SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Un sistema de ecuaciones no lineales es un grupo de ecuaciones donde al menos una de ellas es no lineal, es decir, es de grado 2 o más, o es una ecuación exponencial, logarítmica o irracional.
No hay una regla mágica para resolver los sistemas no lineales, pero para los que son polinómicos no lineales podemos usar métodos de resolución ya conocidos.
Veamos algunos casos:
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineales con una ecuación no lineal y otra lineal:
Podremos usar el método de sustitución. Veamos un ejemplo: $$ \left\{\begin{array}{l} x^{2}+ xy = 12 \\ \\ x - y = 2 \end{array}\right. $$ Despejamos en la 2ª ecuación la $y = x - 2$ y sustituimos en la 1ª ecuación:
$$ x^2 + x \cdot (x - 2) = 12 \Rightarrow x^2 + x^2 - 2x - 12 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 2x - 12 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x - 3) = 0$$ Si $x = -2 \rightarrow y = -2 - 2 = -4 $
Si $x = 3 \rightarrow y = 3 - 2 = 1 $
A la hora de realizar la comprobación lo tenemos que hacer en el sistema de partida y en cada una de las ecuaciones:
Si $x = -2$ e $y = -4 \Rightarrow (-2)^2 + (-2)\cdot (-4) = 4 + 8 = 12; -2 - (-4) = -2 + 4 = 2 \checkmark$
Si $x = 3$ e $y = 1 \Rightarrow (3)^2 + 3\cdot 1 = 9 + 3 = 12; 3 - 1 = 2 \checkmark$
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineales donde las dos ecuaciones no son de primer grado.
$$ \left \{ \begin{array}{l} x^{2} + xy = 30 \\ \\ xy + y^{2} = 6 \end{array} \right. $$ Podemos despejar $x$ o $y$ en una de las ecuaciones y sustituir pero hay otras formas de hacerlo más sencillo. Vamos a sumar y restar las dos ecuaciones del sitema y obtenemos otro sistema equivaente (es decir, un sistema que tiene las mismas soluciones: $$ \left \{ \begin{array}{l} x^{2} - y^2 = 24 \\ \\ (x + y)^{2} = 36 \end{array} \right. \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \left \{ \begin{array}{l} (x + y) \cdot (x - y) = 24 \\ \\ (x + y)^{2} = 36 \end{array} \right. $$ Este último sistema se separa en dos sistemas lineales muy sencillos ya que tenemos que $(x + y)^{2} = 36$, lo que quiere decir que $x + y = \pm 6$, por eso un sistema sale con $x + y = 6$ y en el otro $x + y = -6$. Hay que darse cuenta que en la 1ª ecuación de cada sistema he sustituido $x + y$ por 6 y -6 respectivamente. $$ \left \{ \begin{array}{l} x - y = 4 \\ \\ x + y = 6 \end{array} \right. \qquad \text{ y } \qquad \left \{ \begin{array}{l} x - y = -4 \\ \\ x + y = -6 \end{array} \right.$$
Dichos sistemas se resuelven rápidamente, vamos con el $1^{\underline{er}}$ sistema:
$ \left \{ \begin{array}{l} x - y = 4 \\ \\ x + y = 6 \end{array} \right.$
Sumamos las dos ecuaciones y tenemos que $2x = 10 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow y = 6 - x = 6 - 5 = 1$. La solución es $x = 5$ e $ y = 1$
Vamos con el 2º sistema:
$\left \{ \begin{array}{l} x - y = -4 \\ \\ x + y = -6 \end{array} \right.$
Sumamos las dos ecuaciones y tenemos que $2x = -10 \Rightarrow x = -5 \Rightarrow y = -6 - x = -6 - (-5) = -6 + 5 = -1$. La solución es $x = -5$ e $ y = -1$
Comprobación de la solución en cada una de las ecuaciones del sistema de partida:
Si $x = 5$ e $y = 1 \Rightarrow 5^2 + 5 \cdot 1 = 25 + 5 = 30; 5 \cdot 1 + 1^2 = 5 + 1 = 6 \checkmark $
Si $x = -5$ e $y = -1 \Rightarrow (-5)^2 + (-5) \cdot (-1) = 25 + 5 = 30; (-5) \cdot (-1) + (-1)^2 = 5 + 1 = 6 \checkmark $
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde las dos ecuaciones no son lineales y no hay término «$x \cdot y$»
$$ \left \{ \begin{array}{l} 2x^{2} - 3y^{2} = -6 \\ 4x^{2} - y^{2} = 8 \end{array} \right . $$ En este caso podemos aplicar el método de reducción, en este caso multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y le restamos la 2ª ecuación y nos queda:
$$ - 6y^2 + y^2 = -12 - 8 \Rightarrow -5y^2 = -20 \rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2 $$ Sustituimos $y^2 = 4$ en cualquiera de las dos encuaciones, por ejemplo, en la 1ª ecuación tenemos:
$$ 2x^2 - 3 \cdot 4 = - 6 \Rightarrow 2x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} $$ Luego las soluciones son: $(x, y) = (\sqrt{3}, 2); (x, y) = (\sqrt{3}, -2); (x, y) = (-\sqrt{3}, 2);$ y $ (x, y) = (-\sqrt{3}, -2);$
En este caso a la hora de comprobar una solución estamos comprobando las 4 posibles, ya que al elevar al cuadrado los signos desaparecen. Así comprobando en el sistema de ecuaciones, en cada una de las ecuaciones tenemos:
Si $(x, y) = (\sqrt{3}, 2) \rightarrow $
$\qquad \qquad $ 1ª ecuación: $2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 3 \cdot 2^2 = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 4 = 6 - 12 = -6 \checkmark $
$\qquad \qquad $ 2ª ecuación: $4 \cdot (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 4 \cdot 3 - 4 = 12 - 4 = 8 \checkmark $
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde una de las dos ecuaciones es irracional:
\( \begin{cases} 2 \msqrt{x + 1} = y + 1 \\ \\ 2x - 3y = 1 \end{cases} \)
Despejamos la $x$ de la segunda ecuación, mejor dicho $2x$ y sustituimos en la primera, pero antes elevamos al cuadrado la priemra ecuación ya que es irracional y la raíz la tenemos aislada: \[ 2 \msqrt{x + 1} = y + 1 \Rightarrow 4(x + 1) = (y + 1)^2 \Rightarrow 4x + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow (*) \] Despejamos la $x$ y sustituimos en la segunda ecuación: \[ 2x - 3y = 1 \Rightarrow 2x = 3y + 1 \] Ahora sustituimos la $x$ en (*) y agrupamos: \[ \Rightarrow (*) \quad 2(3y + 1) + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow 6y + 2 + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow y^2 - 4y - 5 = 0 \] Es una ecuación de segundo grado y con las fórmulas de Cardano-Vieta vemos que las soluciones son $y_1 = - 1$ y $y_2 = 5$.
