SM Página 142 Ejercicio 141

Del cuadrado $ABCD$, se conocen las coordenadas del punto $A(8, 7)$ y que los puntos B y C pertenecen a la recta de ecuación $3x - 4y = 19$.

1. ¿Cuáles son las coordenadas de los otros tres vértices?
2. Halla el perímetro ($P_c$) y el área del cuadrado ($A_c$).

El perímetro y el área se puede calcular directamente. La longitud del lado del cuadrado es la distancia del punto a la recta:
$$ d(A, r) = \dfrac{\ \ |3 \cdot 8 - 4 \cdot 7 - 19 | \ \ }{ \sqrt{\ \ 3^2 + 4^2 \ \ }} = \dfrac{\ \ |24 - 28 - 19 | \ \ }{ \sqrt{\ \ 25 \ \ }} = \dfrac{\ \ 23 \ \ }{ 5 } $$ Luego el perímetro es: $P_c = 4 \cdot \dfrac{\ \ 23 \ \ }{ 5 } = \dfrac{\ \ 92 \ \ }{ 5 } u $

Y el área es: $A_c = \left ( \dfrac{\ \ 23 \ \ }{ 5 } \right )^2 = \dfrac{\ \ 23^2 \ \ }{ 25 } u^2 = \dfrac{\ \ 529 \ \ }{ 25 } u^2 $

Usando rectas

Vamos con el apartado $a)$, vamos a resolverlo con rectas:

Tenemos el punto A y la recta $r:3x - 4y = 19$. Lo primero que podemos calcular es la recta $s$, que es perpendicular a $r$ y que pase por $A$.
La recta $s$ es de la forma $4x + 3y + d = 0$, para calcular $d$ sabemos que pasa por $A$, así tenemos:
$$4 \cdot 8 + 3 \cdot 7 + d = 0 \Rightarrow 32 + 21 + d = 0 \Rightarrow 53 + d = 0 \Rightarrow d = -53$$ Así la ecuación de la recta es $s : 4x + 3y = 53 $
Y también podemos calcular la recta $t$, que es paralela a la recta $r$ y que pasa por el punto $A$:

La recta $t$ es de la forma $t : 3x - 4y + e = 0$ y para calcular $e$ sabemos que pasa por $A$ entonces: $$3 \cdot 8 - 4 \cdot 7 + e = 0 \Rightarrow 24 - 28 + e = 0 \Rightarrow -4 + e = 0 \Rightarrow e = 4 $$ Luego la recta $t$ paralela a $r$ que pasa por $A$ es $t : 3x - 4y = - 4 $

Y ahora como sabemos que la distancia entre las rectas paralelas que definen el cuadrado es la misma, en este caso $ \dfrac{\ \ 23 \ \ }{ 5 } $ y sabemos que la recta $u$ que falta es paralela a la recta $s$ y está a la distancia calculada, luego sabemos que $u : 4x + 3y + f = 0$. Vamos a calcular el valor de $f$:
$$ d(u, r) = \dfrac{\ \ 23 \ \ }{ 5 } \Rightarrow \dfrac{\ \ |f + 53 | \ \ }{ \sqrt{\ \ 3^2 + 4^2 \ \ }} = \dfrac{\ \ 23 \ \ }{ 5 } \Rightarrow |\ f + 53 \ | = 23 \Rightarrow $$ Cómo es un valor absoluto tenemos dos posibilidades:
$$ \Rightarrow |\ f + 53 \ | = 23 \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \odn{1}{a} \ \ f_1 + 53 = 23 \Rightarrow f_1 = -30 \Rightarrow u_1 : 4x + 3y = 30 \cr \cr \odn{2}{a} \ \ f_2 + 53 = -23 \Rightarrow f_2 = -76 \Rightarrow u_2 : 4x + 3y = 76 \end{array} \right . $$ Y tiene sentido que tengamos dos rectas a esa distancia de la recta $r$.

