La Regla de L'Hôpital se aplica a las indeterminaciones del tipo $\zdivz$ y $\idivi$.
Regla de L’Hôpital
Sean $f,g: \R \longrightarrow \R$ funciones derivables en algún intervalo abierto que contenga a $a \in \R$, excepto posiblemente en $a$.
Supongamos que $g'(x)$ nunca es cero y que se cumple una de las siguientes condiciones:
Este límite se puede hacer de varias formas, pero lo haremos usando L'Hôpital:
\[ \milmt{x}{0}{ \mfrac{(1 + x)^4 - 1 }{ x } } = \left \{ \mfrac{0}{0} \right \} \xrightarrow{L'Hôpital} \milmt{x}{0}{ \mfrac{ 4(1 + x)^3 }{ 1 } } = \milmt{x}{0}{ \ 4(1 + x)^3 } = 4 \]
Ejercicio: ¿De cuántas formas se puede hacer este límite?
Si las funciones $f(x)$ y $g(x)$ son derivables $n$-veces, la regla de l'Hôpital se puede aplicar $n$-veces.
Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en algún punto de ese intervalo.
La función es continua en el intervalo $[1, 5]$, como consecuencia podemos afirmar que está acotada en dicho intervalo. Por ser continua en el intervalo $[1, 5]$ se cumple el teorema de teorema de Weierstrass, que afirma que se alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo $[1, 5]$.
El denominador de la función no se anula para ningún valor de $x$ puesto que $1 + x^2 ≥ 1$.
Por lo tanto, la función es continua en el intervalo $[-1, 1]$. Aplicando el teorema de Wierstrass (o teorema del máximo-mínimo), la función alcanza máximo y mínimo absolutos en ese intervalo. Para calcular los máximos y los mínimos de la función estudiamos entre que valores oscila la función para el intervalo dado.
\[ -1 \leq x \leq \Rightarrow 0 \leq x^2 \leq 1 \Rightarrow 1 \leq x^2 + 1 \leq 2 \Rightarrow \mfrac{1}{2} \leq \mfrac{1}{1 + x^2} \leq 1 \]
Es decir, el valor mínimo de la función es $\mfrac{1}{2}$ y el valor máximo 1. Para calcular en que puntos se alcanzan el mínimo y el máximo, resolvemos las
siguiente igualdades:
\[ \mfrac{1}{2} = \mfrac{1}{1 + x^2} \Rightarrow 2 = 1 + x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \]
Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, con $f(a) \cdot f(b) < 0 $ ( la función toma valores de signo contrario en los extremos), entonces existe al menos un valor $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.
Consideramos la función $f(x) = x – \cos x$. Esa función es continua en todo $\R$, en particular en $\left [ 0, \mfrac{\pi}{2} \right ]$. Además:
Luego verifica las hipótesis del teorema de Bolzano. Por tanto, existe un punto $c \in \left (0, \mfrac{\pi}{2} \right )$ tal que $f (c) = 0$:
$f(c) = 0 \Rightarrow f(c) = c – \cos c = 0 \Rightarrow c = \cos c$
Esto es, la ecuación $x = \cos x$ tiene una solución que es $c$.
Sabemos que la función tangente no está definida en $x = \mfrac{\pi}{2}$, y $\mfrac{\pi}{2} \in \left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$.
Por tanto, la función $f$ no es continua en todos los puntos del intervalo $\left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$.
Como no cumple una de las condiciones del teorema de Bolzano, no podemos aplicarlo y asegurar que existe $c \in \left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$ tal que $f(c) = 0$. Es decir, no podemos asegurar que $f$ tenga una raíz en $\left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$.
Propiedad de Darboux:
Si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y $k$ es cualquier número entre $f(a)$ y $f(b) \left (k \in ( f(a), f(b) ) \right )$, entonces existe un valor $d$ entre $a$ y $b$ ($ d \in (a, b)$) para el cual $f(d) = k$.
Es una consecuencia del teorema de Bolzano. Su demostración es sencilla, pues basta con definir otra función, $g(x) = f(x) − k$, y aplicarle el teorema de Bolzano. En efecto:
La función $g(x) = f(x) − k$ es continua en $[a, b]$, por ser diferencia de dos funciones continuas en $[a, b]$. Además, $g(a) = f(a) - k < 0$ y $g(b) = f(b) - k > 0$.
Luego, $g(x)$ cumple las hipótesis del teorema de Bolzano. En consecuencia, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$. Pero esto significa que $g(c) = k − f (c) = 0 \Rightarrow f(c) = k$.
La función $f(x) = \msqrt{x + 1}$, es continua en el intervalo $[0, 3]$; además, en sus extremos toma los valores $f(0) = 1$ y $f(3) = 2$. Por tanto, la función toma todos los valores entre 1 y 2; por ejemplo, el valor 1,5. Ese valor lo toma en la solución de la ecuación $1,5 = \msqrt{x + 1}$ , que es:
\[ 1,5 = \msqrt{x + 1} \Rightarrow 2,25 = x + 1 \Rightarrow x = 1,25 \Rightarrow 1,25 \in [0, 3] \].
Como la función es continua y en los extremos del intervalo toma los valores $f(0) = 5$ y $f(2) = 3$, se deduce que toma todos los valores entre 3 y 5; en particular el valor 4. Esto es, existirá algún punto $c \in (0, 2)$ tal que $f(2) = 4$.
Como 2 no está entre 3 y 5, no puede afirmarse que la función tome ese valor para algún punto del intervalo $(0, 2)$; pero tampoco puede afirmarse que no lo tome. (De hecho hay dos valores que toman el valor 2).
Teorema de Rolle:
Sea $f:[a, b] \to \mathbb {R}$ es una función continua en un intervalo cerrado $\displaystyle [a, b] $ diferenciable en el intervalo abierto $ \displaystyle (a,b) $ y que cumple $ f(a) = f(b) $ entonces existe al menos un punto $c \in (a, b) $ tal que $ f'(c) = 0$.
La función es continua en $[0, 2]$. No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto $x = 1$.
$$ f(x) = \begin{cases} -x + 1 \text{ si } 0 \leq x < 1 \cr \cr x - 1 \text{ si } 1 \leq x < 2 \end{cases}$$
$$ f'(x) = \begin{cases} -1 \text{ si } 0 < x < 1 \cr \cr 1 \text{ si } 1 < x < 2 \end{cases}$$
$f(x)$ es una función continua en los intervalos $[−1, 0]$ y $[0, 1]$ y derivable en los intervalos abiertos $(−1, 0)$ y $(0, 1)$ por ser una función polinómica.
Además se cumple que:
\[ f(−1) = f(0) = f(1) = 0 \]
Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.
\[ f'(c) = 0 \Rightarrow 1 - 3c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = \mfrac{1}{3} \Rightarrow c = \pm \msqrt{ \mfrac{1}{3} } = \pm \mfrac{1}{ \msqrt{3} } = \pm \mfrac{ \msqrt{3} }{3} \]
\[ \mfrac{ - \msqrt{3} }{3} \in (-1, 0) \qquad \qquad \mfrac{ \msqrt{3} }{3} \in (0, 1) \]
Teorema del valor medio o de Lagrange:
Sea $f:[a, b] \to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ entonces existe al menos un punto $c \in (a, b) $ tal que
\[ f'(c) = \mfrac{\ f(b) - f(a)\ }{ b - a } \]
$f(x)$ es continua en [0, 2] y derivable en $(0, 2)$ por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:
Con los siguientes números usados una sola vez cada uno, salvo repeticiones, y las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división debes calcular el siguiente
Dentro de los elemenots circulares, vamos a ver los siguientes elementos y vamos a calcular sus áreas y/o longitudes:
Segmento circular: Un segmento circular es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente que la cuerda subtiende.
Sector circular: es la porción delimitada por dos radios y un arco.
Triángulo en un círculo: tiene un vértice en el centro del círculo y los otros dos en la circunferencia que lo delimita.
Cuerda: es un segmento de línea recta cuyos dos extremos están ubicados en la circunferencia de un círculo.
Arco circular: Un arco circular, o arco de circunferencia, es una porción de la circunferencia que une dos puntos sobre ella.
Aquí tienes un applet donde puedes ver otros tipos de regiones del círculo:
Área de un sector circular:
Con una sencilla regla de tres, podemos calcular el área de un sector circular y la longitud de un arco de circunferencia:
Si el área del círculo completo es $\pi r^2$, entonces la región de ángulo $theta$ será $A_s$, vamos a las cuentas:
\[ \begin{array}{ccc}
2\pi & \longrightarrow & \pi r^2 \\ \\
\theta & \longrightarrow & A_s
\end{array} \Rightarrow A_s \cdot 2 \pi = \theta \pi r^2 \Rightarrow A_s = \mfrac{ \theta \pi r^2 }{2 \pi } = \mfrac{ \theta r^2 }{ 2 }
\]
Si la longitud del círculo, un arco completo, es $2 \pi r$, entonces la región de ángulo $theta$ será $A_s$, vamos a las cuentas:
\[ \begin{array}{ccc}
2\pi & \longrightarrow & 2 \pi r \\ \\
\theta & \longrightarrow & l_a
\end{array} \Rightarrow l_a \cdot 2 \pi = \theta 2 \pi r \Rightarrow l_a = \mfrac{ \theta 2 \pi r }{2 \pi } = \theta r
\]
El área de un triángulo es $A_t = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h$. La base es $r$, lo apoyamos sobre un radio y la altura es $r \cdot \sen \theta $ luego el área es:
\[ A_t = \mfrac{1}{2} r^2 \sen \theta \]
Para calcular el área de un segmento circular, como sabemos el área de un sector y el área de un triánngulo, entonces el área del segmento es la diferencia:
\[ A_{sg} = A_s - A_t = \mfrac{ \theta r^2 }{ 2 } - \mfrac{1}{2} r^2 \sen \theta = \mfrac{1}{2} r^2 (\theta - \sen \theta) \]
Longitud de una cuerda:
Si aplicamos el teoremos del coseno sobre el triángulo que define la cuerda y los dos radios, sabemos el ángulo comprendido entre los dos radios, tenemos:
\[ (l_c)^2 = r^2 + r^2 - 2 r \cdot r \cdot \cos \theta \Rightarrow (l_c)^2 = 2r^2 - 2 r^2 \cos \theta \Rightarrow (l_c)^2 = 2r^2 (1 - \cos \theta ) \Rightarrow (*) \]
\[ \mfrac{1 - cos \theta}{ 2 } = \sen^2 \left ( \mfrac{\theta}{2} \right ) \]
Entonces:
\[ (*) \Rightarrow (l_c)^2 = 4r^2 \sen^2 \left ( \mfrac{\theta}{2} \right ) \Rightarrow l_c = 2r \sen \left ( \mfrac{\theta}{2} \right ) \]
Estas fórmulas te puede venir para este tipo de ejercicios:
He aquí una de las herramientas más poderosas de las matemáticas: el principio del camello.
