Teorema de Tales. Toerema de la altura. Teorema del cateto.

Teorema de Tales

:
«Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales, los segmentos determinados en una de las transversales son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en la otra»

Aplicaciones del Teorema de Tales:

Este teorema es la base para entender la semejanza de figuras y tiene aplicaciones muy prácticas, como:

• Calcular alturas: a partir de establecer proporciones.
• Dividir segmentos: Permite dividir una línea en partes exactamente iguales o proporcionales.
• Escalas: Es fundamental en cartografía y arquitectura para reducir o ampliar dibujos manteniendo las proporciones reales.

¿Qué son Figuras Semejantes?

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño. Es como hacer "zoom" en una foto: todo se agranda o se achica, pero no se deforma.Para que dos figuras sean semejantes, deben cumplir dos condiciones obligatorias:

• Sus ángulos correspondientes son iguales (la forma no cambia).
• Sus lados correspondientes son proporcionales.

Esto último significa que si divides un lado de la figura grande entre el lado correspondiente de la pequeña, siempre te da el mismo número. Ese número se llama Razón de Semejanza ($k$). \[ \mfrac{\text{Lado Grande}}{\text{Lado Pequeño}} = k \] Criterios de Semejanza de Triángulos:

Para saber si dos triángulos son semejantes, no hace falta medir todos sus lados y todos sus ángulos. Basta con que cumplan uno de los siguientes tres criterios:

• Criterio 1: AA (Ángulo - Ángulo) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.¿Por qué? Porque como los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180°, si tienen dos iguales, el tercero obligatoriamente también será igual. Es el criterio más usado en problemas de sombras y alturas.
• Criterio 2: LLL (Lado - Lado - Lado) Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales.Ojo: No significa que midan lo mismo, sino que la división entre sus lados correspondientes da siempre el mismo resultado. \[ \mfrac{a}{a'} = \mfrac{b}{b'} = \mfrac{c}{c'} = k \]
• Criterio 3: LAL (Lado - Ángulo - Lado)Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.Es importante que el ángulo sea el que está en medio de los dos lados que conocemos.

El Caso Especial: Posición de Tales

En los exámenes, la forma más común de ver triángulos semejantes es uno metido dentro de otro. Esto se llama Triángulos en posición de Tales. Si cortas un triángulo con una línea paralela a uno de sus lados, el triángulo pequeño que se forma arriba es automáticamente semejante al triángulo grande total. Fórmula clave para ejercicios: \[ \mfrac{\text{Altura Grande}}{\text{Altura Pequeña}} = \mfrac{\text{Base Grande}}{\text{Base Pequeña}} = \mfrac{\text{Sombra Grande}}{\text{Sombra Pequeña}} \] Criterios para triángulos rectángulos

• Tienen un ángulo agudo igual (por ser ambos rectos y compartir uno agudo, aplican el criterio AA).
• Sus catetos son proporcionales.
• La hipotenusa y un cateto son proporcionales.

$\bullet \ $ Observa la siguiente figura y calcula GF y CD:

$\bullet \ $ Comprueba, si las siguientes parejas de triángulos son o no semejantes.

1. Uno de lados 12, 9 y 4 y el otro, 12, 27 y 36.
2. Uno con ángulos 43° y 67°, y el otro, 70° y 67°.

$\bullet \ $ Las siguientes figuras son semejantes:

1. Halla la medida del lado AD.
2. Calcula la medida de los lados A'D', B'C' y C'D'.

$\bullet \ $ ¿Calcula el valor de $r$?

$\bullet \ $ Veamos un ejercicio para aplicar el Teorema de Tales:

El hombre está de pie. Las paredes son verticales y paralelas.

Teorema de la altura:

En todo triángulo «rectángulo», la altura ($h$) relativa a la hipotenusa es el producto (la media geométrica) de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa ($n$ y $m$).

• $m$ es la proyección del cateto $c$ sobre la hipotenusaa $b$.
  
• $n$ es la proyección del cateto $a$ sobre la hipotenusa $b$.
  
• La hipotenusa $b$ es igual a la suma de las proyecciones de los catetos $b = n + m$.
  
• La altura $h$ separa el triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos, el azul y el naranja.
  
• Después del giro, los triángulos están en posición de Tales y son semejantes, luego: \[ \mfrac{h}{n} = \mfrac{m}{h} \Rightarrow h^2 = m \cdot n \Rightarrow h = \msqrt{m \cdot n} \]

Teorema del cateto:

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m). En todo triángulo «rectángulo», un cateto ($a$ o $c$) es el producto (media geométrica) entre la hipotenusa (b) y la proyección de ese cateto ($n$ o $m$) sobre la hipotenusa.

• $m$ es la proyección del cateto $c$ sobre la hipotenusaa $b$.
  
• $n$ es la proyección del cateto $a$ sobre la hipotenusa $b$.
  
• La hipotenusa $b$ es igual a la suma de las proyecciones de los catetos $b = n + m$.
  
• Los tres triángulos son semejantes, luego: \[ \text{Trabajando con el cateto } c \text{ con la proyección } m \quad \mfrac{c}{m} = \mfrac{b}{c} \Rightarrow c^2 = m \cdot b \Rightarrow c = \msqrt{m \cdot b} \]
  \[ \text{Trabajando con el cateto } a \text{ con la proyección } n \quad \mfrac{a}{n} = \mfrac{b}{a} \Rightarrow a^2 = n \cdot b \Rightarrow a = \msqrt{n \cdot b} \]

Altura del triángulo rectángulo a partir de los lados

Si aplicamos el Teorema del Cateto tenemos: \[ c^2 = m \cdot b \Rightarrow m = \mfrac{c^2}{b} \qquad \qquad a^2 = n \cdot b \Rightarrow n = \mfrac{a^2}{b} \] Si sustituimos en la fórmula que nos da el Teorema de la Altura: \[ h = \msqrt{m \cdot n} = \msqrt{ \mfrac{c^2}{b} \cdot \mfrac{a^2}{b} } = \msqrt{ \mfrac{c^2 \cdot a^2}{ b^2 } } = \mfrac{a \cdot c}{b} \]