Números romanos.

$\newcommand{\encomi}[1]{\ll#1\gg}$ La importancia de los números romanos es que fue uno de los primeros sistemas de numeración que se usaron para sumar y llevar cuentas. Ahora su uso es simbólico y se suelen emplear en:

• Los papas y reyes se escriben con números romanos y se leen como ordinales hasta el 9, el 10 ordinal o cardinal; a partir del 11 se leen siempre como cardinales:
  • «Pablo VI» se lee «Pablo sexto», pero no ✘ «Pablo seis».
  • «Alfonso X» se lee «Alfonso décimo» o «Alfonso 10».
  • «Alfonso XII» se lee «Alfonso doce», pero no ✘« Alfonso duodécimo».
• En monumentos, edificios singulares y placas conmemorativas para indicar el año de contrucción.
• En el nombre de congresos, campeonatos, festivales, etc. Ejemplo: LXX Festival de cine de San Sebastián.
• En los diseño de algunos relojes.*
  
  En los relojes (ya sean de pulsera o en grandes construcciones). Veamos algunos ejemplos:
  
  
  1. Reloj de la fachada de la Colegiata de San Miguel Arcángel de Alfaro, La Rioja, en su torre derecha vista desde de frente, el relog marca las cuatro con IIII:
     
     Foto de wikipedia
  2. 
• Para numerar volúmenes, tomos, anexos, partes, libros, capítulos o cualquier otra división de una obra. Ejemplo: Anexo XI, tomo III, libro II, capítulo IV.
• Para la numeración de actos, cuadros o escenas en las piezas teatrales o cinematográficas. Ejemplos: Escena VI, Star wars episodio IV.
• Para numerar páginas en algunas secciones de una obra, para distinguirlas del cuerpo principal. Ejemplos: prólogo, introducción, etc.
• Para enumerar y hacer referencia a los siglos en historia. Ejemplo: Siglo XXI.

  x

  Tabla siglos y años correspondientes, recordemos que no hay «año cero»:

  
• A veces, en la fecha para indicar el mes. Ejemplo: 07-XII-1970.

Para escribir los números romanos utilizaremos las letras $I, V, X, L, C, D$ y $M$, en esta foto podemos ver las letras con su equivalente en números arábigos:

Para convertir correctamente los números arábigos a números romanos, debemos cumplir las siguientes reglas:

$\bullet $ Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.
$ Ejemplo: \textbf{VI} = 6; \qquad \textbf{XXI} = 21; \qquad \textbf{LXVII} = 67 $

$\bullet $ Si está seguido de otro de mayor valor, ambos números forman un conjunto en el cual debe restarse el valor del primero al valor del siguiente.
$ Ejemplos: \textbf{XIX} = 19; \qquad \textbf{LIV} = 54; \qquad \textbf{CXXIX} = 129 $

$\bullet $ Los números «$\textbf{V}$», «$\textbf{L}$» y «$\textbf{D}$» no pueden utilizarse para restar. (45 se escribe $\textbf{XLV}$ y no $\cancel{\textbf{VL}}$). Además:
$\ \ \ \ \ \ \diamond$ el número «$\textbf{I}$» sólo resta a «$\textbf{V}$» y a «$\textbf{X}$».
$\ \ \ \ \ \ \diamond$ el número «$\textbf{X}$» sólo resta a «$\textbf{L}$» y a «$\textbf{C}$».
$\ \ \ \ \ \ \diamond$ el número «$\textbf{C}$» sólo resta a «$\textbf{D}$» y a «$\textbf{M}$».
Ejemplos: $\textbf{IV} = 4; \, \, \textbf{IX} = 9; \, \, \textbf{XL} = 40; \, \, \textbf{XC} = 90; \, \, \textbf{CD} = 400; \, \, \textbf{CM} = 900$

$\bullet $ En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas.*
Ejemplos: $\textbf{XIII} = 13; \qquad \textbf{XIV} = 14; \qquad \textbf{XXXIII} = 33; \qquad \textbf{XXXIV} = 34$

$\bullet$ La «$\textbf{V}$», la «$\textbf{L}$» y la «$\textbf{D}$» no pueden duplicarse porque hay otras letras «$\textbf{X}$», «$\textbf{C}$» y «$\textbf{M}$» que representan su valor duplicado.
Ejemplos: $\textbf{X (no VV)} = 10 ; \qquad \textbf{C (no LL)} = 100 ; \qquad \textbf{M (no DD)} = 1.000$

$\bullet$ La unidad «$\textbf{I}$» y los números «$\textbf{X}$», «$\textbf{C}$» y «$\textbf{M}$» pueden repetirse hasta 3 veces consecutivas como sumandos. En el caso de estar restando, no pueden repetirse. (3 $= \textbf{III}$, pero no $\cancel{\textbf{IIV}}; \, \, 4 = \textbf{IV}$, pero no $\cancel{\textbf{IIII}}; \, \,$)

$\bullet$ El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.
Ejemplos: $\overline{\textbf{VI}} = 6.000; \qquad \overline{\overline{\textbf{IX}}} = 9.000.000; \qquad \overline{\overline{\overline{\textbf{IV}}}} = 4.000.000.000;$

Veamos algunos ejemplos más:

$\ 45 = \textbf{XLV}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{VL}}. $
$\ 77 = \textbf{LXXVII}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IIILXXX}}. $
$\ 80 = \textbf{LXXX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{XXC}}. $
$\ 98 = \textbf{XCVIII}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IIC}} o \cancel{\textbf{XCIIX}}. $
$\ 99 = \textbf{XCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IC}}. $
$ 450 = \textbf{CDL}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{LD}}. $
$ 399 = \textbf{CCCXCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{ICD}}. $
$ 490 = \textbf{CDXC}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{XD}}. $
$ 499 = \textbf{CDXCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{ID}}. $
$ 800 = \textbf{DCCC}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{CCM}}. $
$ 990 = \textbf{CMXC}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{XM}}. $
$ 999 = \textbf{CMXCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IM}}. $


Veamos algunos ejercicios con su solución:

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{C}$ que está delante de una $\textbf{D}$ luego hay que restar 100 a 500 y nos da 400; la siguiente letra es una $\textbf{L}$ que va seguida de una $\textbf{I}$, luego estas dos letras se suman al número calculado anteriormente: $$ \textbf{CDLI} = 451 $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ que está delante de tres $\textbf{CCC}$ luego hay que sumar 300 a 500 y nos da 800; seguimos por la letra $\textbf{L}$ que va seguida de una $\textbf{X}$, sumándolas dan 60, que con los 800 de antes nos dan 860; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{VII}$, son un cinco y dos unidades en total 7, que con lo aneriormente nos da 867: $$ \textbf{DCCCLXVII} = 867 $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{C}$ que está delante de una $\textbf{D}$ luego hay que restar 100 a 500 y nos da 400; seguimospor las letras $\textbf{XXX}$ sumándolas dan 30, que con los 400 de antes nos dan 430; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{IV}$, son un cuatro, que con lo anteriormente nos da 434: $$ \textbf{CDXXXIV} = 434 $$

Siempre que queremos pasar un número romano a decimal, lo 1º que tenemos que comprobar es que esté bien escrito, ¿y este número $\textbf{DCCVLIII} $ lo está? La respuesta es que no, ya que una $\textbf{V} $ no puede restar a una $\textbf{L}$. ASí que este número no lo podemos pasar a decimal ya que no está bien escrito.

Luego este ejercicio no tiene solución.

$\textbf{DCCCLVII} = $

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 5, luego sería la letra $\textbf{D}$; después por las decenas que son 4 y son las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son cero y en los números romanos el cero no se representa. Luego tenemos que $$\textbf{540 = DXL}$$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 1, luego sería la letra $\textbf{C}$; después por las decenas que son 4 y son las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son 9 que serían las letras $\textbf{IX}$, luego el número sería: $$ \textbf{149} = \textbf{CXLIX} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 9, luego serían las letras $\textbf{CM}$; después por las decenas que son 3 y son las letras $\textbf{XXX}$ y terminamos con las unidades que son 7 que serían las letras $\textbf{VII}$, luego el número sería: $$ \textbf{937} = \textbf{CMXXXVII} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 8, luego serían las letras $\textbf{DCCC}$; después por las decenas que son 3 y son las letras $\textbf{XXX}$ y terminamos con las unidades que son 5 que sería la letra $\textbf{V}$, luego el número sería: $$ \textbf{835} = \textbf{DCCCXXXV} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 9, luego serían las letras $\textbf{CM}$; después por las decenas que son 4 y son las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son 9 que serían las letras $\textbf{IX}$, luego el número sería: $$ \textbf{949} = \textbf{CMXLIX} $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos las primeras letras, que son $\textbf{CC}$ luego empezamos en 200; seguimos por las letras $\textbf{XL}$ que son 40, que con los 200 de antes nos dan 240; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{II}$, son dos unidades, que con lo anteriormente sumado nos da 242: $$\textbf{CCXLII} = 242 $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ que está delante de dos $\textbf{CC}$ luego hay que sumar 200 a 500 y nos da 700; seguimos por la letra $\textbf{L}$, sumándolas dan 50, que con los 700 de antes nos dan 750; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{IV}$, son 4 unidades, que con lo anteriormente nos da 754: $$ \textbf{DCCLIV} = 754 $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ luego hay que sumar 500; seguimos por la siguiente letra $\textbf{I}$ que es la unidad, sumándolas dan 501: $$ \textbf{DI} = 501 $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ que está delante de dos $\textbf{CC}$ luego hay que sumar 200 a 500 y nos da 700; seguimos por la letra $\textbf{L}$ que va seguida de dos $\textbf{XX}$, sumándolas dan 70, que con los 700 de antes nos dan 770; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{II}$, dos unidades en total 2, que con lo anteriormente nos da 772: $$ \textbf{DCCLXXII} = 772 $$

Siempre que queremos pasar un número romano a decimal, lo 1º que tenemos que comprobar es que esté bien escrito, ¿y este número $\textbf{CVLI} $ lo está? La respuesta es que no, ya que una $\textbf{V} $ no puede restar a una $\textbf{L}$. ASí que este número no lo podemos pasar a decimal ya que no está bien escrito.

Luego este ejercicio no tiene solución.

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que es 1, luego es la letra $\textbf{C}$; después por las decenas que son 6 y serían las letras $\textbf{LX}$ y terminamos con las unidades que son 4 que serían las letras $\textbf{II}$, luego el número sería: $$ \textbf{162} = \textbf{CLXII} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 7, luego serían las letras $\textbf{DCC}$; después por las decenas que son 4 y serían las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son 7 que serían las letras $\textbf{VII}$, luego el número sería: $$ \textbf{747} = \textbf{DCCXLVII} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 3, luego serían las letras $\textbf{CCC}$; después por las decenas que son 7 y serían las letras $\textbf{LXX}$ y terminamos con las unidades que son 8 que serían las letras $\textbf{VIII}$, luego el número sería: $$ \textbf{378} = \textbf{CCCLXXVIII} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 3, luego serían las letras $\textbf{CCC}$; después por las decenas que son 2 y serían las letras $\textbf{XX}$ y terminamos con las unidades que son 3 que serían las letras $\textbf{III}$, luego el número sería: $$ \textbf{323} = \textbf{CCCXXIII} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 6, luego serían las letras $\textbf{DC}$; después por las decenas que son 0 y no se representa y terminamos con las unidades que son 4 que serían las letras $\textbf{IV}$, luego el número sería: $$ \textbf{604} = \textbf{DCIV} $$

Calculadora de números romanos
Para convertir de romanos a decimal el límite es 3999, Para convertir a romanos no hay límite.
Número romano
Número decimal

Operaciones combinadas de números naturales, enteros y racionales.

Operación combinada

Veamos la jerarquía de las operaciones combinadas:

$$ \begin{array}{|C{1.75cm}|C{14cm}|} \hline \ \ \ \ 1^{\underline {o}} \ \ \ \ & \ \ \ \ \ \ \ Par\acute{e}ntesis \ (\ ), corchetes \ [\ ] \ o \ llaves \ \{ \ \} \ \ \ \ \ \ \ \\ \hline 2^{\underline {o}} & Potencias \ y \ raíces \\ \hline 3^{\underline {o}} & Multiplicaciones \ y \ divisiones \\ \hline 4^{\underline {o}} & Sumas \ y \ restas \\ \hline \end{array} $$ Veamos algunos ejemplos sencillos de números naturales:


$\bullet \ 2 + 3 + 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 5 + 4 = 9$


$\bullet \ 2 + 3 - 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 5 - 4 = 1$


$\bullet \ 16 - 5 - 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 11 - 4 = 7$


$\bullet \ 12 \cdot 5 \cdot 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 60 \cdot 3 = 180$ (Recordemos que el producto cumple la propiedad asociativa)


$\bullet \ 60 : 10 : 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 6 : 3 = 2$ (Recordemos que la divisón NO cumple la propiedad asociativa)


$\bullet \ 90 \cdot 5 : 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 450 : 3 = 150$


$\bullet \ 2 + 3 \cdot 5 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la multiplicación y después la suma.
$ = 2 + 15 = 17$


$\bullet \ 3 \cdot 7 - 2 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la resta.
$ = 21 - 2 = 19$


$\bullet \ 8 + 12 : 4 = $ Mirando en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la suma
$ = 8 + 3 = 11$


$\bullet \ 15 - 12 : 6 = $ Mirando en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la resta
$ = 15- 2 = 13$


$\bullet \ 18 \cdot 3 + 5 = $ Hacemos primero la multipicación y después la suma.
$ = 54 + 5 = 59$


$\bullet \ 3 \cdot 7 + 9 \cdot 5 = $ Vamos a pensar de otra forma. Antes de poder hacer la suma tendremos que hacer la multiplicación, ¿no?
$ = 21 + 45 = 66$


Veamos ahora como los paréntesis, corchetes y llaves cambian la forma en que realizamos las operaciones combinadas:

$\bullet \ \left( 2 + 3 \right ) \cdot 5 = $ Hemos añadido un paréntesis. ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la operación del paréntesis y después la multiplicación.
$ = 5 \cdot 5 = 25$


$\bullet \ \left ( 8 + 12 \right ) : 4 = $ Igual que antes hemos añadido un paréntesis. Ahora lo $1^{\underline {o}}$ es hacer la suma del paréntesis y después la división
$ = 20 : 4 = 5 $


$\bullet \ 3 \cdot \left ( 7 + 9 \right ) \cdot 5 = $ Ahora el paréntesis nos dice cual es la operación que hay que hacer antes, la suma. Después los productos.
$ = 3 \cdot 16 \cdot 5 = 240 $


$\bullet \ \left ( 2 \cdot 13 + 7 \right ) \cdot 5 + 12 = $ En este caso, lo $1^{\underline {o}}$ es hacer el paréntesis, que tiene otra operación combinada; y dentro del paréntesis $1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma
$ = \left ( 26 + 7 \right ) \cdot 5 + 12 =$
$ = 33 \cdot 5 + 12 =$ Este tipo de operación ya la hemos comentado, $1^{\underline {o}}$ haremos el producto y después la suma.
$ = 165 + 12 = 177 $


$\bullet \ 7 + 3 \cdot \left [1 + 5 - \left ( 6 - 3 \right ) \right ] = ,1^{\underline {o}}$ tendremos que hacer el producto y después la suma, pero el producto es con un corchete, luego tenemos que hacemos la operación del corchete que es a su vez otra operación combinada. Dentro del corchete tenemos una suma y una resta, pero la resta tiene a su vez un paréntesis, luego hay que hacer antes ese paréntesis antes de hacer la resta. Veamos los pasos:
$ = 7 + 3 \cdot \left [6 - 3 \right ] = $
$ = 7 + 3 \cdot 3 = 7 + 9 = 16 $


Vamos ahora con operaciones combinadas que tienen también potencias y raíces:

$\bullet \ 5 \cdot \left ( \sqrt{16} - 2 \right)^{2} + \left ( 2^{3} - 5 \right)^{2} = $ Tenemos un producto y una suma, $1^{\underline {o}}$ el producto y luego la suma, pero uno de los factores del producto es una potencia, con una resta en la base, y el minuendo es una raíz cuadrada, así lo primero hacemos la raíz, luego la resta ya que está dentro del paréntesis y por último la potencia; para la suma lo mismo, tenemos que hacer una potencia, pero con una resta en la base y el minuendo es una potencia en este caso. Veamos los pasos:
$ = 5 \cdot \left ( 4 - 2 \right)^{2} + \left ( 8 - 5 \right)^{2} = $
$ = 5 \cdot \left ( 2 \right )^{2} + \left ( 3 \right)^{2} = $
$ = 5 \cdot 4 + 9 = 20 + 9 = 29 $


Veamos otro ejemplo un poquito más complicado:
$\bullet \ \left ( \sqrt{100} - 3 \right )^{2} + 2 \cdot \left [9 \cdot \sqrt{36} - \left( 3^{2} - \sqrt{4} \right )^{2} \right] = $ En este ejemplo la operación principal es la suma, para hacer la suma tengo que hacer las operaciones combinadas de cada uno de los sumandos. La $1^{\underline {a}}$ es una potencia, con una resta en la base y el minuendo es una raí cuadrada; la $2^{\underline {a}}$ es una operación combinada, tenemos que hacer una resta, donde el minuendo es un producto y el sustraendo una potencia, con una resta en la base, donde el minuendo vuelve a ser una potencia y el sustraendo una raíz cuadrada. Veamos los pasos:
$ = \left ( 10 - 3 \right )^{2} + 2 \cdot \left [9 \cdot 6 - \left( 9 - 2 \right )^{2} \right] = $
$ = \left ( 7 \right )^{2} + 2 \cdot \left [54 - \left( 7 \right )^{2} \right] = $
$ = 49 + 2 \cdot \left [54 - 49 \right] = 49 + 2 \cdot 5 = 49 + 10 = 59 $


La jerarquía de las operaciones se cumplen con todos los números, vamos a ver ahora ejemplos con números enteros y con números racionales.

Veamos algunos ejemplos de operaciones combinadas de números enteros:


$ \bullet \ 5 \cdot 4 - \left (1 + 2 \right ) = $ Tenemos un producto, una resta y un paréntesis; para hacer la resta, antes habrá que hacer el producto y el paréntesis, que tiene sólo una suma. Veamos los pasos a realizar:
$ = 20 - 3 = 17 $

$\bullet \ 50 - 4 \cdot 3 + 2 \cdot 5 - 14 : 7 = $ Antes de hacer las sumas y restas tenemos que hacer las multiplicaciones y la división, una vez hechas estas hacemos las sumas y restas; se puede hacer de dos formas: $1^{\underline {a}}$ haciendo sumas y restas en el orden que están; $2^{\underline {a}}$ sumamos por un lado todo lo que suma, por otro todo lo que resta y al final se restan las dos cantidades obtenidas. $ = 50 - 12 + 10 - 2 = 60 - 14 = 46 $

$\bullet \ \left ( -17 \right ) + \left [ \left (+11 \right ) + \left (-16 \right ) \right ] - \left [ \left ( - 2 + 7 \right ) \cdot \left (25 - 20 \right ) \right ] + 76 = $ Pasos a dar en esta operación combinada:
  $1^{\underline{o}}$ Quitar paréntesis;
  $2^{\underline{o}}$ Hacer las operaciones de los paréntesis, y después las de los corchetes;
  $3^{\underline{o}}$ Hacer las restas y la suma final.
$= -17 + \left [ 11 - 16 \right ] - \left [ 5 \cdot 5 \right ] + 76 = $
$= -17 + \left [ - 5 \right ] - \left [ +25 \right ] + 76 = $
$= -17 - 5 - 25 + 76 = $
$= -47 + 76 = 29 $


$\bullet \ (-20) - 2 \cdot [(-3) \cdot (-4) - (+17) + (- 3) \cdot (-2) \cdot (-4)] = $ Tenemos una resta y un producto, $1^{\underline{o}}$ el producto pero uno de los factores es un corchete que a su vez es una operación combinada. Primero quitaremos paréntesis y haremos los productos, para después hacer la resta y la suma. Después haremos el producto con el resultado del corchete y para terminar la resta.
$= -20 - 2 \cdot [ + 12 - 17 + (+6) \cdot (-4)] = $
$= -20 - 2 \cdot [ - 5 + (-24)] = $
$= -20 - 2 \cdot [ - 29] = $
$= -20 - [-58] = $
$= -20 + 58 = 38 $


$\bullet \ (- 27): ( - 3 ) ^ { 3 } + 4 ^ { 13 }: \left[ 4^4 \right] ^ { 3 } + \sqrt { 81 }: 3 = $ Este ejercicio tiene potencias (repasar las propiedades de las potencias) y raíces. Veamos como afecta esto, primero tenemos que hacer las raíces y/o las potencias, quitar los paréntesis, después las divisones y por último las sumas.
$= - 27: ( - 27 ) + 4 ^ { 13 } : ( 4 ) ^ { 12 } + 9 : 3 = $
$= 1 + 4 + 3 = 8 $


Dejo unos ejercicios de operaciones combinadas

Este ejercicio sólo tiene divisiones y restas, primero haremos las diviones y después las restas:

$ 9 : 3 - (-12) : 2 - 13 : (-1) = $

$ = 3 - (-6) - (-13) = $ Ahora quitamos los paréntesis

$ = 3 + 6 + 13 = 9 + 13 = 22 $

Este ejercicio es una división, pero tanto el dividendo como el divisor son operaciones combinadas de sumas y restas, habrá que quitar paréntesis:

$ [14 - (-6) + (-6) ] : [17 + (-7) - 3 ] = $ en el dividendo sumo y resto la misma cantidad

$ = [14 + 6 - 6 ] : [17 - 7 - 3 ] = $

$ = 14 : 7 = 2 $

Este ejercicio es una resta y el sustraendo es un corchete con una operación combinada, tenemos dos restas, para realizar las restas tenemos que calcular los términos, dos multiplicaciones y una división. el $2^{\underline {o}}$ término tiene otro factor que es otra operación combinada con una división, un producto y al final la resta. Veamos los pasos

$ 3 - [- 5 \cdot 6 - 4 \cdot (12 : 4 - 5 \cdot 2) - 24 : 3] = $

$ = 3 - [- 30 - 4 \cdot (3 - 10) - 8] = $

$ = 3 - [- 30 - 4 \cdot 7 - 8] = $

$ = 3 - [- 30 - 28 - 8] = $

$ = 3 - [- 66] = 3 + 66 = 69 $

$\textcolor{red}{\text{Un error típico en este tipo de ejercicios es hacer primero la resta y después la división.}}$

Este ejercicio tiene una resta y una división, el divisor es un corchete con una operación combinada, tenemos una resta y unasuma, para realizar la resta tenemos que calcular el sustraendo que es otra operación combinada con un producto y una resta. Veamos los pasos

$ 16 - 30 : [6 - 2 \cdot ( 3 - 1 ) + 3 ] = $

$ = 16 - 30 : [6 - 2 \cdot 2 + 3 ] = $

$ = 16 - 30 : [6 - 4 + 3 ] = $

$ = 16 - 30 : 5 = 16 - 6 = 10 $

Este ejercicio tiene potencias. Haremos primero las potencias, después la operación del paréntesis, la división del tercer término y luego la resta y la suma. Veamos los pasos

$ 12 - \left(2^2 - 10^2 : 5 \right) + (-6)^2 : 4 = $

$ = 12 - \left(4 - 100 : 5 \right) + 36 : 4 = $

$ = 12 - \left(4 - 20 \right) + 9 = $

$ = 12 - \left( - 16 \right) + 9 = 12 + 16 + 9 = 37$

Ahora unos ejemplos de operaciones combinadas con fracciones, recordar que para el producto y la división de fracciones no hace falta calcular común denominador. y algo que es muy importante es simplificar, siempre que se pueda.


$\bullet \ \ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma

$ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20} $

$\bullet \ \ \ \ 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto, depués la resta y la suma

$ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{15}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{19}{30} $

$\bullet \ \ \ \ \Big ( 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, que es una resta y una suma; depués el producto,

$ = \Big ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = $

$ = \Big ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $

$\bullet \ \ 1 - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la resta

$ = \dfrac{15}{15} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{13}{15} $

$ \bullet \ \ \ - \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma

$ = - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$

$ \bullet \ \ \ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = 1^{\underline {o}}$ haremos los productos, después las sumas y la resta

$ = \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 4\ }{9} - \dfrac{\ 1\ }{12} + \dfrac{\ 10\ }{3} = $ calculamos el común denominador de 2, 9, 12 y 3, que es 30

$ = \dfrac{\ 18 \ }{36} + \dfrac{\ 16 \ }{36} - \dfrac{\ 3 \ }{36} + \dfrac{\ 120\ }{36} = \dfrac{ 18 + 16 - 3 + 120 }{36} = \dfrac{\ 151 \ }{36} $

$\bullet \ \ \ \ \Big ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, después los productos y al final sumas y resta.

$ = \Big ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \Big ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $

$ = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $

$ = \dfrac{10}{9} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{40}{36} - \dfrac{3}{36} + \dfrac{120}{36} = \dfrac{157}{36} $

$\bullet \ \ \ \ - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = 1^{\underline {o}}$ haremos los productos después la resta y la suma

$ = - \dfrac{4}{14} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{5}{14} = - \dfrac{1}{14} $

$\bullet \ \ \ \ - \dfrac{1}{2} \cdot \Big ( \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} \Big ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, después el producto y al final la suma.

$ = - \dfrac{1}{2} \cdot \Big ( \dfrac{8}{14} - \dfrac{2}{14} \Big ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = $

$ =- \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{14} + \dfrac{5}{14} = $

$ = - \dfrac{3}{14} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{7} $

Veamos unos ejemplos interactivos con la aplicación Graspablemath :

$ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} $
$3^2 - 2^2 + \sqrt{81} \cdot \left ( \sqrt{49} - 3 \right )^2 $
$( \sqrt { 100 } - 3 ) ^ { 2 } + 2 \cdot \left[ 15 \cdot \sqrt { 36 } - \left( 3 ^ { 2 } - \sqrt { 4 } \right) ^ { 2 } \right]$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Universidad de La Rioja - Seminario de problemas para ESO y Bachillerato.

En la Universidad de La Rioja, en Logroño, se desarrolla este seminario que está destinado a todos los alumnos de enseñanza de Secundaria y Bachillerato. Consiste en la propuesta de problemas matemáticos de distinta dificultad que los mismos alumnos deben resolver y explicar. Se desarrolla con periodicidad semanal.

Toda la información en este enlace: Seminario de problemas

Retos matemáticos

Matemáticas, noticias en la prensa.

Muchas veces los alumnos me dicen «pero Profe, ¿las matemáticas para qué sirven?». Yo les intento explicar muchas cosas y la verdad es que me cuesta convencerles. Con esta entrada en el blog les intentaré dar una respuesta a sus dudas:

• Las matemáticas, clave para resolver los enigmas de la neurociencia
• El análisis matemático de imágenes tumorales explica por qué un cáncer puede ser más agresivo
• Las matemáticas que se esconden tras el patrimonio granadino
• Botín creará Santander Analytics: una división de gestión de riesgo con más de 100 matemáticos
• Matemáticas, de patito feo a titulación más deseada
• Muere Katherine Johnson, la matemática que llevó a la humanidad a la Luna
• Filósofos, ecólogos, virólogos y un denominador común: las matemáticas son imprescindibles
  
• Lucía, la matemática que hace que los camioneros duerman en casa: "Somos pocas chicas en big data"
  

Seguiremos ampliando la sección.

Cualquier noticia(sugerencia) será bienvenida.

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Matemática avanzadas y olimpiadas (Española e Internacional).

En este enlace dejo una web de retos matemáticos de la Junta de Extremadura.



  Os dejo la página web http://rinconmatematico.com/, donde podréis encontrar un montón de cosas de Matemáticas avanzadas. Lleva tiempo si estar actualizada pero hay cosas interesantes libros, enlaces, problemas, test, ... vamos un poco de todo. Pero insisto, son avanzadas.

  También os dejo la web de la olimpiada matemática española; y la de la olimpiada internacional. En La Rioja os recuerdo el seminario de problemas que organiza la Universidad de La Rioja Seminario de problemas.

  Recopilación de problemas OME 2005-2019 encontrados en la web oficial ( + de 100 documentos distintos en uno): http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOME.pdf

  Espero que os sirva.

  Seguiremos informando. 

Matemáticas y Estadística. Estadística y Matemáticas .

Como me dijo un compañero, las estadísticas son como los bikinis, «muestran lo sugerente y esconden lo fundamental».


En la página web del Instituto Nacional de Estadística puedes encontrar un sin fin de información. Yo os dejo un enlace que me parece interesante. El de los nombres y apellidos más frecuentes, así como los nombres de los recien nacidos, espero que os guste. 


La anécdota de Franklin D. Roosevelt vs Alf Landon en las elecciones presidenciales de los Estados Unidos de América de 1.936 con una población de unos 128.000.000 de habitantes, con derecho a voto unos 75.000.000 y votaron 45.647.699.

Matemáticas, recursos para repasar y profundizar en la ESO.

Hola a tod@s:

   Aquí os dejo este enlace del Centro para la Innovación y Desarrollo de la Educación a Distancia (CIDEAD) para que repaséis o mejoréis vuestros conocimientos de Matemáticas.

  También os dejo este otro enlace Sangakoo, donde podréis encontrar Teoría y problemas de matemáticas para secundaria, bachillerato y primeros cursos de carreras técnicas.

Esta página web https://interwovenmaths.com/ es muy interesaante, está en ingles, pero merece la pena.
Esta página web es de pago https://www.mathspad.co.uk/ es muy interesaante, está en ingles, si queréis podéis curiosear.    Espero que os sirva.

   


   

Exámenes de selectividad, PAU, EBAU ... o como quieran llamarle.

En esta web www.examenesdepau.com tienen todos los exámenes de todas las asignaturas de selectividad desde el año 1997-1998. Creo que vendrá bien para prepararse la prueba en años venideros.

Tambien hay un grupo en facebook Matemáticas de Bachillerato: Dudas y problemas. Donde van poniendo ejercicios y resolviendo las dudas que tengáis.

Seguiremos informando.

Línea temporal de las Matemáticas.

  El otro día estaba navegando por facebook y de repente cayó en mis manos esta página web. una serie temporal de matemáticos. Aquí os dejo el enlace y una visualización de la página web:

A pie de la serie tenéis importantes eventos tantos históricos como matemáticos, a disfrutar. 

También hay cursos y actividades. 

Matematicas y gamificación.

Hola,

  Aquí tenéis una ruleta de preguntas para alumnos de 1º de la ESO sobre Matemáticas.





Os dejo el enlace de la actividad, es de la página web educaplay.

Matemáticas y calculadoras. Calculadoras y Matemáticas.

Este es un punto delicado, por lo general los profesores en este sentido estamos divididos al 50% en «permitir» el uso de la calculadora, yo soy de los que no «permite» el uso de la calculadora y mis alumnos siempre me preguntan ¿por qué? La respuesta es muy fácil y una imagen vale más que mil palabra ...

Los alumnos creen que con la calculadora ya es todo mucho más fácil, pero eso no es así, que se lo digan a esta presentadora de televisión que no sabe hacer una simple operación con una calculadora y eso que lo intenta, pero el problema es que no sabe lo que tiene que hacer ... ¡¡¡Lamentable!!! Quiere calcular el índice de masa corporal (I. M. C.):

$I. M. C. = \dfrac{Peso \ en \ kilogramos}{ (estatura \ en \ metros)^2}$

$I. M. C. = \dfrac{75,4}{ (1,75)^2} = 24,49 $

Que en general los profesores tenemos que potenciar el uso de las calculadoras en clase más allá de realizar simples calculos aritméticos está claro y ahí es donde debemos trabajar. Pero, con las herramientas que tenemos, ¿la calculadora no se queda pequeña? Hay applicaciones para móviles mucho más potentes, deberíamos de dar el paso y puede que un poquito más, ¿por qué no utilizarlas? Por ejemplo, GeoGebra (versiones ios y android).

Hace poco leí un artículo más que interesante de la ATM (Association of Teacher of Mathematics), os dejo el enlace, se titula Calculators: Friend or foe?



 Veamos que podemos fácilmente usando algunos trucos, por ejemplo:

Para calcular el cuadrado de un número que acaba en 5, sabemos que el resultado acabará en 25 y para calcular el resto del resultado, cogemos el número y le quitamos el «5», al número que queda lo multiplicamos por su siguiente le añadimos el «25» y ya lo tenemos.

Veamos como calcular $(25)^2$, acabará en 25, ahora el número que nos queda al quitarle el «5» es 2, lo multiplicamos por su siguiente y tenemos: $2 \times 3 = 6$, así $(25)^2 = 625$.
Otro cuadrado, $(35)^2 = $, acabará en 25 y el siguiente de 3 es 4, luego $(35)^2 = 1225$.

Otro «truco» es la propiedad distributiva, propiedad que a los alumnos les cuesta mucho entender y sobre todo aplicar. Así si queremos calcular por ejemplo 13 x 17, es tan sencillo como aplicar la distributiva, de esta forma 13 x 17 = (10 + 3) x 17 o  13 x 17 = 13 x (10 + 7) y estas operaciones serán mucho más fácil de calcular:

$13 \times 17 = (10 + 3) \times 17 = 170 + 51 = 221$ 

$13 \times 17 = 13 \times (10 + 7) = 130 + 91 = 221$

Esta cuenta también la podemos hacer así:  

$13 \times 17 = 13 \times (20 - 3 ) = 260 - 39 = 221$

Ahora vamos a ver que pasa con la distributiva y los cuadrados de los números:

1 x 1 = 1
2 x 2 = 4 $\Rightarrow 1 \times 1 + 1 + 2$
3 x 3 = 9 $\Rightarrow 2 \times 2 + 2 + 3$
4 x 4 = 16 $\Rightarrow 3 \times 3 + 3 + 4$
5 x 5 = 25 $\Rightarrow 4 \times 4 + 4 + 5$

...

10 x 10 = 100 $\Rightarrow 9 \times 9 + 9 + 10$

Veamos $11 \times 11 = (10 + 1) \times (10 + 1) =  10^2 + 10 + 10 + 1 = 10^2 + 10 + 11 = 121$

Un chiste sobre el uso de la calculadora, es muy representativo:

Voy a contar un anécdota que me ocurrió un día en clase sobre el uso de la calculadora:

Profesor: La mejor calculadora la tenéis encima de los hombros, es solar y nunca se queda sin pilas. Alumna: Pero profesor, ¡¡¡en esta clase no da el sol!!! Profesor: ¡Cómo que no! El sol soy yo. Alumna: No profe, usted es la «tormenta».

Seguiremos reflexionando y trabajando sobre este tema.

Documentales, charlas y más de Matemáticas.

Hola,

   No dejéis de ver este documental «El gran misterio de las Matemáticas».

   Otro matemático cuya labor divulgativa es muy importante es Eduardo Sáenz de Cabezón, profesor de la Universidad de la Rioja, presentador de Orbita Laika (programa de divulgación científica que emite La 2 de Radio Televisión Española), que además tiene su propio canal en youtube, Derivando. Pues aquí os dejo una vídeo de una charla TED que dió en Argentina «Las Matemáticas son para siempre», espero que os guste.

Seguiremos ampliando la sección.

Matemáticas y Música. Música y Matemáticas. (M & M)

Hola,

   Hace tiempo me pasaron un vídeo versionando el famoso I will survive, con la versión «I will derive», está bien, unas risas seguras.

Pero ¡ojo! a esta versión de Bohemian Rhapsody, llamada «Calculus Rhapsody» no tiene desperdicio, el principio del vídeo se lo han «currado» mucho.

Si los enlaces no funcionan buscar el título de las canciones, merece la pena.

Ahora vamos con la versión de Despacito (el enlace me niego a ponerlo) titulada «Ponme un 5» de Laura García, la letra merce la pena.

Una cumbia matemática de «Los Wikipedia»

Seguiremos ampliando la sección.

Salu2.

Matemáticas y Juego de Tronos. Juego de Tronos y Matemáticas.

Hola,

   Hoy leyendo la prensa he encontrado este vídeo que relaciona de alguna manera la serie Juego de tronos (Game of Thrones) con las Matemáticas y también un punto de vista diferente de las Matemáticas.

Sacar vuestras propias conclusiones.

GeoGebra y aplicaciones matemáticas.

Hola, 

GeoGebra es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios y universidades. Utilizado en diversas especialidades. Tiene también aplicación para el móvil, es muy intuitivo de usar. Personalmente prefieo el uso de este programa al de la calculadora, las posibilidades que te ofrece GeoGebra no tienen comparación.

Con GeoGebra podemos dibujar funciones, que a los alumnos de 1º de Bachillerato les va muy bien, veamos unos ejemplos de unas funciones para los alumnos de CCSS.

Razones trigonométricas de la suma y resta de dos ángulos. 

Para alumnos de 4º ESO y 1º Bachillerato: Combinación líneal de dos vectores. Proyección de vectores.

Otra web que acabo de descubrir es graspablemath, creo que para alumnos de 1º y 2º de la ESO, en especial, para operaciones combinadas de enteros, naturales y de fracciones resulta más que interesante. También para alumn@s de 2º, 3º y 4º de la ESO, para resolver ecuaciones de 2º grado y polinómicas en general; factorización de polinomios y evaluar numéricamente expresiones algebraicas. 
Para dibujar gráficas, intervalos, colorear áreas bajo curvas, etc https://www.graphfree.com/
Seguiremos ampliando esta sección. 

Matemáticas y cine; Cine y Matemáticas.

Hola,

   En esta entrada comentaremos películas relacionadas con las Matemáticas:

   La primera que voy a comentar es la película «Figuras ocultas» (Hidden figures). Narra la vida de tres matemáticas afroamericanas que trabajan en el NASA en los años 60 durante la guerra espacial que mantuvieron con la URSS y tienen que luchar además por sus derechos sociales que tienen más que mermados. Una película muy entretenida.

La siguiente película que voy a comentar es «El hombre que conocía el infinito», narra la vida del matemático indio autodidacta «Srinivasa Ramanujan» que ingreso en la Universidad de Cambridge para colaborar con el matemático G. H. Hardy tuvo que luchar contra la sociedad del momento debido a sus orígenes de nacionalidad y sociales. Muy interesante.

Otra película especialmente interesante es «Los fisgones» (Sneakers) con un reparto de lujo, es la historia de un matemático que construye el decodificador de claves y lo que ello conlleva. Muy entretenida.

Otra película interesante es «Stand and Deliver» de 1988 protagonizada por Edward James Olmos. Esta película es la biografía del profesor de Matemáticas Jaime Escalante, de origen boliviano en la escuela preparatoria del Este de Los Ángeles.

Esta entrada la iremos ampliando.