Autor del blog  Raαε  IRa´πz  Gaτςι´@R2G


El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


Cuando uno enseña, dos aprenden. «Robert Heinlein»


Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

jueves, 19 de octubre de 2023

Números primos y compuestos.

El uno es la unidad (NO ES PRIMO).

De número primo hay varias definiciones:
  • Un número es primo si sólo es divisible por el mismo y por la unidad.

  • Un número es primo es aquel que sólo tiene dos divisores, el propio número y la unidad.

El número que no es primo ni es la unidad es compuesto.

Ejemplos:
  • 2 es primo, sólo es divisible por 1 y por 2. (Tiene sólo dos divisores)
    Además 2 es el único número primo que es par.

  • 4 NO es primo, es divisible por 1, por 2 y por 4. (Tiene tres divisores)
    Luego 4 es compuesto.

  • 5 es primo, sólo es divisible por 1 y por 5. (Tiene sólo dos divisores)

  • 6 NO es primo, es divisible por 1, por 2, por 3 y por 6. (Tiene cuatro divisores)

  • Podemos seguir de 1 en 1 ... estaríamos haciendo la «criba de Erastóstenes».






jueves, 21 de septiembre de 2023

Potencias de base un número real y exponente fraccionario.

  Exponente fraccionario  a n=a1 n  am n=am n   Para empezar a trabajar con potencias de exponente fraccionario vamos a demostrar las dos propiedades que tenemos en el recuadro anterior. Vamos con la 1a propiedad:  a n=a1 n  Por definición de raíz n-ésima (n1) tenemos que:  a n=bbn=a(1) Si multiplicamos los exponentes en esta igualdad por  1 n tenemos: (bn) 1 n=a 1 nb=a 1 n(2) De (1) y de (2) nos queda: b= a n y además b=a 1 n a n=a 1 nQED


Una vez que tenemos este resultado, vamos a demostrar la 2a propiedad, es decir, veamos que  am n=am n  (a1 n )m=(am)1 n =am n (3) (a1 n )m=(am)1 n = am n(4) De (3) y de (4) nos queda:  am n=am n QED


Esto siempre cuando los valores a a, n y m tengan sentido, por ejemplo:  4 n=2;m=1;a=4   No tiene sentido, no puedo calcular con números reales la raíz cuadrada de 4

Recordemos que:
an=a1n y amn=amn Ejemplos:
5=51273=713165=1615=245

Vamos ahora a demostrar el resto de las propiedades de los radicales:

 a n b n= ab n

 a n b n=a 1 nb 1 n=(ab) 1 n= ab n

  a n  b n=  a bn

 a n: b n=  a n  b n= a 1 n b 1 n=( a b) 1 n=  a bn

  a n m= a mn

  a n m=(a 1 n) 1 m=a 1  mn = a mn

 am n= ams ns

 am n=am n =a ms  ns = ans ms

Veamos una consecuencia de estas propiedades: a x n= anx nIntroducirfactoresa x n= anx nsacarfactores Si n es par |a| x n= anx n Si n es impar a x n= anx n


Aquí tenemos las propiedades de los radicales en una tabla con ejemplos:




Propiedad Ejemplo
 ab n= a n b n  8273= 8 3 27 3=(2)(3)=6
  a b n=  a n  b n   16 81 4=  16 4  81 4= 2 3
  a n m= a mn   729 3 = 729 6=3
 an n=a si n es impar  (5)3 3=5; 25 5=2
 an n=|a| si n es par  (3)4 4=|3|=3; (5)6 6=|5|=5
 am n= ams ns  125 6= 53 6=536=512=5
a x n= anx n  73112 3=7 1123 58713 = (54)2713 =54 713 

lunes, 12 de junio de 2023

Teorema de Pitágoras.

Vocabulario:

Triángulo: Polígono de tres lados.

Ángulo recto: Ángulo de 90 grados o  π 2 radianes.

Triángulo rectángulo: Triángulo que tiene un ángulo recto.

Cateto: Cada uno de los lados de un triángulo rectángulo que forma el angulo recto.

Hipotenusa: El lado opuesto al ángulo recto.

El Teorema de Pitágoras dice:

«En todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos.»

Pythagorean Theorem: Six Proofs from Beau Janzen on Vimeo.



Con el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de un lado sabiendo los otros dos:
  • Conocidos los catetos podemos calcular la hipotenusa: h= c12+c22 
  • Conocidos un cateto y la hipotenusa, calcular el otro cateto:
    • Si sabemos los valores de c1 y hc2= h2c12 
    • Si sabemos los valores de c2 y hc1= h2c22 


Ejemplos:
  1. Si sabemos lo que valen los dos catetos podemos calcular fácilmente el valor de la hipotenusa:

    Si c1=7 y c2=24h= c12+c12 = 72+242 = 49+576 = 625 =25
  2. Si sabemos lo que vale la hipotenusa y uno de los catetos podemos calcular fácilmente lo que vale el otro cateto:

    Si h=10 y c1=6c2= h2c12 = 10262 = 10036 = 64 =8
Veamos un applet de GeoGebra:

¿Se cumple sólo el Teorema de Pitágoras para áreas de cuadrados?

lunes, 8 de mayo de 2023

Ejercicios de planteamiento - Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer grado.

Colección de 15 ejercicios de planteamiento resueltos.



Fases para resolver problemas en Matemáticas:

  1. Entender el problema
  2. Leer las veces que haga falta el enunciado, hacer cualquier dibujo o esquema que ayude a su comprensión. Obtener todos los datos, directos e indirectos, que nos da el problema.
  3. Plantear las ecuaciones
  4. Escribir las ecuaciones que se adecúen al problema en cuestión.
  5. Resolver el sistema de ecuaciones
  6. Resolver el sistema.
  7. Comprobar la solución obtenida
  8. Coherencia del resultado y la comprobación de la misma.

Si el número es dos cifras, lo representamos así xy=10x+y. Es decir, x= son las decenas e y = a las unidades.
La suma de las cifras es 10 x+y=10

El número, invirtiendo las cifras es yx=10y+x, hemos cambiado las decenas por las unidades y viceversa:

Luego la 2a ecuación será: 10x+y=10y+x369x9y=36xy=4

Así el sistema quedará:
{x+y=10xy=4






Si el número es dos cifras, lo representamos así xy=10x+y. Es decir, x= son las decenas e y = a las unidades.
La 1a ecuación se obtiene de al saber que la 1a cifra es la tercera parte de la segunda: x= y 3
Si invertimos las cifras del número, es decir yx=10y+x entonces 10y+x=10x+y+549y9x=54yx=6
Así el sistema quedará:
{x=y3yx=6






x= la edad de la 1a persona

y= la edad de la 2a persona

De la razón tenemos que  x y= 2 3

De la diferencia de edades tenemos: y=x+15

Así el sistema quedará:

{ x y= 2 3y=x+15






El número de tres cifras y capicúa es de la forma xyx=100x+10y+x

x= número de las centenas y de las unidades.

y= número de las decenas.

La suma de las cifras es 12 luego 2x+y=12

La suma de las decenas excede en 4 al doble de las centenas luego y=2x+4

Así el sistema quedará:

{2x+y=12y=2x+4






x= litros de 0,94 €/l

y= litros de 0,86 €/l

Sabemos que la mezcla es de 40 litros luego x+y=40 litros

Como la mezcla debe salir a 0,89 €/litro entonces hemos de calcular el importe en € que echamos a la mezcla y lo dividimos por el número de litros de la misma, así sabemos a qué precio sale el litro:  0,94x+0,86y 40=0,89

Así el sistema quedará:

{x+y=40 0,94x+0,86y 40=0,89

Este ejercicio se puede plantear con una sola incógnita, x= litros de aceite de 0,94 €/l y 40x serán los litros de aceite de 0,86€/l:  0,94x+0,86(40x) 40=0,89






x= el 1er número.

y= el 2o número.

De la 1a frase tenemos 2x+ y 2=7

De la 2a frase tenemos 7+x=5y

Así el sistema quedará:

{x+y=40 0,94x+0,86y 40=0,89






x= el nº de olivos.

y= el nº de almendros.

Entre olivos y almendros 250 x+y=250

Si el doble de almendros son 10 menos que el total de olivos 2x=y10

Así el sistema quedará:

{x+y=2502x=y10






x=no de habitaciones simples.

y=no de habitaciones dobles.

El número de habitaciones es 50: x+y=50

Ahora contamos camas, las dobles tienen 2 y las simples una: x+2y=87

Así el sistema quedará:

{x+y=50x+2y=87






x= nº de bombillas que funcionan.

y= nº de bombillas defectuosas, que fallan.

El total de bombillas fabricadas son 2100 x+y=2100

La 2a ecuación es sobre el dinero que gana, por cada bombilla suma 0,6€ y por cada bombilla defectuosa -0,8€; haciendo la cuenta: 0,6x0,8y=966 Así el sistema quedará:

{x+y=21000,6x0,8y=966






x= nº de alumnos de 3o A.

y= nº de alumnos de 3o C.

El número de alumnos de 3o A es el doble de 3o C, luego: x=2y

Al pasar alumnos de una clasea otra tenemos: x8=y+8

Así el sistema quedará:

{x=2yx8=y+8






x= nº de coches.

y= nº de motos.

El total de vehículos es 39 x+y=39

Ahora contamos ruedas, las motos tienen 2 y los coches 4 (visibles), luego: 4x+2y=126

Así el sistema quedará:

{x+y=394x+2y=126






x= nº de discos de 18 €

y=no de discos de 14,4 €

En total 84 discos, luego x+y=84

Ahora contamos dinero, x discos a 18€ más y discos a 14,4 € son 1242€ 18x+14,4y=1242

Así el sistema quedará:

{x+y=8418x+14,4y=1242






x= € que cuesta un tarro de berberechos.

y= € que cuesta un tarro de mejillones.

Todas las latas cuestan 35,7 €, es decir, 17 latas de berberechos por su precio más a 12 latas de mejillones por su precio son 17x+12y=35,7

Sabiendo la relación que hay entre 5 botes de berberechos y los 3 de mejillones tenemos: 5x=3y+4,95 Así el sistema quedará:

{17x+12y=35,75x=3y+4,95








x= los kg que pesa el agua que hay en el cubo.

y= los kg que pesa el cubo.

De la 1a frase tenemos: $ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 Dela\odn{2}{a}frasetenemos: \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 Asíelsistemaquedará:$ \large \color{blue} \cases{ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 \cr \cr \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 } $$








x= € del 1er manuscrito.

y= € del 2o manuscrito.

Por los dos manuscritos paga 2250 € x+y=2250 Sacando un 40% de beneficio por la venta de ambos: 1,42250=3150 €; Del 1o saca un 25% más y del 2o un 50 % más: 1,25x+1,5y=3150125x+150y=315.0005x+6y=12600 Así el sistema quedará:

{x+y=22505x+6y=12600









Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

jueves, 20 de abril de 2023

Inecuaciones o desigualdades. Ejercicios resueltos.

Inecuaciones de 1er grado:


Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas con una o varias incógnitas. Los signos de desigualdad posibles son: <,,> y . Veamos algunos ejemplos:
  • x2>1
  • 3x2
  • x2<10+3x
  • 115x4x7

En las inecuaciones se puede aplicar la regla de la suma: si sumo o resto cualquier número o expresión algebraica a ambos miembros de la desigualdad, se convierte en otra equivalente, con la misma solución.

En las inecuaciones se puede aplicar la regla del producto, pero aquí es donde hemos de tener cuidado:

  • Si multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por un número positivo, obtenemos una desigualdad equivalente.
  • Pero, si multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por un número negativo, está cambia de sentido, es decir: <>><
La solución de una inecuación es una semirrecta, intervalo infinito. Una inecuación puede «NO» tener solución. En algunos casos la solución puede ser todos los números reales. Dejamos un enlace a la entrada de intervalos.

Veamos algunos ejemplos:
  • Regla de la suma: 3x+5>2x103x+52x>2x102xx+5>10
  • Regla de la suma: x+5>10x+55>105x>15
  • Regla del producto (c>0,c): 15x<30x< 30 15x<2
  • Regla del producto (d<0,d0): 7x>49x< 49 7x<7


¿Cómo se resuelven las inecuaciones? Exactamente igual que las ecuaciones:
  • Quitar denominadores si los tiene.
  • Si tiene paréntesis, aplicar la propiedad distributiva.
  • Agrupar términos en cada miembro de la desigualdad.
  • Transponer términos, es decir, dejar las «x» a un lado y los números al otro.
  • Despejar la x.
Veamos un ejemplo:

 x 3 2x+1 8 810x 45>0
Quitamos los denominadores multiplicando por el mcm(3, 8, 45) = 360

360( x 3 2x+1 8 810x 45)>0360 x 3360 2x+1 8360 810x 45>0 120x45(2x+1)8(810x)>0
Quitamos paréntesis, agrupamos y despejamos la x:
120x90x4564+80x>0110x109>0110x>109x>109110
x(109110,+)={xR | x>109110}   







Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3) = 6:

6( x1 2 x4 3)<613(x1)2(x4)<6 2o quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva y resolvemos:
3x32x+8<6x+5<6x<1 x(,1)={xR |x<1}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 6) = 6:

6( x 3+ x 2)>6(5 x 6)2x+3x>65x 2o resolvemos:
5x>30x6x>30x> 30 6x>5 x(5,+)={xR |x>5}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 7) = 14:

14( x 2+ x+1 7x+2)<07x+2(x+1)14x+28<0 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
7x+2x+214x+28<05x+30<05x<305x>30x> 30 5x>6 x(6,+)={xR |x>6}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 12) = 12:

12( 2x4 3+ 3x+1 3)<12( 2x5 12)4(2x4)+4(3x+1)<2x5 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
8x16+12x+4<2x520x12<2x518x<7x<7 18  x(,7 18 )={xR |x<7 18 }






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 4, 12) = 12:

12(4x 32x 4)<12( 3x1 3+ 37 12)48x3(32x)<4(3x1)+37 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
48x9+6x<12x4+3754x9<12x+3342x<42x<42 42 x<1 x(,1)={xR |x<1}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 7) = 14:

14( x 2+ x+1 7)>14(x2)7x+2(x+1)>14(x2) 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
7x+2x+2>14x289x+2>14x285x>305x<30x< 30 5x<6 x(,6)={xR |x<6}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4) = 4:

4( 2x+3 4)>4( x+1 2+3)2x+3>2(x+1)+12 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
2x+3>2x+2+122x+3>2x+140>11 ✗  Esta inecuación nunca se cumple, luego la inecuación original no tiene solución.






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 4) = 12:

12( 5x2 3 x8 4)>12( x+14 22)4(5x2)3(x8)>6(x+14)24 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
20x83x+24>6x+842417x+16>6x+6011x>44x> 44 11x>4 x(4,+)={xR |x>4}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 4) = 12:

12( x2 3 12x 2)>12( 5x36 41)4(x2)6(12x)>3(5x36)12 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
4x872+6x>15x1081210x80>15x1205x>405x<40x< 40 5x<8 x(,8)={xR |x<8}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 5, 15) = 15:

15( x+4 3 x4 5)>15(2+ 3x1 15)5(x+4)3(x4)>30+3x1 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
5x+203x+12>29+3x2x+32>29+3x3>xx<3 x(,3)={xR |x<3}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(12, 18, 24) = 72:

72(x 18  2x+1 12)72( 24x 24)4x6(2x+1)3(24x) 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
4x12x6612x8x6612x4x12x 12 4x3 x[3,+)={xR |x3}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4, 5) = 20:

20( 3x3 5 4x+8 2)<20( x 43x)4(3x3)10(4x+8)<5x60x 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
12x1240x80<55x28x92<55x27x<92x< 92 27 x(, 92 27)={xR |x< 92 27}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 5, 15) = 15:

15(1 3x7 5)>15( 5x+4 15 x1 3)153(3x7)>5x+45(x1) 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
159x+21>5x+45x+5369x>99x>279x<27x< 27 9x<3 x(,3)={xR |x<3}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4) = 4:

4( x1 2x)<4( 1x 43)2(x1)4x<1x12 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
2x24x<1x1222x<x119<xx>9 x(9,+)={xR |x>9}






Lo 1o quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 6) = 2:

6(x+ 22x 6)<6(2 2+x 2)6x+22x<123(2+x) 2o quitamos paréntesis y resolvemos:
5x+22<1263x5x+22<63x8x<16x< 16 8x<2 x(,2)={xR |x<2}





Inecuaciones de 2o grado o superior:


Pueden ser de la siguiente forma:

ax2+bx+c>0ax2+bx+c0ax2+bx+c<0ax2+bx+c0   Ejemplo x(x+3)2x>4+4x

RESOLUCIóN:
  1. Expresar de la forma P(x)>0,P(x)0,P(x)<0,P(x)0

  2. x2+3x2x4x4=x23x4
  3. Factorizar P(x), calcular las raices de P(x).