Si $y_1 = -1 $ entonces $x = \mfrac{3y + 1}{2} = \mfrac{-3 + 1}{2} = \mfrac{-2}{2} = - 1$
Si $y_2 = 5$ entonces $y = \mfrac{3\cdot 5 + 1}{2} = \mfrac{16}{2} = 8 $
Comprobación:
- Solución $(x, y) = (-1, 1)$:
\( \begin{cases} 2 \msqrt{-1 + 1} = -1 + 1 \checkmark \\ \\ 2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1) = 1 \checkmark \end{cases} \)
- Solución $(x, y) = (8, 5)$:
\( \begin{cases} 2 \msqrt{8 + 1} = 5 + 1 \Rightarrow 2 \cdot 3 = 5 + 1 \checkmark \\ \\ 2 \cdot 8 - 3 \cdot 5 = 16 - 15 = 1 \checkmark \end{cases} \)
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde una de las dos ecuaciones es irracional:
\( \begin{cases} y^{2} - 2y + 1 = x \\ \\ \sqrt{x} + y = 5 \end{cases} \)
Despejamos la $x$ de la segunda ecuación, para ello la elevamos al cuadrado y la sustituiremos en la primera ecuación: \[ \sqrt{x} + y = 5 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 - y \] Ahora elevamos al cuadrado: \[ ( \sqrt{x} )^2 = (5 - y)^2 \Rightarrow x = 25 - 10y + y^2 \] sustituimos en la primera ecuación:
\( y^{2} - 2y + 1 = x \Rightarrow y^{2} - 2y + 1 = 25 - 10y + y^2 \Rightarrow 8y = 24 \Rightarrow y = 3 \) Ahora calculamos $x$:
\( x = 25 - 10y + y^2 = 25 - 10 \cdot 3 + 3^2 = 25 - 30 + 9 = 4 \)
Comprobamos la solución:
\( \begin{cases} 3^{2} - 2 \cdot 3 + 1 = 4 \Rightarrow 9 - 6 + 1 = 4 \checkmark \\ \\ \sqrt{4} + 3 = 5 \checkmark \end{cases} \)
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde las dos ecuaciones tienen las incógnitas en el denominador:
\( \begin{cases} \mfrac{1}{x^{2}} + \mfrac{1}{y^{2}} = 13 \\ \\ \mfrac{1}{x} - \mfrac{1}{y} = 1 \end{cases} \)
En este sistemas vamos a hacer un cambio de variable, muy importante deshacerlo una vez resuelto el sistema con el cambio: \[ s = \mfrac{1}{x} \text{ y } t = \mfrac{1}{y} \] Entonces el sitema nos queda: \( \begin{cases} s^{2} + t^{2} = 13 \\ \\ s - t = 1 \end{cases} \)
Ahora despejamos $s$ o $t$ en la segunda ecuación y sustituimos en la primera ecuación. Vamos a despejar $s$, $s = 1 + t$: \[ s^{2} + t^{2} = 13 \Rightarrow (1 + t)^2 + t^2 = 13 \Rightarrow 1 + 2t + t^2 + t^2 = 13 \Rightarrow 2t^2 + 2t - 12 = 0 \Rightarrow t^2 + t - 6 = 0\] Ecuación de segundo grado que podemos resolver con las fórmulas de Cardano-Vieta: $t_1 = 2$ y $t_2 = - 3$. Vamos a calcular $s$:
Si $t_1 = 2 \Rightarrow s_1 = 1 + 2 = 3 $
Si $t_2 = -3 \Rightarrow s_2 = 1 - 3 = -2 $
Ahora tenemos que deshacer el cambio: \[ \text{Si } s = \mfrac{1}{x} \Rightarrow x = \mfrac{1}{s} \text{ y } t = \mfrac{1}{y} \Rightarrow y = \mfrac{1}{t} \] La solución $(s, t) = \left (3, 2 \right )$ se convierte en la solución $(x, y) = \left (\mfrac{1}{3} , \mfrac{1}{2} \right )$
La solución $(s, t) = \left (-2, -3 \right )$ se convierte en la solución $(x, y) = \left (\mfrac{-1}{2} , \mfrac{-1}{3} \right )$
Comprobación:
- $(x, y) = \left (\mfrac{1}{3} , \mfrac{1}{2} \right )$:
\( \begin{cases} \mfrac{1}{\left ( \mfrac{1}{3} \right)^{2}} + \mfrac{1}{ \left ( \mfrac{1}{2} \right)^{2}} = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 \checkmark \\ \\ \\ \mfrac{1}{x} - \mfrac{1}{y} = \mfrac{1}{ \mfrac{1}{3} } - \mfrac{1}{ \mfrac{1}{2} } = 3 - 2 = 1 \checkmark \end{cases} \)
- $(x, y) = \left (\mfrac{-1}{2} , \mfrac{-1}{3} \right )$:
\( \begin{cases} \mfrac{1}{\left ( \mfrac{-1}{2} \right)^{2}} + \mfrac{1}{ \left ( \mfrac{-1}{3} \right)^{2}} = (-2)^2 + (-3)^2 = 9 + 4 = 13 \checkmark \\ \\ \\ \mfrac{1}{x} - \mfrac{1}{y} = \mfrac{1}{ \mfrac{-1}{2} } - \mfrac{1}{ \mfrac{-1}{3} } = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1 \checkmark \end{cases} \)
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde una de las dos ecuaciones es logarítmica y la otra exponencial:
\( \begin{cases} \log(x + y) + \log(x - y) = \log 33 \\ \\ e^x \cdot e^y = e^{11} \end{cases} \)
Aplicamos en cada de las ecuaciones las propiedades de logaritmos y potencias para transformar el sistema:
\[ \log(x + y) + \log(x - y) = \log 33 \Rightarrow \log(x + y) \cdot (x - y) = \log 33 \Rightarrow (x + y) \cdot (x - y) = 33 \] \[ e^x \cdot e^y = e^{11} \rightarrow e^{x + y} = e^{11} \Rightarrow x + y = 11 \] Hemos transformado el sistema en este: \[ \begin{cases} (x + y) \cdot (x - y) = 33 \\ \\ x + y = 11 \end{cases} \] Como $x + y = 11$ sustituimos en la primera ecuación y nos quedará: $(x + y) \cdot (x - y) = 33 \Rightarrow 11 (x - y) = 33 \Rightarrow x - y = 3 $
\( \begin{cases} x - y = 3 \\ \\ x + y = 11 \end{cases} \)
Sumando las dos ecuaciones nos queda: $2x = 14 \Rightarrow x = 7 $ y de la segunda ecuación despejamos $y$: $ y = 11 - x = 11 - 7 = 4$
Comprobamos la solución $(x, y) = (7, 4)$:
\( \begin{cases} \log(7 + 4) + \log(7 - 4) = \log 11 + \log 3 = \log 33 \checkmark \\ \\ e^7 \cdot e^4 = e^{11} \checkmark \end{cases} \)
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde las dos ecuaciones son exponenciales:
\( \begin{cases} 2^x + 5^y = 9 \\ \\ 2^{x + 2} + 5^{y + 1} = 41 \end{cases} \)
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde las dos ecuaciones son logarítmicas:
\( \begin{cases} \log_{2} x^2 + \log_{3} \mfrac{1}{y^3} = 4 \\ \\ \log_{2} x + \log_{3} y^4 = 13 \end{cases} \)
Además nos pregunatan cuánto vale $\log_{4} x - \log_{y} 9 $. Primero vamos a resolver el sistema, ¿cuál es la mejor manera para resolver este sistema donde hay bases diferentes para los logaritmos? Cambio de variable: \[ s = log_{2} x \text{ y } t = log_{3} y \] Antes de aplicar el cambio de variable, vamos a aplicar propiedades de los logaritmos para poner de forma más sencilla este sistema:
\[ \log_{2} x^2 + \log_{3} \mfrac{1}{y^3} = 4 \Rightarrow 2 \cdot \log_{2} x + \log_{3}y^{-3} = 4 \Rightarrow 2 \cdot \log_{2} x - 3 \cdot \log_{3} y = 4 \Rightarrow 2s - 3t = 4 \] \[ \log_{2} x + \log_{3} y^4 = 13 \Rightarrow \log_{2} x + 4 \cdot \log_{3} y = 13 \Rightarrow s + 4t = 13 \] Hemos cambiado un sistema no lineal en uno lineal que es mucho más fácil de resolver:
\( \begin{cases} 2s - 3t = 4 \\ \\ \ s + 4t = 13 \end{cases} \)
Vamos a resolver el sistema por reducción:
\( \begin{cases} 2s - 3t = 4 \\ \\ -2s - 8t = -26 \\ \hline \end{cases} \)
\( \ \ \ \ \ -11 t = - 22 \Rightarrow t = 2 \)
Como $t = 2$ entonces $s = \mfrac{4 + 3t}{ 2 } = \mfrac{4 + 3 \cdot 2 }{ 2 } = \mfrac{4 + 6 }{ 2 } = \mfrac{ 10 }{ 2 } = 5 $
Deshacemos los cambios de variable:
\( s = log_{2} x \Rightarrow 5 = log_{2} x \Rightarrow x = 2^5 = 32 \)
\( t = log_{3} y \Rightarrow 2 = log_{3} y \Rightarrow y = 3^2 = 9 \)
Comprobación:
\( \begin{cases} \log_{2} x^2 + \log_{3} \mfrac{1}{y^3} = \log_{2} (2^5)^2 + \log_{3} \mfrac{1}{(3^2)^3} = \log_{2} 2^{10} + \log_{3} 3^{-6} = 10 - 6 = 4 \checkmark \\ \\ \log_{2} x + \log_{3} y^4 = \log_{2} 2^5 + \log_{3} (3^2)^4 = \log_{2} 2^5 + \log_{3} 3^8 = 5 + 8 = 13 \checkmark \end{cases} \)
Despejamos la $x$ o la $y$ de la segunda ecuación y sustituimos en la primera ecuación: \[ x = 24 - y \Rightarrow (24 - y)^2 + y^2 = 290 \Rightarrow 576 - 48y + y^2 + y^2 = 290 \rightarrow 2y^2 - 48y + 286 = 0 \Rightarrow y^2 - 24y + 143 = 0 \] Ecuación de segundo grado que se puede resolver por Cardano-Vieta, $y_1 = 11$ e $y_2 = 13$.
Si $y_1 = 11 \Rightarrow x = 24 - y = 24 - 11 = 13$ y,
Si $y_2 = 13 \Rightarrow x = 24 - y = 24 - 13 = 11$.
Las soluciones son $(x, y) = (11, 13)$ y $(x, y) = (13, 11)$. Veamos la comprobación:
Si $(x, y) = (11, 13)$:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 290 \Rightarrow (11)^2 + (13)^2 = 121 + 169 = 290 \checkmark \\[6pt] x + y = 24 \Rightarrow 11 + 13 = 24 \end{cases}$
La comprobación de la otra solución $(x, y) = (13, 11)$ es exactamente igual.
Aplicamos propiedades de logaritmos a la segunda ecuación: $\log(x \cdot y) = 1 \Rightarrow \log x + \log y = 1 $ y el sistema nos queda: \[ \begin{cases} 2\log x + \log y = 5 \\[6pt] \log(x \cdot y) = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2\log x + \log y = 5 \\[6pt] \log x + \log y = 1 \end{cases} \] Este sistema lo podemos resolver por reducción, si se quiere se pude hacer un cambio de variable $s = \log x$ y $ t = \log y$, pero no es necesario ya que restando la segunda ecuación a la primera tenems: \[ \log x = 4 \Rightarrow x = 10^4 \] y sustituyendo en la segunda ecuación nos queda: \[ \log x + \log y = 1 \Rightarrow 4 + \log y = 1 \Rightarrow \log y = -3 \Rightarrow y = 10^{-3} \] Luego la solución $(x, y ) = \left (10^4, 10^{-3} \right)$. Veamos la comprobación:
\( \begin{cases} 2\log x + \log y = 5 \Rightarrow 2 \log 10^4 + \log 10^{-3} = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5 \checkmark \\[6pt] \log(x \cdot y) = 1 \Rightarrow \log(10^4 \cdot 10^{-3}) = \log 10 = 1 \checkmark \end{cases} \)
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
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