Esto es, cómo funciona y por qué es esencial, pero primero, la historia:
- Un hombre fallece, dejando la mitad de su fortuna a su hijo mayor, la tercera parte a su hijo mediano y la novena al más pequeño.
- Al abrir el establo, se dan cuenta de que el padre tenía 17 camellos.
- Esto es un problema, ya que no pueden dividir 17 camellos en 1/2, 1/3 y 1/9 sin cortar algunos a trozos.
- Entonces recurren a un vecino sabio en busca de consejo. El hombre sabio dice: "sostened mi camello" y resuelve el problema prestándoles uno a los muchachos.
- Ahora el establo tiene 18. El hijo mayor se lleva 9 a casa, mientras que el hijo del medio y el más pequeño se va con 6 y 2 respectivamente, como deseaba su padre.
- El hombre sabio recupera su camello y todos están contentos.
Así nace el principio del camello: sumar y restar la misma cantidad no cambia la igualdad, pero puede ayudar en el cálculo.
En matemáticas no se puede vivir sin este principio.
Te mostraré dos ejemplos.
$$ x = (x + y) - y $$
La primera es la ecuación cuadrática.
Esta fórmula se deriva del principio del camello. ¡Te mostraré cómo!
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
Como $a \ne 0$, podemos multiplicar por $4a$:
$$ 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 $$
AHora aplicamos el pricipio del camello sumando y restando $b^2$ para completar el cuadrado de $4a^2x^2 + 4abx$:
$$ 4a^2x^2 + 4abx = -4ac $$
$$ 4a^2x^2 + 4abx + b^2 - b^2 = -4ac $$
$$ 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac $$
$$ (2abx + b)^2 = b^2 - 4ac $$
Despejamos $2ax + b$:
$$ 2ax + b = \pm \msqrt{b^2 - 4ac} $$
Ahora despejamos $x$:
$$ 2ax = - b \pm \msqrt{b^2 - 4ac} \Rightarrow x = -\mfrac{ -b \pm \msqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } $$
Existe una versión alternativa del principio del camello, que realiza una hazaña similar: multiplicar y dividir por la misma cantidad.
Esto tampoco cambia la igualdad.
$$ x = x \cdot \mfrac{y}{y} $$
Para ilustrarlo, veamos las derivadas, el motor principal detrás de las matemáticas, la física y la optimización.
(Y muchos otros campos que permitieron que la tecnología llegara a donde está ahora).
¿Cómo calcularías la derivada de una función compuesta?
Esta es una pregunta esencial. Sin ella, no hay retropropagación, descenso de gradiente ni, por ende, redes neuronales.
(Al menos hasta que alguien invente una alternativa inteligente. Pero eso llevará un tiempo.)
La definición de derivada:
\[ f'(a) = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(x) - f(a) }{ x - a} } \]
Lo adivinaste bien: ¡el principio del camello!
(Al menos la segunda versión, donde se multiplica y divide con la misma cantidad.)
Una vez aplicado el principio del camello, el límite se puede llevar a cabo término por término. Veámoslo en la derivada de la función compuesto:
\[ (f \circ g)'(a) = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) }{ x - a} } \]
\[ (f \circ g)'(a) = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) }{ x - a} } = \]
\[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f(g(x)) - f(g(a)) }{ x - a} \cdot \mfrac{g(x) - g(a)}{g(x) - g(a) } } = \]
\[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) } {g(x) - g(a)} \cdot \mfrac{g(x) - g(a)}{ x - a} } = \]
\[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) } {g(x) - g(a)} \cdot \mfrac{g(x) - g(a)}{ x - a} } = \]
\[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) } {g(x) - g(a)} } \cdot \milmt{x}{a}{ \mfrac{g(x) - g(a)}{ x - a} } = f'(g(a)) \cdot g'(a) \]
La lección que debemos sacar de esto es que las pequeñas curiosidades matemáticas, como el principio del camello, suelen descartarse por "no tener ninguna aplicación".
Sin embargo, esta miopía a menudo conduce al mal camino.
Al comprender los átomos, se pueden construir rascacielos.
