Notación científica

Curiosidad: En inglés notación científica se dice «Standard Form».

En el mundo científico, con frecuencia se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una forma de evitar manejar demasiados dígitos es utilizar la notación científica.

Todo número en notación científica siempre viene expresado de la misma forma:

$$a\cdot {10}^b\text{ donde }|a|\in [1,10)\text{ y }b\in \mathbb{Z}$$ 

$a$ es un número real cuyo módulo está en el intervalo $[1,10)$, es decir, $a$ es mayor o igual que 1 y menor que 10;

$a$ se llama «mantisa» y a $b$ (el exponente de la potencia de 10) es un número entero cualquiera y se denomina orden de magnitud.

¿Cómo pasar un número decimal muy grande a notación científica?

Movemos el punto decimal a la izquierda tantas posiciones numéricas hasta obtener un número mayor o igual que 1 y menor que 10; lo multiplicamos por una potencia de 10 que tenga por exponente el número de veces que hemos movido la coma decimal. Veamos un ejemplo: 

Poner en notación científica el número 7 983 000 000 000 000 

El número $a$ será 7,983 y el exponente de 10 será 15, las 15 posiciones que hemos movido la coma decimal a la izquierda.

7 983 000 000 000 000  = 7,983 $\cdot {10}^{15}$

¿Cómo pasar un número decimal muy pequeño a notación científica?

Movemos el punto decimal a la derecha tantas posiciones numéricas hasta obtener un número mayor o igual que 1 y menor que 10; lo multiplicamos por una potencia de 10 que tenga por exponente el número de veces que hemos movido la coma decimal. Veamos un ejemplo:

Poner en notación científica el número 0,000 000 000 001 543

El número $a$ será 1,543 y el exponente de 10 será -12, las 12 posiciones que hemos movido la coma decimal a la derecha.

0,000 000 000 001 543  = 1,543 $\cdot {10}^{-12}$

¿Como pasar un número en notación científica con exponente positivo a número decimal?

Se coge el número $a$ y se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente positivo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros.

Ejemplo: La masa de Urano $8,68\cdot {10}^{25}kg=86.800.000.000.000.000.000.000.000kg$ 

¿Como pasar un número en notación científica con exponente negativo a número decimal?

Se pone el número $a$ y se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como indica el exponente negativo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros. Al final se pone delante de la coma un cero.

Ejemplos:

• Peso de un átomo de plutonio $3,9\cdot {10}^{-21}g=$ 0,000 000 000 000 000 000 003 9 $g$
• La masa de un electrón $9,109\cdot {10}^{-31}kg=$ 0,0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 009 109 $kg$

Veamos un ejemplos muy básicos de notación científica:

$10={10}^1$	$0,1={\displaystyle \frac{1}{10}}={10}^{-1}$
$100={10}^2$	$0,01={\displaystyle \frac{1}{100}}={10}^{-2}$
$1.000={10}^3$	$0,001={\displaystyle \frac{1}{1.000}}={10}^{-3}$
$10.000={10}^4$	$0,0001={\displaystyle \frac{1}{10.000}}={10}^{-4}$
$100.000={10}^5$	$0,00001={\displaystyle \frac{1}{100.000}}={10}^{-5}$
$1.000.000={10}^6$	$0,000001={\displaystyle \frac{1}{1.000.000}}={10}^{-6}$
$10.000.000={10}^7$	$0,0000001={\displaystyle \frac{1}{10.000.000}}={10}^{-7}$
$100.000.000={10}^8$	$0,00000001={\displaystyle \frac{1}{100.000.000}}={10}^{-8}$
$1.000.000.000={10}^9$	$0,000000001={\displaystyle \frac{1}{1.000.000.000}}={10}^{-9}$
...	...

y así sucesivamente.

Constantes famosas en notación científica:

Velocidad de la luz	$c=3\cdot {10}^{8}m/s$
Constante gravitaoria	$G=6,674\cdot {10}^{-11}N\cdot m^2/k{g}^2$
Constante de Plank	$h=6,626\cdot {10}^{-34}J\cdot s$
Carga elemental	$e=1,602\cdot {10}^{-19}C$
Constante de Boltzmann	$k_B=1,381\cdot {10}^{-23}J/K$
Número de Avogadro	$N_A=6,022\cdot {10}^{23}mo{l}^{-1}$
Permitividad del vacío	${ϵ}_0=8,854\cdot {10}^{-12}F/m$
Permeabilidad del vacío	${\mu }_o=4\pi \cdot {10}^{-7}T\cdot m/A$
Masa del Electrón	$m_e=9,109\cdot {10}^{-31}kg$
Masa del Protón	$m_p=1,673\cdot {10}^{-27}kg$
Masa del Neutrón	$m_n=1,675\cdot {10}^{-27}kg$

Suma y resta de números en notación científica

Para sumar o restar números en notación científica tienen que tener el mismo exponente en el 10, es decir, el mismo orden de magnitud. Si no tienen el mismo orden, hemos de hacer los cambios necesarios en los órdenes de uno de los dos números o en ambos, para poder hacer la suma o la resta y si el resultado no está en notación científica, convertirlo a la misma. 

En la suma, los exponentes deben ser iguales para realizar la operación:

$$(4\times {10}^5)+(3\times {10}^5)=(4+3)\times {10}^5=7\times {10}^5$$

$$(3\times {10}^3)+(2\times {10}^3)=5\times {10}^3$$ 

$$(5\times {10}^{-2})+(4\times {10}^{-2})=9\times {10}^{-2}$$

Si los exponentes son diferentes, deben igualarse:

$(6\times {10}^3)+(2\times {10}^2)=$ no se pueden sumar, no tienen el mismo orden.

Pasamos uno de ellos a orden 3 y ya se pueden sumar:

$$(6\times {10}^3)+(0,2\times {10}^3)=6,2\times {10}^3$$

O bien pasamos uno de ellos a orden 2 y el resultado a notación científica:

$$(60\times {10}^2)+(2\times {10}^2)=62\times {10}^2=6,2\times {10}^3$$ 

Veamos algunos ejemplos:

1. $(25\times {10}^3)+(30\times {10}^2)=$ No se pueden sumar, no tienen el mismo orden, cambiamos a orden 3 el segundo sumando: $$(25\times {10}^3)+(3,0\times {10}^3)=28\times {10}^3=2,8\times {10}^4$$ o bien a orden 2 el primer sumando: $$(250\times {10}^2)+(30\times {10}^2)=280\times {10}^2=28\times {10}^3=2,8\times {10}^4$$
2.     $(5\times {10}^{-3})+(4\times {10}^{-2})=$  No se pueden sumar, no tienen el mismo orden, cambiamos a orden -3 el segundo sumando: $$(5\times {10}^{-3})+(40\times {10}^{-3})=45\times {10}^{-3}$$ o bien a orden 2 el primer sumando: $$(0.5\times {10}^{-2})+(4\times {10}^{-2})=4.5\times {10}^{-2}$$
3. En la resta ocurre exactamente lo mismo, los exponentes deben ser iguales para poder efectuarse la operación: $$(6\times {10}^3)-(4\times {10}^3)=(6-4)\times {10}^3=2\times {10}^3$$ $$(5\times {10}^{-2})-(2\times {10}^{-2})=3\times {10}^{-2}$$
   
4. Si los exponentes no son iguales, deben igualarse:
   
   $$(4\times {10}^3)-(3\times {10}^2)=$$ no se pueden restar, se deben igualar los exponentes haciendo los ajustes correspondientes en los exponentes de la base 10, en los órdenes de magnitud, cambiando el segundo término a orden 3: $$(4\times {10}^3)-(0,3\times {10}^3)=3,7\times {10}^3$$ o bien cambiamos el primer término a orden 2: $$(40\times {10}^2)-(3\times {10}^2)=37\times {10}^2=3,7\times {10}^3$$
   
5. $$(5,7\times {10}^{14})+(4,87\times {10}^{15})=$$ $$=(0,57\times {10}^{15})+(4,87\times {10}^{15})=$$ $$=(0,57+4,87)\times {10}^{15}=5,44\times {10}^{15}$$
   
6. $$1,32\times {10}^{26}+5,2\times {10}^{25}=$$ $$=1,32\times {10}^{26}+0,52\times {10}^{26}=$$ $$=(1,32+0,52)\times {10}^{26}=1,84\times {10}^{26}$$
   
7. $$5,42\times {10}^{16}-3,21\times {10}^{14}=$$ $$=5,42\times {10}^{16}-0,0321\times {10}^{16}=$$ $$=(5,42-0,0321)\times {10}^{16}=5,3879\times {10}^{16}$$
   
8. $$7,5\times {10}^{33}+5,25\times {10}^{35}=$$ $$=0,075\times {10}^{35}+5,25\times {10}^{35}=$$ $$=(0,075+5,25)\times {10}^{35}=5,325\times {10}^{35}$$
   
9. $$1,32\times {10}^{-13}+3,44\times {10}^{-14}=$$ $$=1,32\times {10}^{-13}+0,344\times {10}^{-13}=$$ $$=(1,32+0,344)\times {10}^{-13}=1,664\times {10}^{-13}$$
   
10. $$4,567\times {10}^{-12}-12,3\times {10}^{-14}=$$ $$=4,567\times {10}^{-12}-0,123\times {10}^{-12}=$$
    $$=4,444\times {10}^{-12}$$
    
11. $$5,321\times {10}^{-32}+4,5\times {10}^{-34}=$$ $$=5,321\times {10}^{-32}+0,045\times {10}^{-32}=$$ $$=(5,321+0,045)\times {10}^{-32}=5,366\times {10}^{-32}$$
    

Producto y división en notación científica

Para multiplicar, dividir y calcular potencias números en notación científica se opera con los números y las potencias de 10 por separado, utilizando las propiedades de las potencias.

Veamos algunos ejemplos: 

• $3\times {10}^3\cdot 1,5\times {10}^8=3\times 1,5\times {10}^3\times {10}^8=4,5\times {10}^{11}$
  
• $4,2\times {10}^3\cdot 2\times {10}^{-7}=4,2\times 2\times {10}^3\times {10}^{-7}=8,4\times {10}^{-4}$
  
• $5\times {10}^5\cdot 5\times {10}^7=5\times 5\times {10}^5\times {10}^7=25\times {10}^{12}=2,5\times {10}^{13}$
  
• $2,4\times {10}^6\cdot 6,2\times {10}^{-4}=2,4\times 6,2\times {10}^6\times {10}^{-4}=14,88\times {10}^2=1,488\times {10}^3$
  
• $7,2\times {10}^{-4}\cdot 2,1\times {10}^{-5}=7,2\times 2,1\times {10}^{-4}\times {10}^{-5}=15,12\times {10}^{-9}=1,512\times {10}^{-8}$
  
• $6,4\times {10}^3\cdot 4,5\times {10}^6\times 5\times {10}^5=6,4\times 4,5\times 5\times {10}^3\times {10}^6\times {10}^5=6,4\times 4,5\times 5\times {10}^{14}=144\times {10}^{14}=1,44\times {10}^{16}$
  
• ${\displaystyle \frac{6\times {10}^5}{3\times {10}^2}}={\displaystyle \frac{6}{3}}\times {10}^3=2\times {10}^3$
  
• ${\displaystyle \frac{8\times {10}^{-7}}{2\times {10}^{-9}}}={\displaystyle \frac{8}{2}}\times {10}^2=4\times {10}^2$
  
• ${\displaystyle \frac{3\times {10}^6}{6\times {10}^{15}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {10}^{-9}=0,5\times {10}^{-9}=5\times {10}^{-10}$
  
• ${\displaystyle \frac{3,5\times {10}^{15}}{7\times {10}^{20}}}={\displaystyle \frac{3,5}{7}}\times {10}^{-5}=0,5\times {10}^{-5}=5\times {10}^{-6}$
  
• ${\displaystyle \frac{(2,49\times {10}^3)(2\times {10}^{-8})}{5\times {10}^{-10}}}={\displaystyle \frac{4,98\times {10}^{-5}}{5\times {10}^{-10}}}={\displaystyle \frac{4,98}{5}}\times {10}^5=0,996\times {10}^5=9,96\times {10}^4$
  
• ${\displaystyle \frac{6,3506\times {10}^{-5}}{5,62\times {10}^{-12}}}={\displaystyle \frac{6,3506}{5,62}}\times {10}^7=1,13\times {10}^7$
  
• ${\displaystyle \frac{2,2\cdot {10}^5+880\cdot {10}^3}{20\cdot {10}^{-5}}}={\displaystyle \frac{2,2\cdot {10}^5+8,80\cdot {10}^5}{20\cdot {10}^{-5}}}={\displaystyle \frac{11\cdot {10}^5}{20\cdot {10}^{-5}}}={\displaystyle \frac{11\cdot {10}^5}{2\cdot {10}^{-4}}}=5,5\times {10}^9$
  

Potencias y raíces de números en notación científica

Veamos algunos ejemplos:

1. ${(6\times {10}^3)}^2=6^2\times {\left({10}^3\right)}^2=36\times {10}^6=3,6\times {10}^7$
2. ${(2\times {10}^5)}^4=2^4\times {\left({10}^5\right)}^4=16\times {10}^{20}=1,6\times {10}^{21}$
3. ${(5\times {10}^2)}^2=5^2\times {\left({10}^2\right)}^2=25\times {10}^4=2,5\times {10}^5$
4. ${\left({10}^5\right)}^2={10}^{5\times 2}={10}^{10}$
5. ${\left({10}^{-3}\right)}^3={10}^{-3\times 3}={10}^{-9}$
6. ${(2\times {10}^{-2})}^3=8\times {10}^{-6}$
7. $\sqrt[3]{2,7\times {10}^{-11}}=\sqrt[3]{27\times {10}^{-12}}=\sqrt[3]{27}\times \sqrt[3]{{10}^{-12}}=3\times {10}^{-4}$

Ejercicios de consolidación

• $125.100.000.000=1,1251\times {10}^{11}$ hemos movido la coma decimal a la izquierda 11 posiciones.
  
• La décima parte de una diezmilésima = ${\displaystyle \frac{{10}^{-4}}{10}}={10}^{-5}$
  
• $0,0000000000127=1,27\times {10}^{-12}$ hemos desplazado la coma decimal a la derecha 12 posiciones.
  
• 5 billones de billón = $5\times {10}^{12}\cdot {10}^{12}=5\times {10}^{24}$
  

Pulsa en el botón «+» para verla solución.

1. $(6\times {10}^{13})+(2\times {10}^{12})=$
   $=6\times {10}^{13}+0,2\times {10}^{13}=(6+0,2)\times {10}^{13}=6,2\times {10}^{13}$


2. $(8\times {10}^{22})+(3\times {10}^{23})=$
   $=0,8\times {10}^{23}+3\times {10}^{23}=(0,8+3)\times {10}^{23}=3,8\times {10}^{23}$


3. $(9\times {10}^{-13})+(4\times {10}^{-13})=$
   $=(9+4)\times {10}^{-13}=13\times {10}^{-13}=1,3\times {10}^{-12}$


4. $(5\times {10}^{42})+(3\times {10}^{38})=$
   $=5\times {10}^{42}+0,0003\times {10}^{42}=(5+0,0003)\times {10}^{42}=5,0003\times {10}^{42}$


5. $(7\times {10}^{15})+(8\times {10}^{15})=$
   $=7\times {10}^{15}+8\times {10}^{15}=(7+8)\times {10}^{15}=15\times {10}^{15}=1,5\times {10}^{16}$


6. $(4\times {10}^{25})-(2\times {10}^{23})=$
   $=4\times {10}^{25}-0,02\times {10}^{25}=(4-0,02)\times {10}^{25}=3,98\times {10}^{25}$


7. $(5\times {10}^{-24})-(3\times {10}^{-22})=$
   $=0,05\times {10}^{-22}-3\times {10}^{-22}=(0,05-3)\times {10}^{-22}=-2,95\times {10}^{-22}$


8. $(6\times {10}^{56})-(4\times {10}^{53})=$
   $=6\times {10}^{56}-4\times {10}^{53}=6\times {10}^{56}-0,004\times {10}^{56}=(6-0,004)\times {10}^{56}=5,996\times {10}^{56}$


9. $(7\times {10}^{105})-(3\times {10}^{107})=$
   $=0,07\times {10}^{107}-3\times {10}^{107}=(0,07-3)\times {10}^{107}=-2,93\times {10}^{107}$


10. $(8\times {10}^{-33})-(5\times {10}^{-31})=$
    $=0,08\times {10}^{-31}-5\times {10}^{-31}=(0,08-5)\times {10}^{-31}=-4,92\times {10}^{-31}$


11. ${\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-15}+7\cdot {10}^{-14}}{{10}^6-5\cdot {10}^5}}=$
    $={\displaystyle \frac{0,3\cdot {10}^{-4}+7\cdot {10}^{-4}}{{10.10}^5-5\cdot {10}^5}}={\displaystyle \frac{7,3\cdot {10}^{-4}}{5\cdot {10}^5}}=1,46\cdot {10}^{-9}$


12. ${\displaystyle \frac{7,35\cdot {10}^4}{5\cdot {10}^{-3}}}+3,2\cdot {10}^7=$
    $=1,47\times {10}^7+3,2\cdot {10}^7=4,67\times {10}^7$


13. ${(4,3\cdot {10}^3-7,2\cdot {10}^5)}^2=$
    $={(4,3\cdot {10}^3-720\cdot {10}^3)}^2={(-715,7\cdot {10}^3)}^2=512.226,49\cdot {10}^6=5,1222649\cdot {10}^{11}$


14. ${\displaystyle \frac{1,3\cdot {10}^{10}-2,7\cdot {10}^9}{3\cdot {10}^{-5}-2,36\cdot {10}^{-4}}}=$
    $={\displaystyle \frac{1,3\cdot {10}^{10}-0,27\cdot {10}^{10}}{0,3\cdot {10}^{-4}-2,36\cdot {10}^{-4}}}={\displaystyle \frac{1,03\cdot {10}^{10}}{-2,06\cdot {10}^{-4}}}=-0,5\cdot {10}^{14}=-5\cdot {10}^{13}$


15. ${\displaystyle \frac{3,8\cdot {10}^9}{2,5\cdot {10}^{-8}}}+4,2\cdot {10}^{16}=$
    $=1,52\times {10}^{17}+0,42\times {10}^{17}=1,94\times {10}^{17}$


16. ${\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-5}+7\cdot {10}^{-4}}{{10}^6-5\cdot {10}^5}}=$
    $={\displaystyle \frac{0,3\cdot {10}^{-4}+7\cdot {10}^{-4}}{5\cdot {10}^5}}={\displaystyle \frac{7,3\cdot {10}^{-4}}{5\cdot {10}^5}}=1,46\times {10}^{-9}$


17. ${\displaystyle \frac{1,35\cdot {10}^{-23}}{1,5\cdot {10}^{-18}}}-2,14\cdot {10}^{-6}=$
    $=0,9\times {10}^{-5}-2,14\times {10}^{-6}=0,9\times {10}^{-5}-0,214\times {10}^{-5}=(0,9-0,214)\times {10}^{-5}=0,686\times {10}^{-5}=6,86\times {10}^{-6}$


18. ${\displaystyle \frac{2,28\cdot {10}^{44}+2,012\cdot {10}^{45}}{3,2\cdot {10}^{-7}}}=$
    $={\displaystyle \frac{0,228\times {10}^{45}+2,012\times {10}^{45}}{3,2\cdot {10}^{-7}}}={\displaystyle \frac{(0,228+2,012)\times {10}^{45}}{3,2\cdot {10}^{-7}}}={\displaystyle \frac{2,24\times {10}^{45}}{3,2\cdot {10}^{-7}}}=0,7\times {10}^{52}=7\times {10}^{51}$


19. $556,38\cdot {10}^{74}+39,1\cdot {10}^{76}-2,79\cdot {10}^{78}=$
    $=0,055638\cdot {10}^{78}+0,391\cdot {10}^{78}-2,79\cdot {10}^{78}=(0,055638+0,391-2,79)\times {10}^{78}=-2,343362\times {10}^{78}$


20. $\sqrt{4\times {10}^{18}}=$
    $\sqrt{4\cdot {10}^{18}}=2\cdot {10}^9$


21. $\sqrt{4,9\times {10}^{-5}}=$
    $\sqrt{4,9\cdot {10}^{-5}}=\sqrt{49\cdot {10}^{-6}}=7\cdot {10}^{-3}$


22. $\sqrt{0,000009}$
    $\sqrt{0,000009}=\sqrt{9\cdot {10}^{-6}}=3\cdot {10}^{-3}$

Sangre en $m{m}^3\Rightarrow 5l=5d{m}^3=5\times {10}^{6}m{m}^3$

$N^{\underset{―}{\circ }}\text{ de glóbulos rojos: }4,5\times {10}^6\text{ por }m{m}^3$

El $n^{\underset{―}{\circ }}\text{ total de glóbulos rojos es }4,5\times {10}^6\cdot 5\times {10}^6=22,5\times {10}^{12}=2,25\times {10}^{13}$

Masa en $g$ de una molécula de $H_{2}O={\displaystyle \frac{18}{6,02\cdot {10}^{23}}}=2,99\cdot {10}^{-23}$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com