Vamos a calcular los vértices, el primero que calculamos está claro que el punto $B = r \bigcap s$:
$$ \left \{ \begin{array}{l} 3x - 4y = 19 \\ 4x + 3y = 53 \end{array} \right . $$ $$ \begin{array}{ccc} \left \{\begin{array}{c} 3x - 4y = 19 \cr 4x + 3y = 53 \end{array} \right . {\begin{array}{c} \xrightarrow{ \cdot 3 } \cr \xrightarrow{ \cdot 4 } \end{array}} & & \left \{ \begin{array}{c} \ 9x - 12y = 57 \\ 16x + 12y = 212 \end{array} \right . \end{array} $$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $ 25x = 269 \Rightarrow x = \dfrac{\ 269\ }{25} $

Ahora vamos a calcular el valor de $y$: $$ \begin{array}{ccc} \left \{\begin{array}{c} 3x - 4y = 19 \cr 4x + 3y = 53 \end{array} \right . {\begin{array}{c} \xrightarrow{ \cdot (-4) } \cr \xrightarrow{ \cdot 3 } \end{array}} & \left \{ \begin{array}{c} -12x + 16y = -76 \cr \ 12x + \ 9y = 159 \end{array} \right . & \cr \cr \end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $ 25y = 83 \Rightarrow y = \dfrac{\ 83\ }{25} $. El punto $B = \left (\dfrac{\ 269\ }{25} , \dfrac{\ 83\ }{25} \right )$

Como tenemos dos posibilidades para la recta $u$ ($u_1$ y $u_2$) tenemos dos posibilidades para el punto $C$ y $D$. Vamos con la recta $u_1$ y calculamos los puntos $C_1$ y $D_1$:

$C_1 $ es la intersección de las rectas $r$ y $u_1$, $C_1 = r \bigcap u_1 $ tenemos el sistema: $$ \begin{array}{ccc} \left \{\begin{array}{c} 3x - 4y = 19 \cr 4x + 3y = 30 \end{array} \right . {\begin{array}{c} \xrightarrow{ \cdot 3 } \cr \xrightarrow{ \cdot 4 } \end{array}} & \left \{ \begin{array}{c} \ 9x - 12y = 57 \cr 16x + 12y = 120 \end{array} \right . & \cr \cr \end{array} $$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $ 25x = 177 \Rightarrow x = \dfrac{\ 177\ }{25} $

Ahora vamos a calcular el valor de $y$: $$ \begin{array}{ccc} \left \{\begin{array}{c} 3x - 4y = 19 \cr 4x + 3y = 30 \end{array} \right . {\begin{array}{c} \xrightarrow{ \cdot (-4) } \cr \xrightarrow{ \cdot 3 } \end{array}} & $\left \{ \begin{array}{c} -12x + 16y = -76 \cr \ 12x + \ 9y = 90 \end{array} \right . $ & \cr \cr \end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $ 25y = 14 \Rightarrow y = \dfrac{\ 14\ }{25} $. El punto $C_1 = \left (\dfrac{\ 177\ }{25} , \dfrac{\ 14\ }{25} \right )$

Vamos a calcular las coordenadas de $D_1$:

$D_1 $ es la intersección de las rectas $t$ y $u_1$, $D_1 = t \bigcap u_1 $ tenemos el sistema: $$ \begin{array}{ccc} \left \{\begin{array}{c} 3x - 4y = -4 \cr 4x + 3y = 30 \end{array} \right . {\begin{array}{c} \xrightarrow{ \cdot 3 } \cr \xrightarrow{ \cdot 4 } \end{array}} & \left \{ \begin{array}{c} \ 9x - 12y = -12 \cr 16x + 12y = 120 \end{array} \right . & \cr \cr \end{array} $$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $ 25x = 108 \Rightarrow x = \dfrac{\ 108\ }{25} $

