Autor del blog  Raαε  IRa´πz  Gaτςι´@R2G


El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


Cuando uno enseña, dos aprenden. «Robert Heinlein»


Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

lunes, 7 de diciembre de 2020

Teoremas del seno, coseno y de la tangente

 Teorema del seno:

Para entender mejor el teorema del seno necesitamos 3 resultados geométricos: 

1.- Dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales. 


2.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 


Teorema del seno: 





El teorema del seno es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos

 asenA^=bsenB^=csenC^=2R 

donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

Teorema del coseno: 

Teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos. El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.





 a2=b2+c22bccosA^b2=a2+c22accosB^c2=a2+b22abcosC^ 

Veamos como podemos saber el tipo de triángulo según sus ángulos usando el Teorema del coseno:
  • Si tiene una ángulo recto A^= π 2cosA^=0, triángulo rectángulo se cumple:
    a2=b2+c22bccosA^a2=b2+c2 (Teorema de Pitágoras)
  • Si tiene una ángulo obtuso A^> π 2cosA^<0, triángulo obtusángulo se cumple:
    a2=b2+c22bccosA^a2>b2+c2
  • Si tiene una ángulo agudo A^< π 2cosA^>0, triángulo acutángulo se cumple:
    a2=b2+c22bccosA^a2<b2+c2
Ocurre lo mismo si cogemos el ángulo B^ o el ángulo C^.



Teorema del coseno (Usando el Producto Escalar) 

El teorma del coseno se puede demostrar también usando el producto escalar. Del dibujo tenemos:

AB+BC=ACBC=ACAB 

BCBC=(ACAB)(ACAB)=ACAC+ABAB2ACAB

Recapitulando:

|BC|2=|AC|2+|AB|22|AC||AB|cosA^

Es decir

a2=b2+c22bccosA^




Ventajas e incovenientes de usar el teorema del seno o del coseno



Teorema
del seno
Teorema
del coseno
Ventajas Fácil de calcular El coseno de un ángulo tiene un
único valor entre 0 y π radianes.
Incovenientes El seno de un ángulo y su suplementario
tienen el mismo valor.
Dos posibles soluciones.
No es tan fácil de calcular
como el Teorema del seno.



Teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos.

Para demostrar el teorema de la tangente tenemos que hacer uno de una propiedad de las proporciones:

xy=zt    xt=yz    entonces  x+yxy=z+tzt

Tenemos   asenA^=bsenB^    ab=senA^senB^ 

Aplicando esta propiedad al teorema del seno: 

a+bab=senA^+senB^senA^senB^=2sen(A^+B^2)cos(A^B^2)2cos(A^+B^2)sen(A^B^2)=tg(A^+B^2)tg(A^B^2)


 a+bab=tg(A^+B^2)tg(A^B^2)=2Ra+cac=tg(A^+C^2)tg(A^C^2)=2Rb+cbc=tg(B^+C^2)tg(B^C^2)=2R 

Entrada del blog donde se explican la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, y el seno, coseno de la suma de ángulos.

Entrada del blog donde se indican las razones trigonométricas de los ángulos notables entre [0,2π] y las conversiones de grados a radianes, de radianes a grados, de grados decimales a sexagesimales y de grados sexagesimales a decimales.



Vamos con algunos ejercicios de resolución de triángulos no rectángulos



Cosas a tener en cuenta:
  1. La suma de los ángulos internos de un triángulo suma 180=A^+B^+C^.

  2. Las longitudes de los Lados del Triángulo deben cumplir la condición de existencia del triángulo que establece, que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera siempre debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Este es un pilar fundamental en la definición de un triángulo.

    {a+b>ca+c>bb+c>a
  3. El lado más largo se encuentra frente al ángulo más grande y el lado más pequeño frente al ángulo más pequeño.






Queremos calcular el lado c, para ello usaremos el Teorema del Coseno: c2=a2+b22bccosC^ Sustituyendo las variables por su valor, que cos120= 1 2 tenemos que:
c2=52+32253cos120c2=25+9253( 1 2) c2=25+9+15c2=49c=7 Ahora calculamos cualquiera de los ángulos que nos quedan A^ o B^, vamos con B^: b2=a2+c22accosB^2accosB^=a2+c2b2cosB^= a2+c2b2 2ac Sustituyendo los datos en las variables: cosB^= a2+c2b2 2ac= 52+7232 257= 65 70= 13 14 Es decir: B^=arccos( 13 14)=21,79=214724 Y por tanto A^=38,21=381236





martes, 24 de noviembre de 2020

Divisores naturales y enteros de un número entero.



 Vamos a ver como calcular los divisores naturales de un número entero. Vamos con un ejemplo.

Ejemplo 1: Calcular los divisores de 72:

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:


2. Tenemos el número como producto de potencias de números primos. Para calcular el número de divisores de un número, se multiplican los exponentes de los factores primos aumentados en una unidad. En este caso, los exponentes son 3 y 2, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:



(3+1)(2+1)=43=12 divisores naturales

3. Para calcular los mismos, construimos una tabla, en la parte superior, ponemos los divisores de una de las dos potencias de primos, por ejemplo, los divisores de 23, que son: 1, 21, 22 y 23 y en el parte lateral, los divisores de la otra potencia, la de 32, es decir, 1, 31 y 32.



Ahora rellenamos la tabla, multiplicando el 1 por 1, 2, 4 y 8. El 3 por 1, 2, 4 y 8 y así sucesivamente. Es decir,



En esta tabla tenemos los 12 divisores naturales del número 72. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 24 divisores enteros del número 72. 


En este ejemplo, el número 72 es producto de dos potencias de números primos. Pero, ¿qué pasa si el número es potencia de tres o más números primos? Veamos otro ejemplo.


Ejercicios:


362182 9336=2232 33 3El número de divisores es (2+1)(2+1)=33=9 12 4   11 2 433 612991836






75325575=3152 55 1El número de divisores es (1+1)(2+1)=23=6 1 5 25   11 525331575






1082542273108=323393331El número de divisores es (2+1)(3+1)=34=12 1 2  4112433612991836272754108






1962982497196=2272771El número de divisores es (2+1)(2+1)=33=9 1 2  41124771428493998196






20021002502200=2352255551El número de divisores es (3+1)(2+1)=43=12 1 2 4  81124855102040252550100200






2253753255225=3252551El número de divisores es (2+1)(2+1)=33=9 1 5 25115253315759945225






500225021255500=2353255551El número de divisores es (3+1)(3+1)=44=16 1 2  41124551020252550100125125250200





Ejemplo 2: Vamos a calcular los divisores naturales de 1.400.

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:



2. Ahora calculamos el número de divisores. Cogemos los exponentes, les sumamos 1 y los multiplicamos. En este caso, los exponentes son 3, 2 y 1, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:


(3+1)(2+1)(1+1)=432=24 divisores naturales

3. Como tenemos 3 potencias de números primos, cogemos dos de ellos y hacemos la tabla anterior. Después haremos otra tabla más, en la parte superior pondremos los divisores ordenados obtenidos en la primera tabla y en el lateral, los divisores de la potencia del primo que nos queda. Vamos paso a paso.

4. Construimos la tabla con los divisores del 23 en la parte superior y los de 52 en el lateral:



5. Cogemos ahora los divisores calculados en la tabla anterior y los ponemos ordenados de forma creciente en la parte superior y en el lateral los divisores de 7:



6. Así hemos calculado los 24 divisores naturales de 1.400. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 48 divisores enteros del número 1.400. 


NOTA: Para calcular los divisores de un número, construiremos las tablas necesarias para ello, siempre será una tabla menos que el número de factores primos que aparecen en la descomposición del número que nos piden.

NOTA: Para calcular los divisores enteros de un número natural o entero, al calcular los divisores lo único que haremos será añadir el ± a cada uno de los divisores.


Ejercicios:


30021502753300=223152255551El número de divisores es (2+1)(1+1)(2+1)=323=18 1 2 4112433612
Ahora necesitamos una 2a tabla para terminar de calcular los divisores de 300:
 1 2 3 4 6 121123461255101520306025255075100150300






36021802902360=233251453153551El n de divisores es (3+1)(2+1)(1+1)=432=24 1 2 4 811248336122499183672
Ahora necesitamos una 2a tabla para terminar de calcular los divisores de 360:
 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 72112346891218243672551015203040456090120180360






600230021502753600=233152255551El n de divisores es (3+1)(1+1)(2+1)=423=24 1 2 4 8112483361224
Ahora necesitamos una 2a tabla para terminar de calcular los divisores de 600:
 1 2 3 4 6 8 12 24112346812245510152030406012025255075100150200300600






980249022455980=225172497771El n de divisores es (2+1)(1+1)(2+1)=323=18 1 2 41124551020
Ahora necesitamos una 2a tabla para terminar de calcular los divisores de 980:
  1 2 4 5 10 201124510207714283570140494998196245490980





Ejercicio: calcula los divisores de 6300.



Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com






Calculadora de divisores
Calcula los divisores de un número.

lunes, 16 de noviembre de 2020

Trigonometría. Interpretación geométrica de las razones trigonométricas. Seno, coseno de la suma de ángulos.

Veamos una imagen que explica la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante:




El COSENO y la COTANGENTE de un ángulo α se llaman precisamente COseno y COtangente porque son, respectivamente, el seno y la tangente del ángulo COmplementario a α (que es 90α o en radianes  π 2α).

Un esquema con el signo de las razones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes: 







Veamos ahora en una simulación de GeoGebra



Si quieres, aquí tienes el enlace de Geogebra


Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos: 

Si quieres, aquí tienes el enlace de Geogebra.

Entrada del blog donde se indican las razones trigonométricas de los ángulos notables entre [0,2π] y las conversiones de grados a radianes, de radianes a grados, de grados decimales a sexagesimales y de grados sexagesimales a decimales.

Entrada del blog donde se indican los teoremas del seno, coseno y de la tangente.

jueves, 5 de noviembre de 2020

Ortografía. Signos ortográficos. Rae: diccionario y preguntas frecuentes.

Una de las cosas que más me llama la atención en el instituto es cuando hablamos de la letra «ñ». Los alumnos no saben como se llama el símbolo que está sobre la letra «n». Personalmente el nombre me encanta y la mayoría de los alumnos ni llegan a imaginarse que tiene un nombre. Por internet vi está imagen que como dice el refrán «una imagen vale más que mil palabras». 


También me llama la atención la cantidad de faltas de ortografía que cometen los alumn@s. Tenemos el diccionario en internet y aplicación para el móvil de la Real Academia de la Lengua. Además la página web de la RAE tiene una sección de preguntas frecuentes.

Otra foto que sirve de ayuda a la hora de la puntuación



Truco: 

El truco para saber siempre si es «a ver» o «haber»
En la mayoría de los casos, la secuencia «a ver» puede reemplazarse por «veamos».


Espero que os sirva. Seguiremos actualizando esta sección. 





miércoles, 4 de noviembre de 2020

Fracciones parciales. Descomposición de fracciones algebraicas en fracciones más sencillas.

 Fracciones Parciales


Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes son iguales.

Si dos polinomios son iguales, coincide su valor para cualquier valor de x.


Fracciones Propias e Impropias

Definición: Se dice que una fracción racional P(x)Q(x) es una fracción propia, si el grado del polinomio P(x) es menor que el grado del polinomio Q(x). En caso contrario, es decir, si el grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia. 

Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio mas una fracción propia. Es decir, 

P(x)Q(x)=C(x)+d(x)Q(x)

Vamos a descomponer un fracción propia en suma de fracciones más sencillas. Tenemos 4 casos:

Caso I: El denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos. Esto significa que podemos escribir

Q(x)=(a1x+b1)(a2x+b2)(akx+bk)

en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes A1,A2,,Ak tales que

P(x)Q(x)=A1a1x+b1+A2a2x+b2++Akakx+bk

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales la fracción: 7x+3x2+3x4

Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como sigue:

x2+3x4=(x+4)(x1)

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

7x+3x2+3x4=7x+3(x+4)(x1)=Ax+4+Bx1

Para encontrar los valores de A y B, ponemos común denominador, obteniendo

7x+3=A(x1)+B(x+4)

En este punto tenemos dos opciones:

     a) Desarrollando e igualando las potencias de x y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

        7x+3=AxA+Bx+4B 

    De x tenemos que 7x=Ax+Bx;

    del término independiente 3=A+4B



    b) Calculando valores de los polinomios. ¿Qué valores de x vamos a coger? Está claro, ¿no? Cogeremos las raíces, x=1 y x=4



Por lo que la fracción original queda:

7x+3x2+3x4=5x+4+2x1


Ejemplo 2 x2+2x12x3+3x22x

Solución Se tiene que el denominador se puede factorizar como sigue:

2x3+3x22x=x(2x2+3x2)=x(2x1)(x+2)

Luego, la descomposición en fracciones parciales es:

x2+2x1x(2x1)(x+2)=Ax+B2x1+Cx+2

Ponemos denominador común y tenemos: 

x2+2x1x(2x1)(x+2)=A(2x1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x1)x(2x1)(x+2)

igualando numeradores se obtiene

x2+2x1=A(2x1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x1)(1)

En este punto tenemos dos opciones:

a) Desarrollando e igualando las potencias de x y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: \

x2+2x1=A(2x2+4xx2)+B(x2+2x)+C(2x2x)

x2+2x1=2Ax2+3Ax2A+Bx2+2Bx+2Cx2Cx

x2+2x1=x2(2A+B+2C)+x(3A+2BC)2A




es decir

A=12,B=15,yC=110

así

x2+2x12x3+3x22x=12x+152x1+110x+2=12x+15(2x1)110(x+2)

    b) Calculando valores de los polinomios. Si en (1) damos valores tenemos:

x2+2x1=A(2x1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x1)

x=01=2AA=12

x=21=C(2)(2(2)1)1=10CC=110

x=1214=B12(12+2)14=B54B=15


  Caso II: El denominador Q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Si Q(x) tiene un factor lineal repetido k veces de la forma (a1x+b1)k, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene k términos de la forma:

A1a1x+b1+A2(a1x+b1)2++Ak(a1x+b1)k donde A1,A2,,Ak son constantes.  \

Ejemplo 3 Descomponer en fracciones parciales:

5x236x+48x(x4)2

La descomposicion en fracciones parciales es:

5x236x+48x(x4)2=Ax+B(x4)+C(x4)2

Poniendo denominador común

5x236x+48x(x4)2=A(x4)2+Bx(x4)+Cxx(x4)2

Igualando numeradores tenemos 

5x236x+48=A(x4)2+Bx(x4)+Cx(2)

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de x y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

5x236x+48=A(x28x+16)+B(x24x)+Cx

5x236x+48=x2(A+B)+x(8A4B+C)+16A

obteniendo el sistema:

Luego:

5x236x+48x(x4)2=3x+2x44(x4)2

   b) Calculando valores de los polinomios. Si damos valores en (2) tenemos: \ \ 

x=048=16AA=4816=3 \ \

x=416=4CC=164=4 \ \

x=117=9A3B+C17=273B46=3BB=2

Ejemplo 4 Descomponer en fracciones parciales:

