo a1, las relaciones nos dicen que: {75=(x1+x2)125=x1x2 En este caso vemos que -1 es raíz. Como el producto de las raíces es 125 y una raíz es -1, la otra es 125. Ya hemos calculado las dos raíces sin problemas.

    Vamos a comprobar que cumplen las fórmulas de Cardano-Vieta: {75=(1+125)=(55+125)=75125=1125 Así las raíces de este polinomio son -1 y 125.

    Te doy unos ejemplos para que practiques:

    x22x8x2+x125x2+4x93x24x7




Vamos con algunos ejercicios de simplificación de F. A.:




Factorizamos el denominador y nos queda: x2+x6=(x2)(x+3)

En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: x2 x2+x6 =x2 (x2)(x+3) =x2 (x2)(x+3) =1 x+3 






Factorizamos el denominador, lo podemos hacer por Ruffini o con la fórmula cuadrática o también de esta forma:
2x23x+1=2x22xx+1=2x(x1)1(x1)=(2x1)(x1)
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: x1 2x23x+1 =x1 (2x1)(x1) =x1 (2x1)(x1) =1 2x1 






Factorizamos el numerador, en este caso ya lo hemos hecho antes:
x2+x6=(x2)(x+3)

Factorizamos el denominador, es una identidad notable:
x24=(x2)(x+2)
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda:  x2+x6  x24 =(x2)(x+3) (x2)(x+2) =(x2)(x+3) (x2)(x+2) =x+3 x+2 






Factorizamos el numerador, es una identidad notable:
x21=(x1)(x+1)

Factorizamos el denominador, vamos a calcular sus raíces: Está claro que 1 es raíz, ¿cómo sacamos la otra?
5x2+4x9=5(x2+45x95)
Las raíces de 5x2+4x9 y x2+45x95 son las mismas. Como 1 es raíz de ambos polinomios y el producto de las raíces es 95, entonces la otra ráiz es 95 y el factor se indica así: (x1)(5x+9) En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda:  x21  5x2+4x9 =(x1)(x+1) (x1)(5x+9) =(x1)(x+1) (x1)(5x+9) =x+1 5x+9 






Factorizamos el denominador, es una identidad notable:
x21=(x+1)(x1)
El numerador es irreducible. Luego no podemos simplificar nada, se queda igual x+2 x21 






El denominador es irreducible.
En el numerador vemos que -2 es raíz, luego como el polinomio es mónico (coeficiente de la mayor potencia de x es 1) y el producto de las raíces es -2, entonces a la fuerza la otra raíz es 1. Luego x2+x2=(x+2)(x1) En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: (x+2)(x1) x+2 =(x+2)(x1) x+2 =x1





Vamos con algunos ejercicios de sumas y restas:




Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, es el producto de los denominadores b(ab)(a+b). Así la primera fracción la amplificamos por b(a+b), la segunda por b(ab) y la tercera (a+b)(ab): a+b ab ab a+b a b =b(a+b)2 b(ab)(a+b) b(ab)2 b(ab)(a+b) a(a2b2) b(ab)(a+b) = =b(a+b)2b(ab)2a(a2b2) b(ab)(a+b) =b(a2+2ab+b2)b(a22ab+b2)a3+ab2 b(ab)(a+b) = =a2b+2ab2+b3a2b+2ab2b3a3+ab2 b(ab)(a+b) =5ab2a3 b(ab)(a+b) =a(5b2a2) b(ab)(a+b) 






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, es xyzt. Así la primera fracción la amplificamos por xzt, la segunda por xyt, la tercera xyt y la cuarta yzt: x y y z +z t t x =x2zt xyzt xy2t xyzt +xyz2 xyzt yzt2 xyzt =x2ztxy2t+xyz2yzt2 xyzt 






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es 2(x+2) y el de la segunda fracción es (x+2)(x2), luego el común denominador es 2(x2)(x+2). Así la primera fracción la amplificamos por x2 y la segunda por 2: 3 2x+4 +2x x24 =3 2(x+2) +2x (x2)(x+2) =3(x2) 2(x+2)(x2) +22x 2(x2)(x+2) = =3x6+4x 2(x2)(x+2) =7x6 2(x2)(x+2) 






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es x3 que no se puede factorizar más y el de la segunda fracción es x2+7) que también es irreducible, luego el común denominador es x3(x2+7). Así la primera fracción la amplificamos por x2+7 y la segunda por x3: x21 x3 2x x2+7 = (x21)(x2+7)  x3(x2+7) 2xx3 x3(x2+7) = x4+7x2x27  x3(x2+7) 2x4 x3(x2+7) = = x4+6x272x4  x3(x2+7) = x4+6x27  x3(x2+7) =






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es (x2)(x+2). Así la primera fracción la amplificamos por x2 y la segunda por x+2:  x2  x+2 +x+2 x2 = (x2)2  (x2)(x+2) +(x+2)2 (x2)(x+2) = = x24x+4+x2+4x+4 (x2)(x+2) = x24x+4+x2+4x+4 (x2)(x+2) = 2x2+8 (x2)(x+2) 






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es 4(x2)(x+2), el de la segunda es 4(x2), luego el común denominador es 4(x2)(x+2). Así la primera fracción la amplificamos por 4 y la segunda por x+2:  2x  x24 +x+1 4x8 = 8x  4(x2)(x+2) + (x+2)(x+1)  4(x2)(x+2) = = 8+x2+x+2x+2 (x2)(x+2) = x2+3x+10  4(x2)(x+2) 






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es (x1)(x+1). Así la primera fracción la amplificamos por x+1 y la segunda por x1:  x+1  x1 x1 x+1 = (x+1)2  (x1)(x+1) (x1)2 (x1)(x+1) = = x2+2x+1(x22x+1) (x1)(x+1) = x2+2x+1x2+2x1 (x1)(x+1) = x2+2x+1x2+2x1 (x1)(x+1) = 4x  (x1)(x+1) 






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es y. Así la primera fracción la podemos poner 1= y y: 1 x  y = y  y  x  y = yx  y 






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es x. Así la primera fracción la podemos poner x= x2 x: x x21  x = x2  x  x21  x = x2x2+1  x = 1  x 






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es (x1)(x+1). Así la primera fracción la dejamos como está y la segunda la amplificamos por x+1:  3x2  x21 +x+2 x1 = 3x2  (x1)(x+1) +(x+2)(x+1) (x1)(x+1) = = 3x2+x2+x+2x+2 (x1)(x+1) = 3x2+x2+x+2x+2 (x1)(x+1) = x2+6x (x1)(x+1) 






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello factorizamos los denominadores. Así la primera fracción es 6(x+2) y la segunda fracción es 2(x+2)(x2), luego el común denominador es 6(x2)(x+2). Tendremos que amplificar la primera fracción por (x2) y la segunda por 3:  7x  6x+12 x+5 2x28 = 7x(x2)  6(x2)(x+2) 3(x+5) 6(x2)(x+2) = = 7x214x3x15 6(x2)(x+2) = 7x217x15 6(x2)(x+2) 






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello factorizamos los denominadores. Los denominadores de estas fracciones son irreducibles, luego el común denominador es (x2+1)(x3). Tendremos que amplificar la primera fracción por (x3) y la segunda por x2+1:  x+3  x2+1 2x x3 = (x+3)(x3)  (x2+1)(x3) 2x(x2+1) (x2+1)(x3) = = x29(2x3+2x)  (x2+1)(x3) =2x3+x22x9 (x2+1)(x3) 






Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello antes de nada simplificamos las fracciones y para ello factorizamos. Vamos por la primera fracción:  xx2  1x2 = x(1x)  (1x)(1+x) = x(1x)  (1x)(1+x) = x  1+x 

Ahora con la segunda fracción:  1+x  x2+2x+1 = 1+x  (1+x)2 = 1+x  (1+x)(1+x) = 1  1+x 

Y con la tercera fracción no podemos simplificar nada, no comparten ningún factor.

Ya tienen las tres fracciones el mismo denominador, vamos a realizar la suma y la resta:  xx2  1x2 + 1+x  x2+2x+1 12x 1+x = x  1+x + 1  1+x 12x 1+x = x+11+2x  1+x =3x 1+x 





Vamos con algunos ejercicios de productos y divisiones de F. A.:




Podemos simplificar el factor x+1, ya que multiplica al numerador y denominador:     x+1 x+2         x+1 x+3     =    x+1 x+2         x+1 x+3     =    1 x+2         1 x+3     = x+3 x+2






Factorizamos los denominadores de la fracciones y nos queda:     3x+1 x24         x x24x+4     =    3x+1 (x2)(x+2)         x (x2)2     = Podemos simplificar el factor x2 de los denominadores, ya que divide al numerador y denominador: =    3x+1 (x2)(x+2)         x (x2)2     =    3x+1 x+2         x x2     = (3x+1)(x2) x(x+2) = 3x26x+x2 x(x+2) = 3x25x2 x(x+2) 






Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre ellos y luego los denominadores: 3x+1 x2 x+1 x5 =(3x+1)(x+1) x2x5 = 3x2+3x+x+1  x2x5 = 3x2+4x+1  x7 






En este caso, no factorizamos los denominadores ya que no podemos simplificar nada:     x+1 x22         x1 x2+2     = (x+1)(x2+2)  (x1)(x22) = x3+2x+x2+2  (x1)(x22) = x3+x2+2x+2  (x1)(x22) 






En este caso lo que tenemos es una identidad notable, diferencia de cuadrados. Podemos aplicar que es igual a suma por diferencia: (m2+1 2 )2(m21 2 )2=(m2+1 2 +m21 2 )(m2+1 2 m21 2 )= =(m2+1+m21 2 )(m2+1m2+1 2 )=(2m2 2 )(2 2 )=m21=m2






Vamos a simplificar las fracciones del numerador y de nominador por separado. Empezamos por el numerador viendo que el denominador es una identidad notable x21=(x+1)(x1):

x1 x21 =x1 (x1)(x+1) =x1 (x1)(x+1) =1 x+1 

Ahora el denominador, viendo que x2+2x+1=(x+1)2:

x+1 x2+2x+1 =x+1 (x+1)2 =x+1 (x+1)2 =1 x+1 

Ahora lo juntamos todo y tenemos:     x1 x21         x+1 x2+2x+1     =    1 x+1         1 x+1     =1






3x3yz4 5a2b3c6 6a3b4c2 4x2y3z7 =3x3yz46a3b4c2  5a2b3c64x2y3z7 =36a3b4c2x3yz4  45a2b3c6x2y3z7 =9abx  10c4y2z3 






En la primera fracción, sacamos factor común al numerador y el denominador lo factorizamos, Con la segunda fracción no hacemos nada: x2xy x2y2 xy x+y =x(xy) (xy)(x+y) xy x+y =x2y(xy) (x+y)2(xy) = =x2y(xy) (x+y)2(xy) =x2y (x+y)2 






En la primera fracción, factorizamos el denminador y sacamos factor común al denominador. Con la segunda fracción no hacemos nada: x2y2 4a4b ab x+y = (xy)(x+y)  4(a4) ab x+y = (xy)(x+y)(ab)  4(ab)(x+y) = = (xy)(x+y)(ab)  4(ab)(x+y) = xy 4






Aplicamos las identidades notables siguientes: x3y3=(xy)(x2+xy+y2) y x3+y3=(x+y)(x2xy+y2) Sustituimos en las fracciones y nos queda:

x3y3 xy x+y x3+y3+2xy(x+y) =(xy)(x2+xy+y2) xy x+y (x+y)(x2xy+y2)+2xy(x+y) = Sacamos factor común a (x+y) en el denominador de la segunda fracción: =(xy)(x2+xy+y2) xy x+y (x+y)(x2xy+y2+2xy) =(xy)(x2+xy+y2) xy x+y (x+y)(x2+xy+y2) = =(xy)(x2+xy+y2) xy x+y (x+y)(x2+xy+y2) =(x2+xy+y2)x+y (x+y)(x2xy+y2+2xy) = =(x2+xy+y2)1 x2+xy+y2 =1






Factorizamos los polinomios de los numeradores de la dos primeras fraciones y aplicamos identidades notables en el numerador y denominador de la tercera fracción.

Vamos con el numerador de la primera fracción: x2x2 Está claro que 2 es raíz, y como el producto de las raíces es -2, -1 es la otra raíz, luego x2x2=(x+1)(x2)

Ahora el numerador de la segunda fracción: x2+2x3 Está claro que 1 es un raíz ya que la suma de los coeficientes es cero y como el producto de las raíces es -3 la otra raíz es -3, luego x2+2x3=(x1)(x+3)

En la trecera fracción aplicamos identidades notables, en el numerador x24x+4=(x2)2 y en el denominador x21=(x+1)(x1).

Sustituyendo los polinomios por sus factores tenemos:

x2x2 x+3 x2+2x3 (x2)3 x24x+4 x21 =(x+1)(x2) x+3 (x1)(x+3) (x2)3 (x2)2 (x1)(x+1) = =(x+1)(x2)(x1)(x+3)(x2)2 (x+3)(x2)3(x1)(x+1) =(x+1)(x1)(x+3)(x2)3 (x+1)(x1)(x+3)(x2)3 =1





Vamos con algunos ejercicios de operaciones combinadas de F. A.:




Vamos a hacer los paréntesis por separado y por orden. Vamos con el 1o: 11 x =x x 1 x =x1 x  Vamos con el 2o paréntesis: 2x x21 1 x+1 =2x (x1)(x+1) x1 (x1)(x+1) =2xx+1 (x1)(x+1) =x+1 (x1)(x+1) =x+1 (x1)(x+1) =1 x1  Juntamos los paréntesis y nos queda: (11 x )(2x x21 1 x+1 )=x1 x 1 x1 =x1 x(x1) =x1 x(x1) =1 x 






Para poder hacer la suma tenemos que tener el mismo denominador, el denominador de la segunda fracción ya está factorizada, y el denominador de la primera es una identidad notable: x21=(x1)(x+1). Luego el mínimo común múltiplo es (x1)(x+1)(x2). Amplificamos la primera fracción por x2 y la segunda por x1:  x2+1  x21 + x+2  x2  x1  x+1 = x2+1  (x1)(x+1) + (x+2)(x1)  (x+1)(x2) = (x2+1)(x2)  (x1)(x+1)(x2) + (x+2)(x1)2  (x1)(x+1)(x2) = = x32x2+x2  (x1)(x+1)(x2) + x32x2+x+2x24x+2  (x1)(x+1)(x2) = = x32x2+x2  (x1)(x+1)(x2) + x33x+2  (x1)(x+1)(x2) = = x32x2+x2+x33x+2  (x1)(x+1)(x2) = 2x32x22x  (x1)(x+1)(x2) 






Hacemos primero el paréntesis, es una resta, la primera fracción tiene por denominador una identidad notable: a2b2=(a+b)(ab). Para hacer la resta amplifico la segunda fracción por a+b:  a2+b2 a2b2 a+b ab= a2+b2 (a+b)(ab) (a+b)2 (a+b)(ab)= a2+b2 (a+b)(ab) a2+2ab+b2 (a+b)(ab)= = a2+b2a22abb2 (a+b)(ab)= 2ab (a+b)(ab) Sustituimos el paréntesis por su resultado: ( a2+b2 a2b2 a+b ab) a+b ab= 2ab (a+b)(ab) a+b ab= Para el producto de fracciones no tienen que tener el mismo denominador, luego: = 2ab(a+b) ab(a+b)(ab)= 2ab(a+b) ab(a+b)(ab)= 2  ab = 2  ba 






Tenemos que hacer primero la división, que no han de tener el mismo denominador y después la suma. Vamos con la división: $xy x2y2 :y xy =xy x2y2  xy y=xy(xy) y(xy)(x+y) =x(xy) (xy)(x+y)  No simplificamos, ya que al hacer la suma el mínimo común múltiplo es (xy)(x+y): xy x2y2 :y xy +y xy =x(xy) (xy)(x+y) +y xy =x(xy) (xy)(x+y) +y(x+y) (xy)(x+y) = =x(xy)+y(x+y) (xy)(x+y) =x2xy+yx+y2 (xy)(x+y) =x2+y2 (xy)(x+y) 





Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

sábado, 9 de marzo de 2024

Sucesiones numéricas. Recurrentes. Progresiones Aritméticas y Geométricas. Fracciones generatrices.

Sucesión numérica: es un conjunto ordenado de números. Cada un de ellos es denominado término, elemento o miembro de la sucesión.
Una de las sucesiones numéricas más famosas es la de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Sucesión recurrente: es una sucesión de números cuyos términos se calculan a partir de los anteriores, puede ser del anterior, de los anteriores , etc.
Volviendo al ejemplo de la sucesión de Fibonacci es además una sucesión recurrente que se calcula a partir de los dos anteriores. Por esa razón, tenemos que saber los dos primeros elementos:
a1=1 y a2=1 y la fórmula para obtener el resto de términos de la sucesión es an=an1+an2 Como ya tenemos a1 y a2 vamos a calcular a3, sustituimos en la fórmula de recurrencia la n por 3: a3=a2+a1=1+1=2 Ahora n=4  a4=a3+a2=2+1=3 Ahora n=5  a5=a4+a3=3+2=5 y así sucesivamente.

El incoveniente de este tipo de sucesiones es que para calcular el término 10, tienes que haber calculado previamente los términos 8o y 9o.

Las sucesiones recurrentes se pueden calcular a partir de dos términos anteriores, de 3, de 4, de 1 o los que queramos.

Un ejercicio interesante es generar nuestra propia sucesión recurrente. Ahí va una: a1=1,a2=2 y an=2an1an2 Ahora n=3  a3=2a2a1=22(1)=4+1=5 Ahora n=4  a4=2a3a2=252=102=8 y así sucesivamente.

Dentro de las preogresiones recurrentes nos vamos a centrar en las Progresiones Aritméticas y Geométricas.

Progresiones Aritméticas, aquellas sucesiones donde cada término se obtiene sumando un número al término que le precede. Este número se denomina diferencia y se denota por d. O lo que es lo mismo, la diferencia entre dos términos consecutivos es constante, esa constante es la diferencia d.

Ejemplos:
      La sucesión de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... La diferencia es 1

      La sucesión de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... La diferencia es 2

      La sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12,... La diferencia es 2

      La sucesión de los múltiplos de 7 ( 7 ˙): 7, 14, 21, 28, 35, 42,... La diferencia es 7

A partir de la definición que hemos dado de progresión aritmética tenemos que:

a2=a1+d Si lo aplicamos a la sucesión de los múltiplos de 7 tenemos: a2=a1+d=7+7=14

a3=a2+d=a1+d=a1+2d En los múltiplos de 7: a3=14+7=7+27=21

a4=a3+d=a1+2d=a1+3d En los múltiplos de 7: a4=21+7=7+27=7+37=28

a5=a4+d=a1+3d=a1+4d



a10=a9+d=a1+8d+d=a1+9d



y en general vemos que:

an=a1+(n1)d

Término general de la progresión aritmética
 an=a1+(n1)d 
Sabiendo a1 y d podemos calcular an, es decir, el término general de la progresión aritmética y por tanto cualquier término de la misma, por ejemplo, el a5, el a10, el a100, etc. Veamos un par de ejemplos:

Halla la diferencia y el término general de la progresión aritmética: -8, -4, 0, 4, ...

Aquí tenemos que a1=8 y la diferencia entre dos términos consecutivos es: d=4(8)=4+8=4 Vemos que esa diferencia es la misma entre todos los términos consecutivos de la misma. Una vez tenemos a1 y d vamos a calcular a an:

an=a1+(n1)d=8+4(n1)=8+4n4=4n12

Comprobamos que el término general de la suceción nos da la misma: n=1a1=4112= 412=8 n=2a2=4212= 812=4 n=3a3=4312=1212= 0 n=4a4=4412=1612= 4 En una progresión aritmética conocemos el tercer término que vale 20 y el término trigésimo que vale 101. Halla la diferencia y el término 60.

Por un lado a3=a1+2d y por otro a3=20a1+2d=20

Lo mismo con a30, es decir, a30=a1+29d y a30=101a1+19d=101

Juntamos estas dos ecuaciones formando un sistema de ecuaciones lineales:

{a1+ 2d= 20a1+29d=101

A la 1a ecuación le restamos la 2a y nos queda:

{ a1+ 2d= 20a1+29d=101                  27d=91d= 91 27=3 Ahora sustituimos el valor de d en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo, en la 1a:

a1+23=20a1+6=20a1=206=14 Ahora puedo calcular el término general an y puedo calcular el término que quiera de dicha sucesión.

an=a1+(n1)d=14+(n1)3=14+3n3=3n+11an=3n+11 Ahora puedo calcular cualquier término de la progresión, así a60=360+11=180+11=191

 Suma de los «n» primeros términos de una Progresión Aritmética 
Para calcular la suma de los «n» primeros términos de una Progresión Aritmética, seguiremos la idea de Carl Friedrich Gauβ: Sn=a1+a2+a3++an2+an1+an+              Sn=an+an1+an2++a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an1)+(a3+an2)++(an2+a3)+(an1+a2)+(an+a1)

Sabemos que a2=a1+d y también que an1=anda2+an1=a1+d+and=a1+d+and=a1+an

Sabemos que a3=a1+2d y también que an2=an2da3+an2=a1+2d+an2d=a1+2d+an2d=a1+an

y así sucesivamente.

Sustituimos en la expresión: 2Sn=(a1+an)+(a2+an1)+(a3+an2)++(an2+a3)+(an1+a2)+(an+a1) Tenemos «n» sumandos iguales: 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)++(a1+an)+(a1+an)+(a1+an) Agrupamos y despejamos Sn 2Sn=(a1+an)nSn= (a1+an)n 2 Obteniendo la fórmula que nos da:

La suma de los «n» primeros términos de la progresión aritmética
 Sn= (a1+an)n 2 
Veamos unos ejemplos:

Dado el término general de la progresión aritmética an=4n+5. Halla la suma de los cincuenta primeros términos.

S50= (a1+a50)50 2 Necesitamos saber a1 y a50, Vamos a calcularlos:

a1=41+5=4+5=9 y a50=450+5=200+5=205.

Sustituimos en la fórmula S50 y nos queda:

S50= (a1+a50)50 2= (9+205)50 2= 21450 2=10750=5350$



Problemas de progresiones. Colección de 23 ejercicios resueltos.




Se trata de una progresión aritmética de diferencia 3:

an=a1+(n1)d=7+(n1)3=7+3n3=3n+4 Para saber cuántos términos hemos de sumar aplicaremos la fórmula Sn= (a1+an)n 2 para calcular «n».

Por un lado sabemos que Sn=282, a1=7 y an=3n+4 juantando todo esto tenemos: 282= (7+3n+4)n 2564=(11+3n)n564=11n+3n23n2+11n564=0 Hemos obtenido una ecuación de 2o que tenemos que resolver: n= 11± (11)243(564)  26= 11± 121+6768  6= 11± 6889 2=  11±83 2=↗= 11+83 6=726=12n=12 1183 6= 94 6n= 47 3 La solución n= 47 3 es negativa y el número de términos que sumo no puede ser negativo. Luego la solución es n=12 los términos que tengo que sumar.






Se trata de una progresión aritmética de diferencia 6:

an=a1+(n1)d=3+(n1)6=3+n6=6n3 Para saber cuántos términos hemos de sumar aplicaremos la fórmula Sn= (a1+an)n 2 para calcular «n».

Por un lado sabemos que Sn=192, a1=3 y an=6n3 juantando todo esto tenemos: 192= (3+6n3)n 2192= 6nn 2192= 6n2 2192=3n2 192 3=n2164=n2n=± 8  La solución n=8 es negativa y el número de términos que sumo no puede ser negativo. Luego la solución es n=8 los términos que tengo que sumar.






Sabemos que:

a11=a1+10d, pero también sabemos que:

a11=a10+d=a9+2d=a8+3d=a7+4d y así sucesivamente hasta a11=a1+10d. Si nos quedamos en: a11=a3+8d Ya tenemos los dos elementos relacionados que nos dan y podemos encontrar la diferencia d: 97=33+8d64=8d64=8dd= 64 8=8 Ahora calculamos a1: a3=a1+2d33=a1+2833=a1+16a1=3316=17






Sabemos que a2=a1+d y que a7=a1+6d con esto planteamos un sistema de ecuaciones:

{a1+ d=1a1+4d=7

A la 1a ecuación le restamos la 2a y nos queda:

{ a1+ d=1a1+4d=7                  3d=6d= 6 3=2 Susituimos en al 1a ecuación y tenemos que: 1=a1+2a1=1 Ya podemos calcular el término general: an=a1+(n1)d=1+2(n1)=1+2n2=2n3 Ya tenemos todo para calcular la suma de los 15 primeros términos: S15= (a1+a15)15 2 Tenemos que calcular a15=2153=303=27 y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: S15= (1+27)15 2= 2615 2=1315=195






Sabemos que:

a6=a1+10d, d=1,5 entonces podemos calcular a1

10,5=a1+51,510,5=a1+7,5a1=10,57,5=3 Ya podemos calcular el término general: an=a1+(n1)d=3+1,5(n1)=3+1,5n1,5=1,5n+1,5 Ya tenemos todo para calcular la suma de los 9 primeros términos: S9= (a1+a9)9 2 Tenemos que calcular a9=1,59+1,5=13,5+1,5=15 y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: S9= (3+15)9 2= 189 2=99=81






Sabemos que:

a5=a1+4d, y d=3 entonces podemos calcular a1

7=a1+4(3)7=a112a1=7+12=5 Ya podemos calcular el término general: an=a1+(n1)d=5+(3)(n1)=53n+3=83n Ya tenemos todo para calcular la suma de los 12 primeros términos: S12= (a1+a12)12 2 Tenemos que calcular a12=8312=836=28 y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: S12= (528)12 2= 2312 2=236=138






Sabemos que a3=a1+2d y que a7=a1+6d con esto planteamos un sistema de ecuaciones:

{a1+2d=1a1+6d=7

A la 1a ecuación le restamos la 2a y nos queda:

{ a1+2d=1a1+6d=7                  4d=8d= 8 4=2 Sustituimos d en la 1a ecuación y calculamos a1: a1+2d=1a1+2(2)=1a14=1a1=1+4=5 Ya podemos calcular el término general: an=a1+(n1)d=5+(2)(n1)=52n+2=72n Ya tenemos todo para calcular la suma de los 15 primeros términos: S15= (a1+a15)15 2 Tenemos que calcular a15=7215=730=23 y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: S15= (523)15 2= 1815 2=915=135






Sabemos que a7=a4+3d, de donde podemos despejar d: a7=a4+3d16=7+3d167=3d3d=9d=3 Ahora podemos calcular a16 y a1 sin necesidad de calcular el término general: a16=a7+9d o a16=a4+12d

a16=a7+9d=16+93=16+27=43 a4=a1+3d7=a1+337=a1+9a1=79=2 Ya tenemos todo para calcular la suma de los 16 primeros términos: S16= (a1+a16)16 2 S16= (2+43)16 2= 4116 2=418=328






Tenemos que es una progresión aritmética y e1=1, la diferencia es 2. Para saber los ejercicios que habrá hecho el día 15 de septiembre calculamos el término general en: en=e1+(n1)d=1+2(n1)=1+2n2=2n1 Por tanto el día 15 ha hecho: e15=1+(151)2=1+142=1+28=29 ejercicios. Para saber cuántos ha hecho en total, calculamos la suma de los primeros 15 términos que son los 15 primeros días de septiembre: S15= (a1+a15)n 2 S15= (1+29)15 2= 3015 2=1515=225 ejercicios ha hecho hasta el 15 de septiembre






Es una progresión aritmética, donde el primer término p1=7,4 y la diferencia es d=3,8
El noveno piso está a la siguiente altura: p9=p1+8d=7,4+83,4=7,4+27,2=34,6m. de altura Para el piso «n», es calcular el término general de la progresión aritmética: pn=p1+(n1)d=7,4+(n1)3,4=7,4+3,4n3,4=4+3,4n






Tenemos que el primer término de la sucesión es c1=1999 y la diferencia es d=3 años.

La décima revisión será c10=1999+93=1999+27=2026.

En el año 2035, 2035=1999+n320351999=3n36=3nn=12, la duodécima o decimosegunda revisión será.






El ángulo más pequeño vale a, si están en progresión aritmética, entonces sabemos que los ángulos son a, a+d y a+2d. Y tambíen sabemos que la suma de los 3 ángulos es 180 y el mayor es a+2d=105 con lo que tenemos un sistema de ecuaciones: {a+2d=1053a+3d=180{a+2d=105a+d=60 A la 1a ecuación le restamos la 2a y nos queda:

{ a+2d=105a+d=60                  d=45 Sustituimos en la 2a ecuación tenemos: a+d=60a=60d=6045=15 Los ángulos son 15,60y105 respectivamente.






Tenemos que b1=5 y la diferencia d=2. Podemos calcular el término general fácilmente: an=a1+(n1)d=5+2(n1)=5+2n2=2n+3 Si estamos 7 hora entonces: a7=27+3=17€ será el precio final





Progresiones Geométricas (P. G.)

Progresiones Geométricas: Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión en la que cada término an se obtiene multiplicando al término anterior an1 por un número r llamado razón. La razón de una sucesión geométrica se denota por r y debe ser constante en toda la sucesión.

En una progresión geométrica tenemos que:

El primer término es a1.

El segundo término es a2=a1r.

El tercer término es a3=a2r=a1r2.

El cuarto término es a4=a3r=a2r2=a1r3.

El quinto término es a5=a4r=a3r2=a2r3=a1r4.

...

Así el n-ésimo término es an=an1r=an2r2=an3r3==a1rn1.

Término general de la progresión geomética
 an=a1rn1 


 Suma de los «n» primeros términos de una Progresión Geométrica (P. G.) 


