Números primos y compuestos.

El uno es la unidad (NO ES PRIMO).

De número primo hay varias definiciones:

• Un número es primo si sólo es divisible por el mismo y por la unidad.
  
  
• Un número es primo es aquel que sólo tiene dos divisores, el propio número y la unidad.
  
  

El número que no es primo ni es la unidad es compuesto.

Ejemplos:

• 2 es primo, sólo es divisible por 1 y por 2. (Tiene sólo dos divisores)
  Además 2 es el único número primo que es par.
  
  
• 4 NO es primo, es divisible por 1, por 2 y por 4. (Tiene tres divisores)
  Luego 4 es compuesto.
  
  
• 5 es primo, sólo es divisible por 1 y por 5. (Tiene sólo dos divisores)
  
  
• 6 NO es primo, es divisible por 1, por 2, por 3 y por 6. (Tiene cuatro divisores)
  
  
• Podemos seguir de 1 en 1 ... estaríamos haciendo la «criba de Erastóstenes».
  
  

Potencias de base un número real y exponente fraccionario.

$$ \huge \textcolor{blue}{ \fcolorbox{red}{white}{ $\text{ Exponente fraccionario } \qquad \huge \sqrt[n]{\ a\ } = a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \qquad \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } $ } } $$ Para empezar a trabajar con potencias de exponente fraccionario vamos a demostrar las dos propiedades que tenemos en el recuadro anterior. Vamos con la $1^{\underline{a}}$ propiedad: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } = a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } }$$ Por definición de raíz n-ésima $( n \neq 1)$ tenemos que: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } = b \Leftrightarrow b^n = a } \qquad \normalsize{ (1) } $$ Si multiplicamos los exponentes en esta igualdad por $\dfrac{\ 1\ }{n}$ tenemos: $$ \huge{ (b^n)^{\frac{\ 1\ }{n}} = a^{\frac{\ 1\ }{n}} \Rightarrow b = a^{\frac{\ 1\ }{n}} } \qquad \normalsize{ (2) } $$ De $(1)$ y de $(2)$ nos queda: $$ \huge{ b = \sqrt[n]{\ a\ } \text{ y además } b = a^{\frac{\ 1\ }{n}} \Rightarrow \sqrt[n]{\ a\ } = a^{\frac{\ 1\ }{n}} } \qquad \normalsize{ QED } $$


Una vez que tenemos este resultado, vamos a demostrar la $2^{\underline{a}}$ propiedad, es decir, veamos que $ \Large{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } }$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } \qquad \normalsize{ (3) } $$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = \sqrt[n]{\ a^m\ } } \qquad \normalsize{ (4) } $$ De $(3)$ y de $(4)$ nos queda: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } \qquad \normalsize{ QED } $$


Esto siempre cuando los valores a $a$, $n$ y $m$ tengan sentido, por ejemplo: $$ \sqrt{\ -4\ } \qquad n = 2; m = 1; a = -4 \ \ \text{ No tiene sentido, no puedo calcular con números reales la raíz cuadrada de } -4 $$

Recordemos que:
$$ \Large{ \sqrt[\color{red}{n}]{a} = a^{ \dfrac{1}{\color{red}{n}} } \qquad \text{ y } \qquad \sqrt[\color{red}{n}]{a^m} = a^{ \dfrac{m}{ \color{red}{n} } } } $$ Ejemplos:
$$ \sqrt{5} = 5^{\dfrac{1}{2} } \qquad \sqrt[3]{7} = 7^{\dfrac{1}{3} } \qquad \sqrt[5]{16} = 16^{\dfrac{1}{5} } = 2^{\dfrac{4}{5} } $$

Vamos ahora a demostrar el resto de las propiedades de los radicales:

$\blacksquare \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $

$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = a^{\frac{\ 1 \ }{n} } \cdot b^{\frac{\ 1 \ }{n} } = \left (a \cdot b\right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $$

$\blacksquare \huge{ \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a \ }{ b } } } $

$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } : \sqrt[n]{\ b\ } = \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \dfrac{\ a^{\frac{\ 1 \ }{n} }\ }{ b^{\frac{\ 1 \ }{n} } } = \left (\dfrac{\ a\ }{ b} \right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a\ }{ b } } } $$

$\blacksquare \huge{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $

$$ \Large{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \left ( a^{ \frac{\ 1 \ }{n} } \right )^{\frac{\ 1 \ }{m}} = a^{ \frac{\ 1 \ }{\ m \cdot n\ } } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $$

$\blacksquare \huge{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = \sqrt[n \cdot s]{\ a^{m \cdot s}\ } } $

$$ \Large{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } = a^{ \frac{\ m \cdot s\ }{\ n \cdot s\ } } = \sqrt[m \cdot s]{\ a^{n \cdot s}\ } } $$

Veamos una consecuencia de estas propiedades: $$ \Large{ \begin{array}{ccc} a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } & \qquad & \begin{array}{c} \xrightarrow{Introducir factores} \cr a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } \cr \xleftarrow{sacar factores} \cr \end{array} \end{array} } $$ Si $n$ es par $ \Large{ |a| \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } } $ Si $n$ es impar $ \Large{ a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } } $


Aquí tenemos las propiedades de los radicales en una tabla con ejemplos:

Propiedad	Ejemplo
$ \sqrt[n]{\ a b\ } = \sqrt[n]{\ a\ } \sqrt[n]{\ b\ }$	$ \sqrt[3]{\ -8 \cdot 27} = \sqrt[3]{\ -8\ } \sqrt[3]{\ 27\ } = (-2)(3) = -6 $
$ \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a\ }{b}\ } = \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ }\ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } $	$ \sqrt[4]{\ \dfrac{\ 16\ }{81}\ } = \dfrac{\ \sqrt[4]{\ 16\ }\ }{\sqrt[4]{\ 81\ } } = \dfrac{\ 2\ }{3} $
$ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ }\ } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ }$	$ \sqrt{\ \sqrt[3]{\ 729\ }\ } = \sqrt[6]{\ 729\ } = 3 $
$ \sqrt[n]{\ a^n\ } = a \quad $ si $n$ es impar	$ \sqrt[3]{\ (-5)^3\ } = -5; \quad \sqrt[5]{\ 2^5\ } = 2 $
$ \sqrt[n]{\ a^n\ } = | a |$ si $n$ es par	$ \sqrt[4]{\ (-3)^4\ } = |-3| = 3; \quad \sqrt[6]{\ (5)^6\ } = | 5 | = 5$
$ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = \sqrt[n \cdot s]{\ a^{m \cdot s}\ } $	$ \sqrt[6]{\ 125\ } = \sqrt[6]{\ 5^3\ } = 5^{ \frac{3}{6} } = 5^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{5} $
$ a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } $	$ \begin{array}{l} \sqrt[3]{\ 7^3 \cdot 11^2\ } = 7 \cdot \sqrt[3]{\ 11^2} \cr \cr \sqrt{\ 5^8 \cdot 7 \cdot 13\ } = \sqrt{\ (5^4)^2 \cdot 7 \cdot 13\ } = 5^4 \cdot \sqrt{\ 7 \cdot 13\ } \end{array}$

Teorema de Pitágoras.

Vocabulario:

Triángulo: Polígono de tres lados.

Ángulo recto: Ángulo de $90^{\circ}$ grados o $\dfrac{\ \pi\ }{2}$ radianes.

Triángulo rectángulo: Triángulo que tiene un ángulo recto.

Cateto: Cada uno de los lados de un triángulo rectángulo que forma el angulo recto.

Hipotenusa: El lado opuesto al ángulo recto.

El Teorema de Pitágoras dice:

«En todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos.»

Pythagorean Theorem: Six Proofs from Beau Janzen on Vimeo.

Con el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de un lado sabiendo los otros dos:

• Conocidos los catetos podemos calcular la hipotenusa: $ h = \sqrt{\ c_1^2 + c_2^2\ } $
• Conocidos un cateto y la hipotenusa, calcular el otro cateto:
  • Si sabemos los valores de $c_1$ y $h \Rightarrow c_2 = \sqrt{\ h^2 - c_1^2 \ }$
  • Si sabemos los valores de $c_2$ y $h \Rightarrow c_1 = \sqrt{\ h^2 - c_2^2 \ }$

Ejemplos:

1. Si sabemos lo que valen los dos catetos podemos calcular fácilmente el valor de la hipotenusa:
   
   Si $c_1 = 7$ y $c_2 = 24 \Rightarrow h = \sqrt{\ c_1^2 + c_1^2 \ } = \sqrt{\ 72 + 242 \ } = \sqrt{\ 49 + 576 \ } = \sqrt{\ 625 \ } = 25$
2. Si sabemos lo que vale la hipotenusa y uno de los catetos podemos calcular fácilmente lo que vale el otro cateto:
   
   Si $h = 10$ y $c_1 = 6 \Rightarrow c_2 = \sqrt{\ h^2 - c_1^2 \ } = \sqrt{\ 10^2 - 6^2 \ } = \sqrt{\ 100 - 36 \ } = \sqrt{\ 64 \ } = 8 $

Veamos un applet de GeoGebra:

¿Se cumple sólo el Teorema de Pitágoras para áreas de cuadrados?

Juegos.

Girando cuadrados:

Tangram:

Ejercicios de planteamiento - Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer grado.

Fases para resolver problemas en Matemáticas:

1. Entender el problema
Leer las veces que haga falta el enunciado, hacer cualquier dibujo o esquema que ayude a su comprensión. Obtener todos los datos, directos e indirectos, que nos da el problema.
2. Plantear las ecuaciones
Escribir las ecuaciones que se adecúen al problema en cuestión.
3. Resolver el sistema de ecuaciones
Resolver el sistema.
4. Comprobar la solución obtenida
Coherencia del resultado y la comprobación de la misma.

Si el número es dos cifras, lo representamos así $xy = 10x + y$. Es decir, $x=$ son las decenas e $y$ = a las unidades.
La suma de las cifras es 10 $ \Rightarrow x + y = 10$

El número, invirtiendo las cifras es $yx = 10y + x$, hemos cambiado las decenas por las unidades y viceversa:

Luego la $\odn{2}{a}$ ecuación será: $10x + y = 10y + x - 36 \Rightarrow 9x - 9y = - 36 \Rightarrow x - y = - 4$

Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 10 \cr \cr x - y = -4 } $$

Si el número es dos cifras, lo representamos así $xy = 10x + y$. Es decir, $x=$ son las decenas e $y$ = a las unidades.
La $\odn{1}{a}$ ecuación se obtiene de al saber que la $\odn{1}{a}$ cifra es la tercera parte de la segunda: $x = \dfrac{\ y\ }{3}$
Si invertimos las cifras del número, es decir $ yx = 10y + x$ entonces $ 10y + x = 10x + y + 54 \Rightarrow 9y - 9x = 54 \Rightarrow y - x = 6 $
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x = \dfrac{y}{3} \cr \cr y - x = 6 } $$

$x = $ la edad de la $\odn{1}{a}$ persona

$y = $ la edad de la $\odn{2}{a}$ persona

De la razón tenemos que $ \dfrac{\ x\ }{y} = \dfrac{\ 2\ }{3} $

De la diferencia de edades tenemos: $ y = x + 15 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ \dfrac{\ x\ }{y} = \dfrac{\ 2\ }{3} \cr \cr y = x + 15 } $$

El número de tres cifras y capicúa es de la forma $xyx = 100x + 10y + x$

$x = $ número de las centenas y de las unidades.

$y = $ número de las decenas.

La suma de las cifras es 12 luego $2x + y = 12$

La suma de las decenas excede en 4 al doble de las centenas luego $y = 2x + 4$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ 2x + y = 12 \cr \cr y = 2x + 4 } $$

$x = $ litros de 0,94 €/l

$y = $ litros de 0,86 €/l

Sabemos que la mezcla es de 40 litros luego $x + y = 40$ litros

Como la mezcla debe salir a 0,89 €/litro entonces hemos de calcular el importe en € que echamos a la mezcla y lo dividimos por el número de litros de la misma, así sabemos a qué precio sale el litro: $ \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 40 \cr \cr \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 \cr } $$

Este ejercicio se puede plantear con una sola incógnita, $x =$ litros de aceite de 0,94 €/l y $40 - x$ serán los litros de aceite de 0,86€/l: $$ \dfrac{\ 0,94x + 0,86 \cdot (40 - x)\ }{ 40 } = 0,89 $$

$x = $ el $\odn{1}{er}$ número.