4x4x34x2+4x

Factorizamos el denominador

x34x2+4x=x(x2)2 

Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es:

4x4x(x2)2=Ax+Bx2+C(x2)2

poniendo común denominador:

4x4x(x2)2=A(x2)2+Bx(x2)+Cxx(x2)2

igualando numeradores tenemos: 

4x4=A(x2)2+Bx(x2)+Cx(4) 

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de x y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

4x4=A(x2)2+Bx(x2)+Cx

4x4=Ax24Ax+4A+Bx22Bx+Cx

obteniendo el sistema:

Luego:

4x4x34x2+4x=1x+1x22(x2)2 

   b) Calculando valores de los polinomios. Si damos valores en (4) tenemos:

x=24=2CC=42=2

x=04=4AA=44=1

x=10=AB+CB=A+C=21=1



Ejemplo 5 Descomponer en fracciones parciales una fracción impropia:

x42x2+4x+1x3x2x+1

Comenzaremos por dividir los polinomios

x42x2+4x+1x3x2x+1=x+1+4xx3x2x+1

luego, factorizando el denominador x3x2x+1 resulta

x3x2x+1=(x+1)(x1)2

Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es:

4x(x+1)(x1)2=Ax1+B(x1)2+Cx+1

poniendo denominador común:

4x=A(x+1)(x1)+B(x+1)+C(x1)2(5)

4x=A(x21)+B(x+1)+C(x22x+1)

4x=x2(A+C)+x(B2C)A+B+C

En este punto tenemos dos opciones:

    a) Desarrollando e igualando las potencias de x y el término independiente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:


del cual de obtiene: A=1,B=2 y C=1 de modo que

x42x2+4x+1x3x2x+1=x+1+1x1+2(x1)21x+1

   b) Si damos valores en (5) tenemos:

x=14=2BB=2

x=14=4CC=1

x=00=A+B+C0=A+21A=1


Al principio habéis visto que habría 4 casos, los dos que quedan los añadiré más adelante. 



A continuación proponemos unos cuantos ejercicios:



Lo primero que tenmos que haces es factorizar el denominador: x25x+6. Podemos usar la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado o Ruffini. Sea el método que sea, vemos que podemos factorizar el denominador x25x+6=(x2)(x3)

Así sabemos que 5x+13x25x+6=Ax2+Bx3 con A y B constantes.

5x+13x25x+6=Ax2+Bx3=A(x3)+B(x2)(x2)(x3) Ahora tenemos que ver que 5x+13=A(x3)+B(x2) y para resolver esto, es decir, que dos polinomios son iguales lo podemos hacer de dos formas:
  1. Igualando coeficientes
  2. Evaluando valores

Vamos hacerlo evaluando valores:

Si x=252+13=B23=BB=23

Si x=353+13=AA=28

Luego 5x+13x25x+6=28x323x2






Lo primero que tenmos que haces es factorizar el denominador: x3+6x2+11x+6. Usaremos Ruffini para calcuar las posibles raíces, vemos que las raíces no pueden ser positivas ya que nunca sería cero. Probamos con -1 y vemos que es raíz. Así tenemos que x3+6x2+11x+6=(x+1)(x2+5x+6) Si seguimos aplicando Ruffini tenemos que x3+6x2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3).

Así sabemos que 6x2+22x+18x3+6x2+11x+6=Ax+1+Bx+2+Cx+3 con A, B y C constantes.

6x2+22x+18x3+6x2+11x+6=Ax+1+Bx+2+Cx+3=A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)(x+1)(x+2)(x+3) Ahora tenemos que ver que 6x2+22x+18=A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2) y para resolver esto, es decir, que dos polinomios son iguales lo podemos hacer de dos formas:
  1. Igualando coeficientes
  2. Evaluando valores

Vamos hacerlo evaluando valores:

Si x=16(1)2+22(1)+18=A(1+2)(1+3)2=2AA=1

Si x=26(2)2+22(2)+18=B(2+1)(2+3)2=BB=2

Si x=36(3)2+22(3)+18=C(3+1)(3+2)6=2CC=3

Luego 6x2+22x+18x3+6x2+11x+6=1x+1+2x+2+3x+3





En este caso el grado de los polinomios del numerador y denominador son iguales, tenemos que hacer la división «en caja» y nos quedará:
(x2+4x+6)=(x23x+2)(1)(7x+4)x2+4x+6x23x+2=17x+4x23x+2 Luego tenemos que descomponer 7x+4x23x+2 es fracciones simples:

El denominador x23x+2, como 1 es raíz se factoriza rápidamente x23x+2=(x1)(x2) luego

7x+4x23x+2=Ax1+Bx2=A(x2)+B(x1)x23x+2

Evaluando tenemos:

Si x=171+4=AA=11

Si x=272+4=BB=18

Luego 7x+4x23x+2=11x1+18x2 y por tanto x2+4x+6x23x+2=17x+4x23x+2=118x2+11x1






2x2+1x1+1(x1)2






2(x2)22x+32x1






1+3x2+14x+32x3+2x24x8=1+3x26x+2+2(x+2)2




Caso III: El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite.
Si Q(x) tiene un factor cuadrático no repetido de la forma ax2+bx+c, en donde, b24ac<0, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma:
Ax+Bax2+bx+c donde A y B son constantes 
Ejemplo 6 Descomponer en fracciones parciales: 4x28x+1x3x+6 Tenemos que 4x28x+1x3x+6=4x28x+1(x+2)(x22x+3)=Ax+2+Bx+Cx22x+3 multiplicando por el común denominador: 4x28x+1=A(x22x+3)+(Bx+C)(x+2)(4) 4x28x+1=Ax22Ax+3A+Bx2+2Bx+Cx+2C 4x28x+1=x2(A+B)+x(2A+2B+2C)+3A+2C obteniendo el sistema {A+B=4B=4A2A+2B+C=83A+2C=1C=13A2 Por lo tanto, 2A+2(4A)+13A2=84A+164A+13A=1611A=33A=3 Luego B=43=1 y C=192=82=4 Así:
4x28x+1x3x+6=3x+2+x4x22x+3 Si tomamos valores en (4) tenemos:

x=233=A11A=3

x=01=3A+2C19=2C8=2CC=4

x=13=2A+(B+C)33=6+3B129=6+3B3=3BB=1


Ejemplo 7: 2x2x+4x3+4x
Solución Se tiene que la fracción se puede descomponer de la siguiente forma:
2x2x+4x3+4x=2x2x+4x(x2+4)=Ax+Bx+Cx2+4 De donde se obtiene multiplicando por el común denominador:
2x2x+4=A(x2+4)+(Bx+C)x(5) 2x2x+4=Ax2+4A+Bx2+Cx 2x2x+4=x2(A+B)+Cx+4A {A+B=2C=14A=4A=1 A+B=2A=1. Por lo cual 2x2x+4x3+4x=1x+x1x2+4
Si tomamos valores en (5)

x=04=A4A=1

x=15=A5+(B+C)B=C

x=17=5(B+C)2=2CC=1B=1

Caso IV: El denominador Q(x) contiene un factor irreductible repetido.

Si Q(x) tiene un factor cuadrático repetido k veces de la forma (ax2+bx+c)k, donde b24ac<0, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene k términos de la forma: A1x+B1ax2+bx+c+A2x+B2(ax2+bx+c)2++Akx+Bk(ax2+bx+c)k donde A1,A2,,Ak, y B1,B2,Bk son constantes.

Ejemplo 8: Descomponer en fracciones parciales 1x+2x2x3x(x2+1)2 Solución: La forma de descomponer esta division de polinimios en fracciones parciales es: 1x+2x2x3x(x2+1)2=Ax+Bx+Cx2+1+Dx+E(x2+1)2 Multiplicando por x(x2+1)2 y luego igualando coeficientes
1x+2x2x3=A(x2+1)2+(Bx+C)x(x2+1)+x(Dx+E)(6) 1x+2x2x3=A(x4+2x2+1)+(Bx+C)(x3+x)+Dx2+Ex 1x+2x2x3=A(x4+2x2+1)+Bx4+Bx2+Cx3+Cx+Dx2+Ex 1x+2x2x3=x4(A+B)+x3C+x2(2A+B+D)+x(C+E)+A se obtiene el siguiente sistema: {A+B=0C=12A+B+D=2C+E=1A=1 Cuya solución es: A=1, como B=AB=1, como C=1E=0 y así D=1.
Entonces 1x+2x2x3x(x2+1)2=1xx+1x2+1+x(x2+1)2
Tomando valores en (6) tenemos:
x=01=A

x=11=4A+2(B+C)+(D+E)3=2B+2C+D+E

x=15=4A2(B+C)(D+E)1=2B2C+DE

x=21=25A+10(2B+C)+2(2D+E)26=20B+10C+4D+2E

x=219=25A10(2B+C)2(2D+E)6=20B10C+4D2E

se obtiene el siguiente sistema: {2B+2C+D+E=32B2C+DE=120B+10C+4D+2E=2620B10C+4D2E=6 Sumamos la 1a y 2a ecuación y tenemos: (a) 1=2B+D

Sumamos la 3a y 4a ecuación y tenemos: (b) 4=5B+D

Restamos (a) y (b):3=3BB=1D=1

Restamos la 1o y 2a ecuación y tenemos: (c) 2=2C+E

Restamos la 3a y 4a ecuación y tenemos: (d) 5=5C+E

Restamos (c) y (d):3=3CC=1E=0

Ejemplo 9: x3x4+4x2+4 Solución La forma de descomponer esta division de polinimios en fracciones parciales es: x3x4+4x2+4=Ax+Bx2+2+Cx+D(x2+2)2
Multiplicando por el mínimo común múltiplo y luego igualando coeficientes
x3=(Ax+B)(x2+2)+(Cx+D)(7)
x3=Ax3+2Ax+Bx2+2B+Cx+D
x3=Ax3+Bx2+x(2A+C)+2B+D
se obtiene el siguiente sistema: {A=1B=02A+C=0C=22B+D=0D=0 En este caso no merece la pena tomar valores en x, pero ser puede hacer sin problemas.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

lunes, 26 de octubre de 2020

Racionalizar

¿Qué es racionalizar?

¿Qué es un radical? Es aquel número que no puede ser simplificado para extraer su raíz, es decir, que no es una raíz exacta y por ello el signo del radical aparece, es decir, una potencia cuyo exponente es una fracción irreducible. Ejemplos:

2;23;57;...





Recordemos que:
an=a1n y amn=amn Ejemplos:
5=51273=713165=1615=245 Además:  an n=( a n)n=a o lo que es lo mismo: aa2- veces=a
a3a3a33- veces=a
a4a4a4a44- veces=a

anananann- veces=a
Ejemplos:
(5)2= 52 =5737373=7 566=534343434=3

Antes de racionalizar vamos a recordar algunas propiedades. La primera, potencias, con algunos ejercicios sencillos:

  1.  3 x=3,¿x?
    x= 3  ya que  3  3 =3


  2.  53 4x=5,¿x?
    x= 5 4 ya que  53 4 5 4= 54 4=5


  3.  7 3x=7,¿x?
    x= 72 3 ya que  7 3 72 3= 73 3=7


  4.  117 10x=11,¿x?
    x= 113 10 ya que  117 10 113 10= 1110 10=11


  5.  as nx=a,¿x?
    x= ans n ya que  as n ans n= as+ns n= an n=a


La segunda, una identidad notable:  (a+b)(ab)=a2b2  Para ello volveremos a realizar estos ejercicios:

  1. ¿( 3 3)( 3 +3)=?
    =( 3 )232=39=6


  2. ¿(2 5 1)(2 5 +1)=?
    =(2 5 )212=451=201=19


  3. ¿( 5  2 )( 5 + 2 )=?
    =( 5 )2( 2 )2=52=3


  4. ¿( 3  11 )( 11 + 3 )=?
    =( 3  11 )( 3 + 11 )=( 3 )2( 11 )2=311=8


  5. ¿(7 13 )(7+ 13 )=?
    =72( 13 )2=4913=36


  6. ¿ Cuál sería el conjugado de ( 5 + 21 )?
    ¿Ya te rindes ?



Para acabar, si tenemos  3 + 11 , entonces  3  11  es su conjugado.

Si en lugar de tener la suma, tenemos la resta, su conjugado será la suma. Es decir, si tenemos  2  21  entonces su conjugado es  2 + 21 

¿Qué es racionalizar fracciones con radicales en el denominador?

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes que no tengan radicales en el denominador.

  • Veamos el caso en que el denominador tiene un solo término. Racionalizar en estos casos se puede ver como poner exponente «1» al radical. Veamos algunos casos:
1) Tiene una raíz cuadrada en el denominador, se multiplica numerador y denominador por la misma raíz.

Ejemplo 1:
75=7555=755=755

Con exponentes fraccionarios:

75=7512=7512512512=75(12+12)5=755 \

Ejemplo 2:
13311=131131111=1331111=131133

Con exponentes fraccionarios:

13311=1331112=131112311121112=13311(12+12)11=1311311=131133

2) Tiene una raíz cuadrada en el denominador y no es necesario multiplicar y dividir por la raíz cuadrada del denominador, basta simplificar. Ejemplo:

 7   7  =  7  7   7 =  7  7    7 1 = 7 

3) Antes de racionalizar, se pueden extraer factores en el radical del denominador. Ejemplo:

2318=2332=

Simplificamos:

=2332=233=63

4) Tiene una raíz de índice cualquiera n, (n2), se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia de exponente n o de forma que los exponentes en forma de fracción sumen «1», es decir, amplifica la fracción por  cnm n.

Ejemplo 1:
7523=75352353=7553=7535

Con exponentes fracconarios:

7523=7523=7513523513=75(23+13)=7553=7535

Ejemplo 2:
11237=11247237247=112247=112472

Con exponentes fracconarios:

11237=11237=11247237247=112472(47+37)=112472=112247=112472

  • Si el denominador de la fracción contiene dos términos, y los dos son una raíz cuadrada o una raíz cuadrada y un número, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, es decir, si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa. Vamos a utilizar la siguiente identidad notable «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados»:

(a+b)(ab)=a2b2

a) En el denominador hay dos raíces restando, mutiplicamos numerador y denominador por la suma de raíces y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

853=8(5+3)(53)(5+3)=8(5+3)(5)2(3)2=8(5+3)2=4(5+3)

b) En el denominador hay dos raíces sumando, mutiplicamos numerador y denominador por la resta de raíces y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

127+3=12(73)(7+3)(73)=12(7+3)(7)2(3)2=12(73)4=3(73)

c) En el denominador hay un número restando a una raíz o al revés, mutiplicamos numerador y denominador por la suma del número y la raíz y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

25411=25(4+11)(411)(4+11)=25(4+11)1611=25(4+11)5=5(4+11)

d) En el denominador hay un número sumando a una raíz, mutiplicamos numerador y denominador por la resta del número y la raíz y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

63+7=6(37)(3+7)(37)=6(37)97=6(37)2=3(37)

e) Si una o las dos raíces están multiplicados por un número. Ejemplo:

321252=(321)(25+2)(252)(25+2)=610+6252(25)2(2)2=610+625218

f) En el denominador hay tres raíces cuadradas, aplicamos la propiedad asociativa. Ejemplo:

2+32+3+6=2+3(2+3)+6=(2+3)[(2+3)6][(2+3)+6][(2+3)6]=

=(2+3)2(2+3)6(2+3)2(6)2=2+26+312182+26+36=5+262332261=

Ahora ya puedo aplicar alguno de los casos comentados anteriormente:

=(5+262332)(261)(261)(26+1)=106+244186125262332(26)2(1)2=

86+191221232332(26)2(1)2=86+1915214323

g) En el denominador hay tres raíces cuadradas, y podemos sacar factores y agrupar radicales. Ejemplo:

1+28+3+2=1+222+3+2=1+232+3=

Y ahora puedo aplicar alguno de los casos anteriores:

=(1+2)(323)(32+3)(323)=323+66(32)2(3)2=323+6615



Veamos una serie de ejercicios para repasar lo que hemos visto:






Amplificamos la fracción por 3:  2  3 = 23  33 = 23 3






Amplificamos la fracción por 5:  1  5 = 5  55 = 5 5






Amplificamos la fracción por 3:  5  23 = 53  233 = 53 23= 53 6






Recordemos que  2  3 = 2 3
Amplificamos la fracción por 3:  2  3 = 23  33 = 23 3= 6 3






Amplificamos la fracción por 7:  22  7 = 7(22)  77 = 7(22) 7= 27 27  7= 27 14  7






Este ejercicio se puede hacer de dos formas:
1a Amplificamos la fracción por 3:  3  23 = 33  233 = 33 23= 33 23= 3 2

2a Simplificando, recordemos que 3=33:  3  23 = 33  23 = 33  23 = 3  2 






¿Amplificamos la fracción por 8 o pensamos si podemos hace algo antes? ¿podemos sacar algún factor de la raíz?  12  8 = 12  22 = 126  22 = 6 2

Y ahora podemos amplificar o simplificar por 2, en este caso amplifico:  62  22 = 62  2 = 632  2 =32






Ahora el índice de la raíz no es 2. 1  2 3 =  22 3  2 3 22 3 =  22 3   23 3 =  4 3 2







Ahora el índice de la raíz no es 2.

Veamos que 3  9 5 =3  32 5 

Tenemos que amplificar la fracción por  33 5
3 33 5   32 5 33 5 = 3 33 5   35 5= 3 33 5 3= 3 33 5 3= 33 5= 27 5







Ahora el índice de la raíz no es 2.

Veamos que 10 3  125 4 =10 3  53 4 

Tenemos que amplificar la fracción por  5 4
10 5 4  3 53 4 5 4 = 10 5 4  3 54 4= 10 5 4 35= 102 5 4 35=2 33 53







Ahora el índice de la raíz no es 2.

Solamente queremos quitar la raíz del denominador, la del numerador no nos molesta.

Tenemos que amplificar la fracción por  52 3
 25 5 52 3 5 5 3  52 3=() Para juntar estas dos raíces de distinto índice en una raíz con el mismo índice tenemos que poner índice común, que será el mínimo común múltiplo de ambos índices, es decir, usamos la propiedad:
x m  n  = xm n= xpm pn=x pm  pn   Además usaremos la siguiente propiedad:  a n b n= ab na 1 nb 1 n=(ab) 1 n Haciendo operaciones con el numerador tenemos que:
 25 5 52 3= 52 5 52 3= 56 15 510 15= 56510 15= 516 15=5 5 15 Sustituyendo en (): ()= 10 5 4  5 53 3= 10 5 4 35= 102 5 4 55=2 33 53







Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por  7  3 , para aplicar la identidad notable:
(a+b)(ab)=a2b2
 9   7  3  = 9( 7 + 3 )  ( 7  3 )( 7 + 3 ) = 9( 7 + 3 )  ( 7 )2( 3 )2 = 9( 7 + 3 )  73 = 9( 7 + 3 )  4 







Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por 7+ 7 , para aplicar la identidad notable:
(a+b)(ab)=a2b2
 7  7 7  = 7(7+ 7 )  (7 7 )(7+ 7 ) = 7(7+ 7 )  72( 7 )2 = = 7(7+ 7 )  497 = 7(7+ 7 )  42 = 7(7+ 7 )  426 = 7+ 7   6 







Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por  3  2 , para aplicar la identidad notable:
(a+b)(ab)=a2b2
 4   3 + 2  = 4( 3  2 )  ( 3 + 2 )( 3  2 ) = 4( 3  2 )  ( 3 )2( 2 )2 = = 4( 3  3 )  32 = 4( 3  2 )  1 =4( 3  2 )







Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por  8 2, para aplicar la identidad notable:
(a+b)(ab)=a2b2
 5   8 +2 = 5( 8 2)  ( 8 +2)( 8 2) = 5( 8 2)  ( 8 )222 = = 5( 8 2)  84 = 5( 8 2)  4 







Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por 1+ 3 , para aplicar la identidad notable:
(a+b)(ab)=a2b2
 1+ 2  1 3  = (1+ 2 )(1+ 3  ) (1 3 )(1+ 3 ) = 1+ 3 + 2 + 2  3   1( 3 )2 = 1+ 3 + 2 + 6   13 = = 1+ 3 + 2 + 6   2 = (1+ 3 + 2 + 6 ) 2







Tenemos que amplificar la fracción por  x :
 2 x   2 x  = ( 2 x  )( x  ) 2 x  x  = 2 x x  2x 







Este ejercicio tiene una raíz de raíz en el denominador. Vamos poco a poco, 1o quitamos la raíz que contiene a la raíz:
 1   3+ 2   =  3+ 2     3+ 2   3+ 2   =  3+ 2    3+ 2  =
Ahora quitamos la raíz que queda, multiplicando por el conjugado 3 2 

=  3+ 2  (3 2 )  (3+ 2 )(3 2 ) =  3+ 2  (3 2 )  32( 2 )2 =  3+ 2  (3 2 )  92 =  3+ 2  (3 2 ) 7






Tenemos que amplificar la fracción por a x 3 a , para aplicar la identidad notable:
(a+b)(ab)=a2b2
 2a a x +3 a  = 2a(a x 3 a ) (a x +3 a )(a x 3 a ) = 2a(a x 3 a )  (a x )2(3 a )2 =
= 2a(a x 3 a )  a2x9a = 2a(a x 3 a )  a(ax9)= 2(a x 3 a )  ax9







Tenemos que amplificar la fracción por 2a x +x a , para aplicar la identidad notable:
(a+b)(ab)=a2b2
 4ax 2a x x a  = (4ax)(2a x +x a ) (2a x x a )(2a x +x a ) = (4ax)(2a x +x a ) 4a2xx2a =
= (4ax)(2a x +x a ) ax(4ax) = (4ax)(2a x +x a ) ax(4ax) = 2a x +x a   ax 







Tenemos que amplificar la fracción por 2( 5  3 ), para aplicar la identidad notable:
(a+b)(ab)=a2b2
6 2+( 5  3 ) = 6[2( 5  3 )]  [2+( 5  3 )][2( 5  3 )] = 6[2( 5  3 )]  22( 5  3 )2 =
= 6[2( 5  3 )]  4(52 15 +3) = 6[2( 5  3 )]  48+2 15  = 6[2( 5  3 )]  4(82 15 ) = 6[2( 5  3 )]  2 15 4 = = 63[2( 5  3 )]  2( 15 2) = 3[2( 5  3 )]   15 2 =
Ahora ya tenemos una ráiz y amplificamos por  15 +2: = 3[2( 5  3 )]( 15 +2)  ( 15 2)( 15 +2) = 3[2( 5  3 )]( 15 +2)  154 = 3[2( 5  3 )]( 15 +2)  11 






Agrupamos convenientemente para aplicar suma por diferencia de cuadrados:
 4   3 + 5 + 6  = 4   3 + 5 + 6   ( 3 + 5 ) 6   ( 3 + 5 ) 6  = 4( 3 + 5  6 )  ( 3 + 5 )2 6 2 = = 4( 3 + 5  6 )  8+2156 = 4( 3 + 5  6 )  2+215 = 4( 3 + 5  6 )  2(1+15) = Ahora ya tenemos una sola raíz cuadrada, amplificamos por el conjugado: = 42( 3 + 5  6 )  2(1+15)  15 1  15 1 = 2( 3 + 5  6 )( 15 1)  15212 = = 2( 3 + 5  6 )( 15 1)  151 = 2( 3 + 5  6 )( 15 1) 147= = ( 3 + 5  6 )( 15 1) 7






Racionalización de suma y resta de raíces cúbicas





  • Si el denominador de la fracción contiene dos términos, y los dos son una raíz cúbica, resta o suma de ellas.

I) En el denominador hay una resta de dos raíces cúbicas. Utilizaremos la siguiente identidad

a3b3=(ab)(a2+ab+b2)

Ejemplo:

Vamos a racionalizar la siguiente expresión 87353

En este caso a=73 y b=73, multiplicamos numerador y denominador por a2+ab+b2,

que en este caso será 723+753+523

87353=8(723+753+523)(7353)(723+753+523)=

=8(723+753+523)733+7253+752357235273533=8(723+753+523)75=

=8(723+753+523)2=4(723+753+523)

II) En el denominador hay una suma de dos raíces cúbicas. Utilizaremos la siguientidad identidad

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

Ejemplo:

Vamos a racionalizar la siguiente expresión 1863+33

En este caso a=63 y b=33, multiplicamos numerador y denominador por a2ab+b2,

que en este caso será 623633+323

1863+33=18(623633+323)(63+33)(623633+323)=

=18(623633+323)6336233+6323+62336323+333=18(623633+323)6+3=

=18(623633+323)9=2(623633+323)

¿Como se racionalizaría por ejemplo una suma o una resta de raíces de índice superior a 3?


Veamos unos ejemplos: 18  7 4 3 4  18  6 4+ 13 4  14  11 5 4 5  19  6 5+ 13 4  Proximamente en otra entrada.



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