Teoría y problemas de Geometría.

Un cuadrilátero convexo es un polígono de cuatro lados donde todos sus ángulos internos miden menos de 180° y sus dos diagonales se intersectan en el interior de la figura, a diferencia de los cóncavos, que tienen un ángulo mayor a 180° y al menos una diagonal exterior. Los tipos comunes de cuadriláteros convexos incluyen paralelogramos, rectángulos, rombos, cuadrados, trapecios y trapezoides, y la suma de sus ángulos siempre es 360°.

Características principales:

• Ángulos: Todos sus ángulos interiores son menores a 180°.
• Diagonales: Ambas diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) se encuentran dentro del cuadrilátero.
• Posición: Si trazas una línea por cualquiera de sus lados, el cuadrilátero queda completamente en un solo «lado» (semiplano) de esa línea.

El teorema de «Pitot» establece que en un cuadrilátero convexo que inscribe una circunferencia, el resultado de la suma de los lados opuestos es el mismo: \[ \overline{AD} + \overline{BC} = \overline{AB} + \overline{DC} \]
Otro posible enunciado: Teorema de «Pitot» afirma que en cualquier cuadrilátero circunscriptible (que tiene una circunferencia inscrita), la suma de sus lados opuestos es igual.


Este teorema se demuestra a partir de la siguiente fundamental:
«La propiedad fundamental es que dos tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia miden lo mismo.»



Los puntos $P, Q, R \text{ y } S$ son los puntos de tangencia del cuadrilátero con la circunferencia.
A partir del principio fundamental de las dos tangentes trazadas a partir de un punto tenemos: \[ \overline{AP} = \overline{AS} = a \] \[ \overline{BP} = \overline{BQ} = b \] \[ \overline{CQ} = \overline{CR} = c \] \[ \overline{DR} = \overline{DP} = d \] Del teorema tenemos: \[ \overline{AS} + \overline{SD} + \overline{BQ} + \overline{QC} = \overline{AP} + \overline{PB} + \overline{CR} + \overline{RD} \] \[ a + d + b + c = a + b + c + d \]

El japonés Kubo es el jugador con nombre de forma geométrica más joven en participar en una Copa del Mundo, superando al jugador argentino Redondo y al colombiano Cuadrado.

1. ¿Cuál es el área de la zona azul?
   
2. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?
   
3. ¿Cuál es el área de la franja?
   
4. ¿Cuál es el área de la zona rayada?
   
5. Usando el Teorema de Tales demuestra que la fórmula de la pirámide cuadrada truncada de altura $h$ con de bases $a$ y $b$ respectivamente es $V = \mfrac{h}{3} \cdot (a^2 + ab + b^2)$.
   
6. 
   Jorge y Samuel quieren pintar una cruz como la de la figura en el suelo del patio del colegio, antes de comenzar querían saber cual es el área a pintar para calcular mejor la pintura que necesitan, ¿podrías ayudarles? ¿Cuál es el área de la figura sombreada? El Lado del cuadrado mide 10 m.
   
   
7. Calcula el área de la zona sombreada:
   
   
8. Calcula $x$.
   
   
9. Calcula el área de la zona sombreada.
   
   
10. Calcula el área de la zona sombreada.
    
    
11. Calcula el área de la zona sombreada.