$y = $ el $\odn{2}{o}$ número.

De la $\odn{1}{a}$ frase tenemos $ 2x + \dfrac{\ y\ }{2} = 7 $

De la $\odn{2}{a}$ frase tenemos $ 7 + x = 5y$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 40 \cr \cr \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 \cr } $$

$x = $ el nº de olivos.

$y = $ el nº de almendros.

Entre olivos y almendros 250 $ \Rightarrow x + y = 250 $

Si el doble de almendros son 10 menos que el total de olivos $ \Rightarrow 2x = y - 10 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 250 \cr \cr 2x = y - 10 } $$

$x = \odn{n}{o}$ de habitaciones simples.

$y = \odn{n}{o}$ de habitaciones dobles.

El número de habitaciones es 50: $ \Rightarrow x + y = 50 $

Ahora contamos camas, las dobles tienen 2 y las simples una: $ \Rightarrow x + 2y = 87 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 50 \cr \cr x + 2y = 87 } $$

$x = $ nº de bombillas que funcionan.

$y = $ nº de bombillas defectuosas, que fallan.

El total de bombillas fabricadas son 2100 $ \Rightarrow x + y = 2100 $

La $\odn{2}{a}$ ecuación es sobre el dinero que gana, por cada bombilla suma 0,6€ y por cada bombilla defectuosa -0,8€; haciendo la cuenta: $ 0,6x - 0,8y = 966$ Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 2100 \cr \cr 0,6x - 0,8y = 966 } $$

$x = $ nº de alumnos de $\odn{3}{o}\ A$.

$y = $ nº de alumnos de $\odn{3}{o}\ C$.

El número de alumnos de $\odn{3}{o}\ A$ es el doble de $\odn{3}{o}\ C$, luego: $ x = 2y$

Al pasar alumnos de una clasea otra tenemos: $x - 8 = y + 8$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x = 2y \cr \cr x - 8 = y + 8 } $$

$x = $ nº de coches.

$y = $ nº de motos.

El total de vehículos es 39 $ \Rightarrow x + y = 39$

Ahora contamos ruedas, las motos tienen 2 y los coches 4 (visibles), luego: $4x + 2y = 126$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 39 \cr \cr 4x + 2y = 126 } $$

$ x =$ nº de discos de 18 €

$ y = \odn{n}{o}$ de discos de 14,4 €

En total 84 discos, luego $x + y = 84$

Ahora contamos dinero, $x$ discos a 18€ más $y$ discos a 14,4 € son 1242€ $ 18x + 14,4y = 1242 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 84 \cr \cr 18x + 14,4y = 1242 } $$

$ x =$ € que cuesta un tarro de berberechos.

$ y =$ € que cuesta un tarro de mejillones.

Todas las latas cuestan 35,7 €, es decir, 17 latas de berberechos por su precio más a 12 latas de mejillones por su precio son $17x + 12y = 35,7$ €

Sabiendo la relación que hay entre 5 botes de berberechos y los 3 de mejillones tenemos: $ 5x = 3y + 4,95 $ Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ 17x + 12y = 35,7 \cr \cr 5x = 3y + 4,95 } $$

$x =$ los $kg$ que pesa el agua que hay en el cubo.

$y =$ los $kg$ que pesa el cubo.

De la $\odn{1}{a}$ frase tenemos: $ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 $

De la $\odn{2}{a}$ frase tenemos: $ \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 \cr \cr \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 } $$

$ x = $ € del $\odn{1}{er}$ manuscrito.

$ y = $ € del $\odn{2}{o}$ manuscrito.

Por los dos manuscritos paga 2250 € $ \Rightarrow x + y = 2250$ Sacando un 40% de beneficio por la venta de ambos: $1,4 \cdot 2250 = 3150 $ €; Del $\odn{1}{o}$ saca un 25% más y del $\odn{2}{o}$ un 50 % más: $ \Rightarrow 1,25x + 1,5y = 3150 \Rightarrow 125x + 150y = 315.000 \Rightarrow 5x + 6y = 12600 $ Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 2250 \cr \cr 5x + 6y = 12600 } $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Evolución «histórica» de la tabla periódica.

Inecuaciones. Ejercicios resueltos.

Inecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado:

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas con una o varias incógnitas. Los signos de desigualdad posibles son: $<, \leq, >$ y $\geq$. Veamos algunos ejemplos:

• $x - 2 > 1$
• $3 - x \geq 2$
• $x - 2 < 10 + 3x $
• $11 - 5x \leq 4x - 7$

En las inecuaciones se puede aplicar la regla de la suma: si sumo o resto cualquier número o expresión algebraica a ambos miembros de la desigualdad, se convierte en otra equivalente, con la misma solución.

En las inecuaciones se puede aplicar la regla del producto, pero aquí es donde hemos de tener cuidado:

• Si multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por un número positivo, obtenemos una desigualdad equivalente.
• Pero, si multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por un número negativo, está cambia de sentido, es decir: $$ \begin{array}{ccc} \fbox{$<$} \Longleftrightarrow \fbox{$>$} & & \fbox{$\leq$} \Longleftrightarrow \fbox{$\geq$} \cr \cr \fbox{$>$} \Longleftrightarrow \fbox{$<$} & & \fbox{$\geq$} \Longleftrightarrow \fbox{$\leq$} \end{array}$$

La solución de una inecuación es una semirrecta, intervalo infinito. Una inecuación puede «NO» tener solución. En algunos casos la solución puede ser todos los números reales. Dejamos un enlace a la entrada de intervalos.

Veamos algunos ejemplos:

• Regla de la suma: $3x + 5 > 2x - 10 \Rightarrow 3x + 5 - 2x > 2x - 10 - 2x \Rightarrow x + 5 > - 10$
  
• Regla de la suma: $x + 5 > - 10 \Rightarrow x + 5 - 5 > - 10 - 5 \Rightarrow x > - 15$
• Regla del producto ($c > 0, c \geq $): $15 \cdot x < 30 \Rightarrow x < \dfrac{\ 30\ }{15} \Rightarrow x < 2 $
• Regla del producto ($d < 0, d \leq 0 $): $-7x > 49 \Rightarrow x < \dfrac{\ 49\ }{-7} \Rightarrow x < - 7$

¿Cómo se resuelven las inecuaciones? Exactamente igual que las ecuaciones:

• Quitar denominadores si los tiene.
• Si tiene paréntesis, aplicar la propiedad distributiva.
• Agrupar términos en cada miembro de la desigualdad.
• Transponer términos, es decir, dejar las «$x$» a un lado y los números al otro.
• Despejar la $x$.

Veamos un ejemplo:

$$ \dfrac{\ x\ }{3} - \dfrac{\ 2x + 1\ }{8} - \dfrac{\ 8 - 10x\ }{45} > 0 $$
Quitamos los denominadores multiplicando por el mcm(3, 8, 45) = 360

$$ 360 \left ( \dfrac{\ x\ }{3} - \dfrac{\ 2x + 1\ }{8} - \dfrac{\ 8 - 10x\ }{45} \right ) > 0 \Rightarrow 360 \cdot \dfrac{\ x\ }{3} - 360 \cdot \dfrac{\ 2x + 1\ }{8} - 360 \cdot \dfrac{\ 8 - 10x\ }{45} > 0 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 120x - 45(2x + 1) - 8 (8 - 10x ) > 0 $$
Quitamos paréntesis, agrupamos y despejamos la $x$:
$$ 120x - 90x - 45 - 64 + 80x > 0 \Rightarrow 110x - 109 > 0 \Rightarrow 110 x > 109 \Rightarrow x > \dfrac{109}{110} $$

$ x \in \left ( \dfrac{109}{110}, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \bigg | \ x > \dfrac{109}{110} \right \} $   

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3) = 6:

$$ 6 \cdot \left ( \dfrac{\ x - 1\ }{2} - \dfrac{\ x - 4\ }{3} \right ) < 6 \cdot 1 \Rightarrow 3 \cdot (x - 1) - 2 (x - 4) < 6 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva y resolvemos:
$$ \Rightarrow 3x - 3 - 2x + 8 < 6 \Rightarrow x + 5 < 6 \Rightarrow x < 1 $$ $ x \in \left ( -\infty, 1 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 1 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 6) = 6:

$$ 6 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{3} + \dfrac{\ x\ }{2} \right ) > 6 \cdot \left ( 5 - \dfrac{\ x\ }{6} \right ) \Rightarrow 2x + 3x > 6 \cdot 5 - x \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ resolvemos:
$$ \Rightarrow 5x > 30 - x \Rightarrow 6x > 30 \Rightarrow x > \dfrac{\ 30\ }{6} \Rightarrow x > 5 $$ $ x \in \left (5, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 5 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 7) = 14:

$$ 14 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{2} + \dfrac{\ x + 1\ }{7} - x + 2 \right ) < 0 \Rightarrow 7x + 2 \cdot (x + 1) - 14x + 28 < 0 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 7x + 2x + 2 - 14x + 28 < 0 \Rightarrow -5x + 30 < 0 \Rightarrow -5x < - 30 \Rightarrow 5x > 30 \Rightarrow x > \dfrac{\ 30\ }{5} \Rightarrow x > 6 $$ $ x \in \left (6, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 6 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 12) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2x - 4\ }{3} + \dfrac{\ 3x + 1\ }{3} \right) < 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2x - 5\ }{12} \right ) \Rightarrow 4 \cdot (2x - 4) + 4 \cdot (3x + 1) < 2x - 5 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 8x - 16 + 12x + 4 < 2x - 5 \Rightarrow 20x - 12 < 2x - 5 \Rightarrow 18x < 7 \Rightarrow x < \dfrac{ 7 }{\ 18\ } $$ $ x \in \left (-\infty, \dfrac{ 7 }{\ 18\ } \right ) = \left \{ x \in \R \ \bigg | x < \dfrac{ 7 }{\ 18\ } \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 4, 12) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( 4x - \dfrac{\ 3 - 2x\ }{4} \right ) < 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 3x - 1\ }{3} + \dfrac{\ 37\ }{12}\right) \Rightarrow 48x - 3 \cdot (3 - 2x) < 4 \cdot (3x - 1) + 37 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 48x - 9 + 6x < 12x - 4 + 37 \Rightarrow 54x - 9 < 12x + 33 \Rightarrow 42x < 42 \Rightarrow x < \dfrac{ 42 }{\ 42\ } \Rightarrow x < 1 $$ $ x \in \left (-\infty, 1 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 1 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 7) = 14:

$$ 14 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{2} + \dfrac{\ x + 1\ }{7} \right) > 14 \cdot \left ( x - 2 \right ) \Rightarrow 7x + 2 \cdot (x + 1) > 14 \cdot (x - 2) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 7x + 2x + 2 > 14x - 28 \Rightarrow 9x + 2 > 14x - 28 \Rightarrow -5x > -30 \Rightarrow 5x < 30 \Rightarrow x < \dfrac{\ 30\ }{ 5 } \Rightarrow x < 6 $$ $ x \in \left (-\infty, 6 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 6 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4) = 4:

$$ 4 \cdot \left ( \dfrac{\ 2x + 3\ }{4} \right ) > 4 \cdot \left ( \dfrac{\ x + 1\ }{2} + 3 \right ) \Rightarrow 2x + 3 > 2 \cdot (x + 1) + 12 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 2x + 3 > 2x + 2 + 12 \Rightarrow 2x + 3 > 2x + 14 \Rightarrow 0 > 11 \text{ ✗ } $$ Esta inecuación nunca se cumple, luego la inecuación original no tiene solución.