Ahora vamos a calcular el valor de $y$: $$ \begin{array}{ccc} \left \{\begin{array}{c} 3x - 4y = -4 \cr 4x + 3y = 30 \end{array} \right . {\begin{array}{c} \xrightarrow{ \cdot (-4) } \cr \xrightarrow{ \cdot 3 } \end{array}} & \left \{ \begin{array}{c} -12x + 16y = 16 \cr \ 12x + \ 9y = 90 \end{array} \right . $ & \cr \cr \end{array} $$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $ 25y = 106 \Rightarrow y = \dfrac{\ 106\ }{25} $. El punto $D_1 = \left (\dfrac{\ 108\ }{25} , \dfrac{\ 106\ }{25} \right )$

Vamos con la recta $u_2$ y calculamos los puntos $C_2$ y $D_2$:

$C_2 $ es la intersección de las rectas $r$ y $u_2$, $C_2 = r \bigcap u_2 $ tenemos el sistema: $$ \begin{array}{ccc} \left \{\begin{array}{c} 3x - 4y = 19 \cr 4x + 3y = 76 \end{array} \right . {\begin{array}{c} \xrightarrow{ \cdot 3 } \cr \xrightarrow{ \cdot 4 } \end{array}} & \left \{ \begin{array}{c} \ 9x - 12y = 57 \cr 16x + 12y = 304 \end{array} \right . & \cr \cr \end{array} $$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $ 25x = 361 \Rightarrow x = \dfrac{\ 361\ }{25} $

Ahora vamos a calcular el valor de $y$: $$ \begin{array}{ccc} \left \{\begin{array}{c} 3x - 4y = 19 \cr 4x + 3y = 76 \end{array} \right . {\begin{array}{c} \xrightarrow{ \cdot (-4) } \cr \xrightarrow{ \cdot 3 } \end{array}} & \left \{ \begin{array}{c} -12x + 16y = -76 \cr \ 12x + \ 9y = 228 \end{array} \right . & \cr \cr \end{array} $$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $ 25y = 152 \Rightarrow y = \dfrac{\ 152\ }{25} $. El punto $C_2 = \left (\dfrac{\ 361\ }{25} , \dfrac{\ 152\ }{25} \right )$

Vamos a calcular las coordenadas de $D_2$:

$D_2 $ es la intersección de las rectas $t$ y $u_2$, $D_2 = t \bigcap u_2 $ tenemos el sistema: $$ \begin{array}{ccc} \left \{\begin{array}{c} 3x - 4y = -4 \cr 4x + 3y = 76 \end{array} \right . {\begin{array}{c} \xrightarrow{ \cdot 3 } \cr \xrightarrow{ \cdot 4 } \end{array}} & \left \{ \begin{array}{c} \ 9x - 12y = -12 \cr 16x + 12y = 304 \end{array} \right . & \cr \cr \end{array} $$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $ 25x = 292 \Rightarrow x = \dfrac{\ 292\ }{25} $

Ahora vamos a calcular el valor de $y$: $$ \begin{array}{ccc} $\left \{\begin{array}{c} 3x - 4y = -4 \cr 4x + 3y = 30 \end{array} \right . {\begin{array}{c} \xrightarrow{ \cdot (-4) } \cr \xrightarrow{ \cdot 3 } \end{array}} $ & $\left \{ \begin{array}{c} -12x + 16y = 16 \cr \ 12x + \ 9y = 228 \end{array} \right . $ & \cr \cr \end{array} $$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $ 25y = 244 \Rightarrow y = \dfrac{\ 244\ }{25} $. El punto $D_2 = \left (\dfrac{\ 292\ }{25} , \dfrac{\ 244\ }{25} \right )$



El enlace a la construcción con rectas.

