Para empezar a trabajar con potencias de exponente fraccionario vamos a demostrar las dos propiedades que tenemos en el recuadro anterior. Vamos con la propiedad:
Por definición de raíz n-ésima tenemos que:
Si multiplicamos los exponentes en esta igualdad por tenemos:
De y de nos queda:
Una vez que tenemos este resultado, vamos a demostrar la propiedad, es decir, veamos que
De y de nos queda:
Esto siempre cuando los valores a , y tengan sentido, por ejemplo:
Recordemos que:
Ejemplos:
Vamos ahora a demostrar el resto de las propiedades de los radicales:
Veamos una consecuencia de estas propiedades:
Si es par
Si es impar
Aquí tenemos las propiedades de los radicales en una tabla con ejemplos:
Triángulo rectángulo: Triángulo que tiene un ángulo recto.
Cateto: Cada uno de los lados de un triángulo rectángulo que forma el angulo recto.
Hipotenusa: El lado opuesto al ángulo recto.
El Teorema de Pitágoras dice:
«En todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos.»
Colección de 15 ejercicios de planteamiento resueltos.
Fases para resolver problemas en Matemáticas:
Entender el problema
Leer las veces que haga falta el enunciado, hacer cualquier dibujo o esquema que ayude a su comprensión. Obtener todos los datos, directos e indirectos, que nos da el problema.
Plantear las ecuaciones
Escribir las ecuaciones que se adecúen al problema en cuestión.
Resolver el sistema de ecuaciones
Resolver el sistema.
Comprobar la solución obtenida
Coherencia del resultado y la comprobación de la misma.
Si el número es dos cifras, lo representamos así . Es decir, son las decenas e = a las unidades.
La suma de las cifras es 10
El número, invirtiendo las cifras es , hemos cambiado las decenas por las unidades y viceversa:
Luego la ecuación será:
Así el sistema quedará:
Si el número es dos cifras, lo representamos así . Es decir, son las decenas e = a las unidades.
La ecuación se obtiene de al saber que la cifra es la tercera parte de la segunda:
Si invertimos las cifras del número, es decir entonces
Así el sistema quedará:
la edad de la persona
la edad de la persona
De la razón tenemos que
De la diferencia de edades tenemos:
Así el sistema quedará:
El número de tres cifras y capicúa es de la forma
número de las centenas y de las unidades.
número de las decenas.
La suma de las cifras es 12 luego
La suma de las decenas excede en 4 al doble de las centenas luego
Así el sistema quedará:
litros de 0,94 €/l
litros de 0,86 €/l
Sabemos que la mezcla es de 40 litros luego litros
Como la mezcla debe salir a 0,89 €/litro entonces hemos de calcular el importe en € que echamos a la mezcla y lo dividimos por el número de litros de la misma, así sabemos a qué precio sale el litro:
Así el sistema quedará:
Este ejercicio se puede plantear con una sola incógnita, litros de aceite de 0,94 €/l y serán los litros de aceite de 0,86€/l:
el número.
el número.
De la frase tenemos
De la frase tenemos
Así el sistema quedará:
el nº de olivos.
el nº de almendros.
Entre olivos y almendros 250
Si el doble de almendros son 10 menos que el total de olivos
Así el sistema quedará:
de habitaciones simples.
de habitaciones dobles.
El número de habitaciones es 50:
Ahora contamos camas, las dobles tienen 2 y las simples una:
Así el sistema quedará:
nº de bombillas que funcionan.
nº de bombillas defectuosas, que fallan.
El total de bombillas fabricadas son 2100
La ecuación es sobre el dinero que gana, por cada bombilla suma 0,6€ y por cada bombilla defectuosa -0,8€; haciendo la cuenta:
Así el sistema quedará:
nº de alumnos de .
nº de alumnos de .
El número de alumnos de es el doble de , luego:
Al pasar alumnos de una clasea otra tenemos:
Así el sistema quedará:
nº de coches.
nº de motos.
El total de vehículos es 39
Ahora contamos ruedas, las motos tienen 2 y los coches 4 (visibles), luego:
Así el sistema quedará:
nº de discos de 18 €
de discos de 14,4 €
En total 84 discos, luego
Ahora contamos dinero, discos a 18€ más discos a 14,4 € son 1242€
Así el sistema quedará:
€ que cuesta un tarro de berberechos.
€ que cuesta un tarro de mejillones.
Todas las latas cuestan 35,7 €, es decir, 17 latas de berberechos por su precio más a 12 latas de mejillones por su precio son €
Sabiendo la relación que hay entre 5 botes de berberechos y los 3 de mejillones tenemos:
Así el sistema quedará:
los que pesa el agua que hay en el cubo.
los que pesa el cubo.