Para calcular la suma de los «n» primeros términos de una Progresión Geométrica, veamos lo siguiente: La suma viene dada por esta expresión: Sn=a1+a2+a3++an2+an1+an, si multiplico por la razón r (tenemos que tener en cuenta que r1) ambos lados tenemos: rSn=      ra1+ra2+ra3++ran2+ran1+ran y si nos damos cuenta de que: ra1=a2; ra2=a3 y así sucesivamente ran1=an y ran=an+1

Juntando ambas expresiones y restándolas tenemos:

Sn=a1+a2+a3++an2+an1+an               rSn= a2+a3++an2+an1+an+an+1SnrSn=a1 an+1

Sacamos factor común a Sn y despejamos: (1r)Sn=a1an+1Sn= a1an+1 1r Si sustituimos an+1 por sus posibles expresiones an+1=ran=a1rn podemos obtener las siguientes expresiones para calcular la suma de «n» primeros términos de la progresión geométrica:

La suma de los «n» primeros términos de la progresión geométrica con r1
 Sn= a1an+1 1r= a1(1rn) 1r= a1(rn1) r1= a1anr 1r= anra1 r1 

Si r=1, la suma de los n primeros términos es:  Sn=na1 



Fracciones generatrices usando Progresiones Geométricas (P. G.)

Si |r|<1 podemos sumar todos los términos de la sucesión, los infinitos término: S=  a1  1r ya que rn0 cuando n
La suma de los infinitos términos de la progresión geométrica (P. G.)
 S=  a1  1r 
Ejercicio: Cogemos la calculadora, elegimos un número r de forma que |r|<1, por ejemplo, r=0,9 o r= 1 3 o r=0.01 y lo empezamos a multiplicar por si mismo sin parar. ¿A qué valor vamos a llegar? Efectivamente a cero. Por este motivo la fórmula de la suma infinita se simplifica tanto.

Una aplicación de la suma infinita de los términos de una progresión geométrica es el cálculo de fracciones generatrices. Veamos un número periódico sencillo: 0,7777777 Podemos escribir este número como una P. G.: 0,7;  0,07;  0,007;  0,0007; Es decir, una progresión geométrica con a1=0,7=7 10  y razón r=1 10 . Aplicamos la fórmula de la suma infinita y tenemos que: S=  a1  1r=  7 10   11 10 =  7 10   9 10 =7 9 
Si el número es periódico puro y el periodo tiene longitud 2, por ejemplo, 1,272727 ... se pone como una sucesión de números así: 1;  0,27;  0,0027;  0,000027;  0,00000027; Se deja el 1 aparte, se suma el resto de términos y depués le sumamos el 1 y ya estaría. Tenemos una progresión geométrica, con a1=0,27=27 100  y la razón r=1 100 , aplicando la fórmula tenemos: S=  a1  1r=  27 100   11 100 =  27 100   99 100 =27 99 
Sumamos el 1, y nos queda: 1+27 99 =126 99 

¿y qué pasa si es un número periódico mixto? Vamos con un ejemplo: 3,41111111111...

La sucesión asociada es 3;  0,4;  0,01;  0,001;  0,0001;  ...

En este caso separamos los dos primeros términos y el resto forman una progresión geométrica con a1=0,01=1 100  y razón r=1 10 . Aplicando la fórmula de nuevo tenemos: S=  a1  1r=  1 100   11 10 =  1 100   9 10 = 1 90 A este resultado le tenemos que sumar 3,4=34 10 . Así nos queda:
34 10 + 1 90=306 90 + 1 90=307 90 
Acabamos de comprobar que podemos calcular la fracción generatriz de cualquier número periódico, tanto puro como mixto.

Aquí tienes un applet de GeoGebra donde poder comprobar tus ejercicios de cálculo de fracción generatriz.


Es un número periódico puro, en este caso no separamos nada del número, ya que se puede poner como elementos de un progresión geométrica de razón r=101=1 10 : 8,8^=8,888...=8+0,8+0,08+0,008+... Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: 8+0,8+0,08+0,008+...

Primer término, a1=8, razón r=1 10 . Aplicamos la fórmula S=  a1  1r y nos queda: S=  a1  1r=  8  11 10 =  8  9 10 =  810 9 =  80   9 






Es un número periódico puro, en este caso no separamos nada del número, ya que se puede poner como elementos de un progresión geométrica de razón r=102=1 100 : 21,21^=21,212121...=21+0,21+0,0021+0,000021+... Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: 21+0,21+0,0021+...

Primer término, a1=21, razón r=1 100 . Aplicamos la fórmula S=  a1  1r y nos queda: S=  a1  1r=  21  11 100 =  21  99 100 =  21100 99 =  2100   99 =  700   33 






Es un número periódico mixto, separamos la parte entera y el anteperiodo. Así la parte periódica la podemos poner como una progresión geométrica de razón r=102=1 100 : 3,895^=3,8959595...=3+0,8+0,095+0,00095+... Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: 0,095+0,00095+...

Primer término, a1=0,095=95 1000 , razón r=1 100 . Aplicamos la fórmula S=  a1  1r y nos queda: S=  a1  1r=  95 1000   11 100 =  95 1000   99 100 =  95100 991000 =  95   990 =  19   198  Ahora sumo a   19   198 , la parte entera 3 y el anteperiodo 0,8 y el resultado es: 3,895^=  95   990 +  2970   990 +792 990 =95+2970+792 990 =3857 990 






Es un número periódico puro, en este caso tenemos que separar la parte entera y la parte periódica. Así la parte periódica la podemos poner como una progresión geométrica de razón r=102=1 100  ya que el periodo tiene amplitud 1: 5,21^=5,212121...=5+0,21+0,0021+0,000021+... Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: 0,21+0,0021+0,000021+...

Primer término, a1=0,21=21 100 , razón r=1 100 . Aplicamos la fórmula S=  a1  1r y nos queda: S=  a1  1r=  21 100   11 100 =  21 100   99 100 =  21   99 =  7   33  Ahora sumo a   7   33 , la parte entera 5 y el resultado es: 3,895^=5+  7   33 =165+7 33 =172 33 






Es un número periódico puro, en este caso tenemos que separar la parte entera y la parte periódica. Así la parte periódica la podemos poner como una progresión geométrica de razón r=101=1 10  ya que el periodo tiene amplitud 1: 2,9^=2,999999....=2+0,9+0,09+0,009+... Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: 0,9+0,09+0,009+...

Primer término, a1=0,9=9 10 , razón r=1 10 . Aplicamos la fórmula S=  a1  1r y nos queda: S=  a1  1r=  9 10   11 10 =  9 10   9 10 =1 Ahora sumo a 1, la parte entera 2 y el resultado es: 1 + 2 = 3






Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón r=101=1 10  ya que el periodo tiene amplitud 1: 1,3222^=1,32222....=1+0,3+0,02+0,002+0,0002+... Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: 0,02+0,002+0,0002+...

Primer término, a1=0,02=2 100 , razón r=1 10 . Aplicamos la fórmula S=  a1  1r y nos queda: S=  a1  1r=  2 100   11 10 =  2 100   9 10 =  210  9100=  2  90=  1  45 Ahora sumo a   1  45 , la parte entera 1 y el anteperiodo 0,3= 3 10 y el resultado es:

1,3222^=1,32222....=1+ 3 10+  2  90=  90+27+2  90=  119  90






Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón r=102=1 100  ya que el periodo tiene amplitud 2: 3,563^=3,5636363...=3+0,5+0,063+0,00063+0,0000063+... Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: 0,063+0,00063+0,0000063+...

Primer término, a1=0,063=63 1000 , razón r=1 100 . Aplicamos la fórmula S=  a1  1r y nos queda: S=  a1  1r=  63 1000   11 100 =  63 1000   99 100 =  63100  991000=  63  990=  7  110 Ahora sumo a   7  110 , la parte entera 3 y el anteperiodo 0,5= 5 10 y el resultado es:

3,563^=3,5636363...=3+ 5 10+  7  110=  330+55+7  110=  392  110=  196  55






Es un número periódico puro, en este caso tenemos que separar la parte entera y la parte periódica pura. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón r=103=1 1000  ya que el periodo tiene amplitud 3: 4,123^=4,123123123...=4+0,123+0,000123+0,000000123+... Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: 0,123+0,000123+0,000000123+...

Primer término, a1=0,123=123 1000 , razón r=1 1000 . Aplicamos la fórmula S=  a1  1r y nos queda: S=  a1  1r=  123 1000   11 1000 =  123 1000   999 1000 =  123  999=  41  333 Ahora sumo a   41  333 , la parte entera 4 y el resultado es:

4,123^=4,123123123...=4+ 41 333=  1332+41  333=  1373  333






Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica pura. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón r=101=1 10  ya que el periodo tiene amplitud 1: 9,35^=9,3555555...=9+0,3+0,05+0,005+0,0005+... Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: 0,05+0,005+0,0005+...

Primer término, a1=0,05=5 100 , razón r=1 10 . Aplicamos la fórmula S=  a1  1r y nos queda: S=  a1  1r=  5 100   11 10 =  5 100   9 10 =  510  9100=  5  90=  1  18 Ahora sumo a   1  18 , la parte entera 9, el anteperiodo 0,3=3 10  y el resultado es:

9,35^=9,3555555...=9+ 3 10+  1  18=  1620+54+10  180=  1684  180=  421  45






Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica pura. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón r=102=1 100  ya que el periodo tiene amplitud 2: 7,2315^$=7,231515...=7+0,23+0,0015+0,000015+0,00000015+... Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: 0,0015+0,000015+0,00000015+...

Primer término, a1=0,0015=15 10000 , razón r=1 100 . Aplicamos la fórmula S=  a1  1r y nos queda: S=  a1  1r=  15 10000   11 100 =  15 10000   99 100 =  15100  9910000=  15  9900=  1  660 Ahora sumo a   1  660 , la parte entera 7, el anteperiodo 0,23=23 100  y el resultado es:

7,2315^$=7,231515...=7+ 23 100+  1  660=  46200+1518+10  660=  47728  6600=  5966  825





Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com