Teoremas del seno, coseno y de la tangente

 Teorema del seno:

Para entender mejor el teorema del seno necesitamos 3 resultados geométricos: 

1.- Dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales. 

2.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 

Teorema del seno: 

El teorema del seno es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}} = \dfrac{c}{\sen \hat{C} } = 2R} \quad \cr \quad } $ } } $$

donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo $\triangle{ABC}$.

Teorema del coseno: 

Teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos. El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} } \quad \cr \quad \mathbf{ b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \hat{B} } \quad \cr \quad \mathbf{ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \hat{C} } \quad \cr \quad } $ } } $$

Veamos como podemos saber el tipo de triángulo según sus ángulos usando el Teorema del coseno:

• Si tiene una ángulo recto $\hat{A} = \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} = 0 $, triángulo rectángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 \qquad \text{ (Teorema de Pitágoras)} } $$
  
• Si tiene una ángulo obtuso $\hat{A} > \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} < 0 $, triángulo obtusángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 > b^2 + c^2 } $$
  
• Si tiene una ángulo agudo $\hat{A} < \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} > 0 $, triángulo acutángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 < b^2 + c^2 } $$
  

Ocurre lo mismo si cogemos el ángulo $\hat{B}$ o el ángulo $\hat{C}$.

Teorema del coseno (Usando el Producto Escalar) 

El teorma del coseno se puede demostrar también usando el producto escalar. Del dibujo tenemos:

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow  \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} $$ 

$$ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} = \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} - 2 \cdot \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} $$

Recapitulando:

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2 - 2 |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos \hat{A}$$

Es decir

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} $$

Ventajas e incovenientes de usar el teorema del seno o del coseno

	Teorema del seno	Teorema del coseno
Ventajas	Fácil de calcular	El coseno de un ángulo tiene un único valor entre 0 y $\pi$ radianes.
Incovenientes	El seno de un ángulo y su suplementario tienen el mismo valor. Dos posibles soluciones.	No es tan fácil de calcular como el Teorema del seno.

Teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos.

Para demostrar el teorema de la tangente tenemos que hacer uno de una propiedad de las proporciones:

$$ \dfrac{x}{y} = \dfrac{z}{t} \ \ \Longleftrightarrow \ \ x \cdot t = y \cdot z \ \ \ \  \text{entonces}  \ \ \Longrightarrow  \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{z + t}{z - t}  $$

$$ \text{Tenemos } \ \  \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}}  \ \ \Longleftrightarrow \ \ \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sen \hat{A}}{\sen \hat{B}} $$ 

Aplicando esta propiedad al teorema del seno: 

$$ \dfrac{ a + b}{a - b} = \dfrac{\sen \hat{A} + \sen \hat{B}}{\sen \hat{A} - \sen \hat{B}} = \dfrac{2 \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) }{2 \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ \dfrac{ a + b}{a - b} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } = 2R} \quad \cr \quad \cr \mathbf{ \dfrac{ a + c}{a - c} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{C}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{C}}{2} \right ) } = 2R} \quad \cr \quad \cr \mathbf{ \dfrac{ b + c}{b - c} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{B} - \hat{C}}{2} \right ) } = 2R} \cr \quad } $ } } $$

Entrada del blog donde se explican la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, y el seno, coseno de la suma de ángulos.

Entrada del blog donde se indican las razones trigonométricas de los ángulos notables entre $[0, 2\pi]$ y las conversiones de grados a radianes, de radianes a grados, de grados decimales a sexagesimales y de grados sexagesimales a decimales.

Vamos con algunos ejercicios de resolución de triángulos no rectángulos

Cosas a tener en cuenta:

1. La suma de los ángulos internos de un triángulo suma $\gss{180} = \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}$.
   
   
2. Las longitudes de los Lados del Triángulo deben cumplir la condición de existencia del triángulo que establece, que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera siempre debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Este es un pilar fundamental en la definición de un triángulo.
   
   $$ \cases{ a + b > c \cr \cr a + c > b \cr \cr b + c > a \cr } $$
3. El lado más largo se encuentra frente al ángulo más grande y el lado más pequeño frente al ángulo más pequeño.
   
   

Queremos calcular el lado $c$, para ello usaremos el Teorema del Coseno: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2bc \cos \widehat{C} $$ Sustituyendo las variables por su valor, que $\cos \gss{120} = \dfrac{\ -1\ }{ 2 } $ tenemos que:
$$ c^2 = 5^2 + 3^2 - 2\cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos \gss{120} \Rightarrow c^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left ( \dfrac{\ -1\ }{ 2 } \right) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow c^2 = 25 + 9 + 15 \Rightarrow c^2 = 49 \Rightarrow c= 7 $$ Ahora calculamos cualquiera de los ángulos que nos quedan $\widehat{A} $ o $\widehat{B}$, vamos con $\widehat{B}$: $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \widehat{B} \Rightarrow 2ac \cos \widehat{B} = a^2 + c^2 - b^2 \Rightarrow \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } $$ Sustituyendo los datos en las variables: $$ \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } = \dfrac{\ 5^2 + 7^2 - 3^2\ }{ 2 \cdot 5 \cdot 7 } = \dfrac{\ 65\ }{ 70 } = \dfrac{\ 13\ }{ 14 } $$ Es decir: $$ \widehat{B} = \arccos \left ( \dfrac{\ 13\ }{ 14 } \right) = \gss{21,79} = \gss{21} 47' 24''$$ Y por tanto $$ \widehat{A} = \gss{38,21} = \gss{38} 12' 36'' $$

Divisores naturales y enteros de un número entero.

 Vamos a ver como calcular los divisores naturales de un número entero. Vamos con un ejemplo.

Ejemplo 1: Calcular los divisores de 72:

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:

2. Tenemos el número como producto de potencias de números primos. Para calcular el número de divisores de un número, se multiplican los exponentes de los factores primos aumentados en una unidad. En este caso, los exponentes son 3 y 2, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:

$(3 + 1) \cdot (2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12 $ divisores naturales

3. Para calcular los mismos, construimos una tabla, en la parte superior, ponemos los divisores de una de las dos potencias de primos, por ejemplo, los divisores de $2^3$, que son: 1, $2^1$, $2^2$ y $2^3$ y en el parte lateral, los divisores de la otra potencia, la de $3^2$, es decir, 1, $3^1$ y $3^2$.

Ahora rellenamos la tabla, multiplicando el 1 por 1, 2, 4 y 8. El 3 por 1, 2, 4 y 8 y así sucesivamente. Es decir,

En esta tabla tenemos los 12 divisores naturales del número 72. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 24 divisores enteros del número 72. 

En este ejemplo, el número 72 es producto de dos potencias de números primos. Pero, ¿qué pasa si el número es potencia de tres o más números primos? Veamos otro ejemplo.

Ejercicios:

$ \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ \ 9 & 3 \Rightarrow 36 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{2} \\ \ 3 & 3 \\ \ 3 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{c}|{2}{c}{2}{c}{2}{c}} \ & 1 & 2 & \ 4 \ \ \ \\ \hline 1 & 1 & \ 2 & \ 4 \\ 3 & 3 & \ 6 & 12 \\ 9 & 9 & 18 & 36 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 75 & 3 \\ 25 & 5 \Rightarrow 75 = 3^\textcolor{red}{1} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ \ 5 & 5 \\ \ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{1} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 2 \cdot 3 = 6 \qquad \begin{array}{{2}{c}|{2}{c}{2}{c}{2}{c}} \ & 1 & \ 5 & \ 25 \ \ \ \\ \hline 1 & 1 & \ 5 & 25 \\ 3 & 3 & 15 & 75 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \Rightarrow 108 = 3^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{3} \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{3} + 1) = 3 \cdot 4 = 12 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 6 & 12 \\ 9 & 9 & 18 & 36 \\ 27 & 27 & 54 & 108 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 196 & 2 \\ 98 & 2 \\ 49 & 7 \Rightarrow 196 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 7^\textcolor{blue}{2} \\ 7 & 7 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 7 & 7 & 14 & 28 \\ 49 & 39 & 98 & 196 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 200 & 2 \\ 100 & 2 \\ 50 & 2 \Rightarrow 200 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 4 \cdot 3 = 12 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 5 & 5 & 10 & 20 & 40 \\ 25 & 25 & 50 & 100 & 200 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 225 & 3 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \Rightarrow 225 = 3^\textcolor{red}{2} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 5 & \ 25 \\ \hline 1 & 1 & 5 & 25 \\ 3 & 3 & 15 & 75 \\ 9 & 9 & 45 & 225 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 500 & 2 \\ 250 & 2 \\ 125 & 5 \Rightarrow 500 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 5^\textcolor{blue}{3} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{3} + 1) = 4 \cdot 4 = 16 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 5 & 10 & 20 \\ 25 & 25 & 50 & 100 \\ 125 & 125 & 250 & 200 \\ \end{array} $

Ejemplo 2: Vamos a calcular los divisores naturales de 1.400.

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:

2. Ahora calculamos el número de divisores. Cogemos los exponentes, les sumamos 1 y los multiplicamos. En este caso, los exponentes son 3, 2 y 1, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:

$(3 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ divisores naturales

3. Como tenemos 3 potencias de números primos, cogemos dos de ellos y hacemos la tabla anterior. Después haremos otra tabla más, en la parte superior pondremos los divisores ordenados obtenidos en la primera tabla y en el lateral, los divisores de la potencia del primo que nos queda. Vamos paso a paso.

4. Construimos la tabla con los divisores del $2^3$ en la parte superior y los de $5^2$ en el lateral:

5. Cogemos ahora los divisores calculados en la tabla anterior y los ponemos ordenados de forma creciente en la parte superior y en el lateral los divisores de 7:

6. Así hemos calculado los 24 divisores naturales de 1.400. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 48 divisores enteros del número 1.400. 