Usando vectores

Vamos a hacer el apartado $a)$ usando vectores:

Empezamos de la misma forma que con las rectas, calculando la recta $s$, que es perpendicular a $r$ y pasa por el punto $A$ que ya hemos visto que es la recta $s : 4x + 3y = 53$ y calculamos el punto $ B = r \bigcap s $, donde $B = \left (\dfrac{\ 269\ }{25} , \dfrac{\ 83\ }{25} \right )$

Ahora podemos calcular el vector $\vec{u} = \overrightarrow{BA}$: $$ \vec{u} = \overrightarrow{BA} = \left ( 8 - \dfrac{\ 269\ }{25}, 7 - \dfrac{\ 83\ }{25} \right ) = \left ( \dfrac{\ 200 - 269\ }{25}, \dfrac{\ 175 - 83\ }{25} \right ) = \left ( \dfrac{\ -69\ }{25}, \dfrac{\ 92\ }{25} \right ) $$ Calculamos el vector $ \vec{v} $, $ \vec{v} \perp \vec{u}$, nos salen dos posibilidades para el vector, vamos a coger que $$\vec{v} = \left ( \dfrac{\ -92\ }{25}, \dfrac{\ -69\ }{25} \right ) $$ Al punto $B$, le podemos sumar el vector $\vec{v}$ o su opuesto $-\vec{v}$, vamos a sumarle $\vec{v}$ y tenemos que: $$ C_1 = B + \vec{v} = \left (\dfrac{\ 269\ }{25} , \dfrac{\ 83\ }{25} \right ) + \left ( \dfrac{\ -92\ }{25}, \dfrac{\ -69\ }{25} \right ) = \left ( \dfrac{\ 177\ }{25}, \dfrac{\ 14\ }{25} \right ) $$ Al punto $C_1$, le podemos sumamos el vector $-\vec{u}$, así tenemos que: $$ D_1 = C_1 - \vec{u} = \left (\dfrac{\ 177\ }{25} , \dfrac{\ 14\ }{25} \right ) + \left ( \dfrac{\ -69\ }{25}, \dfrac{\ 92\ }{25} \right ) = \left ( \dfrac{\ 108\ }{25}, \dfrac{\ 106\ }{25} \right ) $$ Podemos comprobar que las cosas están bien hechas ya que si a $D_1$ le sumamos $-\vec{v}$ nos dará el punto $A$: $$ A = D_1 - \vec{v} = \left (\dfrac{\ 108\ }{25} , \dfrac{\ 106\ }{25} \right ) + \left ( \dfrac{\ 92\ }{25}, \dfrac{\ 69\ }{25} \right ) = \left ( \dfrac{\ 200\ }{25}, \dfrac{\ 175\ }{25} \right ) = (8, 7) \checkmark $$ Al punto $B$, le podemos sumar el vector $\vec{v}$ o su opuesto $-\vec{v}$, vamos a sumarle $-\vec{v}$ y tenemos que: $$ C_2 = B + \vec{v} = \left (\dfrac{\ 269\ }{25} , \dfrac{\ 83\ }{25} \right ) + \left ( \dfrac{\ 92\ }{25}, \dfrac{\ 69\ }{25} \right ) = \left ( \dfrac{\ 361\ }{25}, \dfrac{\ 152\ }{25} \right ) $$ Al punto $C_2$, le podemos sumamos el vector $\vec{u}$, así tenemos que: $$ D_2 = C_2 + \vec{u} = \left (\dfrac{\ 361\ }{25} , \dfrac{\ 152\ }{25} \right ) + \left ( \dfrac{\ -69\ }{25}, \dfrac{\ 92\ }{25} \right ) = \left ( \dfrac{\ 292\ }{25}, \dfrac{\ 244\ }{25} \right ) $$ Podemos comprobar que las cosas están bien hechas ya que si a $D_2$ le sumamos $\vec{v}$ nos dará el punto $A$: $$ A = D_2 + \vec{v} = \left (\dfrac{\ 292\ }{25} , \dfrac{\ 244\ }{25} \right ) + \left ( \dfrac{\ -92\ }{25}, \dfrac{\ -69\ }{25} \right ) = \left ( \dfrac{\ 200\ }{25}, \dfrac{\ 174\ }{25} \right ) = (8, 7) \checkmark $$ El enlace a la construcción con vectores.