De la frase tenemos: $ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 \odn{2}{a} \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 íá$ \large \color{blue} \cases{ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 \cr \cr \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 } $$
€ del manuscrito.
€ del manuscrito.
Por los dos manuscritos paga 2250 €
Sacando un 40% de beneficio por la venta de ambos: €;
Del saca un 25% más y del un 50 % más:
Así el sistema quedará:
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas con una o varias incógnitas. Los signos de desigualdad posibles son: y . Veamos algunos ejemplos:
En las inecuaciones se puede aplicar la regla de la suma: si sumo o resto cualquier número o expresión algebraica a ambos miembros de la desigualdad, se convierte en otra equivalente, con la misma solución.
En las inecuaciones se puede aplicar la regla del producto, pero aquí es donde hemos de tener cuidado:
Si multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por un número positivo, obtenemos una desigualdad equivalente.
Pero, si multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por un número negativo, está cambia de sentido, es decir:
La solución de una inecuación es una semirrecta, intervalo infinito. Una inecuación puede «NO» tener solución. En algunos casos la solución puede ser todos los números reales. Dejamos un enlace a la entrada de intervalos.
Veamos algunos ejemplos:
Regla de la suma:
Regla de la suma:
Regla del producto ():
Regla del producto ():
¿Cómo se resuelven las inecuaciones? Exactamente igual que las ecuaciones:
Quitar denominadores si los tiene.
Si tiene paréntesis, aplicar la propiedad distributiva.
Agrupar términos en cada miembro de la desigualdad.
Transponer términos, es decir, dejar las «» a un lado y los números al otro.
Despejar la .
Veamos un ejemplo:
Quitamos los denominadores multiplicando por el mcm(3, 8, 45) = 360
Quitamos paréntesis, agrupamos y despejamos la :
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3) = 6:
quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 6) = 6:
resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 7) = 14:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 12) = 12:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 4, 12) = 12:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 7) = 14:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4) = 4:
quitamos paréntesis y resolvemos: ✗
Esta inecuación nunca se cumple, luego la inecuación original no tiene solución.
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 4) = 12:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 4) = 12:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 5, 15) = 15:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(12, 18, 24) = 72:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4, 5) = 20:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 5, 15) = 15:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4) = 4:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Lo quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 6) = 2:
quitamos paréntesis y resolvemos:
Inecuaciones de grado o superior:
Pueden ser de la siguiente forma:
Ejemplo
RESOLUCIóN:
Expresar de la forma
Factorizar , calcular las raices de .
í
Dividir la recta en intervalos para estudiar el signo de los factores en los intervalos.
Si y si
Resolver
Ahora resolvemos
Luego la solución es:
Si a inecuación es de de grado, también se puede estudiar graficamente la funcion cuadratica, el signo del coeficiente de para averiguar las soluciones de .
Inecuaciones con fracciones algebraicas:
Son de la forma:
Ejemplo:
RESOLUCIÓN:
¡¡¡ Muy importante !!!!
No podemos pasar el del denominador multiplicando ya que puede ser positivo (), pero también puede ser negativo () en este caso habría que cambiar el signo de la desigualdad. Por eso es mejor pasar el 2 en este caso o la expresión algebraica que hubiera al otro lado de la desigualdad.
Expresar de la forma
Factorizar y . Calcular las raices de y
En este caso ya están factorizados.
Dividir la recta en intervalos. Estudiar el signo de los factores en los intervalos.
Si y si
Resolver
Luego la solución es:
En el lado derecho de la desigualdad ya tenemos un cero. Y para saber si la fracción algebraica es negativa, como el numerador es positivo, basta con ver que el denominador es negativo, es decir, . Esta desigualdad es muy sencilla:
ó
En el lado derecho de la desigualdad no tenemos un cero, lo que tenemos que hacer es pasar el cero al otro lado.
¡¡¡ Muy importante !!! No podemos pasar el denominador mutiplicando, ya que no tiene el signo constante, puede ser negativo y tendríamos que cambiar el signo de la desigualdad.
Pasamos el 4 restando y nos queda:
La fracción algeraica será negativa cuando numerador y denominador tengan distinto signo. El valor de que marca el signo del numerador es -4;y el valor que marca el signo del denominador es 3. Tenemos que tener cuidado ya que la no puede tomar el valor 3, porque anula el denominador y no podemos calcular su valor.
Tenemos que calcular el valor de la fracción en los trozos de recta en que -4 y 3 dividen a la recta numérica:
✗á✗
ó
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
El alfabeto griego se usa de forma habitual en el mundo de la ciencia y las Matemáticas no son una excepción. Aquí tenemos el alfabeto griego con sus letra mayúsculas, minúsculas y su nombre en español.
Colección de 10 ejercicios del Teorema del factor y del resto.