NOTA: Para calcular los divisores de un número, construiremos las tablas necesarias para ello, siempre será una tabla menos que el número de factores primos que aparecen en la descomposición del número que nos piden.

NOTA: Para calcular los divisores enteros de un número natural o entero, al calcular los divisores lo único que haremos será añadir el $\pm$ a cada uno de los divisores.

Ejercicios:

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \Rightarrow 300 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{1} \cdot 5^\textcolor{green}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 6 & 12 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 300:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 12 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 60 \\ 25 & 25 & 50 & 75 & 100 & 150 & 300 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \Rightarrow 360 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 3^\textcolor{blue}{2} \cdot 5^\textcolor{green}{1} \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) \cdot (\textcolor{green}{1} + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 6 & 12 & 24 \\ 9 & 9 & 18 & 36 & 72 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 360:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 8 & \ 9 & \ 12 & \ 18 & \ 24 & \ 36 & \ 72 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 9 & 12 & 18 & 24 & 36 & 72 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 40 & 45 & 60 & 90 & 120 & 180 & 360 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 600 & 2 \\ 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \Rightarrow 600 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 3^\textcolor{blue}{1} \cdot 5^\textcolor{green}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 6 & 12 & 24 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 600:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 8 & \ 12 & \ 24 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 12 & 24 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 40 & 60 & 120 \\ 25 & 25 & 50 & 75 & 100 & 150 & 200 & 300 & 600 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 980 & 2 \\ 490 & 2 \\ 245 & 5 \Rightarrow 980 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 5^\textcolor{blue}{1} \cdot 7^\textcolor{green}{2} \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 5 & 10 & 20 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 980:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & \ 1 & \ 2 & \ 4 & \ 5 & \ 10 & \ 20 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 5 & 10 & 20 \\ 7 & 7 & 14 & 28 & 35 & 70 & 140 \\ 49 & 49 & 98 & 196 & 245 & 490 & 980 \\ \end{array} $$

Ejercicio: calcula los divisores de 6300.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Calculadora de divisores
Calcula los divisores de un número.
Número

Trigonometría. Interpretación geométrica de las razones trigonométricas. Seno, coseno de la suma de ángulos.

Veamos una imagen que explica la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante:

El COSENO y la COTANGENTE de un ángulo $\alpha$ se llaman precisamente COseno y COtangente porque son, respectivamente, el seno y la tangente del ángulo COmplementario a $\alpha$ (que es $90^{\circ} - \alpha$ o en radianes $ \dfrac{\ \pi\ }{2} - \alpha$).

Un esquema con el signo de las razones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes: 

Veamos ahora en una simulación de GeoGebra: 

Si quieres, aquí tienes el enlace de Geogebra

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos: 

Si quieres, aquí tienes el enlace de Geogebra.

Entrada del blog donde se indican las razones trigonométricas de los ángulos notables entre $[0, 2\pi]$ y las conversiones de grados a radianes, de radianes a grados, de grados decimales a sexagesimales y de grados sexagesimales a decimales.

Entrada del blog donde se indican los teoremas del seno, coseno y de la tangente.

Demostraciones sin palabras.

 

Ortografía. Signos ortográficos. Rae: diccionario y preguntas frecuentes.

Una de las cosas que más me llama la atención en el instituto es cuando hablamos de la letra «ñ». Los alumnos no saben como se llama el símbolo que está sobre la letra «n». Personalmente el nombre me encanta y la mayoría de los alumnos ni llegan a imaginarse que tiene un nombre. Por internet vi está imagen que como dice el refrán «una imagen vale más que mil palabras». 

También me llama la atención la cantidad de faltas de ortografía que cometen los alumn@s. Tenemos el diccionario en internet y aplicación para el móvil de la Real Academia de la Lengua. Además la página web de la RAE tiene una sección de preguntas frecuentes.

Otra foto que sirve de ayuda a la hora de la puntuación

Truco: 

El truco para saber siempre si es «a ver» o «haber»

En la mayoría de los casos, la secuencia «a ver» puede reemplazarse por «veamos».

Espero que os sirva. Seguiremos actualizando esta sección. 

Fracciones parciales. Descomposición de fracciones algebraicas en fracciones más sencillas.

 Fracciones Parciales

Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes son iguales.

Si dos polinomios son iguales, coincide su valor para cualquier valor de $x$.

Fracciones Propias e Impropias

Definición: Se dice que una fracción racional $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ es una fracción propia, si el grado del polinomio $P(x)$ es menor que el grado del polinomio $Q(x)$. En caso contrario, es decir, si el grado de $P(x)$ es mayor o igual al de $Q(x)$, la fracción se llama impropia. 

Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio mas una fracción propia. Es decir, 

$$ \dfrac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \dfrac{d(x)}{Q(x)} $$

Vamos a descomponer un fracción propia en suma de fracciones más sencillas. Tenemos 4 casos:

Caso I: El denominador $Q(x)$ es un producto de factores lineales distintos. Esto significa que podemos escribir

$$ Q(x) = \left(a_{1} x + b_{1} \right) \left( a_{2} x + b_{2} \right ) \cdots \left( a_{k} x + b_{k} \right ) $$

en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k}$ tales que

$$ \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{A_{1}}{a_{1}x + b_{1}} + \dfrac{A_{2}}{a_{2} x + b_{2}} + \cdots + \dfrac{A_{k}}{a_{k} x + b_{k}} $$

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales la fracción: $$ \dfrac{7x + 3}{ x^2 + 3x - 4} $$

Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como sigue:

$$ x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1) $$

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{7x + 3}{x^2 + 3x - 4} = \dfrac{7x + 3}{(x + 4)(x - 1)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{B}{x - 1 } $$

Para encontrar los valores de $A$ y $B$, ponemos común denominador, obteniendo

$$ 7x + 3 = A(x - 1) + B(x + 4) $$

En este punto tenemos dos opciones:

     a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

        $$7x + 3 = Ax - A + Bx + 4B $$ 

    De $x$ tenemos que $7x  = Ax + Bx$;

    del término independiente $ 3 = - A + 4B $

    b) Calculando valores de los polinomios. ¿Qué valores de $x$ vamos a coger? Está claro, ¿no? Cogeremos las raíces, $x = 1$ y $x = -4$

Por lo que la fracción original queda:

$$ \dfrac{7x + 3}{x^2 + 3x - 4} = \dfrac{5}{x + 4} + \dfrac{2}{x - 1} $$

Ejemplo 2 $$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{2x^3 + 3x^2 - 2x } $$

Solución Se tiene que el denominador se puede factorizar como sigue:

$$ 2 x^3 + 3x^2 - 2x = x \left( 2x^2 + 3x - 2 \right ) = x(2x - 1)(x + 2) $$

Luego, la descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x(2x - 1)(x + 2)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{2x - 1} + \dfrac{C}{x + 2} $$

Ponemos denominador común y tenemos: 

$$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x(2x - 1)(x + 2)} = \dfrac{A(2x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1) }{x(2x - 1)(x + 2)} $$

igualando numeradores se obtiene

$$ x^2 + 2x - 1 = A(2x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1) \qquad (1) $$

En este punto tenemos dos opciones:

a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: \\

$$ x^2 + 2x - 1 = A(2x^2 + 4x - x - 2) + B(x^2 + 2x) + C(2x^2 - x) $$

$$ x^2 + 2x - 1 = 2Ax^2 + 3Ax - 2A + Bx^2 + 2Bx + 2Cx^2 - Cx $$

$$ x^2 + 2x - 1 = x^2(2A + B + 2C) + x(3A + 2B - C) - 2A $$

es decir

$$A = \dfrac{1}{2}, \quad B = \dfrac{1}{5}, \quad \text{y} \quad C = -\dfrac{1}{10}$$

así

$$ \dfrac{x^2 + 2x - 1}{2x^3 + 3x^2 - 2x} = \dfrac{ \dfrac{1}{2} }{x} + \dfrac{ \dfrac{1}{5} }{2x - 1} + \dfrac{ - \dfrac{1}{10}}{x + 2}  =  \dfrac{ 1 }{2x} + \dfrac{ 1 }{5(2x - 1)} - \dfrac{ 1 }{10(x + 2)}  $$

    b) Calculando valores de los polinomios. Si en (1) damos valores tenemos:

$$ x^2 + 2x - 1 = A(2x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1) $$

$$x = 0  \Longrightarrow -1 = -2A \Rightarrow A = \dfrac{1}{2} $$

$$x = -2 \Longrightarrow -1 = C(-2)(2\cdot(-2) - 1) \Rightarrow -1 = 10C \Rightarrow C = -\dfrac{1}{10} $$

$$x = \dfrac{1}{2} \Longrightarrow \dfrac{1}{4} = B\dfrac{1}{2} \cdot \left ( \dfrac{1}{2} + 2 \right ) \Rightarrow \dfrac{1}{4} = B\dfrac{5}{4} \Rightarrow B = \dfrac{1}{5} $$

  Caso II: El denominador $Q(x)$ es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Si $Q(x)$ tiene un factor lineal repetido $k$ veces de la forma $\left(a_{1} x + b_{1}\right)^{k},$ entonces la descomposición en fracciones parciales contiene $k$ términos de la forma:

$$ \dfrac{A_{1}}{a_{1}x + b_{1}} + \dfrac{A_{2}}{\left(a_{1}x + b_{1} \right)^{2}} + \cdots + \dfrac{A_{k}}{\left(a_{1} x+b_{1}\right)^{k}} \text{ donde } A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} \text{ son constantes. } $$ \\

Ejemplo 3 Descomponer en fracciones parciales:

$$ \dfrac{5x^2 - 36x + 48}{x(x - 4)^2} $$

La descomposicion en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{5x^{2} -36x + 48}{x(x - 4)^{2}} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{(x - 4)} + \dfrac{C}{(x - 4)^{2}} $$

Poniendo denominador común

$$ \dfrac{5x^{2} -36x + 48}{x(x - 4)^{2}} = \dfrac{A(x - 4)^2 + Bx(x - 4) + Cx}{x(x - 4)^{2}} $$

Igualando numeradores tenemos 

$$ 5x^2 - 36x + 48 = A(x - 4)^2 + Bx(x - 4) + Cx \qquad (2) $$

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ 5x^2 - 36x + 48 = A(x^2 - 8x + 16) + B(x^2 - 4x) + Cx $$

$$ 5x^2 - 36x + 48 = x^2(A + B) + x(- 8A - 4B + C) + 16A $$

obteniendo el sistema:

Luego:

$$ \dfrac{5x^2 - 36x + 48}{x(x - 4)^2} = \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x - 4} - \dfrac{4}{(x - 4)^2} $$

   b) Calculando valores de los polinomios. Si damos valores en (2) tenemos: \\ \\ 

$x = 0 \Longrightarrow 48 = 16 A \Rightarrow A = \dfrac{48}{16} = 3 $ \\ \\

$x = 4 \Longrightarrow -16 = 4 C \Rightarrow C = \dfrac{-16}{4} = -4 $ \\ \\

$x = 1 \Longrightarrow 17 = 9A - 3B + C \Rightarrow 17 = 27 -3B -4 \Rightarrow -6 = -3B \Rightarrow B = 2 $

Ejemplo 4 Descomponer en fracciones parciales:

$$  \dfrac{4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} $$

Factorizamos el denominador

$$ x^3 - 4x^2 + 4x = x ( x - 2 )^2 $$ 

Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{4x - 4}{x ( x - 2 )^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 2} + \dfrac{C}{(x - 2)^2} $$

poniendo común denominador:

$$ \dfrac{4x - 4}{x ( x - 2 )^2} = \dfrac{A( x - 2 )^2 + B x ( x - 2 ) + Cx}{x(x - 2)^2} $$

igualando numeradores tenemos: 

$$ 4x - 4 = A( x - 2 )^2 + B x ( x - 2 ) + Cx \qquad \text{(4)}$$ 

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ 4x - 4 = A( x - 2 )^2 + B x ( x - 2 ) + Cx $$

$$ 4x - 4 = Ax^2 -4Ax + 4A + Bx^2 - 2Bx + Cx $$

obteniendo el sistema:

Luego:

$$ \dfrac{4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} = \dfrac{-1}{x} + \dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{2}{(x - 2)^2} $$ 

   b) Calculando valores de los polinomios. Si damos valores en (4) tenemos:

$x = 2 \Longrightarrow 4 = 2C \Rightarrow C = \dfrac{4}{2} = 2 $

$x = 0 \Longrightarrow -4 = 4 A \Rightarrow A = \dfrac{-4}{4} = -1 $

$x = 1 \Longrightarrow 0 = A - B + C \Rightarrow B = A + C = 2 - 1 = 1 $

Ejemplo 5 Descomponer en fracciones parciales una fracción impropia:

$$ \dfrac{x^4 - 2x^2 + 4x + 1}{x^3 - x^2 - x + 1 } $$

Comenzaremos por dividir los polinomios

$$ \dfrac{x^4 - 2x^2 + 4x + 1}{x^3 - x^2 - x + 1} = x + 1 + \dfrac{4x}{x^3 - x^2 - x + 1} $$

luego, factorizando el denominador $ x^3 - x^2 - x + 1 $ resulta

$$ x^3 - x^2 - x + 1 = (x + 1)(x - 1)^{2} $$

Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es:

$$ \dfrac{4x}{(x+1)(x - 1)^2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{(x - 1)^2} + \dfrac{C}{x + 1} $$

poniendo denominador común:

$$ 4x = A(x + 1)(x - 1) + B(x + 1) + C(x - 1)^2 \qquad (5) $$

$$ 4x = A(x^2 - 1) + B(x + 1) + C(x^2 - 2x + 1) $$

$$ 4x = x^2(A + C) + x(B - 2C) - A + B + C $$

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de $x$ y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

del cual de obtiene: $A = 1, \quad B = 2$ y $C = -1$ de modo que

$$ \dfrac{x^4 - 2x^2 + 4x + 1}{x^3 - x^2 - x + 1} = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{ (x - 1)^2 } - \dfrac{1}{x + 1} $$

   b) Si damos valores en (5) tenemos:

$$x = 1 \Longrightarrow 4 = 2 B \Rightarrow B = 2 $$

$$x = -1 \Longrightarrow -4 = 4 C \Rightarrow C = -1 $$

$$x = 0 \Longrightarrow 0 = -A + B + C \Rightarrow 0 = -A + 2 - 1 \Rightarrow A = 1 $$

Al principio habéis visto que habría 4 casos, los dos que quedan los añadiré más adelante. 

A continuación proponemos unos cuantos ejercicios:

Lo primero que tenmos que haces es factorizar el denominador: $ x^2 - 5x + 6 $. Podemos usar la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado o Ruffini. Sea el método que sea, vemos que podemos factorizar el denominador $ x^2 - 5x + 6 = (x- 2) \cdot (x - 3)$

Así sabemos que $ \dfrac{5x + 13}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 3} $ con $A$ y $B$ constantes.

$$ \dfrac{5x + 13}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 3} = \dfrac{A \cdot (x -3) + B \cdot (x - 2) }{ (x - 2) \cdot (x - 3) } $$ Ahora tenemos que ver que $5x + 13 = A \cdot (x - 3) + B \cdot (x - 2) $ y para resolver esto, es decir, que dos polinomios son iguales lo podemos hacer de dos formas:

1. Igualando coeficientes
2. Evaluando valores

Vamos hacerlo evaluando valores:

Si $x = 2 \Rightarrow 5 \cdot 2 + 13 = - B \Rightarrow 23 = - B \Rightarrow B = -23 $

Si $x = 3 \Rightarrow 5 \cdot 3 + 13 = A \Rightarrow A = 28 $

Luego $$ \dfrac{5x + 13}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{28}{x - 3 } - \dfrac{23}{x - 2} $$

Lo primero que tenmos que haces es factorizar el denominador: $ x^3 + 6x^2 + 11x + 6 $. Usaremos Ruffini para calcuar las posibles raíces, vemos que las raíces no pueden ser positivas ya que nunca sería cero. Probamos con -1 y vemos que es raíz. Así tenemos que $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1) \cdot (x^2 + 5x + 6)$ Si seguimos aplicando Ruffini tenemos que $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) $.

Así sabemos que $ \dfrac{6x^2 + 22x + 18}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x + 2} + \dfrac{C}{x +3} $ con $A$, $B$ y $C$ constantes.

$$ \dfrac{6x^2 + 22x + 18}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x + 2} + \dfrac{C}{x +3} = \dfrac{A \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) + B \cdot (x + 1) \cdot (x + 3) + C \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) } { (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) } $$ Ahora tenemos que ver que $6x^2 + 22x + 18 = A \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) + B \cdot (x + 1) \cdot (x + 3) + C \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) $ y para resolver esto, es decir, que dos polinomios son iguales lo podemos hacer de dos formas:

1. Igualando coeficientes
2. Evaluando valores

Vamos hacerlo evaluando valores:

Si $x = -1 \Rightarrow 6 \cdot (-1)^2 + 22 \cdot (-1) + 18 = A \cdot (-1 + 2) \cdot (-1 + 3) \Rightarrow 2 = 2 \cdot A \Rightarrow A = 1 $

Si $x = -2 \Rightarrow 6 \cdot (-2)^2 + 22 \cdot (-2) + 18 = B \cdot (-2 + 1) \cdot (-2 + 3) \Rightarrow -2 = - B \Rightarrow B = 2 $

Si $x = -3 \Rightarrow 6 \cdot (-3)^2 + 22 \cdot (-3) + 18 = C \cdot (-3 + 1) \cdot (-3 + 2) \Rightarrow 6 = 2C \Rightarrow C = 3 $

Luego $$ \dfrac{6x^2 + 22x + 18}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6} = \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{2}{x + 2} + \dfrac{3}{x + 3} $$

En este caso el grado de los polinomios del numerador y denominador son iguales, tenemos que hacer la división «en caja» y nos quedará:

$$ - (x^2 + 4x + 6) = (x^2 - 3x + 2) \cdot (-1) - ( 7x + 4 ) \Rightarrow - \dfrac{x^2 + 4x + 6 }{x^2 - 3x + 2} = - 1 - \dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2} $$ Luego tenemos que descomponer $\dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2}$ es fracciones simples:

El denominador $ x^2 - 3x + 2 $, como 1 es raíz se factoriza rápidamente $ x^2 - 3x + 2 = (x - 1) \cdot (x - 2) $ luego

$\dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x - 2} = \dfrac{ A \cdot (x - 2) + B \cdot (x - 1) }{ x^2 -3x + 2 }$

Evaluando tenemos:

Si $x = 1 \Rightarrow 7\cdot 1 + 4 = -A \Rightarrow A = -11 $

Si $x = 2 \Rightarrow 7\cdot 2 + 4 = B \Rightarrow B = 18 $

Luego $$ \dfrac{7x + 4}{x^2 -3x + 2} = \dfrac{-11}{x - 1} + \dfrac{18}{x - 2} $$ y por tanto $$ - \dfrac{x^2 + 4x + 6 }{x^2 - 3x + 2} = -1 - \dfrac{7x + 4}{x^2 - 3x + 2} = - 1 - \dfrac{18}{x - 2} + \dfrac{11}{x - 1} $$

$$ \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{(x - 1)^2} $$

$$ \dfrac{2}{(x - 2)^2} - \dfrac{2}{x + 3} - \dfrac{2}{x - 1} $$

$$ 1 + \dfrac{-3x^{2} + 14x + 32}{x^{3} + 2x^{2} - 4x - 8} = 1 + \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{6}{x + 2} + \dfrac{2}{(x + 2)^2} $$

Caso III: El denominador $Q(x)$ contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite.
Si $Q(x)$ tiene un factor cuadrático no repetido de la forma $ax^2 + bx + c$, en donde, $b^2 - 4ac < 0$, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma:
$$ \dfrac{ Ax + B }{ ax^2 + bx + c } \qquad \text{ donde } A \text{ y } B \text{ son constantes } $$
Ejemplo 6 Descomponer en fracciones parciales: $$ \dfrac{4x^2 - 8x + 1}{x^3 - x + 6} $$ Tenemos que $$ \dfrac{ 4x^2 - 8x + 1 }{ x^3 - x + 6 } = \dfrac{4x^2 - 8x + 1}{(x + 2) \left( x^2 - 2x + 3 \right ) } = \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B x + C}{x^2 - 2x + 3} $$ multiplicando por el común denominador: $$ 4x^2 - 8x + 1 = A \left( x^2 - 2x + 3 \right) + (Bx + C)(x + 2) \qquad (4) $$ $$ 4x^2 - 8x + 1 = Ax^2 - 2Ax + 3A + Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C $$ $$ 4x^2 - 8x + 1 = x^2(A + B) + x(-2A + 2B + 2C) + 3A + 2C $$ obteniendo el sistema $$\left \{ \begin{array}{ll} A + B & = 4 \Rightarrow B = 4 - A \cr -2A + 2B + C & = -8 \\ %\quad \text { de donde } \quad A=3, B=1, C=-4 \cr 3A + 2C & = 1 \Rightarrow C = \dfrac{1 - 3A}{2} \end{array} \right. $$ Por lo tanto, $$ -2A + 2(4 - A) + \dfrac{1 - 3A}{2} = -8 \Rightarrow -4A + 16 - 4A + 1 - 3A = -16 \Rightarrow -11A = -33 \Rightarrow A = 3 $$ Luego $B = 4 - 3 = 1$ y $C = \dfrac{1 - 9}{2} = \dfrac{-8}{2} = -4 $ Así:
$$ \dfrac{4x^2 - 8x + 1}{x^3 - x + 6} = \dfrac{3}{x + 2} + \dfrac{x - 4}{x^2 - 2x + 3} $$ Si tomamos valores en (4) tenemos:

$ x = - 2 \Longrightarrow 33 = A 11 \Rightarrow A = 3 $

$ x = 0 \Longrightarrow 1 = 3A + 2C \Rightarrow 1 - 9 = 2C \Rightarrow -8 = 2C \Rightarrow C = -4 $

$ x = 1 \Longrightarrow -3 = 2A + (B + C)3 \Rightarrow -3 = 6 + 3B - 12 \Rightarrow 9 = 6 + 3B \Rightarrow 3 = 3B \Rightarrow B = 1 $


Ejemplo 7: $$ \dfrac{ 2x^2 - x + 4 }{ x^3 + 4x } $$
Solución Se tiene que la fracción se puede descomponer de la siguiente forma:
$$ \dfrac{2x^2 - x + 4}{ x^3 + 4x } = \dfrac{2x^2 - x + 4}{x \left( x^2 + 4 \right) } = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 4} $$ De donde se obtiene multiplicando por el común denominador:
$$ 2x^2 - x + 4 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x \qquad (5) $$ $$ 2x^2 - x + 4 = Ax^2 + 4A + Bx^2 + Cx $$ $$ 2x^2 - x + 4 = x^2(A + B) + Cx + 4A$$ $$\left \{ \begin{array}{ll} A + B & = 2 \cr C & = -1 \cr 4A & = 4 \Rightarrow A = 1 \end{array} \right. $$ $$ A + B = 2 \Rightarrow \quad A = 1. $$ Por lo cual $$ \dfrac{2x^2 - x + 4}{x^3 + 4x} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{x - 1}{x^2 + 4} $$
Si tomamos valores en (5)

$ x = 0 \Longrightarrow 4 = A 4 \Rightarrow A = 1 $

$ x = 1 \Longrightarrow 5 = A5 + (B + C) \Rightarrow B = -C $

$ x = -1 \Longrightarrow 7 = 5 - (-B + C) \Rightarrow 2 = -2C \Rightarrow C = -1 \Rightarrow B = 1$

Caso IV: El denominador $Q(x)$ contiene un factor irreductible repetido.

Si $Q(x)$ tiene un factor cuadrático repetido $k$ veces de la forma $\left ( ax^2 + bx + c \right )^{k}$, donde $b^2 - 4ac < 0$, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene $k$ términos de la forma: $$ \dfrac{ A_{1} x + B_{1}}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{A_{2}x + B_2}{\left( ax^2 + bx + c \right)^2} + \cdots + \dfrac{A_{k} x + B_k}{ \left ( ax^2 + bx + c \right)^k} $$ donde $A_1, A_2, \cdots, A_k,$ y $B_1, B_2, \cdots B_k$ son constantes.

Ejemplo 8: Descomponer en fracciones parciales $$ \dfrac{1 - x + 2x^2 - x^3}{x \left( x^2 + 1 \right)^2 } $$ Solución: La forma de descomponer esta division de polinimios en fracciones parciales es: $$ \dfrac{1 - x + 2x^2 - x^3}{ x \left( x^2 + 1 \right )^2 } = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 1} + \dfrac{D x + E}{ \left( x^2 + 1 \right )^2 } $$ Multiplicando por $x \left( x^2 + 1 \right)^2$ y luego igualando coeficientes
$$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = A( x^2 + 1)^2 + (Bx + C)x(x^2 + 1) + x(Dx + E) \qquad (6) $$ $$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = A(x^4 + 2x^2 + 1) + (Bx + C)(x^3 + x) + Dx^2 + Ex $$ $$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = A(x^4 + 2x^2 + 1) + Bx^4 + Bx^2 + Cx^3 + Cx + Dx^2 + Ex $$ $$ 1 - x + 2x^2 - x^3 = x^4(A + B) + x^3C + x^2(2A + B + D) + x(C + E) + A $$ se obtiene el siguiente sistema: $$\left \{ \begin{array}{ll} A + B & = 0 \cr C & = -1 \cr 2A + B + D & = 2 \cr C + E & = -1 \cr A & = 1 \cr \end{array} \right. $$ Cuya solución es: $ A = 1$, como $ B = -A \Rightarrow B = -1$, como $ C = -1 \Rightarrow E = 0$ y así $ D = 1 $.
Entonces $$ \dfrac{1 - x + 2x^2 - x^3 }{x \left ( x^2 + 1 \right )^2 } = \dfrac{1}{x} - \dfrac{x + 1}{x^2 + 1} + \dfrac{x}{\left( x^2 + 1 \right )^2 } $$
Tomando valores en (6) tenemos:
$ x = 0 \Longrightarrow 1 = A $

$ x = 1 \Longrightarrow 1 = 4A + 2(B + C) + (D + E) \Rightarrow - 3 = 2B + 2C + D + E $

$ x = -1 \Longrightarrow 5 = 4A - 2(B + C) - (-D + E) \Rightarrow 1 = 2B - 2C + D - E $

$ x = 2 \Longrightarrow -1 = 25A + 10(2B + C) + 2(2D + E) \Rightarrow -26 = 20B + 10C + 4D + 2E $

$ x = -2 \Longrightarrow 19 = 25A - 10(2B + C) - 2(-2D + E) \Rightarrow -6 = 20B - 10C + 4D - 2E $

se obtiene el siguiente sistema: $$\left \{ \begin{array}{ll} 2B + 2C + D + E & = -3 \cr 2B - 2C + D - E & = 1 \cr 20B + 10C + 4D + 2E & = -26 \cr 20B - 10C + 4D - 2E & = -6 \cr \end{array} \right. $$ Sumamos la $1^{\underline{a}}$ y $2^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (a) $-1 = 2B + D$

Sumamos la $3^{\underline{a}}$ y $4^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (b) $-4 = 5B + D$

Restamos $(a)$ y $(b): 3 = -3B \Rightarrow B = -1 \Rightarrow D = 1$

Restamos la $1^{\underline{o}}$ y $2^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (c) $-2 = 2C + E$

Restamos la $3^{\underline{a}}$ y $4^{\underline{a}}$ ecuación y tenemos: (d) $-5 = 5C + E$

Restamos $(c)$ y $(d): 3 = -3C \Rightarrow C = -1 \Rightarrow E = 0$

Ejemplo 9: $$ \dfrac{x^3}{x^4 + 4x^2 + 4}$$ Solución La forma de descomponer esta division de polinimios en fracciones parciales es: $$ \dfrac{x^3}{x^4 + 4x^2 + 4} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2} + \dfrac{Cx + D}{ (x^2 + 2)^2 } $$
Multiplicando por el mínimo común múltiplo y luego igualando coeficientes
$$ x^3 = (Ax + B)(x^2 + 2) + (Cx + D) \qquad (7) $$
$$ x^3 = Ax^3 + 2Ax + Bx^2 + 2B + Cx + D $$
$$ x^3 = Ax^3 + Bx^2 + x(2A + C) + 2B + D $$
se obtiene el siguiente sistema: $$\left \{ \begin{array}{ll} A & = 1 \cr B & = 0 \cr 2A + C & = 0 \Rightarrow C = -2\cr 2B + D & = 0 \Rightarrow D = 0 \cr \end{array} \right. $$ En este caso no merece la pena tomar valores en $x$, pero ser puede hacer sin problemas.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Racionalizar

¿Qué es racionalizar?

$\textbf{¿Qué es un radical?}$ Es aquel número que no puede ser simplificado para extraer su raíz, es decir, que no es una raíz exacta y por ello el signo del radical aparece, es decir, una potencia cuyo exponente es una fracción irreducible. Ejemplos:

$$\sqrt{2}; \qquad \sqrt[3]{2}; \qquad \sqrt[7]{5}; ... $$

Recordemos que:
$$ \Large{ \sqrt[\color{red}{n}]{a} = a^{ \dfrac{1}{\color{red}{n}} } \qquad \text{ y } \qquad \sqrt[\color{red}{n}]{a^m} = a^{ \dfrac{m}{ \color{red}{n} } } } $$ Ejemplos:
$$ \Large{ \sqrt{5} = 5^{\dfrac{1}{2} } \qquad \sqrt[3]{7} = 7^{\dfrac{1}{3} } \qquad \sqrt[5]{16} = 16^{\dfrac{1}{5} } = 2^{\dfrac{4}{5} } } $$ Además: $$ \Large{ \sqrt[n]{\ a^n\ } = \left ( \sqrt[n]{\ a\ } \right )^n = a } $$ o lo que es lo mismo: $$ \Large{ \overbrace{ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} }^{ 2 \text{- veces} } = a } $$
$$ \Large{ \overbrace{ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} }^{ 3 \text{- veces} } = a } $$
$$ \Large{ \overbrace{ \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a} }^{ 4 \text{- veces} } = a } $$
$$ \qquad \qquad \cdots \qquad \qquad $$
$$ \Large{ \overbrace{ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a} \cdots \cdot \sqrt[n]{a} }^{ n \text{- veces} } = a } $$
Ejemplos:
$$ \Large{ \left (\sqrt{5} \right )^2 = \sqrt{\ 5^2\ } = 5 \qquad \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7} = 7 } $$ $$ \Large{ \sqrt[6]{5^6} = 5 \qquad \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} = 3 } $$

Antes de racionalizar vamos a recordar algunas propiedades. La primera, potencias, con algunos ejercicios sencillos:

1. $\sqrt{\ 3\ } \cdot x = 3, ¿x? \qquad $
   $ x = \sqrt{\ 3\ }$ ya que $ \sqrt{\ 3\ } \cdot \sqrt{\ 3\ } = 3 $



2. $\sqrt[4]{\ 5^3\ } \cdot x = 5, ¿x? \qquad $
   $ x = \sqrt[4]{\ 5\ }$ ya que $ \sqrt[4]{\ 5^3\ } \cdot \sqrt[4]{\ 5\ } = \sqrt[4]{\ 5^4\ } = 5 $



3. $\sqrt[3]{\ 7\ } \cdot x = 7, ¿x? \qquad $
   $ x = \sqrt[3]{\ 7^2\ }$ ya que $ \sqrt[3]{\ 7\ } \cdot \sqrt[3]{\ 7^2\ } = \sqrt[3]{\ 7^3\ } = 7 $



4. $\sqrt[10]{\ 11^7\ } \cdot x = 11, ¿x? \qquad $
   $ x = \sqrt[10]{\ 11^3\ }$ ya que $ \sqrt[10]{\ 11^7\ } \cdot \sqrt[10]{\ 11^3\ } = \sqrt[10]{\ 11^{10}\ } = 11 $



5. $\sqrt[n]{\ a^s\ } \cdot x = a, ¿x? \qquad $
   $ x = \sqrt[n]{\ a^{n-s}\ }$ ya que $ \sqrt[n]{\ a^s\ } \cdot \sqrt[n]{\ a^{n - s}\ } = \sqrt[n]{\ a^{s + n - s }\ } = \sqrt[n]{\ a^{ n }\ } = a $

La segunda, una identidad notable: $$ \huge \textcolor{blue}{ \fcolorbox{red}{white}{ $ (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2 $ } } $$ Para ello volveremos a realizar estos ejercicios:

11. $ ¿ \left (\sqrt{\ 3\ } - 3 \right ) \cdot \left (\sqrt{\ 3\ } + 3 \right ) = ? \qquad $
    $ = \left (\sqrt{\ 3\ } \right )^2 - 3^2 = 3 - 9 = - 6 $



12. $ ¿ \left (2\sqrt{\ 5\ } - 1 \right ) \cdot \left (2\sqrt{\ 5\ } + 1 \right ) = ? \qquad $
    $ = \left (2\sqrt{\ 5\ } \right )^2 - 1^2 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19 $



13. $¿ \left (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 2\ } \right ) \cdot \left (\sqrt{\ 5\ } + \sqrt{\ 2\ } \right ) = ? \qquad $
    $ = \left (\sqrt{\ 5\ } \right )^2 - \left (\sqrt{\ 2\ } \right )^2 = 5 - 2 = 3 $



14. $ ¿ \left (\sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 11\ } \right ) \cdot \left (\sqrt{\ 11\ } + \sqrt{\ 3\ } \right ) = ? \qquad $
    $ = \left (\sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 11\ } \right ) \cdot \left (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 11\ } \right ) = \left (\sqrt{\ 3\ } \right )^2 - \left (\sqrt{\ 11\ } \right )^2 = 3 - 11 = -8 $



15. $ ¿ \left (7 - \sqrt{\ 13\ } \right ) \cdot \left (7 + \sqrt{\ 13\ } \right ) = ? \qquad $
    $ = 7^2 - \left (\sqrt{\ 13\ } \right )^2 = 49 - 13 = 36 $



16. ¿ Cuál sería el conjugado de $ \left (- \sqrt{\ 5\ } + \sqrt{\ 21\ } \right ) ? $
    ¿Ya te rindes ?

Para acabar, si tenemos $\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 11\ }$, entonces $\sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 11\ }$ es su conjugado.

Si en lugar de tener la suma, tenemos la resta, su conjugado será la suma. Es decir, si tenemos $\sqrt{\ 2\ } - \sqrt{\ 21\ }$ entonces su conjugado es $\sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 21\ }$

¿Qué es racionalizar fracciones con radicales en el denominador?

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes que no tengan radicales en el denominador.

• Veamos el caso en que el denominador tiene un solo término. Racionalizar en estos casos se puede ver como poner exponente «1» al radical. Veamos algunos casos:

1) Tiene una raíz cuadrada en el denominador, se multiplica numerador y denominador por la misma raíz.

Ejemplo 1:
$$ \dfrac{7}{ \sqrt{5} } = \dfrac{7\sqrt{5} }{ \sqrt{5} \sqrt{5} } = \dfrac{7}{5} \sqrt{5} = \dfrac{ 7 \sqrt{5} }{5} $$

Con exponentes fraccionarios:

$$ \dfrac{7}{ \sqrt{5} } = \dfrac{7}{ 5^{\frac{1}{2}} } = \dfrac{7 \cdot 5^{\frac{1}{2}} }{ 5^{\frac{1}{2}} 5^{\frac{1}{2}} } = \dfrac{7}{5^{ \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right ) } } \sqrt{5} = \dfrac{ 7 \sqrt{5} }{5} $$ \\

Ejemplo 2:
$$ \dfrac{13}{ 3 \sqrt{11} } = \dfrac{13 \sqrt{11} }{ 3\sqrt{11} \sqrt{11} } = \dfrac{13}{3 \cdot 11} \sqrt{11} = \dfrac{ 13 \sqrt{11} }{33} $$

Con exponentes fraccionarios:

$$ \dfrac{13}{ 3 \sqrt{11} } = \dfrac{13}{ 3 \cdot 11^{\frac{1}{2}} } = \dfrac{13 \cdot 11^{\frac{1}{2}} }{ 3 \cdot 11^{\frac{1}{2}} \cdot 11^{\frac{1}{2}} } = \dfrac{13}{3 \cdot 11^{\left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right ) }} \sqrt{11} = \dfrac{ 13  \sqrt{11} }{3 \cdot 11} = \dfrac{ 13 \sqrt{11} }{33} $$

2) Tiene una raíz cuadrada en el denominador y no es necesario multiplicar y dividir por la raíz cuadrada del denominador, basta simplificar. Ejemplo:

$$ \dfrac{\ 7\ }{\ \sqrt{\ 7\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 7\ } \cdot \sqrt{\ 7\ }\ }{\ \sqrt{7}\ } = \dfrac{\ \cancel{ \sqrt{\ 7\ } } \cdot \sqrt{\ 7\ }\ }{\ \cancelto{1}{ \sqrt{\ 7\ } }\ } = \sqrt{\ 7\ } $$

3) Antes de racionalizar, se pueden extraer factores en el radical del denominador. Ejemplo:

$$ \dfrac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{18} } = \dfrac{2 \sqrt{3} }{ 3 \sqrt{2} } = $$

Simplificamos:

$$ = \dfrac{2 \sqrt{3} }{ 3 \sqrt{2} } = \dfrac{ \sqrt{2} \sqrt{3} }{ 3 } = \dfrac{ \sqrt{6} }{ 3 } $$

4) Tiene una raíz de índice cualquiera $n$, ($n \neq 2$), se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice $n$ que complete una potencia de exponente $n$ o de forma que los exponentes en forma de fracción sumen «1», es decir, amplifica la fracción por $\color{blue}{ \sqrt[n]{\ c^{n-m}\ } }$.

Ejemplo 1:
$$ \dfrac{7}{ \sqrt[3]{5^2} } = \dfrac{7 \sqrt[3]{5} }{ \sqrt[3]{5^2} \cdot \sqrt[3]{5} } = \dfrac{7}{5} \sqrt[3]{5} = \dfrac{ 7 \sqrt[3]{5} }{5} $$

Con exponentes fracconarios:

$$ \dfrac{7}{ \sqrt[3]{5^2} } = \dfrac{7}{ 5^\frac{2}{3} } = \dfrac{7 \cdot 5^\frac{1}{3} }{ 5^\frac{2}{3} \cdot 5^\frac{1}{3} } = \dfrac{7}{5^{\left ( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right )}} = \dfrac{7}{5} \sqrt[3]{5} = \dfrac{ 7 \sqrt[3]{5} }{5} $$

Ejemplo 2:
$$ \dfrac{11}{ \sqrt[7]{2^3} } = \dfrac{11 \sqrt[7]{2^4} }{ \sqrt[7]{2^3} \cdot \sqrt[7]{2^4} } = \dfrac{11}{2} \sqrt[7]{2^4} = \dfrac{ 11 \sqrt[7]{2^4} }{2} $$

Con exponentes fracconarios:

$$ \dfrac{11}{ \sqrt[7]{2^3} } = \dfrac{11}{ 2^{ \frac{3}{7} } } = \dfrac{11 \cdot 2^{ \frac{4}{7} } }{ 2^{ \frac{3}{7} } \cdot 2^{ \frac{4}{7} } } = \dfrac{11 \cdot 2^{ \frac{4}{7} } }{ 2^{\left ( \frac{4}{7} + \frac{3}{7} \right ) } } = \dfrac{11 \cdot 2^{\frac{4}{7}} }{2} = \dfrac{11}{2} \sqrt[7]{2^4}  = \dfrac{ 11 \sqrt[7]{2^4} }{2} $$

• Si el denominador de la fracción contiene dos términos, y los dos son una raíz cuadrada o una raíz cuadrada y un número, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, es decir, si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa. Vamos a utilizar la siguiente identidad notable «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados»:

\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]

a) En el denominador hay dos raíces restando, mutiplicamos numerador y denominador por la suma de raíces y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$$ \dfrac{8}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \dfrac{8 \left ( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right ) }{ \left ( \sqrt{5} - \sqrt{3} \right ) \cdot \left ( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right ) } = \dfrac{8 \left ( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right ) }{ \left ( \sqrt{5} \right )^2 -  \left ( \sqrt{3} \right )^2 } = \dfrac{8 \left ( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right ) }{ 2 } = 4 \left ( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right ) $$

b) En el denominador hay dos raíces sumando, mutiplicamos numerador y denominador por la resta de raíces y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$$ \dfrac{12}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \dfrac{12 \left ( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right ) }{ \left ( \sqrt{7} + \sqrt{3} \right ) \cdot \left ( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right ) } = \dfrac{ 12 \left ( \sqrt{7} + \sqrt{3} \right ) }{ \left ( \sqrt{7} \right )^2 -  \left ( \sqrt{3} \right )^2 } = \dfrac{12 \left ( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right ) }{ 4 } = 3 \left ( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right ) $$

c) En el denominador hay un número restando a una raíz o al revés, mutiplicamos numerador y denominador por la suma del número y la raíz y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$$ \dfrac{25}{4 - \sqrt{11} } = \dfrac{25 \left ( 4 + \sqrt{11} \right )}{ \left ( 4 - \sqrt{11} \right ) \left (4 + \sqrt{11} \right ) } = \dfrac{25 \left ( 4 + \sqrt{11} \right ) }{16 - 11} = \dfrac{25 \left ( 4 + \sqrt{11} \right ) }{5} = 5 \left ( 4 + \sqrt{11} \right ) $$

d) En el denominador hay un número sumando a una raíz, mutiplicamos numerador y denominador por la resta del número y la raíz y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$$ \dfrac{6}{3 + \sqrt{7}} = \dfrac{6 \left ( 3 - \sqrt{7} \right )}{ \left ( 3 + \sqrt{7} \right ) \left (3 - \sqrt{7} \right ) } = \dfrac{6 \left ( 3 - \sqrt{7} \right ) }{9 - 7} = \dfrac{6 \left ( 3 - \sqrt{7} \right ) }{2} = 3 \left ( 3 - \sqrt{7} \right ) $$

e) Si una o las dos raíces están multiplicados por un número. Ejemplo:

$$ \dfrac{3 \sqrt{2} - 1}{2 \sqrt{5} - \sqrt{2} } = \dfrac{ \left ( 3 \sqrt{2} - 1 \right ) \cdot \left ( 2 \sqrt{5} + \sqrt{2} \right ) }{ \left ( 2 \sqrt{5} - \sqrt{2} \right ) \cdot \left ( 2 \sqrt{5} + \sqrt{2} \right ) } = \dfrac{ 6 \sqrt{10} + 6 - 2\sqrt{5} - \sqrt{2} }{ \left ( 2 \sqrt{5} \right )^2 - \left ( \sqrt{2} \right )^2 } = \dfrac{ 6 \sqrt{10} + 6 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{2} }{ 18 } $$

f) En el denominador hay tres raíces cuadradas, aplicamos la propiedad asociativa. Ejemplo:

$$ \dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{3} }{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} } = \dfrac{ \sqrt{2} + \sqrt{3} }{ \left (\sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) + \sqrt{6} } = \dfrac{ \left ( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) \cdot \left [ \left ( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) - \sqrt{6} \right ] }{ \left [ \left (\sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) + \sqrt{6} \right ] \cdot \left [ \left (\sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) - \sqrt{6} \right ] } = $$

$$ = \dfrac{ \left ( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right )^2 - \left (\sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) \cdot \sqrt{6} }{ \left (\sqrt{2} + \sqrt{3} \right )^2 - \left ( \sqrt{6} \right )^2 } = \dfrac{ 2 + 2\sqrt{6} + 3 - \sqrt{12} - \sqrt{18} }{ 2 + 2\sqrt{6} + 3 - 6 } = \dfrac{ 5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} }{ 2\sqrt{6} - 1 } = $$

Ahora ya puedo aplicar alguno de los casos comentados anteriormente:

$$ = \dfrac{ \left ( 5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} \right ) \cdot \left ( 2\sqrt{6} - 1 \right ) }{ \left ( 2\sqrt{6} - 1 \right ) \cdot \left ( 2\sqrt{6} + 1 \right ) } = \dfrac{ 10\sqrt{6} + 24 - 4\sqrt{18} - 6\sqrt{12} - 5 - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} }{ \left ( 2\sqrt{6} \right )^2 - \left ( 1 \right )^2 } = $$

$$ \dfrac{ 8\sqrt{6} + 19 - 12\sqrt{2} - 12\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} }{ \left ( 2\sqrt{6} \right )^2 - \left ( 1 \right )^2 } = \dfrac{ 8\sqrt{6} + 19 - 15\sqrt{2} - 14\sqrt{3} }{ 23 } $$

g) En el denominador hay tres raíces cuadradas, y podemos sacar factores y agrupar radicales. Ejemplo:

$$ \dfrac{ 1 + \sqrt{2} }{ \sqrt{8} + \sqrt{3} + \sqrt{2} } = \dfrac{ 1 + \sqrt{2} }{ 2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2} } = \dfrac{ 1 + \sqrt{2} }{ 3\sqrt{2} + \sqrt{3} } = $$

Y ahora puedo aplicar alguno de los casos anteriores:

$$ = \dfrac{ \left ( 1 + \sqrt{2} \right ) \cdot \left ( 3\sqrt{2} - \sqrt{3} \right ) }{ \left ( 3\sqrt{2} + \sqrt{3} \right ) \cdot  \left ( 3\sqrt{2} - \sqrt{3} \right ) } = \dfrac{ 3\sqrt{2} - \sqrt{3} + 6 - \sqrt{6} }{ \left ( 3\sqrt{2} \right )^2 - \left ( \sqrt{3} \right )^2 } = \dfrac{ 3\sqrt{2} - \sqrt{3} + 6 - \sqrt{6} }{ 15 } $$

Veamos una serie de ejercicios para repasar lo que hemos visto:

Amplificamos la fracción por $ \sqrt{3} $: $$ \dfrac{\ 2\ }{\ \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 2 \sqrt{3}\ }{\ \sqrt{3} \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 2 \sqrt{3}\ }{3} $$

Amplificamos la fracción por $ \sqrt{5} $: $$ \dfrac{\ 1\ }{\ \sqrt{5}\ } = \dfrac{\ \sqrt{5}\ }{\ \sqrt{5} \sqrt{5}\ } = \dfrac{\ \sqrt{5}\ }{5} $$

Amplificamos la fracción por $ \sqrt{3} $: $$ \dfrac{\ 5\ }{\ 2 \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 5 \sqrt{3}\ }{\ 2 \sqrt{3} \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 5 \sqrt{3}\ }{ 2 \cdot 3 } = \dfrac{\ 5 \sqrt{3}\ }{ 6 } $$

Recordemos que $ \dfrac{\ \sqrt{2}\ }{\ \sqrt{3}\ } = \sqrt{ \dfrac{\ 2\ }{ 3 } } $
Amplificamos la fracción por $ \sqrt{3} $: $$ \dfrac{\ \sqrt{2}\ }{\ \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ \sqrt{2} \sqrt{3}\ }{\ \sqrt{3} \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ \sqrt{2 \cdot 3}\ }{ 3 } = \dfrac{\ \sqrt{6}\ }{ 3 } $$

Amplificamos la fracción por $ \sqrt{7} $: $$ \dfrac{\ 2 - \sqrt{2}\ }{\ \sqrt{7}\ } = \dfrac{\ \sqrt{7} \left (2 - \sqrt{2} \right ) \ }{\ \sqrt{7} \sqrt{7}\ } = \dfrac{\ \sqrt{7} \left (2 - \sqrt{2} \right ) \ }{ 7 } = \dfrac{\ 2\sqrt{7} - \sqrt{\ 2 \cdot 7 \ } \ }{ 7 } = \dfrac{\ 2\sqrt{7} - \sqrt{\ 14\ } \ }{ 7 } $$

Este ejercicio se puede hacer de dos formas:
$\odn{1}{a}$ Amplificamos la fracción por $ \sqrt{3} $: $$ \dfrac{\ 3\ }{\ 2\sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 3 \sqrt{3} \ }{\ 2 \sqrt{3} \sqrt{3}\ } = \dfrac{\ 3 \sqrt{3}\ }{ 2 \cdot 3 } = \dfrac{\ \cancel{3} \sqrt{3}\ }{ 2 \cdot \cancel{3} } = \dfrac{\ \sqrt{3}\ }{ 2 } $$

$\odn{2}{a}$ Simplificando, recordemos que $ 3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} $: $$ \dfrac{\ 3\ }{\ 2\sqrt{3}\ } = \dfrac{\ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\ }{\ 2\sqrt{3}\ } = \dfrac{\ \sqrt{3} \cdot \cancel{ \sqrt{3} }\ }{\ 2 \cancel{ \sqrt{3} }\ } = \dfrac{\ \sqrt{3}\ }{\ 2\ } $$

¿Amplificamos la fracción por $ \sqrt{8} $ o pensamos si podemos hace algo antes? ¿podemos sacar algún factor de la raíz? $$ \dfrac{\ 12\ }{\ \sqrt{8}\ } = \dfrac{\ 12 \ }{\ 2 \sqrt{2}\ } = \dfrac{\ \cancelto{6}{12} \ }{\ \cancel{2} \sqrt{2}\ } = \dfrac{\ 6 \ }{ \sqrt{2} } $$

Y ahora podemos amplificar o simplificar por $\sqrt{2}$, en este caso amplifico: $$ \dfrac{\ 6 \sqrt{2} \ }{\ \sqrt{2} \sqrt{2}\ } = \dfrac{\ 6 \sqrt{2}\ }{\ 2\ } = \dfrac{\ \cancelto{3}{6} \sqrt{2} \ }{\ \cancel{ 2 }\ } = 3 \sqrt{2} $$

Ahora el índice de la raíz no es 2. $$ \dfrac{1}{\ \sqrt[3]{\ 2\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt[3]{\ 2^2\ }}{\ \sqrt[3]{\ 2\ } \sqrt[3]{\ 2^2\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt[3]{\ 2^2\ }\ }{\ \sqrt[3]{\ 2^3\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt[3]{\ 4\ }\ }{2} $$

Ahora el índice de la raíz no es 2.

Veamos que $ \dfrac{3}{\ \sqrt[5]{\ 9\ }\ } = \dfrac{3}{\ \sqrt[5]{\ 3^2\ }\ } $

Tenemos que amplificar la fracción por $ \sqrt[5]{\ 3^3\ } $
$$ \dfrac{ 3 \cdot \sqrt[5]{\ 3^3\ }\ }{\ \sqrt[5]{\ 3^2\ } \cdot \sqrt[5]{\ 3^3\ } \ } = \dfrac{\ 3 \cdot \sqrt[5]{\ 3^3\ }\ }{\ \sqrt[5]{\ 3^5\ } } = \dfrac{\ 3 \cdot \sqrt[5]{\ 3^3\ }\ }{ 3 } = \dfrac{\ \cancel{3} \cdot \sqrt[5]{\ 3^3\ }\ }{ \cancel{3} } = \sqrt[5]{\ 3^3\ } = \sqrt[5]{\ 27 \ } $$

Ahora el índice de la raíz no es 2.

Veamos que $ \dfrac{ 10 }{\ 3 \ \sqrt[4]{\ 125\ }\ } = \dfrac{ 10 }{\ 3 \ \sqrt[4]{\ 5^3\ }\ } $

Tenemos que amplificar la fracción por $ \sqrt[4]{\ 5\ } $
$$ \dfrac{ 10 \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{\ 3 \sqrt[4]{\ 5^3\ } \cdot \sqrt[4]{\ 5\ } \ } = \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{\ 3 \sqrt[4]{\ 5^4\ } } = \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{ 3 \cdot 5 } = \dfrac{\ \cancelto{2}{10} \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{ 3 \cdot \cancel{5} } = \dfrac{2 \sqrt[5]{\ 3^3\ } }{3} $$

Ahora el índice de la raíz no es 2.

Solamente queremos quitar la raíz del denominador, la del numerador no nos molesta.

Tenemos que amplificar la fracción por $ \sqrt[3]{\ 5^2\ } $
$$ \dfrac{ \sqrt[5]{\ 25\ } \cdot \sqrt[3]{\ 5^2\ } }{\ 5 \cdot \sqrt[3]{\ 5\ }\ \cdot \sqrt[3]{\ 5^2\ } } = (*) $$ Para juntar estas dos raíces de distinto índice en una raíz con el mismo índice tenemos que poner índice común, que será el mínimo común múltiplo de ambos índices, es decir, usamos la propiedad:
$$ x^{ \frac{\ m\ }{\ n\ }\ } = \sqrt[n]{\ x^{m}\ } = \sqrt[p \cdot n]{\ x^{p \cdot m}\ } = x^{ \frac{\ p \cdot m\ }{\ p \cdot n\ }\ } $$ Además usaremos la siguiente propiedad: $$ \sqrt[n]{\ a \ } \cdot \sqrt[n]{\ b \ } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } \Leftrightarrow a^{ \frac{\ 1\ }{ n } } \cdot b^{ \frac{\ 1\ }{ n } } = \left ( a \cdot b \right )^{ \frac{\ 1\ }{ n } } $$ Haciendo operaciones con el numerador tenemos que:
$$ \sqrt[5]{\ 25\ } \cdot \sqrt[3]{\ 5^2\ } = \sqrt[5]{\ 5^2\ } \cdot \sqrt[3]{\ 5^2\ } = \sqrt[15]{\ 5^6\ } \cdot \sqrt[15]{\ 5^{10}\ } = \sqrt[15]{\ 5^6 \cdot 5^{10}\ } = \sqrt[15]{\ 5^{16}\ } = 5 \cdot \sqrt[15]{\ 5 \ } $$ Sustituyendo en $(*)$: $$ (*) = \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{\ 5 \cdot \sqrt[3]{\ 5^3\ } } = \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{ 3 \cdot 5 } = \dfrac{\ \cancelto{2}{10} \cdot \sqrt[4]{\ 5\ }\ }{ 5 \cdot \cancel{5} } = \dfrac{2 \sqrt[5]{\ 3^3\ } }{3} $$

Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $ \sqrt{\ 7\ } - \sqrt{\ 3\ } $, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 9\ }{\ \sqrt{\ 7\ } - \sqrt{\ 3\ }\ } = \dfrac{\ 9 \left ( \sqrt{\ 7\ } + \sqrt{\ 3\ } \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 7\ } - \sqrt{\ 3\ } \right ) \cdot \left ( \sqrt{\ 7\ } + \sqrt{\ 3\ } \right ) \ } = \dfrac{\ 9 \left ( \sqrt{\ 7\ } + \sqrt{\ 3\ } \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 7\ } \right )^2 - \left ( \sqrt{\ 3\ } \right )^2 \ } = \dfrac{\ 9 \left ( \sqrt{\ 7\ } + \sqrt{\ 3\ } \right )\ }{\ 7 - 3 \ } = \dfrac{\ 9 \left ( \sqrt{\ 7\ } + \sqrt{\ 3\ } \right )\ }{\ 4\ } $$

Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $ 7 + \sqrt{\ 7\ } $, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 7\ }{\ 7 - \sqrt{\ 7\ }\ } = \dfrac{\ 7 \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right )\ }{\ \left ( 7 - \sqrt{\ 7\ } \right ) \cdot \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right ) \ } = \dfrac{\ 7 \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right )\ }{\ 7^2 - \left ( \sqrt{\ 7\ } \right )^2 \ } = $$ $$ = \dfrac{\ 7 \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right )\ }{\ 49 - 7 \ } = \dfrac{\ 7 \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right )\ }{\ 42\ } = \dfrac{\ \cancel{7} \left ( 7 + \sqrt{\ 7\ } \right )\ }{\ \cancel{42}{6}\ } = \dfrac{\ 7 + \sqrt{\ 7\ } \ }{\ 6\ } $$

Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $ \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } $, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 4\ }{\ \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ }\ } = \dfrac{\ 4 \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } \right ) \ } = \dfrac{\ 4 \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 3\ } \right )^2 - \left ( \sqrt{\ 2\ } \right )^2 \ } = $$ $$ = \dfrac{\ 4 \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 3\ } \right )\ }{\ 3 - 2 \ } = \dfrac{\ 4 \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ 1\ } = 4 \left ( \sqrt{\ 3\ } - \sqrt{\ 2\ } \right ) $$

Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $ \sqrt{\ 8\ } - 2 $, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 5\ }{\ \sqrt{\ 8\ } + 2\ } = \dfrac{\ 5 \left ( \sqrt{\ 8\ } - 2 \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 8\ } + 2 \right ) \cdot \left ( \sqrt{\ 8\ } - 2 \right ) \ } = \dfrac{\ 5 \left ( \sqrt{\ 8\ } - 2 \right )\ }{\ \left ( \sqrt{\ 8\ } \right )^2 - 2^2 \ } = $$ $$ = \dfrac{\ 5 \left ( \sqrt{\ 8\ } - 2 \right )\ }{\ 8 - 4 \ } = \dfrac{\ 5 \left ( \sqrt{\ 8\ } - 2 \right )\ }{\ 4\ } $$

Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $ 1 + \sqrt{\ 3\ } $, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 1 + \sqrt{\ 2\ } }{\ 1 - \sqrt{\ 3\ }\ } = \dfrac{\ (1 + \sqrt{\ 2\ } )(1 + \sqrt{\ 3\ }\ ) }{\ (1 - \sqrt{\ 3\ } )(1 + \sqrt{\ 3\ })\ } = \dfrac{\ 1 + \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 2\ } \sqrt{\ 3\ }\ }{\ 1 - (\sqrt{\ 3\ } )^2\ } = \dfrac{\ 1 + \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 1 - 3\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 1 + \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 6\ }\ }{\ - 2\ } = \dfrac{\ - (1 + \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 2\ } + \sqrt{\ 6\ })\ }{2} $$

Tenemos que amplificar la fracción por $ \sqrt{\ x\ }$:
$$ \dfrac{\ 2 - \sqrt{\ x\ }\ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ x\ }\ } = \dfrac{\ (\ 2 - \sqrt{\ x\ }\ )( \sqrt{\ x\ }\ ) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ x\ } \cdot \sqrt{\ x\ }\ } = \dfrac{\ 2 \cdot \sqrt{\ x\ } - x \ }{\ 2 \cdot x\ } $$

Este ejercicio tiene una raíz de raíz en el denominador. Vamos poco a poco, $\odn{1}{o}$ quitamos la raíz que contiene a la raíz:
$$ \dfrac{\ 1\ }{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ }\ }{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \cdot \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ \ } } = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ }\ }{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } = $$
Ahora quitamos la raíz que queda, multiplicando por el conjugado $ 3 - \sqrt{\ 2\ }$

$$ = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \cdot \left ( 3 - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ \left ( 3 + \sqrt{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( 3 - \sqrt{\ 2\ } \right )\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \cdot \left ( 3 - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ 3^2 - \left ( \sqrt{\ 2\ } \right )^2\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \cdot \left ( 3 - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{\ 9 - 2\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 3 + \sqrt{\ 2\ }\ } \cdot \left ( 3 - \sqrt{\ 2\ } \right )\ }{ 7 } $$

Tenemos que amplificar la fracción por $ a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ }$, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 2 \cdot a }{\ a \cdot \sqrt{\ x\ } + 3 \cdot \sqrt{\ a\ }\ } = \dfrac{\ 2 \cdot a \cdot ( a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ } ) }{\ (a \cdot \sqrt{\ x\ } + 3 \cdot \sqrt{\ a\ }) \cdot (a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ })\ } = \dfrac{\ 2 \cdot a \cdot (a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ })\ }{\ (a \cdot \sqrt{\ x\ })^2 - (3 \cdot \sqrt{\ a\ })^2\ } = $$
$$ = \dfrac{\ 2 \cdot a \cdot (a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ })\ }{\ a^2 \cdot x - 9 \cdot a\ } = \dfrac{\ 2 \cdot \cancel{a} \cdot (a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ })\ }{\ \cancel{a} \cdot (a \cdot x - 9 ) } = \dfrac{\ 2 \cdot (a \cdot \sqrt{\ x\ } - 3 \cdot \sqrt{\ a\ })\ }{\ a \cdot x - 9 } $$

Tenemos que amplificar la fracción por $ 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ }$, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{\ 4 \cdot a - x }{\ 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } - x \cdot \sqrt{\ a\ }\ } = \dfrac{\ ( 4 \cdot a - x )\cdot ( 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ } ) }{\ (2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } - x \cdot \sqrt{\ a\ }) \cdot (2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ })\ } = \dfrac{\ ( 4 \cdot a - x ) \cdot ( 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ } ) }{\ 4 \cdot a^2 \cdot x - x^2 \cdot a\ } = $$
$$ = \dfrac{\ ( 4 \cdot a - x ) \cdot ( 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ } ) }{\ a \cdot x \cdot (4 \cdot a - x)\ } = \dfrac{\ \cancel{(4 \cdot a - x)} \cdot ( 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ } ) }{\ a \cdot x \cdot \cancel{(4 \cdot a - x)}\ } = \dfrac{\ 2 \cdot a \cdot \sqrt{\ x\ } + x \cdot \sqrt{\ a\ }\ }{\ a \cdot x\ } $$

Tenemos que amplificar la fracción por $ 2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ })$, para aplicar la identidad notable:
\[ \left (a + b \right ) \cdot \left (a - b \right ) = a^2 - b^2 \]
$$ \dfrac{ 6 }{\ 2 + (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ })\ } = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ [2 + (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ] \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ })]\ } = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ 2^2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ })^2\ } = $$
$$ = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ 4 - (5 - 2 \sqrt{\ 15\ } + 3)\ } = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ 4 - 8 + 2 \sqrt{\ 15\ }\ } = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ 4 - (8 - 2 \sqrt{\ 15\ })\ } = \dfrac{\ 6 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ 2 \sqrt{\ 15\ } - 4\ } = $$ $$ = \dfrac{\ \cancelto{3}{6} \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ \cancel{2} \cdot (\sqrt{\ 15\ } - 2)\ } = \dfrac{\ 3 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ]\ }{\ \sqrt{\ 15\ } - 2\ } = $$
Ahora ya tenemos una ráiz y amplificamos por $ \sqrt{\ 15\ } + 2 $: $$ = \dfrac{\ 3 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ] \cdot (\sqrt{\ 15\ } + 2) \ }{\ (\sqrt{\ 15\ } - 2) \cdot (\sqrt{\ 15\ } + 2)\ } = \dfrac{\ 3 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ] \cdot (\sqrt{\ 15\ } + 2) \ }{\ 15 - 4\ } = \dfrac{\ 3 \cdot [2 - (\sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 3\ }) ] \cdot (\sqrt{\ 15\ } + 2) \ }{\ 11\ } $$

Agrupamos convenientemente para aplicar suma por diferencia de cuadrados:
$$ \dfrac{\ 4\ }{\ \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } + \sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{\ 4\ }{\ \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } + \sqrt{\ 6\ }\ } \cdot \dfrac{\ ( \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } ) - \sqrt{\ 6\ }\ }{\ ( \sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } ) - \sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{\ 4 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } -\sqrt{\ 6\ })\ }{\ (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } )^2 - \sqrt{\ 6\ }^2\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 4 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ })\ }{\ 8 + 2 \cdot \sqrt{15} - 6\ } = \dfrac{\ 4 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ })\ }{\ 2 + 2 \cdot \sqrt{15} \ } = \dfrac{\ 4 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ })\ }{\ 2 \cdot (1 + \sqrt{15} )\ } = $$ Ahora ya tenemos una sola raíz cuadrada, amplificamos por el conjugado: $$ = \dfrac{\ \cancelto{2}{4} \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ })\ }{\ \cancel{2} \cdot (1 + \sqrt{15} )\ } \cdot \dfrac{ \sqrt{\ 15\ } - 1}{\ \sqrt{\ 15\ } - 1\ } = \dfrac{\ 2 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ } ) \cdot (\sqrt{\ 15\ } - 1)\ }{\ \sqrt{15}^2 - 1^2\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 2 \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ } ) \cdot (\sqrt{\ 15\ } - 1)\ }{\ 15 - 1\ } = \dfrac{\ \cancel{2} \cdot (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ } ) \cdot (\sqrt{\ 15\ } - 1)\ }{ \cancelto{7}{14} } = $$ $$ = \dfrac{\ (\sqrt{\ 3\ } + \sqrt{\ 5\ } - \sqrt{\ 6\ }) \cdot (\sqrt{\ 15\ } - 1)\ }{7} $$

Racionalización de suma y resta de raíces cúbicas

• Si el denominador de la fracción contiene dos términos, y los dos son una raíz cúbica, resta o suma de ellas.

I) En el denominador hay una resta de dos raíces cúbicas. Utilizaremos la siguiente identidad

\[ a^3 - b^3 = \left (a - b \right ) \cdot \left (a^2 + ab + b^2 \right ) \]

Ejemplo:

Vamos a racionalizar la siguiente expresión $ \dfrac{8}{ \sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{5}} $

En este caso $a = \sqrt[3]{7}$ y $b = \sqrt[3]{7}$, multiplicamos numerador y denominador por $a^2 + ab + b^2$,

que en este caso será $\sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} $

$$ \dfrac{8}{ \sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{5}} = \dfrac{8 \cdot \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) }{ \left ( \sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{5} \right ) \cdot \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) } = $$

$$ = \dfrac{8 \cdot \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) }{ \sqrt[3]{7^3} + \sqrt[3]{7^2 \cdot 5} + \sqrt[3]{7 \cdot 5^2} - \sqrt[3]{5 \cdot 7^2} - \sqrt[3]{5^2 \cdot 7} - \sqrt[3]{5^3} } = \dfrac{8 \cdot \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) }{ 7 - 5 } = $$

$$ = \dfrac{ 8 \cdot \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) }{ 2 } = 4 \left ( \sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 5} + \sqrt[3]{5^2} \right ) $$

II) En el denominador hay una suma de dos raíces cúbicas. Utilizaremos la siguientidad identidad

\[ a^3 + b^3 = \left (a + b \right ) \cdot \left (a^2 - ab + b^2 \right ) \]

Ejemplo:

Vamos a racionalizar la siguiente expresión $ \dfrac{18}{ \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{3}} $

En este caso $a = \sqrt[3]{6}$ y $b = \sqrt[3]{3}$, multiplicamos numerador y denominador por $a^2 - ab + b^2$,

que en este caso será $\sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} $

$$ \dfrac{18}{ \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{3}} = \dfrac{18 \cdot \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) }{ \left ( \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{3} \right ) \cdot \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) } = $$

$$ = \dfrac{18 \cdot \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) }{ \sqrt[3]{6^3} - \sqrt[3]{6^2 \cdot 3} + \sqrt[3]{6 \cdot 3^2} + \sqrt[3]{6^2 \cdot 3} - \sqrt[3]{6 \cdot 3^2} + \sqrt[3]{3^3} } = \dfrac{18 \cdot \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) }{ 6 + 3 } = $$

$$ = \dfrac{ 18 \cdot \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) }{ 9 } = 2 \left ( \sqrt[3]{6^2} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \right ) $$

¿Como se racionalizaría por ejemplo una suma o una resta de raíces de índice superior a 3?

Veamos unos ejemplos: $$ \dfrac{18}{\ \sqrt[4]{\ 7\ } - \sqrt[4]{\ 3\ }\ } $$ $$ \dfrac{18}{\ \sqrt[4]{\ 6\ } + \sqrt[4]{\ 13\ }\ } $$ $$ \dfrac{14}{\ \sqrt[5]{\ 11\ } - \sqrt[5]{\ 4\ }\ } $$ $$ \dfrac{19}{\ \sqrt[5]{\ 6\ } + \sqrt[4]{\ 13\ }\ } $$ Proximamente en otra entrada.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com