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 4) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 5x - 2\ }{3} - \dfrac{\ x - 8\ }{4} \right ) > 12 \cdot \left ( \dfrac{\ x + 14\ }{2} - 2 \right ) \Rightarrow 4 \cdot (5x - 2) - 3 \cdot (x - 8) > 6 \cdot (x + 14) - 24 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 20x - 8 - 3x + 24 > 6x + 84 - 24 \Rightarrow 17x + 16 > 6x + 60 \Rightarrow 11x > 44 \Rightarrow x > \dfrac{\ 44\ }{11} \Rightarrow x > 4 $$ $ x \in \left (4, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 4 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 4) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( \dfrac{\ x - 2\ }{3} - \dfrac{\ 12 - x\ }{2} \right ) > 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 5x - 36\ }{4} - 1 \right ) \Rightarrow 4 \cdot (x - 2) - 6 \cdot (12 - x) > 3 \cdot (5x - 36) - 12 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 4x - 8 - 72 + 6x > 15x - 108 - 12 \Rightarrow 10x - 80 > 15x - 120 \Rightarrow -5x > -40 \Rightarrow 5x < 40 \Rightarrow x < \dfrac{\ 40\ }{5} \Rightarrow x < 8 $$ $ x \in \left (-\infty, 8 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 8 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 5, 15) = 15:

$$ 15 \cdot \left ( \dfrac{\ x + 4\ }{3} - \dfrac{\ x - 4\ }{5} \right ) > 15 \cdot \left ( 2 + \dfrac{\ 3x - 1\ }{15} \right ) \Rightarrow 5 \cdot (x + 4) - 3 \cdot (x - 4) > 30 + 3x - 1 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 5x + 20 - 3x + 12 > 29 + 3x \Rightarrow 2x + 32 > 29 + 3x \Rightarrow 3 > x \Rightarrow x < 3 $$ $ x \in \left (-\infty, 3 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 3 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(12, 18, 24) = 72:

$$ 72 \cdot \left ( \dfrac{x}{\ 18\ } - \dfrac{\ 2x + 1\ }{12} \right ) \geq 72 \cdot \left ( \dfrac{\ 2 - 4x\ }{24} \right ) \Rightarrow 4x - 6 \cdot (2x + 1) \geq 3 \cdot (2 - 4x) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 4x - 12x - 6 \geq 6 - 12x \Rightarrow -8x - 6 \geq 6 - 12x \Rightarrow 4x \geq 12 \Rightarrow x \geq \dfrac{\ 12\ }{4} \Rightarrow x \geq 3 $$ $ x \in \left [3, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x \geq 3 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4, 5) = 20:

$$ 20 \cdot \left ( \dfrac{\ 3x - 3\ }{5} - \dfrac{\ 4x + 8\ }{2} \right ) < 20 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{4} - 3x \right ) \Rightarrow 4 \cdot (3x - 3) - 10 \cdot (4x + 8) < 5x - 60x \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 12x - 12 - 40x - 80 < - 55x \Rightarrow -28x - 92 < - 55x \Rightarrow 27x < 92 \Rightarrow x < \dfrac{\ 92\ }{27} $$ $ x \in \left (-\infty, \dfrac{\ 92\ }{27} \right ) = \left \{ x \in \R \ \bigg | x < \dfrac{\ 92\ }{27} \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 5, 15) = 15:

$$ 15 \cdot \left ( 1 - \dfrac{\ 3x - 7\ }{5} \right ) > 15 \cdot \left ( \dfrac{\ 5x + 4\ }{15} - \dfrac{\ x - 1\ }{3} \right ) \Rightarrow 15 - 3 \cdot (3x - 7) > 5x + 4 - 5 \cdot (x - 1) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 15 - 9x + 21 > 5x + 4 - 5x + 5 \Rightarrow 36 - 9x > 9 \Rightarrow -9x > -27 \Rightarrow 9x < 27 \Rightarrow x < \dfrac{\ 27\ }{9} \Rightarrow x < 3 $$ $ x \in \left (-\infty, 3 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 3 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4) = 4:

$$ 4 \cdot \left ( \dfrac{\ x - 1\ }{2} - x \right ) < 4 \cdot \left ( \dfrac{\ 1 - x\ }{4} - 3 \right ) \Rightarrow 2 \cdot (x - 1) - 4x < 1 - x - 12 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 2x - 2 - 4x < 1 - x - 12 \Rightarrow -2 - 2x < -x - 11 \Rightarrow 9 < x \Rightarrow x > 9 $$ $ x \in \left (9, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 9 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 6) = 2:

$$ 6 \cdot \left ( x + \dfrac{\ 22 - x\ }{6} \right ) < 6 \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 2 + x\ }{2} \right ) \Rightarrow 6x + 22 - x < 12 - 3 \cdot (2 + x) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 5x + 22 < 12 - 6 - 3x \Rightarrow 5x + 22 < 6 - 3x \Rightarrow 8x < -16 \Rightarrow x < \dfrac{\ -16\ }{ 8 } \Rightarrow x < -2 $$ $ x \in \left (-\infty, -2 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < - 2 \right \} $

Inecuaciones de $\odn{2}{o}$ grado o superior:

Pueden ser de la siguiente forma:

$$ ax^2 + bx + c > 0 \qquad \qquad ax^2 + bx + c \geq 0 \qquad \qquad ax^2 + bx + c < 0 \qquad \qquad ax^2 + bx + c \leq 0 $$ $\bullet \ $ Ejemplo $ x (x + 3) - 2x > 4 + 4x $

RESOLUCIóN:

1. Expresar de la forma $P(x) > 0, P(x) \geq 0, P(x) < 0, P(x) \leq 0$

$$x^2 + 3x - 2x - 4x - 4 = x^2 - 3x - 4 $$
2. Factorizar $P(x)$, calcular las raices de $P(x)$.

$$ x^2 - 3x - 4 = x^2 + x - 4x - 4 = x(x - 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(x - 4) \Rightarrow \text{Las raíces son -1 y 4.} $$
3. Dividir la recta en intervalos para estudiar el signo de los factores en los intervalos.

$$ (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 $$ Si $x < -1 \Rightarrow x + 1 < 0$ y si $x < 4 \Rightarrow x - 4 < 0$


4. Resolver $P(x) >< 0$

Ahora resolvemos $ (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 $

$$ \left \{ \begin{array}{l} \text{ si } x < -1 \Rightarrow (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 \cr \cr \text{ si } x > -1 \text{ y } x < 4 \Rightarrow (x + 1) \cdot (x - 4) < 0 \cr \cr \text{ si } x > 4 \Rightarrow (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 \cr \cr \end{array} \right . $$ Luego la solución es: $ (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) $

Si a inecuación es de de $\odn{2}{o}$ grado, también se puede estudiar graficamente la funcion cuadratica, el signo del coeficiente de $x^2$ para averiguar las soluciones de $P(X) > < 0$.

Inecuaciones con fracciones algebraicas:

Son de la forma: $$ \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} < 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} \leq 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} > 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} \geq 0 $$ $\bullet\ $ Ejemplo: $\dfrac{\ x + 3\ }{ x − 2} < 2 $

RESOLUCIÓN: ¡¡¡ Muy importante !!!! No podemos pasar el $x - 2$ del denominador multiplicando ya que $x - 2$ puede ser positivo ($x > 2$), pero también puede ser negativo ($x < 2$) en este caso habría que cambiar el signo de la desigualdad. Por eso es mejor pasar el 2 en este caso o la expresión algebraica que hubiera al otro lado de la desigualdad.

1. Expresar de la forma $ \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x) } ><0 $

$$ \dfrac{\ x + 3\ }{ x − 2} - 2 < 0 \Rightarrow \dfrac{\ x + 3\ }{ x − 2} - \dfrac{\ 2(x - 2)\ }{ x − 2 } < 0 \Rightarrow \dfrac{\ x + 3 - 2x + 4\ }{ x − 2} < 0 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} < 0 $$
2. Factorizar $P(x)$ y $Q(x)$. Calcular las raices de $P(x)$ y $Q(x)$

En este caso ya están factorizados.


3. Dividir la recta en intervalos. Estudiar el signo de los factores en los intervalos.

Si $x < 7 \Rightarrow 7 - x > 0$ y si $x < 2 \Rightarrow x - 2 < 0$


4. Resolver $P(x) > < 0$

$$ \left \{ \begin{array}{l} \text{ si } x < 2 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} < 0 \cr \cr \text{ si } x > 2 \text{ y } x < 7 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} > 0 \cr \cr \text{ si } x > 7 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} < 0 \cr \cr \end{array} \right . $$ Luego la solución es: $ (-\infty, 2) \cup (7, +\infty) $

En el lado derecho de la desigualdad ya tenemos un cero. Y para saber si la fracción algebraica es negativa, como el numerador es positivo, basta con ver que el denominador es negativo, es decir, $x + 3 < 0$. Esta desigualdad es muy sencilla:

$$ x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < -3 $$ $$ \text{ Luego la solución es: } ( -\infty, 3 ) $$

En el lado derecho de la desigualdad no tenemos un cero, lo que tenemos que hacer es pasar el cero al otro lado.

¡¡¡ Muy importante !!! No podemos pasar el denominador mutiplicando, ya que $x - 3$ no tiene el signo constante, puede ser negativo y tendríamos que cambiar el signo de la desigualdad.

Pasamos el 4 restando y nos queda:

$$ \dfrac{\ 5x - 8\ }{ x - 3} \leq 4 \Leftrightarrow \dfrac{\ 5x - 8\ }{ x - 3 } - 4 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{\ 5x - 8\ }{ x - 3 } - \dfrac{\ 4(x - 3)\ }{ x - 3 } \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{\ 5x - 8 - 4x + 12\ }{ x - 3 } \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x - 3 } \leq 0 $$ La fracción algeraica será negativa cuando numerador y denominador tengan distinto signo. El valor de $x$ que marca el signo del numerador es -4;y el valor que marca el signo del denominador es 3. Tenemos que tener cuidado ya que la $x$ no puede tomar el valor 3, porque anula el denominador y no podemos calcular su valor. Tenemos que calcular el valor de la fracción en los trozos de recta en que -4 y 3 dividen a la recta numérica:

$$ \left \{ \begin{array}{l} \text{ si } x < -4 \Rightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x − 3 } > 0 ✗ \cr \cr \text{ si } x = -4 \Rightarrow \dfrac{\ 0 \ }{ x − 3 } \leq 0 \checkmark \cr \cr \text{ si } - 4 < x < 3 \text{ (está entre -4 y 3) } \Rightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x − 3 } > 0 \checkmark \cr \cr \text{ si } x > 3 \Rightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x − 3} < 0 ✗ \cr \cr \end{array} \right . $$

$$ \text{ Luego la solución es: } [ -4, 3 ) $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Curiosidades.

$\bullet$ ¿Sabes dónde deja Google las fotos de tu blog? https://get.google.com/albumarchive/

Alfabeto griego

El alfabeto griego se usa de forma habitual en el mundo de la ciencia y las Matemáticas no son una excepción. Aquí tenemos el alfabeto griego con sus letra mayúsculas, minúsculas y su nombre en español.

Letra mayúscula	Letra minúscula	Nombre en español
A	$\alpha$	alfa
B	$\beta$	beta
$\Gamma$	$\gamma$	gamma
$\Delta$	$\delta$	delta
E	$\epsilon, \varepsilon$	épsilon
Z	$\zeta$	dseta
H	$\eta$	eta
$\Theta$	$\theta, \vartheta$	zeta
I	$\iota$	iota
K	$\kappa$	kappa/cappa
$\Lambda$	$\lambda$	lambda
M	$\mu$	mi
N	$\nu$	ni/nu/ny*
$\Xi$	$\xi$	xi
O	o	ómicron
$\Pi$	$\pi$	pi
P	$\rho, \varrho$	ro
$\Sigma$	$\sigma$	sigma
T	$\tau$	tau
$\Upsilon$	$\upsilon$	ípsilon
$\Phi$	$\phi, \varphi$	fi
X	$\chi$	ji
$\Psi$	$\psi$	psi
$\Omega$	$\omega$	omega

ny* para leer la N.

Alfabeto NATO-OTAN

Letra y sonido	Palabra	Letra y sonido	Palabra
A [eI]	Alfa	N [єn]	November
B [bi:]	Bravo	O [әʊ]	Oscar
C [si:]	Charlie	P [pi:]	Pappa
D [di:]	Delta	Q [kju:]	Quebeq
E [i:]	Echo	R [ɒ:]	Romeo
F [єf]	Foxtrot	S [єs]	Sierra
G [ʤi:]	Golf	T [ti:]	Tango
H [eIt∫]	Hotel	U [ju:]	Uniform
G [ʤi:]	Golf	T [ti:]	Tango
H [eIt∫]	Hotel	U [ju:]	Uniform
I [aI]	India	V [vi:]	Victor
J [ʤeI]	Juliet	W [‘dʌbәl,ju:]	Whisky
K [keI]	Kilo	X [єks]	X_ray
L [єl]	Lima	Y [waI]	Yankee
M [єm]	Mike	Z [zєd/zi:]	Zulu
H [eIt∫]	Hotel	U [ju:]	Uniform

Teorema del Factor y del Resto. Factorización de polinomios.

Lo primero de todo vamos a repasar los términos que usaremos en esta entrada:

• Resto: es el número o expresión algebraica que sobra después de realizar una división no exacta. Por ejemplo, si dividimos 11 entre 3 obtenemos de resto 2.
• Factor: es un número o expresión algebraica que divide completamente a otro número o expresión algebraica sin dar resto. Por ejemplo, 5 es factor de 35 ya que si dividimos 35 entre 5 el resto es cero.

Esta es una entrada de polinomios, luego factor y resto se puede aplicar con número o polinomio.

RAÍZ DE UN POLINOMIO
Se dice que $a$ es una raíz del polinomio $p(x)$ si se cumple que $p(a) = 0$, es decir, al evaluar el polinomio en $x = a$ nos da 0.
Ejemplo: Comprueba si 2 y 5 son raíces del polinomio $p(x) = x^2 - 6x + 8$ $$ p(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0 \rightarrow \text{2 Es raíz del polinomio} $$ $$ p(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 \rightarrow \text{5 No es raíz del polinomio} $$ $$ \fbox{ 2 es raíz del polinomio y 5 no es raíz del polinomio } $$ División de polinomios:
Para dividir dos polinomios se tiene que cumplir que el grado del polinomio dividendo sea mayor o igual que el grado del polinomio divisor y dividiremos hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

La división puede ser en «galera» o en caja:

Podemos usar la regla de Ruffini, siempre que el polinomio divisor sea de $\odn{1}{er}$ grado y de la forma $x - a$, si $ a = 2$ será $ x - 2$ y si $ a = -4$ será $ x - (-4) = x + 4$:

TEOREMA DEL RESTO
Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio entre el binomio $x - a$ es igual al valor numérico del polinomio para $x = a$.
Si dividimos el polinomio $q(x) = 3x^3 - 5x^2 - 8$ entre $x - 2$, y lo hacemos por Ruffini el resto es -4.
$$ \begin{array}{c|rrrr} & 3 & -5 & 0 & -8 \\ 2 & & 6 & 2 & 4 \\ \hline & 3 & 1 & 2 & \big | \underline{ -4 } \\ \end{array} $$ Si hallamos el valor numérico del polinomio $q(x) = 3x^3 - 5x^2 - 8$ tomando como valor de $x = 2$, obtenemos $q(2) = -4$.
$$ q(2) = 3 \cdot (2)^3 - 5 \cdot (2)^2 - 8 = 24 - 20 - 8 = -4 $$ El resto de la división de $q(x)$ entre $x - 2$ es el valor numérico de $q(x)$ en $x = 2$: $$ q(x) = (x -2) \cdot (3x^2 + x + 2) + (-4) $$ TEOREMA DEL FACTOR
Teorema del factor: Un polinomio $p(x)$ tiene como factor el término $x - a$ si el valor numérico del polinomio $p(x)$ para $x = a$ es 0.

Si dividimos el polinomio $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 4$ entre $x - 2$, haciéndolo por Ruffini vemos que el resto es 0.
Utilizando la comprobación de la división tenemos que: $$ d(x) = c(x) \cdot d(x) + r(x) $$ al ser el resto $r(x) = 0$ tenemos que $$p(x) = c(x) \cdot d(x)$$ por lo tanto: $ 3x^3 - 5x^2 - 4 = \left(3x^2 + x + 2 \right) \cdot (x - 2) $, y por lo tanto $ x - 2$ es un factor de $p(x)$.

Podemos concluir que el Teorema de factor es el Teorema del resto cuando el resto es cero.

Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

$\odn{1}{a}$ forma: evaluando el polinomio $p(x)$ en -2 y que nos de -3 $ \Rightarrow p(-2) = -3 \Rightarrow $

$ (-2)^4 - 4 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) + m = -3 \Rightarrow 16 - 16 - 6 + m = -3 \Rightarrow -6 + m = -3 \Rightarrow m = 3 $

$\odn{2}{a}$ forma: aplicando Ruffini:

El resto sabemos que tiene que ser -3, de la última columna tenemos que $-6 + m = 3 \Rightarrow m = 3$.

$ a)\ t(x) = x^4 - 4x^3 - 125 \Rightarrow ¿t(5)? $ Aplicamos Ruffini y tenemos:

Tenemos que $t(5) = 0$


$b)\ u(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \Rightarrow ¿u(-1)?$ Aplicamos Ruffini y tenemos:

Tenemos que $u(-1) = - 8$

Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

$\odn{1}{a}$ forma: evaluando el polinomio $p(x)$ en 3 y que nos de 0 $ \Rightarrow p(3) = 0 \Rightarrow $

$ 4 \cdot (3)^2 - 6 \cdot 3 + a = 0 \Rightarrow 36 - 18 + a = 0 \Rightarrow 18 + a = 0 \Rightarrow a = -18 $

$\odn{2}{a}$ forma: aplicando Ruffini:

De la última columna tenemos que $$ 18 + a = 0 \Rightarrow a = -18 $$

Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

$\odn{1}{a}$ forma: evaluando el polinomio $q(x)$ en 6 y que nos de 0$ \Rightarrow q(6) = 0 \Rightarrow $

$ 6^3 - 6 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot n - 1 = 0 \Rightarrow 6^3 - 6^3 + 12n - 1 = 0 \Rightarrow 12n = 1 \Rightarrow n = \dfrac{1}{12} $

$\odn{2}{a}$ forma: aplicando Ruffini:

De la última columna tenemos que $$ -1 + 12n = 0 \Rightarrow 12n = 1 \Rightarrow n = \dfrac{1}{12} $$

Como nos indica «sin hacer la división» usaremos el Teorema del Resto y comprobaremos si en dichos polinomios al evaluar $ x = 2$ nos da cero.

$a(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15 \neq 0$, luego no es raíz de $a(x)$. $b(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$, luego sí es raíz de $b(x)$. $c(2) = 2^3 - 20 = 8 - 20 = -12$, luego no es raíz de $c(x)$.

$a) \ $

Comprobación: $$ (x^2 + x - 3) \cdot (3x - 5) = 3x^3 - 5x^2 + 3x^2 - 5x - 9x + 15 = 3x^3 - 2x^2 - 14x + 15 \checkmark $$
Este apartado también se puede hacer por Ruffini, el número que tenemos que poner es $ x = \dfrac{5}{3}$ que es cuando se anula $3x - 5 = 0$:

Comprobación: $$ (3x^2 + 3x - 9) \cdot \left (x - \dfrac{5}{3} \right) = 3x^3 - 5x^2 + 3x^2 - 5x - 9x + 15 = 3x^3 - 2x^2 - 14x + 15 \checkmark $$
$ b) \ $

Comprobación: $$ (x^3-5 x+2) \cdot (x^2-3 x+1) + 11 x = x^5 - 3x^4 + x^3 - 5x^3 + 15x^2 - 5x + 2x^2 - 6x + 2 + 11 x = $$ $$ = x^5 - 3x^4 - 4x^3 + 17x^2 + 2 \checkmark $$

Factorización de polinomios:

¿Qué es factorizar un polinomio? Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de polinomios «irreducibles». Los polinomios irreducibles son los polinomios de grado cero (números), los de $\odn{1}{er}$ grado y los de $\odn{2}{o}$ grado que no tienen raíces reales.

Ejemplos:

• $3 x^4+3 x^3+6 x-12 = 3 \cdot \color{blue}{(x - 1)} \cdot \color{blue}{(x + 2)} \cdot \left (x^2 + 2 \right)$
• $x^4 + 4x^2 - x + 6 = \left ( x^2 + x + 3 \right ) \cdot \left ( x^2 - x + 2 \right ) $
• $2x^6 + 5x^5 - 8x^4 - 17 x^3 - 6x^2 = \color{blue}{(2x + 1)} \cdot \color{blue}{(x - 2)} \cdot \color{blue}{(x + 3)} \cdot \color{blue}{(x + 1)} \cdot x^2$

Los polinomios de grado uno nos dicen la raíz numérica de los polinomios.

Para factorizr polinomios usaremos:

• sacar factor común:
  
  $P(x) = x^4 + 3x^3 = x^3\left(x + 3 \right ) $
  
  $Q(x) = 2x^4 - 4x^3 = 2x^3(x - 2) $
  
  
• identidades notables:
  
  $P(x) = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 $
  
  $ Q(x) = x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$
  
  
• Ruffini: $P(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15$
  
  $$ P(x) = x^3 - 3x^2 - 13 x + 15 = (x - 1) \cdot (x + 3) \cdot(x - 5) $$
• O las tres técnicas anteriores: Factoriza el polinomio $R(x) = x^6 + 5x^5 + 3x^4 - 9x^3$
  
  Sacando factor común: $R(x) = x^3 \cdot (x^3 + 5x^2 + 3x - 9)$
  
  Vemos fácilmente que 1 es raíz, usando Ruffini:
  
  
  
  $$ R(x) = x^3 \cdot ( x - 1) \cdot (x^2 + 6x + 9) $$ Usando identidades notables vemos que $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
  
  $$ R(x) = x^3 \cdot ( x - 1) \cdot (x^2 + 6x + 9) = x^3 \cdot (x - 1) \cdot (x + 3)^2 $$

En construcción.

Vemos que la suma de los coeficientes da cero luego 1 es raíz. Aplicamos Ruffini:

$B(x) = x^4 + 2x^2 - 3 = (x - 1) \cdot (x^3 + x^2 + 3x + 3) $ donde vemos claramente que -1 es raíz. Aplicamos de nuevo Ruffini:

$B(x) = x^4 + 2x^2 - 3 = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x^2 + 3)$ y vemos que el término (x^2 + 3) no se anula nunca ya que siempre es mayor estricto que cero: $${ {0 \atop \bigwedge \backslash} \atop x^2 } {\phantom{s} \atop + } { {0 \atop \bigwedge} \atop 3 } {\phantom{s} \atop > 0 } $$

Vemos dos cosas: la 1ª que la suma de los coeficientes es cero, luego 1 es raíz y podemos además sacar 2 factor común:

$ C(x) = 2x^3 + 8x^2 - 2x - 8 = 2 (x^3 + 4x^2 - x - 4) $ Aplicamos Ruffini y tenemos que:

$ C(x) = 2x^3 + 8x^2 - 2x - 8 = 2 \cdot (x - 1) \cdot (x^2 + 5x + 4) $

Ahora vemos que las raíces solamente pueden ser negativas, si fueran positivas nunca sería cero y vemos fácilmente que -1 es raíz, volvemos a aplicar Ruffini:

$$ C(x) = 2x^3 + 8x^2 - 2x - 8 = 2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 4) $$ Las raíces son 1, -1 y -4 respectivamente.

En construcción.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com