Usando la diagonal del cuadrado

Vamos a resolver el apartado $a)$ usando una recta que forma un ángulo de $\dfrac{\ \pi\ }{4}$ radianes con la recta $r : 3x - 4y = 19 $.

Empezamos de la misma forma que con las rectas, calculando la recta $s$, que es perpendicular a $r$ y pasa por el punto $A$ que ya hemos visto que es la recta $s : 4x + 3y = 53$ y calculamos el punto $ B = r \bigcap s $, donde $B = \left (\dfrac{\ 269\ }{25} , \dfrac{\ 83\ }{25} \right )$

Ponemos la recta $r$ en su forma explícita $r : y = \dfrac{\ 3\ }{4}x - \dfrac{\ 19 \ }{4}$ y la pendiente de esta recta es $m_r = \dfrac{\ 3\ }{4}$.

Ahora buscamos una recta que forme un ángulo de $\dfrac{\ \pi\ }{4}$ radianes o $\gss{45}$ grados con la recta $r$, para ello usaremos la fórmula: $$ \tg \left ( \alpha \right ) = \left | \dfrac{\ m_1 - m_2 \ }{1 + m_1 \cdot m_2 } \right | \Rightarrow \tg \left ( \dfrac{\ \pi\ }{4} \right ) = \left | \dfrac{\ \frac{3}{4} - m \ }{1 + \frac{3}{4} m } \right | \Rightarrow 1 = \left | \dfrac{\ \frac{3}{4} - m \ }{1 + \frac{3}{4} m } \right | $$ Al tener un valor absoluto nos da dos posibilidades: $$ 1 = \left | \dfrac{\ \frac{3}{4} - m \ }{1 + \frac{3}{4} m } \right | \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \odn{1}{a} \ \ 1 = \dfrac{\ \frac{3}{4} - m \ }{1 + \frac{3}{4} m } \Rightarrow 1 + \dfrac{3}{4} m = \dfrac{3}{4} - m \Rightarrow \dfrac{1}{4} = \dfrac{-7}{4}m \Rightarrow m_1 = \dfrac{-1}{7} \\ \\ \odn{2}{a} \ \ -1 = \dfrac{\ \frac{3}{4} - m \ }{1 + \frac{3}{4} m } \Rightarrow -1 - \dfrac{3}{4} m = \dfrac{3}{4} - m \Rightarrow \dfrac{-7}{4} = \dfrac{-1}{4}m \Rightarrow m_2 = 7 \end{array} \right . $$ Y de esa recta que forma un ángulo de $\dfrac{\ \pi\ }{4}$ radianes y que pasa por el punto $A$ tenemos dos rectas, ya que nos han salido dos valores para las pendiente de la recta.

Si $m_1 = 7$, la recta $d_1 : y - 7 = 7 \cdot (x - 8) \Rightarrow d_1 : 7x - y = 49$

Si $m_2 = \dfrac{-1}{7}$, la recta $d_2 : y - 7 = \dfrac{-1}{7} \cdot (x - 8) \Rightarrow d_2 : x + 7y = 57$

Vamos a calcular $C_1$, el punto de intersección de las rectas $r$ y $d_1$, $C_1 = r \bigcap d_1$ tenemos que resolver el sistema: $$\left \{\begin{array}{c} 7x - y = 49 \\ 3x - 4y = 19 \end{array} \right . $$ Despejamos la $y$ de la primera ecuación $y = 7x - 49$ y sustituimos en la segunda ecuación:

$$ 3x - 4 \cdot (7x - 49) = 19 \Rightarrow 3x - 28x + 196 = 19 \Rightarrow -25x = - 177 \Rightarrow x = \dfrac{\ 177\ }{25} $$ Ahora vamos a calcular el valor de $y = \dfrac{\ 7 \cdot 177\ }{25} - 49 = \dfrac{1239 - 1225}{25} = \dfrac{\ 14\ }{25}$. Las coordenadas del punto son $C_1 = \left (\dfrac{\ 177\ }{25}, \dfrac{\ 14\ }{25} \right ) $ Ahora calculamos el punto medio del segmento $\overline{AC_1}$ que lo llamaremos $M_1$: $$ M_1 = \left ( \dfrac{\ 8 + \frac{177}{25}\ }{2}, \dfrac{\ 7 + \frac{14}{25}\ }{2} \right ) = \left ( \dfrac{\ 377\ }{50}, \dfrac{\ 189\ }{50} \right ) $$ Y ahora $D_1$ es el simétrico de $B$ respecto de $M_1$, es decir, $M_1$ es el punto medio del segmento $BD_1$. Vamos a calcular las coordenadas del punto $D_1 = ( d_{1x}, d_{1y} )$:

$d_{1x} = 2 \cdot \dfrac{\ 377\ }{50} - \dfrac{\ 269\ }{25} = \dfrac{\ 108\ }{25}$

$d_{1y} = 2 \cdot \dfrac{\ 189\ }{50} - \dfrac{\ 83\ }{25} = \dfrac{\ 106\ }{25}$

Así el punto $D_1 = \left (\dfrac{\ 108\ }{25}, \dfrac{\ 106\ }{25} \right ) $. Vamos a calcular $C_2$, el punto de intersección de las rectas $r$ y $d_2$, $C_2 = r \bigcap d_2$ tenemos que resolver el sistema: $$\left \{\begin{array}{c} x + 7y = 57 \cr 3x - 4y = 19 \end{array} \right . $$ Despejamos la $x$ de la primera ecuación $x = 57 - 7y$ y sustituimos en la segunda ecuación:

$$ 3 \cdot (57 - 7y) - 4y = 19 \Rightarrow 171 - 21y - 4y = 19 \Rightarrow -25y = - 152 \Rightarrow y = \dfrac{\ 152\ }{25} $$ Ahora vamos a calcular el valor de $x = 57 - \dfrac{\ 7 \cdot 152\ }{25} = \dfrac{1425 - 1064}{25} = \dfrac{\ 361\ }{25}$. Las coordenadas del punto son $C_2 = \left (\dfrac{\ 361\ }{25}, \dfrac{\ 152\ }{25} \right ) $ Ahora calculamos el punto medio del segmento $\overline{AC_2}$ que lo llamaremos $M_2$: $$ M_2 = \left ( \dfrac{\ 8 + \frac{361}{25}\ }{2}, \dfrac{\ 7 + \frac{152}{25}\ }{2} \right ) = \left ( \dfrac{\ 561\ }{50}, \dfrac{\ 327\ }{50} \right ) $$ Y ahora $D_2$ es el simétrico de $B$ respecto de $M_2$, es decir, $M_2$ es el punto medio del segmento $BD_2$. Vamos a calcular las coordenadas del punto $D_2 = ( d_{2x}, d_{2y} )$:

$d_{2x} = 2 \cdot \dfrac{\ 561\ }{50} - \dfrac{\ 269\ }{25} = \dfrac{\ 292\ }{25}$

$d_{2y} = 2 \cdot \dfrac{\ 327\ }{50} - \dfrac{\ 83\ }{25} = \dfrac{\ 244\ }{25}$

Así el punto $D_2 = \left (\dfrac{\ 292\ }{25}, \dfrac{\ 244\ }{25} \right ) $.


El enlace a la construcción con la diagonal.

Matemáticas y fútbol.

Un «partido realmente extraño» es una de las historias que cuenta el libro El salto del tigre, Las Matemáticas de la vida cotidiana de John D. Barrow, Adjunto foto:

He copiado el enlace del resumen del partido: