$\textbf{¿Qué es un radical?}$ Es aquel número que no puede ser simplificado para extraer su raíz, es decir, que no es una raíz exacta y por ello el signo del radical aparece, es decir, una potencia cuyo exponente es una fracción irreducible. Ejemplos:
$\bullet$ Para sacar factores de un radical, por ejemplo: $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ ¿Cómo se hace? ¿Cómo se sacan?
Factorizamos el radicando en producto de primos, para cada primo cogemos el exponente, si no es mayor que el índice, no podemos sacar factores de ese primo, si el exponente es mayor, hacemos la división entera, se sacan tantos factores como dice el cociente y se quedan tantos factores como indique el resto.
Veamos el ejemplo de $\sqrt{8},$ y sabemos que $8 = 2^3$, como el exponente 3 es mayor 2, hacemos la división entera y sale cociente 1 y resto 1, eso quiere decir que se saca un $\color{blue}{2}$ y se queda otro $\color{green}{2}$, es decir, $\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = \color{blue}{2} \color{black} \sqrt{\ \color{green}{2}\ }$.
Veamos otro ejemplo: $$\sqrt[3]{972} = \sqrt[3]{\ 2^2 \cdot 3^5\ }$$
Cogemos el primer factor que es $2^2$, como el exponente es 2, que es menor que 3, no hacemos nada. Ahora cogemos el otro factor $3^5$, y hacemos la divisón entera entre el exponente 5 y el índice 3, nos da cociente 1 y resto 2, es decir, sacamos un 3 y se quedan dos 3. Es decir: $$\sqrt[3]{972} = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^5} = 3 \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2} $$
Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:
Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando
$$ \sqrt{\ 9 \cdot a^4 \cdot b \cdot c^5\ } = \sqrt{\ 3^2 \cdot a^4 \cdot b \cdot c^5\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $b$ es menor que 1, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 3, sale 1 y queda 0; de $a$ salen 2 y ninguno se queda; y de $c$ salen 2 y se queda 1:
$$ (*) = 3 \cdot a^2 \cdot c^2 \cdot \sqrt{\ b c\ } $$
Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando
$$ \sqrt{\ 18 \cdot a^{12} \cdot b^9 \cdot c^7\ } = \sqrt{\ 2 \cdot 3^2 \cdot a^{12} \cdot b^9 \cdot c^7\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $2$ es menor que 1, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 3, sale 1 y queda 0; de $a$ salen 6 y ninguno se queda; de $b$ salen 4 y se queda 1; y de $c$ salen 3 y se queda 1:
$$ (*) = 3 \cdot a^6 \cdot b^4 \cdot c^3 \sqrt{\ 2 \cdot b \cdot c\ } $$
En este caso es una raíz cúbica, de índice 3. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt[3]{\ 864 \cdot a^4 \cdot b^9 \cdot c^{24}\ } = \sqrt[3]{\ 2^5 \cdot 3^3 \cdot a^4 \cdot b^9 \cdot c^{24}\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que todos los exponentes son mayores que 3, luego podemos sacar algún factor de todos los primos. Del 2, salen 1 y se quedan 2; del 3, sale 1 y queda 0; de $a$ salen 1 y se queda 1; de $b$ salen 3 y se queda 0; y de $c$ salen 8 y se queda 0:
$$ (*) = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot b^3 \cdot c^8 \sqrt{\ 2^2 \cdot a\ } $$
En este caso es una raíz de índice 7. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt[7]{\ 3072 \cdot a^{12} \cdot b^{14} \cdot c^{26}\ } = \sqrt[7]{\ 2^{10} \cdot 3 \cdot a^{12} \cdot b^{14} \cdot c^{26}\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $3$ es menor que 7, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 7 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y queda 3; de $a$ sale 1 y se quedan 5; de $b$ salen 2 y no se queda ninguno; y de $c$ salen 3 y se queda 5:
$$ (*) = 2 \cdot a \cdot b^2 \cdot c^3 \sqrt[7]{\ 2^3 \cdot 3 \cdot a^5 \cdot c^5\ } $$