  4. x23x4=x2+x4x4=x(x1)4(x+1)=(x+1)(x4)Las raíces son -1 y 4.
  5. Dividir la recta en intervalos para estudiar el signo de los factores en los intervalos.

  6. (x+1)(x4)>0 Si x<1x+1<0 y si x<4x4<0

  7. Resolver P(x)><0

  8. Ahora resolvemos (x+1)(x4)>0

    { si x<1(x+1)(x4)>0 si x>1 y x<4(x+1)(x4)<0 si x>4(x+1)(x4)>0 Luego la solución es: (,1)(4,+)



Si a inecuación es de de 2o grado, también se puede estudiar graficamente la funcion cuadratica, el signo del coeficiente de x2 para averiguar las soluciones de P(X)><0.



Inecuaciones con fracciones algebraicas:


Son de la forma:  P(x) Q(x)<0 P(x) Q(x)0 P(x) Q(x)>0 P(x) Q(x)0   Ejemplo:  x+3 x2<2

RESOLUCIÓN:
¡¡¡ Muy importante !!!! No podemos pasar el x2 del denominador multiplicando ya que x2 puede ser positivo (x>2), pero también puede ser negativo (x<2) en este caso habría que cambiar el signo de la desigualdad. Por eso es mejor pasar el 2 en este caso o la expresión algebraica que hubiera al otro lado de la desigualdad.

  1. Expresar de la forma  P(x) Q(x)><0

  2.  x+3 x22<0 x+3 x2 2(x2) x2<0 x+32x+4 x2<0 7x x2<0
  3. Factorizar P(x) y Q(x). Calcular las raices de P(x) y Q(x)

  4. En este caso ya están factorizados.

  5. Dividir la recta en intervalos. Estudiar el signo de los factores en los intervalos.

  6. Si x<77x>0 y si x<2x2<0

  7. Resolver P(x)><0

  8. { si x<2 7x x2<0 si x>2 y x<7 7x x2>0 si x>7 7x x2<0 Luego la solución es: (,2)(7,+)






En el lado derecho de la desigualdad ya tenemos un cero. Y para saber si la fracción algebraica es negativa, como el numerador es positivo, basta con ver que el denominador es negativo, es decir, x+3<0. Esta desigualdad es muy sencilla:

x+3<0x<3  Luego la solución es: (,3)






En el lado derecho de la desigualdad no tenemos un cero, lo que tenemos que hacer es pasar el cero al otro lado.

¡¡¡ Muy importante !!! No podemos pasar el denominador mutiplicando, ya que x3 no tiene el signo constante, puede ser negativo y tendríamos que cambiar el signo de la desigualdad.

Pasamos el 4 restando y nos queda:

 5x8 x34 5x8 x340 5x8 x3 4(x3) x30 5x84x+12 x30 x+4 x30 La fracción algeraica será negativa cuando numerador y denominador tengan distinto signo. El valor de x que marca el signo del numerador es -4;y el valor que marca el signo del denominador es 3. Tenemos que tener cuidado ya que la x no puede tomar el valor 3, porque anula el denominador y no podemos calcular su valor. Tenemos que calcular el valor de la fracción en los trozos de recta en que -4 y 3 dividen a la recta numérica:

{ si x<4 x+4 x3>0 si x=4 0 x30 si 4<x<3 (está entre -4 y 3)  x+4 x3>0 si x>3 x+4 x3<0
 Luego la solución es: [4,3)





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lunes, 3 de abril de 2023

Alfabeto griego

El alfabeto griego se usa de forma habitual en el mundo de la ciencia y las Matemáticas no son una excepción. Aquí tenemos el alfabeto griego con sus letra mayúsculas, minúsculas y su nombre en español.


Letra mayúscula Letra minúscula Nombre en español
A α alfa
B β beta
Γ γ gamma
Δ δ delta
E ϵ,ε épsilon
Z ζ dseta
H η eta
Θ θ,ϑ zeta
I ι iota
K κ kappa/cappa
Λ λ lambda
M μ mi
N ν ni/nu/ny*
Ξ ξ xi
O o ómicron
Π π pi
P ρ,ϱ ro
Σ σ sigma
T τ tau
Υ υ ípsilon
Φ ϕ,φ fi
X χ ji
Ψ ψ psi
Ω ω omega

ny* para leer la N.



Alfabeto NATO-OTAN

Letra y sonido Palabra Letra y sonido Palabra
A [eI] Alfa N [єn] November
B [bi:] Bravo O [әʊ] Oscar
C [si:] Charlie P [pi:] Pappa
D [di:] Delta Q [kju:] Quebeq
E [i:] Echo R [ɒ:] Romeo
F [єf] Foxtrot S [єs] Sierra
G [ʤi:] Golf T [ti:] Tango
H [eIt∫] Hotel U [ju:] Uniform
G [ʤi:] Golf T [ti:] Tango
H [eIt∫] Hotel U [ju:] Uniform
I [aI] India V [vi:] Victor
J [ʤeI] Juliet W [‘dʌbәl,ju:] Whisky
K [keI] Kilo X [єks] X_ray
L [єl] Lima Y [waI] Yankee
M [єm] Mike Z [zєd/zi:] Zulu
H [eIt∫] Hotel U [ju:] Uniform

domingo, 26 de marzo de 2023

Teorema del Factor y del Resto. Factorización de polinomios.

Colección de 10 ejercicios del Teorema del factor y del resto.

Lo primero de todo vamos a repasar los términos que usaremos en esta entrada:
  • Resto: es el número o expresión algebraica que sobra después de realizar una división no exacta. Por ejemplo, si dividimos 11 entre 3 obtenemos de resto 2.
  • Factor: es un número o expresión algebraica que divide completamente a otro número o expresión algebraica sin dar resto. Por ejemplo, 5 es factor de 35 ya que si dividimos 35 entre 5 el resto es cero.

Esta es una entrada de polinomios, luego factor y resto se puede aplicar con número o polinomio.

RAÍZ DE UN POLINOMIO
Se dice que a es una raíz del polinomio p(x) si se cumple que p(a)=0, es decir, al evaluar el polinomio en x=a nos da 0.
Ejemplo: Comprueba si 2 y 5 son raíces del polinomio p(x)=x26x+8 p(2)=2262+8=412+8=02 Es raíz del polinomio p(5)=5265+8=2530+8=35 No es raíz del polinomio  2 es raíz del polinomio y 5 no es raíz del polinomio  División de polinomios:
Para dividir dos polinomios se tiene que cumplir que el grado del polinomio dividendo sea mayor o igual que el grado del polinomio divisor y dividiremos hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

La división puede ser en «galera» o en caja:


Podemos usar la regla de Ruffini, siempre que el polinomio divisor sea de 1er grado y de la forma xa o x+a. Recordemos que para saber el valor que tenemos que poner en el divisor resolveremos la ecuación que sale de igualar el cociente a cero. Veamos un par de ejemplo:

  Si el divisor es x2, resolveremos la ecuación x2=0. La resolvemos x=2, entonces 2 es el valor que hay que poner en el divisor.
  Si el divisor es x+4, resolveremos la ecuación x+4=0. La resolvemos x=4, entonces -4 es el valor que hay que poner en el divisor.



TEOREMA DEL RESTO
Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio entre el binomio xa es igual al valor numérico del polinomio para x=a.
Si dividimos el polinomio q(x)=3x35x28 entre x2, y lo hacemos por Ruffini el resto es -4.
35082624312|4 Si hallamos el valor numérico del polinomio q(x)=3x35x28 tomando como valor de x=2, obtenemos q(2)=4.
q(2)=3(2)35(2)28=24208=4 El resto de la división de q(x) entre x2 es el valor numérico de q(x) en x=2: q(x)=(x2)(3x2+x+2)+(4) TEOREMA DEL FACTOR
Teorema del factor: Un polinomio p(x) tiene como factor el término xa si el valor numérico del polinomio p(x) para x=a es 0.

Si dividimos el polinomio p(x)=3x35x24 entre x2, haciéndolo por Ruffini vemos que el resto es 0.
Utilizando la comprobación de la división tenemos que: d(x)=c(x)d(x)+r(x) al ser el resto r(x)=0 tenemos que p(x)=c(x)d(x) por lo tanto:
3x35x24=(3x2+x+2)(x2), y por lo tanto x2 es un factor de p(x).


Podemos concluir que el Teorema de factor es el Teorema del resto cuando el resto es cero.




Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

1a forma: evaluando el polinomio p(x) en -2 y que nos de -3 p(2)=3

(2)44(2)2+3(2)+m=316166+m=36+m=3m=3

2a forma: aplicando Ruffini:


El resto sabemos que tiene que ser -3, de la última columna tenemos que 6+m=3m=3.








a) t(x)=x44x3125¿t(5)? Aplicamos Ruffini y tenemos:

Tenemos que t(5)=0


b) u(x)=x33x2+3x1¿u(1)? Aplicamos Ruffini y tenemos:


Tenemos que u(1)=8







Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

1a forma: evaluando el polinomio p(x) en 3 y que nos de 0 p(3)=0

4(3)263+a=03618+a=018+a=0a=18

2a forma: aplicando Ruffini:


De la última columna tenemos que 18+a=0a=18








Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

1a forma: evaluando el polinomio q(x) en 6 y que nos de 0q(6)=0

63662+26n1=06363+12n1=012n=1n=112

2a forma: aplicando Ruffini:


De la última columna tenemos que 1+12n=012n=1n=112






Como nos indica «sin hacer la división» usaremos el Teorema del Resto y comprobaremos si en dichos polinomios al evaluar x=2 nos da cero.

a(2)=22+32+5=4+6+5=150, luego no es raíz de a(x). b(2)=2242+4=48+4=0, luego sí es raíz de b(x). c(2)=2320=820=12, luego no es raíz de c(x).






a) 

Comprobación: (x2+x3)(3x5)=3x35x2+3x25x9x+15=3x32x214x+15
Este apartado también se puede hacer por Ruffini, el número que tenemos que poner es x=53 que es cuando se anula 3x5=0:

Comprobación: (3x2+3x9)(x53)=3x35x2+3x25x9x+15=3x32x214x+15
b) 

Comprobación: (x35x+2)(x23x+1)+11x=x53x4+x35x3+15x25x+2x26x+2+11x= =x53x44x3+17x2+2




Factorización de polinomios:

¿Qué es factorizar un polinomio? Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de polinomios «irreducibles». Los polinomios irreducibles son los polinomios de grado cero (números), los de 1er grado y los de 2o grado que no tienen raíces reales.

Ejemplos:
  • 3x4+3x3+6x12=3(x1)(x+2)(x2+2)
  • x4+4x2x+6=(x2+x+3)(x2x+2)
  • 2x6+5x58x417x36x2=(2x+1)(x2)(x+3)(x+1)x2
Los polinomios de grado uno nos dicen la raíz numérica de los polinomios.


Para factorizr polinomios usaremos:
  • sacar factor común:

    P(x)=x4+3x3=x3(x+3)

    Q(x)=2x44x3=2x3(x2)

  • identidades notables:

    P(x)=x210x+25=(x5)2

    Q(x)=x216=(x+4)(x4)

  • Ruffini: P(x)=x33x213x+15
    P(x)=x33x213x+15=(x1)(x+3)(x5)
  • O las tres técnicas anteriores: Factoriza el polinomio R(x)=x6+5x5+3x49x3

    Sacando factor común: R(x)=x3(x3+5x2+3x9)

    Vemos fácilmente que 1 es raíz, usando Ruffini:

    R(x)=x3(x1)(x2+6x+9) Usando identidades notables vemos que x2+6x+9=(x+3)2

    R(x)=x3(x1)(x2+6x+9)=x3(x1)(x+3)2





En construcción.








Vemos que la suma de los coeficientes da cero luego 1 es raíz. Aplicamos Ruffini:


B(x)=x4+2x23=(x1)(x3+x2+3x+3) donde vemos claramente que -1 es raíz. Aplicamos de nuevo Ruffini:
B(x)=x4+2x23=(x1)(x+1)(x2+3) y vemos que el término (x^2 + 3) no se anula nunca ya que siempre es mayor estricto que cero: 0x2s+03s>0






Vemos dos cosas: la 1ª que la suma de los coeficientes es cero, luego 1 es raíz y podemos además sacar 2 factor común:

C(x)=2x3+8x22x8=2(x3+4x2x4) Aplicamos Ruffini y tenemos que:
C(x)=2x3+8x22x8=2(x1)(x2+5x+4)

Ahora vemos que las raíces solamente pueden ser negativas, si fueran positivas nunca sería cero y vemos fácilmente que -1 es raíz, volvemos a aplicar Ruffini:
C(x)=2x3+8x22x8=2(x1)(x+1)(x+4) Las raíces son 1, -1 y -4 respectivamente.






En construcción.







Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com