Lo primero de todo vamos a repasar los términos que usaremos en esta entrada:
Resto: es el número o expresión algebraica que sobra después de realizar una división no exacta. Por ejemplo, si dividimos 11 entre 3 obtenemos de resto 2.
Factor: es un número o expresión algebraica que divide completamente a otro número o expresión algebraica sin dar resto. Por ejemplo, 5 es factor de 35 ya que si dividimos 35 entre 5 el resto es cero.
Esta es una entrada de polinomios, luego factor y resto se puede aplicar con número o polinomio.
RAÍZ DE UN POLINOMIO
Se dice que es una raíz del polinomio si se cumple que , es decir, al evaluar el polinomio en nos da 0. Ejemplo: Comprueba si 2 y 5 son raíces del polinomio ííííDivisión de polinomios:
Para dividir dos polinomios se tiene que cumplir que el grado del polinomio dividendo sea mayor o igual que el grado del polinomio divisor y dividiremos hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.
La división puede ser en «galera» o en caja:
Podemos usar la regla de Ruffini, siempre que el polinomio divisor sea de grado y de la forma o . Recordemos que para saber el valor que tenemos que poner en el divisor resolveremos la ecuación que sale de igualar el cociente a cero. Veamos un par de ejemplo:
Si el divisor es , resolveremos la ecuación . La resolvemos , entonces 2 es el valor que hay que poner en el divisor. Si el divisor es , resolveremos la ecuación . La resolvemos , entonces -4 es el valor que hay que poner en el divisor.
TEOREMA DEL RESTO Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio entre el binomio es igual al valor numérico del polinomio para .
Si dividimos el polinomio entre , y lo hacemos por Ruffini el resto es -4.
Si hallamos el valor numérico del polinomio tomando como valor de , obtenemos .
El resto de la división de entre es el valor numérico de en :
TEOREMA DEL FACTOR Teorema del factor: Un polinomio tiene como factor el término si el valor numérico del polinomio para es 0.
Si dividimos el polinomio entre , haciéndolo por Ruffini vemos que el resto es 0.
Utilizando la comprobación de la división tenemos que:
al ser el resto tenemos que
por lo tanto:
, y por lo tanto es un factor de .
Podemos concluir que el Teorema de factor es el Teorema del resto cuando el resto es cero.
Este ejercicio se puede hacer de dos formas:
forma: evaluando el polinomio en -2 y que nos de -3
forma: aplicando Ruffini:
El resto sabemos que tiene que ser -3, de la última columna tenemos que .
¿ Aplicamos Ruffini y tenemos:
Tenemos que
¿ Aplicamos Ruffini y tenemos:
Tenemos que
Este ejercicio se puede hacer de dos formas:
forma: evaluando el polinomio en 3 y que nos de 0
forma: aplicando Ruffini:
De la última columna tenemos que
Este ejercicio se puede hacer de dos formas:
forma: evaluando el polinomio en 6 y que nos de 0
forma: aplicando Ruffini:
De la última columna tenemos que
Como nos indica «sin hacer la división» usaremos el Teorema del Resto y comprobaremos si en dichos polinomios al evaluar nos da cero.
, luego no es raíz de .
, luego sí es raíz de .
, luego no es raíz de .
Comprobación:
Este apartado también se puede hacer por Ruffini, el número que tenemos que poner es que es cuando se anula :
Comprobación:
Comprobación:
Factorización de polinomios:
¿Qué es factorizar un polinomio? Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de polinomios «irreducibles». Los polinomios irreducibles son los polinomios de grado cero (números), los de grado y los de grado que no tienen raíces reales.
Ejemplos:
Los polinomios de grado uno nos dicen la raíz numérica de los polinomios.
Para factorizr polinomios usaremos:
sacar factor común:
identidades notables:
Ruffini:
O las tres técnicas anteriores: Factoriza el polinomio
Sacando factor común:
Vemos fácilmente que 1 es raíz, usando Ruffini:
Usando identidades notables vemos que
En construcción.
Vemos que la suma de los coeficientes da cero luego 1 es raíz. Aplicamos Ruffini:
donde vemos claramente que -1 es raíz. Aplicamos de nuevo Ruffini:
y vemos que el término (x^2 + 3) no se anula nunca ya que siempre es mayor estricto que cero:
Vemos dos cosas: la 1ª que la suma de los coeficientes es cero, luego 1 es raíz y podemos además sacar 2 factor común:
Aplicamos Ruffini y tenemos que:
Ahora vemos que las raíces solamente pueden ser negativas, si fueran positivas nunca sería cero y vemos fácilmente que -1 es raíz, volvemos a aplicar Ruffini:
Las raíces son 1, -1 y -4 respectivamente.
En construcción.
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com