Notación científica

Curiosidad: En inglés notación científica se dice «Standard Form».

En el mundo científico, con frecuencia se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una forma de evitar manejar demasiados dígitos es utilizar la notación científica.

Todo número en notación científica siempre viene expresado de la misma forma:

$$ a \cdot 10^b \text{ donde  } |a| \ \in [1, 10) \text{ y } b \in \mathbb{Z} $$ 

$a$ es un número real cuyo módulo está en el intervalo $[1, 10)$, es decir, $a$ es mayor o igual que 1 y menor que 10;

$a$ se llama «mantisa» y a $b$ (el exponente de la potencia de 10) es un número entero cualquiera y se denomina orden de magnitud.

¿Cómo pasar un número decimal muy grande a notación científica?

Movemos el punto decimal a la izquierda tantas posiciones numéricas hasta obtener un número mayor o igual que 1 y menor que 10; lo multiplicamos por una potencia de 10 que tenga por exponente el número de veces que hemos movido la coma decimal. Veamos un ejemplo: 

Poner en notación científica el número 7 983 000 000 000 000 

El número $a$ será 7,983 y el exponente de 10 será 15, las 15 posiciones que hemos movido la coma decimal a la izquierda.

7 983 000 000 000 000  = 7,983 $\cdot 10^{15}$

¿Cómo pasar un número decimal muy pequeño a notación científica?

Movemos el punto decimal a la derecha tantas posiciones numéricas hasta obtener un número mayor o igual que 1 y menor que 10; lo multiplicamos por una potencia de 10 que tenga por exponente el número de veces que hemos movido la coma decimal. Veamos un ejemplo:

Poner en notación científica el número 0,000 000 000 001 543

El número $a$ será 1,543 y el exponente de 10 será -12, las 12 posiciones que hemos movido la coma decimal a la derecha.

0,000 000 000 001 543  = 1,543 $\cdot 10^{-12}$

¿Como pasar un número en notación científica con exponente positivo a número decimal?

Se coge el número $a$ y se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente positivo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros.

Ejemplo: La masa de Urano $8,68 \cdot 10^{25} kg = 86.800.000.000.000.000.000.000.000 kg$ 

¿Como pasar un número en notación científica con exponente negativo a número decimal?

Se pone el número $a$ y se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como indica el exponente negativo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros. Al final se pone delante de la coma un cero.

Ejemplos:

• Peso de un átomo de plutonio $3,9 \cdot 10^{-21}g =$ 0,000 000 000 000 000 000 003 9 $g$
• La masa de un electrón $ 9,109 \cdot 10^{-31} kg =$ 0,0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 009 109 $kg$

Veamos un ejemplos muy básicos de notación científica:

$10 = 10^1$	$0,1 = \dfrac{1}{10} = 10^{-1}$
$100 = 10^2$	$0,01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}$
$1.000 = 10^3$	$0,001 = \dfrac{1}{1.000} = 10^{-3}$
$10.000 = 10^4$	$0,0001 = \dfrac{1}{10.000} = 10^{-4}$
$100.000 = 10^5$	$0,00001 = \dfrac{1}{100.000} = 10^{-5}$
$1.000.000 = 10^6$	$0,000001 = \dfrac{1}{1.000.000} = 10^{-6}$
$10.000.000 = 10^7$	$0,0000001 = \dfrac{1}{10.000.000} = 10^{-7}$
$100.000.000 = 10^8$	$0,00000001 = \dfrac{1}{100.000.000} = 10^{-8}$
$1.000.000.000 = 10^9$	$0,000000001 = \dfrac{1}{1.000.000.000} = 10^{-9}$
...	...

y así sucesivamente.