En este caso es una raíz cuadrada, de índice 2. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt{\ \dfrac{\ 8 \cdot x^3 \cdot y\ }{ 125 \cdot z^9 }\ } = \sqrt{\ \dfrac{\ 2^3 \cdot x^3 \cdot y\ }{ 5^3 \cdot z^9 }\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $y$ es menor que 2, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y queda 1; de $x$ sale 1 y se quedan 1; de $5$ salen 1 y se queda uno; y de $z$ salen 4 y se queda 1:
$$ (*) = \dfrac{\ 2 \cdot x\ }{ 5 \cdot z^4 } \sqrt{\ \dfrac{\ 2 \cdot x \cdot y\ }{ 5 \cdot z }\ } $$
En este caso es una raíz cúbica, de índice 3. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 108 \cdot a^9 \cdot b \cdot c^{16}\ }{ 875 \cdot d^4 \cdot e }\ } = \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 2^4 \cdot 3^3 \cdot a^9 \cdot b \cdot c^{16}\ }{ 5^3 \cdot 7 \cdot d^4 \cdot e }\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $b$, del 7 y de la $e$ ,son menor que 2, luego de esos factores no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 3 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y queda 1; de $3$ sale 1 y no se queda ninguno; de $a$ salen 3 y no se queda ninguno; y de $c$ salen 5 y se queda 1; del 5 sale uno y no se queda ninguno y del $d$ sale y se queda uno:
$$ (*) = \dfrac{\ 2 \cdot 3 \cdot a^3 \cdot c^5\ }{ 5 \cdot d } \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 2 \cdot b \cdot c\ }{ 7 \cdot d \cdot e }\ } $$
En este caso es una raíz cuadrada, de índice 2. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt{\ \dfrac{\ 16 \cdot a^4\ }{27 \cdot b \cdot c^6}\ } = \sqrt{\ \dfrac{\ 2^4 \cdot a^4\ }{ 3^3 \cdot b \cdot c^6 }\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $b$ es menor que 2, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 2 y no se queda ninguno; de $a$ sale 2 y no se queda ninguno; de $3$ salen 1 y se queda uno; y de $c$ salen 3 y no se queda ninguno:
$$ (*) = \dfrac{\ 2^2 \cdot a^2\ }{ 3 \cdot c^3 } \sqrt{\ \dfrac{ 1 }{\ 3 \cdot b\ }\ } = \dfrac{\ 2^2 \cdot a^2\ }{ 3 \cdot c^3 \cdot \sqrt{\ 3 \cdot b\ }\ } $$
En este caso es una raíz cúbica, de índice 3. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 8 \cdot a^9 \cdot c^{10}\ }{\ 125 \cdot d^3 \cdot e^9\ }\ } = \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 2^3 \cdot a^9 \cdot c^{10}\ }{\ 5^3 \cdot d^3 \cdot e^9\ }\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que todos los exonentes son mayores que 3 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y no se queda ninguno; de $a$ salen 3 y no se queda ninguno; de $c$ salen 3 y se queda uno; de 5 sale 1 y no se queda ninguno; del $d$ sale uno y no se queda ninguno y del $e$ salen 3 y no se queda ninguno:
$$ (*) = \dfrac{\ 2 \cdot a^3 \cdot c^3\ }{ 5 \cdot d \cdot e^3 } \sqrt[3]{\ c\ } $$
Introducir factores en un radical
Para introducir un factor dentro de una raíz, multiplicamos el exponente del factor por el índice de la raíz, veamos unos ejemplos:
$$ 5 \cdot \sqrt{\ 2\ } = \sqrt{\ 5^2 \cdot 2\ } $$
$$ 7 \cdot \sqrt[3]{\ 2^2\ } = \sqrt[3]{\ 7^3 \cdot 2^2 \ } $$
$$ 3^2 \cdot \sqrt[5]{\ 2^2 \cdot 7\ } = \sqrt[5]{\ 2^2 \cdot 3^{10} \cdot 7 \ } $$
$$ 3 \cdot a \cdot \sqrt{\ 5 \cdot a \cdot x\ } = \sqrt{\ 5 \cdot a \cdot x \cdot (3 \cdot a)^2\ } = \sqrt{\ 5 \cdot a \cdot x \cdot \left (9 \cdot a^2 \right ) \ } = \sqrt{\ 45 \cdot a^3 x\ } $$
$$ 5 \cdot x^2 \cdot y \cdot \sqrt[3]{\ 4 \cdot x \cdot z\ } = \sqrt[3]{\ 4 \cdot x \cdot z \cdot \left(5 \cdot x^2 \cdot y \right)^3\ } = \sqrt[3]{\ 4 \cdot x \cdot z \cdot \left(125 \cdot x^6 \cdot y^3 \right )\ } = \sqrt[3]{\ 500 \cdot x^7 \cdot y^3 \cdot z\ }$$
$$ \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot a^3 \cdot b \cdot \sqrt{\ 3 \cdot x\ } = \sqrt{3 \cdot x \cdot \left( \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot a^3 \cdot b \right )^2 } = \sqrt{\ 3 \cdot x \cdot \left( \dfrac{4}{\ 25\ } \cdot a^6 \cdot b^2 \right )\ } = \sqrt{\ \dfrac{\ 12\ }{25} \cdot a^6 \cdot b^2 \cdot x\ } $$
Los ejercicios anteriores de sacar factores, si los leemos del final al principio tenemos ejercicios de introducir factores en el radical.
Para introducir factores lo que haremos será multiplicar el exponente de cada factor por el índice de la raíz:
$$ 2 \cdot a^3 \cdot b \cdot c \cdot \sqrt{\ 3 \cdot a \cdot c\ } = \sqrt{\ 2^2 \cdot 3 \cdot a^7 \cdot b^2 \cdot c^3\ } $$
Para introducir factores lo que haremos será multiplicar el exponente de cada factor por el índice de la raíz:
$$ 2 \cdot a^2 \cdot b \cdot c^3 \cdot \sqrt[3]{\ 5 \cdot a \cdot c^2\ } = \sqrt[3]{\ 2^3 \cdot 5 \cdot a^7 \cdot b^3 \cdot c^{11}\ } $$
Para introducir factores lo que haremos será multiplicar el exponente de cada factor por el índice de la raíz:
$$ 3 \cdot a^2 \cdot b^4 \cdot c \cdot \sqrt{\ 2 \cdot b \cdot c\ } = \sqrt{\ 2 \cdot 3^2 \cdot a^4 \cdot b^9 \cdot c^3\ } $$
Un número es múltiplo de otro, cuando el primero contiene un número exacto de veces a otro. Ejemplo: 12 es múltiplo de 2; 25 es múltiplo de 5. Un número tiene infinitos múltiplos y se obtienen de multiplicar ese número por todos los números naturales. A los múltiplos de un número $a$ se le denota $\dot{a}$.
$$ \dot{3} = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, \ldots \} $$
Un número es divisor de otro si al hacer la divisón el resto es cero, es decir, es exacta. Ejemplo: 2 es divisor de 12, 3 es divisor de 12. Un número cualquiera como mínimo siempre tiene dos divisores, que son el 1 y el propio número. Si sólo tiene estos dos divisores se dice que es un número primo. El número de divisores es siempre finito. En este enlace puedes recordar como se calculan los divisores de un número.
Mínimo común múltiplo de 2 (o más) números: es el menor número que es múltiplo a la vez de cada uno de los números. Por ejemplo: mcm(12, 42) = 84.
Máximo cómun divisor de 2 (o más) números: es el mayor número que es divisor a la vez de cada uno de los números. Por ejemplo
: MCD(12, 42) = 6.
Muy importante:
«El máximo común divisor de dos o más números estará entre 1 y el menor de los números de los que voy a calcular dicho máximo común divisor.»
«El mínimo común múltiplo de dos o más números estará a partir del mayor de los números de los que voy a calculos dicho mínimo común múltiplo.»
Veamos como se calcula el Mínimo común múltiplo:
Descomponemos en producto de factores primos los números de los que queremos calcular el mcm.
Cogemos todos los factores primos diferentes con el mayor exponente.
Veamos el ejemplo anterior, mcm(12, 42) y MCD(12, 42):
$$ \begin{array}{ccc}
\begin{array}{{2}{c}|{2}{l}}
12 & 2 \\
\ 6 & 2 \Rightarrow 12 = 2^2 \cdot 3 \\
\ 3 & 3 \\
\ 1 & {} \\
\end{array}
&
\qquad \qquad
&
\begin{array}{{2}{c}|{2}{l}}
42 & 2 \\
21 & 3 \Rightarrow 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\\
\ 7 & 7 \\
\ 1 & {} \\
\end{array}
\end{array} $$
Los factores diferentes que aparecen son el $2$, el $3$ y el $7$. El $2$ con exponente $2$, el $3$ con exponente $1$ y el $7$ con exponente $1$. Luego
$$ mcm(12, 42) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 $$
Ahora vamos a calcular el MCD(12, 42):
Escribimos los dos números y buscamos el mayor número que los divide a la vez:
$$
\begin{array}{{4}{c}{2}{c}|{2}{l}}
\ \ 12 & 84 & \color{red}{2} \ \ \\
\hline \\
\ \ \ 6 & 42 & \color{red}{2} \ \ \\
\hline \\
\ \ \ 3 & 21 & \color{red}{3} \ \ \\
\hline \\
\ \ \ 1 &\ 7 \\
\end{array}
$$
Multiplicamos los número que están en rojo y obtenemos el $MCD(12, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12 $.
Veamos otra forma de calcular el Máximo común divisor de dos o más números:
Descomponemos en producto de factores primos los números de los que queremos calcular el mcm.
Cogemos los factores primos comunes al menor exponente.
Ahora vamos a calcular el MCD(75, 60):
1) Descomponemos factorialmente los números:
2) Cogemos los factores comunes al menor exponente: en este caso los factores comunes son 3 y 5, el menor exponente 1:
$\qquad MCD(60, 75) = 3 \cdot 5 $
Si calculamos el mcm y el MCD de dos números $a$ y $b$, sólo de dos números se cumple:
$$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad mcm(a, b) \cdot MCD(a, b) = a \cdot b \qquad } $$
En el ejemplo que acabamos de hacer se cumple lo que acabamos de decir:
$$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad 42 \cdot 12 = 6 \cdot 84 \Leftrightarrow 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \Leftrightarrow 504 = 504 } $$
Aquí dejo un applet de GeoGebra donde podemos calcular el MCD y el mcm de dos números cualesquiera comprendidos entre 2 y 200:
Definición de potencia de número entero y exponente natural:
Es una forma abreviada de escribir un producto o multiplicación donde los factores son iguales. La base es el factor que se repite y el exponente el número de veces que se repite el factor.
Se escribe:
$$
\Huge{
\ \ \ \ \ \boldsymbol{ \color{red}\textbf{base} \leftarrow \color{red}a^{\color{blue}n \rightarrow \color{blue}\textbf{exponente} } } }$$
Se lee «$a$ elevado a $n$»:
$$ \begin{split} \large{ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_\text{«n»-veces} } \end{split} $$
Veamos algunos ejemplos:
¿Qué es una operación combinada de números enteros? Es una combinación de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces de número s enteros, en las que pueden aparecer paréntesis, corchetes y/o llaves. Veamos unos ejemplos:
$$ 3 \cdot (-9) + 12 \qquad \qquad 2 \cdot \left ( \sqrt[3]{-8} + 1^7 + 5 \cdot \sqrt{25} \right ) \cdot \left ( -8^2 + 5 \cdot \sqrt[3]{4^6} \right ) \cdot 3 - \sqrt[5]{1024} $$
¿Qué pasos seguir para calcular el resultado de una operación combinada? Para saber en que orden debemos realizar las operaciones debemos tener en cuenta la jerarquía de las operaciones:
En cada uno de los corchetes hacemos la primera divisón y el último de los paréntesis:
$ = [4 - 6:(-3)] : [- 5 - 3 : (-1)] = $
Hacemos las divisiones que hay en los dos corchetes:
$ = [4 - (-2)] : [-5 - (-3) ] = $
Quitamos los paréntesis, hago las operaciones de los corchetes y finalizamos la operación:
$ = [4 + 2] : [-5 + 3] = 6 : (-2) = - 3 $
$ 5 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 - (-1) \cdot 6 = $
Hacemos los productos de las operaciones:
$ = 15 + (-4) - (-6) = $
Quitamos los paréntesis y terminamos la operación:
$ = 15 - 4 + 6 = 17 $
$ 12 : 2 - 4 : 2 - 42 : 7 - 20 : 4 = $
Hacemos las divisiones, las restas y terminamos la operación:
$ = 6 - 2 - 6 - 5 = - 7 $
$ 15 : (-5) - (-18) : (-2) + (-32) : (-8) = $
Hacemos las tres divisiones:
$ = -3 - (+9) + (+4) = $
Quitamos los paréntesis y hacemos la resta y la suma para terminar la operación:
$ = - 3 - 9 + 4 = - 8 $
$ (-3) \cdot (-4) - (-24) : 6 - 5 \cdot 3 = $
Hacemos los productos y las divisiones:
$ = 12 - (-4) - 15 = $
Quitamos el paréntesis, hacemos la suma y la resta y terminamos la operación:
$ = 12 + 4 - 15 = 1 $
$ 16 - 30 : [6 - 2 \cdot (3 - 1) + 3] = $
En un primer paso hago la resta del corchete:
$ = 16 - 30 : [6 - 2 \cdot 2 + 3 ] = $
Ahora el producto del corchete:
$ = 16 - 30 : [6 - 4 + 3] = $
Ahora la resta y la suma del corchete:
$ = 16 - 30 : 5 = $
Ahora la división, la resta y se termina la operación:
$ = 16 - 6 = 10 $
$[23 + (-5)] : [12 - 3 \cdot (-2)] = $
Quitamos el paréntesis del primer corchete y hacemos el producto del segundo corchete:
$ = [23 - 5] : [12 - (-6)] = $
Hacemos la resta del primer corchete y quitamos el paréntesis del segundo corchete:
$ = [18] : [12 + 6] = $
Hacemos la suma del segundo corchete, la división y terminamos la operación:
$ = [18] : [18] = 1 $
$ [-30 + (-18)] : (-6) + [125 - (-30)] : (-5) = $
Quitamos el paréntesis de cada uno de los corchetes:
$ = [-30 - 18] : (-6) + [125 + 30] : (-5) = $
Hacemos las operaciones de cada uno de los corchetes:
$ = [-48] : (-6) + [155] : (-5) = $
Hacemos las divisiones:
$ = 8 + [-31] = $
quitamos el corchete y operamos:
$ = 8 - 31 = - 23$
$[14 - (-6) + (-6)] : [17 + (-7) - 3] = $
En el primer corchete quitamos los paréntesis o si nos damos cuenta estamos sumando y restando el mismo número a 14, luego nos queda 14 y en el segundo corchete quitamos el paréntesis:
$ = 14 : [17 - 7 - 3] = $
Hacemos las restas del corchete y la división:
$ = 14 : 7 = 2 $
$ -4 : (-2) \cdot (-1) + (-2) = $
Hacemos la primera división y quitamos el último paréntesis:
$ = 2 \cdot (-1) - 2 = $
Hacemos el producto, la resta y terminamos la operación:
$ = -2 - 2 = -4 $
$ -4 - (-3)^2 + 9 = $
Hacemos primero la potencia, después la resta y la suma:
En el primer corchete, hacemos el producto del primer paréntesis y la resta del segundo. En el segundo corchete hacemos las restas de los dos primeros paréntesis:
En el primer corchete, hacemos la resta del primer paréntesis y la división. En el segundo corchete, es más fácil ya que multiplicamos y dividimos por el mismo número, es decir, se queda como está:
$ [-6 \cdot (2 - 5) + 5 \cdot (4 - 7)] \cdot [(3 - 8) \cdot (2 - 5) : (1 - 4)] = $
Dentro del primer corchete hacemos las dos restas de los paréntesis. Del segundo corchete hacemos los tres paréntesis:
$ = [-6 \cdot (- 3) + 5 \cdot (- 3)] \cdot [- 5 \cdot (- 3) : (- 3)] = $
En el primero corchete sacamos factor común a $-3$, en el segundo corchete multiplicamos y dividimos por el mismo número, es decir, se queda como está:
$ = [ -3 \cdot (-6 + 5)] \cdot (-5) = $
Hacemos el paréntesis del primer corchete:
$ = [ -3 \cdot (-1) ] \cdot (-5) = $
Hacemos los dos productos y terminamos la operación:
Hacemos la primera raíz, del primer paréntesis la potencia y el producto, la siguiente potencia y dentro de la raíz lapotencia y el producto. Por último podemos hacer la última potncia de la raíz:
