Teorema de Weiersttrass (Weierstraß):
Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en algún punto de ese intervalo.La función es continua en el intervalo $[1, 5]$, como consecuencia podemos afirmar que está acotada en dicho intervalo. Por ser continua en el intervalo $[1, 5]$ se cumple el teorema de teorema de Weierstrass, que afirma que se alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo $[1, 5]$.
El denominador de la función no se anula para ningún valor de $x$ puesto que $1 + x^2 ≥ 1$.
Por lo tanto, la función es continua en el intervalo $[-1, 1]$. Aplicando el teorema de Wierstrass (o teorema del máximo-mínimo), la función alcanza máximo y mínimo absolutos en ese intervalo. Para calcular los máximos y los mínimos de la función estudiamos entre que valores oscila la función para el intervalo dado. \[ -1 \leq x \leq \Rightarrow 0 \leq x^2 \leq 1 \Rightarrow 1 \leq x^2 + 1 \leq 2 \Rightarrow \mfrac{1}{2} \leq \mfrac{1}{1 + x^2} \leq 1 \]
Es decir, el valor mínimo de la función es $\mfrac{1}{2}$ y el valor máximo 1. Para calcular en que puntos se alcanzan el mínimo y el máximo, resolvemos las siguiente igualdades: \[ \mfrac{1}{2} = \mfrac{1}{1 + x^2} \Rightarrow 2 = 1 + x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \]
\[ 1 = \mfrac{1}{1 + x^2} \Rightarrow 1 = 1 + x^2 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \]
Teorema de Bolzano:
Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, con $f(a) \cdot f(b) < 0 $ ( la función toma valores de signo contrario en los extremos), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$, es decir, una raíz, tal que $f(c) = 0$.Consideramos la función $f(x) = x – \cos x$. Esa función es continua en todo $\R$, en particular en $\left [ 0, \mfrac{\pi}{2} \right ]$. Además:
$f(0) = 0 – \cos 0 = –1 < 0$ y $f(\pi) = \pi – \cos(\pi) = \pi + 1 > 0$
Luego verifica las hipótesis del teorema de Bolzano. Por tanto, existe un punto $c \in \left (0, \mfrac{\pi}{2} \right )$ tal que $f (c) = 0$: $f(c) = 0 \Rightarrow f(c) = c – \cos c = 0 \Rightarrow c = \cos c$
Esto es, la ecuación $x = \cos x$ tiene una solución que es $c$.
Sabemos que la función tangente no está definida en $x = \mfrac{\pi}{2}$, y $\mfrac{\pi}{2} \in \left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$.
Por tanto, la función $f$ no es continua en todos los puntos del intervalo $\left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$. Como no cumple una de las condiciones del teorema de Bolzano, no podemos aplicarlo y asegurar que existe $c \in \left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$ tal que $f(c) = 0$. Es decir, no podemos asegurar que $f$ tenga una raíz en $\left [\mfrac{\pi}{4}, \mfrac{3\pi}{4} \right ]$.
Propiedad de Darboux:
Si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y $k$ es cualquier número entre $f(a)$ y $f(b) \left (k \in ( f(a), f(b) ) \right )$, entonces existe un valor $d$ entre $a$ y $b$ ($ d \in (a, b)$) para el cual $f(d) = k$.Es una consecuencia del teorema de Bolzano. Su demostración es sencilla, pues basta con definir otra función, $g(x) = f(x) − k$, y aplicarle el teorema de Bolzano. En efecto:
La función $g(x) = f(x) − k$ es continua en $[a, b]$, por ser diferencia de dos funciones continuas en $[a, b]$. Además, $g(a) = f(a) - k < 0$ y $g(b) = f(b) - k > 0$. Luego, $g(x)$ cumple las hipótesis del teorema de Bolzano. En consecuencia, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$. Pero esto significa que $g(c) = k − f (c) = 0 \Rightarrow f(c) = k$.
La función $f(x) = \msqrt{x + 1}$, es continua en el intervalo $[0, 3]$; además, en sus extremos toma los valores $f(0) = 1$ y $f(3) = 2$. Por tanto, la función toma todos los valores entre 1 y 2; por ejemplo, el valor 1,5. Ese valor lo toma en la solución de la ecuación $1,5 = \msqrt{x + 1}$ , que es: \[ 1,5 = \msqrt{x + 1} \Rightarrow 2,25 = x + 1 \Rightarrow x = 1,25 \Rightarrow 1,25 \in [0, 3] \].
Como la función es continua y en los extremos del intervalo toma los valores $f(0) = 5$ y $f(2) = 3$, se deduce que toma todos los valores entre 3 y 5; en particular el valor 4. Esto es, existirá algún punto $c \in (0, 2)$ tal que $f(2) = 4$.
Como 2 no está entre 3 y 5, no puede afirmarse que la función tome ese valor para algún punto del intervalo $(0, 2)$; pero tampoco puede afirmarse que no lo tome. (De hecho hay dos valores que toman el valor 2).
Teorema de Rolle:
Sea $f:[a, b] \to \mathbb {R}$ es una función continua en un intervalo cerrado $\displaystyle [a, b] $ diferenciable en el intervalo abierto $ \displaystyle (a,b) $ y que cumple $ f(a) = f(b) $ entonces existe al menos un punto $c \in (a, b) $ tal que $ f'(c) = 0$.La función es continua en $[0, 2]$. No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto $x = 1$. $$ f(x) = \begin{cases} -x + 1 \text{ si } 0 \leq x < 1 \cr \cr x - 1 \text{ si } 1 \leq x < 2 \end{cases}$$
$$ f'(x) = \begin{cases} -1 \text{ si } 0 < x < 1 \cr \cr 1 \text{ si } 1 < x < 2 \end{cases}$$
$f(x)$ es una función continua en los intervalos $[−1, 0]$ y $[0, 1]$ y derivable en los intervalos abiertos $(−1, 0)$ y $(0, 1)$ por ser una función polinómica.
Además se cumple que: \[ f(−1) = f(0) = f(1) = 0 \] Por tanto es aplicable el teorema de Rolle. \[ f'(c) = 0 \Rightarrow 1 - 3c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = \mfrac{1}{3} \Rightarrow c = \pm \msqrt{ \mfrac{1}{3} } = \pm \mfrac{1}{ \msqrt{3} } = \pm \mfrac{ \msqrt{3} }{3} \] \[ \mfrac{ - \msqrt{3} }{3} \in (-1, 0) \qquad \qquad \mfrac{ \msqrt{3} }{3} \in (0, 1) \]
Teorema del valor medio o de Lagrange:
Sea $f:[a, b] \to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ entonces existe al menos un punto $c \in (a, b) $ tal que \[ f'(c) = \mfrac{\ f(b) - f(a)\ }{ b - a } \]
$f(x)$ es continua en [0, 2] y derivable en $(0, 2)$ por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:
\[ f'(c) = \mfrac{\ f(b) - f(a)\ }{ b - a } = \mfrac{\ f(2) - f(0)\ }{ 2 - 0 } = \mfrac{ 7 - 1 }{ 2 } = 3 \]
\[ f'(c) = 3 \Rightarrow 8c - 5 = 3 \Rightarrow 8c = 8 \Rightarrow c = 1 \]
La función $f(x)$ no es continua en [−1, 3] ya que no está definida en $x = 0$.
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com