Constantes famosas en notación científica:

Velocidad de la luz	$c = 3 \cdot 10^8 m/s$
Constante gravitaoria	$G = 6,674 \cdot 10^{-11} N \cdot m^2/kg^2$
Constante de Plank	$h = 6,626 \cdot 10^{-34} J \cdot s$
Carga elemental	$e = 1,602 \cdot 10^{-19} C$
Constante de Boltzmann	$k_{B} = 1,381 \cdot 10^{-23} J/K$
Número de Avogadro	$N_{A} = 6,022 \cdot 10^{23} mol^{-1}$
Permitividad del vacío	$\epsilon_{0} = 8,854 \cdot 10^{-12} F/m$
Permeabilidad del vacío	$\mu_{o} = 4 \pi \cdot 10^{-7} T \cdot m/A$
Masa del Electrón	$m_{e} = 9,109 \cdot 10^{-31} kg$
Masa del Protón	$m_{p} = 1,673 \cdot 10^{-27} kg$
Masa del Neutrón	$m_{n} = 1,675 \cdot 10^{-27} kg$

Suma y resta de números en notación científica

Para sumar o restar números en notación científica tienen que tener el mismo exponente en el 10, es decir, el mismo orden de magnitud. Si no tienen el mismo orden, hemos de hacer los cambios necesarios en los órdenes de uno de los dos números o en ambos, para poder hacer la suma o la resta y si el resultado no está en notación científica, convertirlo a la misma. 

En la suma, los exponentes deben ser iguales para realizar la operación:

$$ \left(4 \times 10^{5} \right ) + \left (3 \times 10^{5} \right ) = \left( 4 + 3 \right ) \times 10^{5} = 7 \times 10^{5} $$

$$ \left(3 \times 10^{3} \right ) + \left(2 \times 10^{3} \right ) = 5 \times 10^{3} $$ 

$$ \left(5 \times 10^{-2} \right ) + \left(4 \times 10^{-2} \right ) = 9 \times 10^{-2} $$

Si los exponentes son diferentes, deben igualarse:

$\left(6 \times 10^{3} \right ) + \left ( 2 \times 10^{2} \right ) = $ no se pueden sumar, no tienen el mismo orden.

Pasamos uno de ellos a orden 3 y ya se pueden sumar:

$$\left(6 \times 10^{3} \right ) + \left ( 0,2 \times 10^{3} \right ) = 6,2 \times 10^{3} $$

O bien pasamos uno de ellos a orden 2 y el resultado a notación científica:

$$\left ( 60 \times 10^{2} \right ) + \left(2 \times 10^{2} \right ) = 62 \times 10^{2} = 6,2 \times 10^{3} $$ 

Veamos algunos ejemplos:

1. $\left (25 \times 10^{3} \right ) + \left (30 \times 10^{2} \right ) = $ No se pueden sumar, no tienen el mismo orden, cambiamos a orden 3 el segundo sumando: $$ \left (25 \times 10^{3} \right ) + \left (3,0 \times 10^{3} \right) = 28 \times 10^{3} = 2,8 \times 10^{4}$$ o bien a orden 2 el primer sumando: $$ \left ( 250 \times 10^{2} \right ) + \left ( 30 \times 10^{2} \right ) = 280 \times 10^{2} = 28 \times 10^{3} = 2,8 \times 10^{4} $$
2.     $\left (5 \times 10^{-3} \right ) + \left (4 \times 10^{-2} \right ) =$  No se pueden sumar, no tienen el mismo orden, cambiamos a orden -3 el segundo sumando: $$\left (5 \times 10^{-3} \right ) + \left ( 40 \times 10^{-3} \right ) = 45 \times 10^{-3}$$ o bien a orden 2 el primer sumando: $$\left (0.5 \times 10^{-2} \right ) + \left( 4 \times 10^{-2} \right ) = 4.5 \times 10^{-2}$$
3. En la resta ocurre exactamente lo mismo, los exponentes deben ser iguales para poder efectuarse la operación: $$ \left (6 \times 10^{3} \right ) - \left ( 4 \times 10^{3} \right ) = \left (6 - 4 \right ) \times 10^{3} = 2 \times 10^{3}$$ $$ \left (5 \times 10^{-2} \right ) - \left (2 \times 10^{-2} \right ) = 3 \times 10^{-2} $$
   
4. Si los exponentes no son iguales, deben igualarse:
   
   $$ \left (4 \times 10^{3} \right ) - \left (3 \times 10^{2} \right ) = $$ no se pueden restar, se deben igualar los exponentes haciendo los ajustes correspondientes en los exponentes de la base 10, en los órdenes de magnitud, cambiando el segundo término a orden 3: $$ \left ( 4 \times 10^{3} \right ) - \left (0,3 \times 10^{3} \right ) = 3,7 \times 10^{3} $$ o bien cambiamos el primer término a orden 2: $$ \left ( 40 \times 10^{2} \right ) - \left ( 3 \times 10^{2} \right ) = 37 \times 10^{2} = 3,7 \times 10^{3} $$
   
5. $$ \left ( 5,7 \times 10^{14} \right ) + \left (4,87 \times 10^{15} \right ) = $$ $$ = \left (0,57 \times 10^{15} \right ) + \left ( 4,87 \times 10^{15} \right ) = $$ $$ = (0,57 + 4,87) \times 10^{15} = 5,44 \times 10^{15} $$
   
6. $$ 1,32 \times 10^{26} + 5,2 \times 10^{25} = $$ $$ = 1,32 \times 10^{26} + 0,52 \times 10^{26} = $$ $$ = ( 1,32 + 0,52 ) \times 10^{26} = 1,84 \times 10^{26} $$
   
7. $$ 5,42 \times 10^{16} - 3,21 \times 10^{14} = $$ $$ = 5,42 \times 10^{16} - 0,0321 \times 10^{16} = $$ $$ = (5,42 - 0,0321 ) \times 10^{16} = 5,3879 \times 10^{16} $$
   
8. $$ 7,5 \times 10^{33} + 5,25 \times 10^{35} = $$ $$ = 0,075 \times 10^{35} + 5,25 \times 10^{35} = $$ $$ = (0,075 + 5,25) \times 10^{35} = 5,325 \times 10^{35} $$
   
9. $$ 1,32 \times 10^{-13} + 3,44 \times 10^{-14} = $$ $$ = 1,32 \times 10^{-13} + 0,344 \times 10^{-13} = $$ $$ = (1,32 + 0,344 ) \times 10^{-13} = 1,664 \times 10^{-13} $$
   
10. $$ 4,567 \times 10^{-12} - 12,3 \times 10^{-14} = $$ $$ = 4,567 \times 10^{-12} - 0,123 \times 10^{-12} = $$
    $$ = 4,444 \times 10^{-12} $$
    
11. $$ 5,321 \times 10^{-32} + 4,5 \times 10^{-34} = $$ $$ = 5,321 \times 10^{-32} + 0,045 \times 10^{-32} = $$ $$ = (5,321 + 0,045 ) \times 10^{-32} = 5,366 \times 10^{-32} $$
    

Producto y división en notación científica

Para multiplicar, dividir y calcular potencias números en notación científica se opera con los números y las potencias de 10 por separado, utilizando las propiedades de las potencias.

Veamos algunos ejemplos: 

• $3 \times 10^{3} \times 1,5 \times 10^{8} = 3 \times 1,5 \times 10^{3} \times 10^{8} = 4,5 \times 10^{11} $
  
• $4,2 \times 10^{3} \times 2 \times 10^{-7} = 4,2  \times 2 \times 10^{3} \times 10^{-7} = 8,4 \times 10^{-4} $
  
• $5 \times 10^{5} \times 5 \times 10^{7} = 5 \times 5 \times 10^{5} \times 10^{7} = 25 \times 10^{12} = 2,5 \times 10^{13} $
  
• $2,4 \times 10^{6} \times 6,2 \times 10^{-4} = 2,4 \times 6,2 \times 10^{6} \times 10^{-4} = 14,88 \times 10^{2} = 1,488 \times 10^{3} $
  
• $7,2 \times 10^{-4} \times 2,1 \times 10^{-5} = 7,2 \times 2,1 \times 10^{-4} \times 10^{-5} = 15,12 \times 10^{-9} = 1,512 \times 10^{-8} $
  
• $6,4 \times 10^{3} \times 4,5 \times 10^{6} \times 5 \times 10^{5} = 6,4 \times 4,5 \times 5 \times 10^{3} \times 10^{6} \times 10^{5} = 6,4 \times 4,5 \times 5 \times 10^{14} = 144 \times 10^{14} = 1,44 \times 10^{16} $
  
• $\dfrac{6 \times 10^{5} }{3 \times 10^{2}} = \dfrac{6}{3} \times 10^{3} = 2 \times 10^{3} $
  
• $\dfrac{8 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-9}} = \dfrac{8}{2} \times 10^{2} = 4 \times 10^{2} $
  
• $\dfrac{3 \times 10^{6}}{6 \times 10^{15}} = \dfrac{1}{2} \times 10^{-9} = 0,5 \times 10^{-9} = 5 \times 10^{-10} $
  
• $\dfrac{3,5 \times 10^{15}}{7 \times 10^{20}} = \dfrac{3,5}{7} \times 10^{-5} = 0,5 \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-6} $
  
• $\dfrac{ \left ( 2,49 \times 10^{3} \right ) \left ( 2 \times 10^{-8} \right ) }{5 \times 10^{-10} } = \dfrac{ 4,98 \times 10^{-5} }{ 5 \times 10^{-10} } = \dfrac{ 4,98 }{ 5 } \times 10^{5} = 0,996 \times 10^{5} = 9,96 \times 10^4 $
  
• $\dfrac{6,3506 \times 10^{-5}}{5,62 \times 10^{-12}} = \dfrac{6,3506 }{5,62} \times 10^{7} = 1,13 \times 10^{7} $
  
• $\dfrac{2,2 \cdot 10^5 + 880 \cdot 10^3}{20 \cdot 10^{-5}} = \dfrac{2,2 \cdot 10^5 + 8,80 \cdot 10^5}{20 \cdot 10^{-5}} = \dfrac{11 \cdot 10^5 }{20 \cdot 10^{-5}} = \dfrac{11 \cdot 10^5 }{2 \cdot 10^{-4}} = 5,5 \times 10^{9}$
  

Potencias y raíces de números en notación científica

Veamos algunos ejemplos:

1. $ \left (6 \times 10^{3} \right )^{2} = 6^{2} \times \left( 10^{3} \right )^{2} = 36 \times 10^{6} = 3,6 \times 10^7 $
2. $ \left (2 \times 10^{5}\right)^{4}=2^{4} \times \left ( 10^{5} \right )^{4} = 16 \times 10^{20} = 1,6 \times 10^{21} $
3. $ \left (5 \times 10^{2}\right)^{2}=5^{2} \times \left ( 10^{2} \right )^{2} = 25 \times 10^{4} = 2,5 \times 10^{5} $
4. $ \left (10^{5} \right )^{2}=10^{5 \times 2} = 10^{10} $
5. $ \left (10^{-3} \right )^{3}=10^{-3 \times 3} = 10^{-9} $
6. $ \left (2 \times 10^{-2} \right )^{3} = 8 \times 10^{-6} $
7. $ \sqrt[3]{2,7 \times 10^{-11} } = \sqrt[3]{27 \times 10^{-12} } = \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{10^{-12} } = 3 \times 10^{-4} $

Ejercicios de consolidación

• $125.100.000.000 = 1,1251 \times 10^{11}$ hemos movido la coma decimal a la izquierda 11 posiciones.
  
• La décima parte de una diezmilésima = $ \dfrac{\ 10^{-4}\ }{10} = 10^{-5} $
  
• $0,000 000 000 012 7 = 1,27 \times 10^{-12}$ hemos desplazado la coma decimal a la derecha 12 posiciones.
  
• 5 billones de billón = $5 \times 10^{12} \cdot 10^{12} = 5 \times 10^{24} $
  

Pulsa en el botón «+» para verla solución.

1. $\left (6 \times 10^{13} \right ) + \left ( 2 \times 10^{12} \right ) = $
   $ = 6 \times 10^{13} + 0,2 \times 10^{13} = (6 + 0,2) \times 10^{13} = 6,2 \times 10^{13} $


2. $\left (8 \times 10^{22} \right ) + \left ( 3 \times 10^{23} \right ) = $
   $ = 0,8 \times 10^{23} + 3 \times 10^{23} = (0,8 + 3) \times 10^{23} = 3,8 \times 10^{23} $


3. $\left (9 \times 10^{-13} \right ) + \left ( 4 \times 10^{-13} \right ) = $
   $ = (9 + 4) \times 10^{-13} = 13 \times 10^{-13} = 1,3 \times 10^{-12} $


4. $\left (5 \times 10^{42} \right ) + \left ( 3 \times 10^{38} \right ) = $
   $ = 5 \times 10^{42} + 0,0003 \times 10^{42} = (5 + 0,0003) \times 10^{42} = 5,0003 \times 10^{42} $


5. $\left (7 \times 10^{15} \right ) + \left ( 8 \times 10^{15} \right ) = $
   $ = 7 \times 10^{15} + 8 \times 10^{15} = (7 + 8) \times 10^{15} = 15 \times 10^{15} = 1,5 \times 10^{16} $


6. $\left (4 \times 10^{25} \right ) - \left ( 2 \times 10^{23} \right ) = $
   $ = 4 \times 10^{25} - 0,02 \times 10^{25} = (4 - 0,02) \times 10^{25} = 3,98 \times 10^{25} $


7. $\left (5 \times 10^{-24} \right ) - \left ( 3 \times 10^{-22} \right ) = $
   $ = 0,05 \times 10^{-22} - 3 \times 10^{-22} = (0,05 - 3 ) \times 10^{-22} = -2,95 \times 10^{-22} $


8. $\left (6 \times 10^{56} \right ) - \left ( 4 \times 10^{53} \right ) = $
   $ = 6 \times 10^{56} - 4 \times 10^{53} = 6 \times 10^{56} - 0,004 \times 10^{56} = (6 - 0,004) \times 10^{56} = 5,996 \times 10^{56} $


9. $\left (7 \times 10^{105} \right ) - \left ( 3 \times 10^{107} \right ) = $
   $ = 0,07 \times 10^{107} - 3 \times 10^{107} = (0,07 - 3) \times 10^{107} = -2,93 \times 10^{107} $


10. $\left (8 \times 10^{-33} \right ) - \left ( 5 \times 10^{-31} \right ) = $
    $ = 0,08 \times 10^{-31} - 5 \times 10^{-31} = (0,08 - 5) \times 10^{-31} = -4,92 \times 10^{-31} $


11. $\dfrac{3 \cdot 10^{-15} + 7 \cdot 10^{-14} }{10^{6} - 5 \cdot 10^{5} } = $
    $ = \dfrac{0,3 \cdot 10^{-4} + 7 \cdot 10^{-4} }{10.10^{5} - 5 \cdot 10^{5} } = \dfrac{ 7,3 \cdot 10^{-4} }{ 5 \cdot 10^{5} } = 1,46 \cdot 10^{-9} $


12. $\dfrac{7,35 \cdot 10^{4}}{5 \cdot 10^{-3}} + 3,2 \cdot 10^{7} = $
    $ = 1,47 \times 10^{7} + 3,2 \cdot 10^{7} = 4,67 \times 10^{7} $


13. $ \left (4,3 \cdot 10^{3} - 7,2 \cdot 10^{5}\right)^{2} = $
    $ = \left (4,3 \cdot 10^{3} - 720 \cdot 10^{3}\right)^{2} = \left ( - 715,7 \cdot 10^{3} \right)^{2} = 512.226,49 \cdot 10^{6} = 5,1222649 \cdot 10^{11} $


14. $\dfrac{1,3 \cdot 10^{10} - 2,7 \cdot 10^{9}}{3 \cdot 10^{-5} - 2,36 \cdot 10^{-4}} = $
    $ = \dfrac{1,3 \cdot 10^{10} - 0,27 \cdot 10^{10}}{0,3 \cdot 10^{-4} - 2,36 \cdot 10^{-4}} = \dfrac{1,03 \cdot 10^{10}}{ - 2,06 \cdot 10^{-4}} = -0,5 \cdot 10^{14} = -5 \cdot 10^{13} $


15. $\dfrac{3,8 \cdot 10^{9}}{2,5 \cdot 10^{-8}} + 4,2 \cdot 10^{16} = $
    $ = 1,52 \times 10^{17} + 0,42 \times 10^{17} = 1,94 \times 10^{17} $


16. $\dfrac{3 \cdot 10^{-5} + 7 \cdot 10^{-4}}{ 10^{6} - 5 \cdot 10^{5} } = $
    $ = \dfrac{0,3 \cdot 10^{-4} + 7 \cdot 10^{-4}}{ 5 \cdot 10^{5} } = \dfrac{\ 7,3 \cdot 10^{-4} \ }{ 5 \cdot 10^{5} } = 1,46 \times 10^{-9} $


17. $\dfrac{1,35 \cdot 10^{-23}}{1,5 \cdot 10^{-18}} - 2,14 \cdot 10^{-6} = $
    $ = 0,9 \times 10^{-5} - 2,14 \times 10^{-6} = 0,9 \times 10^{-5} - 0,214 \times 10^{-5} = (0,9 - 0,214) \times 10^{-5} = 0,686 \times 10^{-5} = 6,86 \times 10^{-6} $


18. $\dfrac{2,28 \cdot 10^{44} + 2,012 \cdot 10^{45}}{3,2 \cdot 10^{-7}} = $
    $ = \dfrac{\ 0,228 \times 10^{45} + 2,012 \times 10^{45}\ }{3,2 \cdot 10^{-7}} = \dfrac{\ (0,228 + 2,012) \times 10^{45} }{3,2 \cdot 10^{-7}} = \dfrac{\ 2,24 \times 10^{45}\ }{3,2 \cdot 10^{-7}} = 0,7 \times 10^{52} = 7 \times 10^{51} $


19. $ 556,38 \cdot 10^{74} + 39,1 \cdot 10^{76} - 2,79 \cdot 10^{78} = $
    $ = 0,055638 \cdot 10^{78} + 0,391 \cdot 10^{78} - 2,79 \cdot 10^{78} = (0,055638 + 0,391 - 2,79) \times 10^{78} = -2,343362 \times 10^{78} $


20. $ \sqrt{\ 4 \times 10^{18}\ } = $
    $ \sqrt{4 \cdot 10^{18} } = 2 \cdot 10^{9} $


21. $ \sqrt{\ 4,9 \times 10^{-5}\ } = $
    $ \sqrt{4,9 \cdot 10^{-5} } = \sqrt{49 \cdot 10^{-6} } = 7 \cdot 10^{-3} $


22. $ \sqrt{\ 0,000009\ } $
    $ \sqrt{\ 0,000009\ } = \sqrt{9 \cdot 10^{-6}} = 3 \cdot 10^{-3} $

Sangre en $mm^{3} \Rightarrow 5 l = 5 dm^{3} = 5 \times 10^{6} mm^{3}$

$ N^{\underline{\circ}} \text{ de glóbulos rojos: } 4,5 \times 10^{6} \text{ por } mm^3 $

El $n^{\underline{\circ}} \text{ total de glóbulos rojos es } 4,5 \times 10^{6} \cdot 5 \times 10^{6} = 22,5 \times 10^{12} = 2,25 \times 10^{13} $

Masa en $g$ de una molécula de $H_2 O = \dfrac{18}{ 6, 02 \cdot 10^{23} } = 2, 99 \cdot 10^{-23} $

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com