SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Un sistema de ecuaciones no lineales es un grupo de ecuaciones donde al menos una de ellas es no lineal, es decir, es de grado 2 o más, o es una ecuación exponencial, logarítmica o irracional.
No hay una regla mágica para resolver los sistemas no lineales, pero para los que son polinómicos no lineales podemos usar métodos de resolución ya conocidos.
Veamos algunos casos:
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineales con una ecuación no lineal y otra lineal:
Podremos usar el método de sustitución. Veamos un ejemplo: $$ \left\{\begin{array}{l} x^{2}+ xy = 12 \\ \\ x - y = 2 \end{array}\right. $$ Despejamos en la 2ª ecuación la $y = x - 2$ y sustituimos en la 1ª ecuación:
$$ x^2 + x \cdot (x - 2) = 12 \Rightarrow x^2 + x^2 - 2x - 12 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 2x - 12 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x - 3) = 0$$ Si $x = -2 \rightarrow y = -2 - 2 = -4 $
Si $x = 3 \rightarrow y = 3 - 2 = 1 $
A la hora de realizar la comprobación lo tenemos que hacer en el sistema de partida y en cada una de las ecuaciones:
Si $x = -2$ e $y = -4 \Rightarrow (-2)^2 + (-2)\cdot (-4) = 4 + 8 = 12; -2 - (-4) = -2 + 4 = 2 \checkmark$
Si $x = 3$ e $y = 1 \Rightarrow (3)^2 + 3\cdot 1 = 9 + 3 = 12; 3 - 1 = 2 \checkmark$
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineales donde las dos ecuaciones no son de primer grado.
$$ \left \{ \begin{array}{l} x^{2} + xy = 30 \\ \\ xy + y^{2} = 6 \end{array} \right. $$ Podemos despejar $x$ o $y$ en una de las ecuaciones y sustituir pero hay otras formas de hacerlo más sencillo. Vamos a sumar y restar las dos ecuaciones del sitema y obtenemos otro sistema equivaente (es decir, un sistema que tiene las mismas soluciones: $$ \left \{ \begin{array}{l} x^{2} - y^2 = 24 \\ \\ (x + y)^{2} = 36 \end{array} \right. \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \left \{ \begin{array}{l} (x + y) \cdot (x - y) = 24 \\ \\ (x + y)^{2} = 36 \end{array} \right. $$ Este último sistema se separa en dos sistemas lineales muy sencillos ya que tenemos que $(x + y)^{2} = 36$, lo que quiere decir que $x + y = \pm 6$, por eso un sistema sale con $x + y = 6$ y en el otro $x + y = -6$. Hay que darse cuenta que en la 1ª ecuación de cada sistema he sustituido $x + y$ por 6 y -6 respectivamente. $$ \left \{ \begin{array}{l} x - y = 4 \\ \\ x + y = 6 \end{array} \right. \qquad \text{ y } \qquad \left \{ \begin{array}{l} x - y = -4 \\ \\ x + y = -6 \end{array} \right.$$
Dichos sistemas se resuelven rápidamente, vamos con el $1^{\underline{er}}$ sistema:
$ \left \{ \begin{array}{l} x - y = 4 \\ \\ x + y = 6 \end{array} \right.$
Sumamos las dos ecuaciones y tenemos que $2x = 10 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow y = 6 - x = 6 - 5 = 1$. La solución es $x = 5$ e $ y = 1$
Vamos con el 2º sistema:
$\left \{ \begin{array}{l} x - y = -4 \\ \\ x + y = -6 \end{array} \right.$
Sumamos las dos ecuaciones y tenemos que $2x = -10 \Rightarrow x = -5 \Rightarrow y = -6 - x = -6 - (-5) = -6 + 5 = -1$. La solución es $x = -5$ e $ y = -1$
Comprobación de la solución en cada una de las ecuaciones del sistema de partida:
Si $x = 5$ e $y = 1 \Rightarrow 5^2 + 5 \cdot 1 = 25 + 5 = 30; 5 \cdot 1 + 1^2 = 5 + 1 = 6 \checkmark $
Si $x = -5$ e $y = -1 \Rightarrow (-5)^2 + (-5) \cdot (-1) = 25 + 5 = 30; (-5) \cdot (-1) + (-1)^2 = 5 + 1 = 6 \checkmark $
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde las dos ecuaciones no son lineales y no hay término «$x \cdot y$»
$$ \left \{ \begin{array}{l} 2x^{2} - 3y^{2} = -6 \\ 4x^{2} - y^{2} = 8 \end{array} \right . $$ En este caso podemos aplicar el método de reducción, en este caso multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y le restamos la 2ª ecuación y nos queda:
$$ - 6y^2 + y^2 = -12 - 8 \Rightarrow -5y^2 = -20 \rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2 $$ Sustituimos $y^2 = 4$ en cualquiera de las dos encuaciones, por ejemplo, en la 1ª ecuación tenemos:
$$ 2x^2 - 3 \cdot 4 = - 6 \Rightarrow 2x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} $$ Luego las soluciones son: $(x, y) = (\sqrt{3}, 2); (x, y) = (\sqrt{3}, -2); (x, y) = (-\sqrt{3}, 2);$ y $ (x, y) = (-\sqrt{3}, -2);$
En este caso a la hora de comprobar una solución estamos comprobando las 4 posibles, ya que al elevar al cuadrado los signos desaparecen. Así comprobando en el sistema de ecuaciones, en cada una de las ecuaciones tenemos:
Si $(x, y) = (\sqrt{3}, 2) \rightarrow $
$\qquad \qquad $ 1ª ecuación: $2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 3 \cdot 2^2 = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 4 = 6 - 12 = -6 \checkmark $
$\qquad \qquad $ 2ª ecuación: $4 \cdot (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 4 \cdot 3 - 4 = 12 - 4 = 8 \checkmark $
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde una de las dos ecuaciones es irracional:
\( \begin{cases} 2 \msqrt{x + 1} = y + 1 \\ \\ 2x - 3y = 1 \end{cases} \)
Despejamos la $x$ de la segunda ecuación, mejor dicho $2x$ y sustituimos en la primera, pero antes elevamos al cuadrado la priemra ecuación ya que es irracional y la raíz la tenemos aislada: \[ 2 \msqrt{x + 1} = y + 1 \Rightarrow 4(x + 1) = (y + 1)^2 \Rightarrow 4x + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow (*) \] Despejamos la $x$ y sustituimos en la segunda ecuación: \[ 2x - 3y = 1 \Rightarrow 2x = 3y + 1 \] Ahora sustituimos la $x$ en (*) y agrupamos: \[ \Rightarrow (*) \quad 2(3y + 1) + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow 6y + 2 + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow y^2 - 4y - 5 = 0 \] Es una ecuación de segundo grado y con las fórmulas de Cardano-Vieta vemos que las soluciones son $y_1 = - 1$ y $y_2 = 5$.
Si $y_1 = -1 $ entonces $x = \mfrac{3y + 1}{2} = \mfrac{-3 + 1}{2} = \mfrac{-2}{2} = - 1$
Si $y_2 = 5$ entonces $y = \mfrac{3\cdot 5 + 1}{2} = \mfrac{16}{2} = 8 $
Comprobación:
- Solución $(x, y) = (-1, 1)$:
\( \begin{cases} 2 \msqrt{-1 + 1} = -1 + 1 \checkmark \\ \\ 2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1) = 1 \checkmark \end{cases} \)
- Solución $(x, y) = (8, 5)$:
\( \begin{cases} 2 \msqrt{8 + 1} = 5 + 1 \Rightarrow 2 \cdot 3 = 5 + 1 \checkmark \\ \\ 2 \cdot 8 - 3 \cdot 5 = 16 - 15 = 1 \checkmark \end{cases} \)
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde una de las dos ecuaciones es irracional:
\( \begin{cases} y^{2} - 2y + 1 = x \\ \\ \sqrt{x} + y = 5 \end{cases} \)
Despejamos la $x$ de la segunda ecuación, para ello la elevamos al cuadrado y la sustituiremos en la primera ecuación: \[ \sqrt{x} + y = 5 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 - y \] Ahora elevamos al cuadrado: \[ ( \sqrt{x} )^2 = (5 - y)^2 \Rightarrow x = 25 - 10y + y^2 \] sustituimos en la primera ecuación:
\( y^{2} - 2y + 1 = x \Rightarrow y^{2} - 2y + 1 = 25 - 10y + y^2 \Rightarrow 8y = 24 \Rightarrow y = 3 \) Ahora calculamos $x$:
\( x = 25 - 10y + y^2 = 25 - 10 \cdot 3 + 3^2 = 25 - 30 + 9 = 4 \)
Comprobamos la solución:
\( \begin{cases} 3^{2} - 2 \cdot 3 + 1 = 4 \Rightarrow 9 - 6 + 1 = 4 \checkmark \\ \\ \sqrt{4} + 3 = 5 \checkmark \end{cases} \)
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde las dos ecuaciones tienen las incógnitas en el denominador:
\( \begin{cases} \mfrac{1}{x^{2}} + \mfrac{1}{y^{2}} = 13 \\ \\ \mfrac{1}{x} - \mfrac{1}{y} = 1 \end{cases} \)
En este sistemas vamos a hacer un cambio de variable, muy importante deshacerlo una vez resuelto el sistema con el cambio: \[ s = \mfrac{1}{x} \text{ y } t = \mfrac{1}{y} \] Entonces el sitema nos queda: \( \begin{cases} s^{2} + t^{2} = 13 \\ \\ s - t = 1 \end{cases} \)
Ahora despejamos $s$ o $t$ en la segunda ecuación y sustituimos en la primera ecuación. Vamos a despejar $s$, $s = 1 + t$: \[ s^{2} + t^{2} = 13 \Rightarrow (1 + t)^2 + t^2 = 13 \Rightarrow 1 + 2t + t^2 + t^2 = 13 \Rightarrow 2t^2 + 2t - 12 = 0 \Rightarrow t^2 + t - 6 = 0\] Ecuación de segundo grado que podemos resolver con las fórmulas de Cardano-Vieta: $t_1 = 2$ y $t_2 = - 3$. Vamos a calcular $s$:
Si $t_1 = 2 \Rightarrow s_1 = 1 + 2 = 3 $
Si $t_2 = -3 \Rightarrow s_2 = 1 - 3 = -2 $
Ahora tenemos que deshacer el cambio: \[ \text{Si } s = \mfrac{1}{x} \Rightarrow x = \mfrac{1}{s} \text{ y } t = \mfrac{1}{y} \Rightarrow y = \mfrac{1}{t} \] La solución $(s, t) = \left (3, 2 \right )$ se convierte en la solución $(x, y) = \left (\mfrac{1}{3} , \mfrac{1}{2} \right )$
La solución $(s, t) = \left (-2, -3 \right )$ se convierte en la solución $(x, y) = \left (\mfrac{-1}{2} , \mfrac{-1}{3} \right )$
Comprobación:
- $(x, y) = \left (\mfrac{1}{3} , \mfrac{1}{2} \right )$:
\( \begin{cases} \mfrac{1}{\left ( \mfrac{1}{3} \right)^{2}} + \mfrac{1}{ \left ( \mfrac{1}{2} \right)^{2}} = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 \checkmark \\ \\ \\ \mfrac{1}{x} - \mfrac{1}{y} = \mfrac{1}{ \mfrac{1}{3} } - \mfrac{1}{ \mfrac{1}{2} } = 3 - 2 = 1 \checkmark \end{cases} \)
- $(x, y) = \left (\mfrac{-1}{2} , \mfrac{-1}{3} \right )$:
\( \begin{cases} \mfrac{1}{\left ( \mfrac{-1}{2} \right)^{2}} + \mfrac{1}{ \left ( \mfrac{-1}{3} \right)^{2}} = (-2)^2 + (-3)^2 = 9 + 4 = 13 \checkmark \\ \\ \\ \mfrac{1}{x} - \mfrac{1}{y} = \mfrac{1}{ \mfrac{-1}{2} } - \mfrac{1}{ \mfrac{-1}{3} } = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1 \checkmark \end{cases} \)
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde una de las dos ecuaciones es logarítmica y la otra exponencial:
\( \begin{cases} \log(x + y) + \log(x - y) = \log 33 \\ \\ e^x \cdot e^y = e^{11} \end{cases} \)
Aplicamos en cada de las ecuaciones las propiedades de logaritmos y potencias para transformar el sistema:
\[ \log(x + y) + \log(x - y) = \log 33 \Rightarrow \log(x + y) \cdot (x - y) = \log 33 \Rightarrow (x + y) \cdot (x - y) = 33 \] \[ e^x \cdot e^y = e^{11} \rightarrow e^{x + y} = e^{11} \Rightarrow x + y = 11 \] Hemos transformado el sistema en este: \[ \begin{cases} (x + y) \cdot (x - y) = 33 \\ \\ x + y = 11 \end{cases} \] Como $x + y = 11$ sustituimos en la primera ecuación y nos quedará: $(x + y) \cdot (x - y) = 33 \Rightarrow 11 (x - y) = 33 \Rightarrow x - y = 3 $
\( \begin{cases} x - y = 3 \\ \\ x + y = 11 \end{cases} \)
Sumando las dos ecuaciones nos queda: $2x = 14 \Rightarrow x = 7 $ y de la segunda ecuación despejamos $y$: $ y = 11 - x = 11 - 7 = 4$
Comprobamos la solución $(x, y) = (7, 4)$:
\( \begin{cases} \log(7 + 4) + \log(7 - 4) = \log 11 + \log 3 = \log 33 \checkmark \\ \\ e^7 \cdot e^4 = e^{11} \checkmark \end{cases} \)
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde las dos ecuaciones son exponenciales:
\( \begin{cases} 2^x + 5^y = 9 \\ \\ 2^{x + 2} + 5^{y + 1} = 41 \end{cases} \)
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde las dos ecuaciones son logarítmicas:
\( \begin{cases} \log_{2} x^2 + \log_{3} \mfrac{1}{y^3} = 4 \\ \\ \log_{2} x + \log_{3} y^4 = 13 \end{cases} \)
Además nos pregunatan cuánto vale $\log_{4} x - \log_{y} 9 $. Primero vamos a resolver el sistema, ¿cuál es la mejor manera para resolver este sistema donde hay bases diferentes para los logaritmos? Cambio de variable: \[ s = log_{2} x \text{ y } t = log_{3} y \] Antes de aplicar el cambio de variable, vamos a aplicar propiedades de los logaritmos para poner de forma más sencilla este sistema:
\[ \log_{2} x^2 + \log_{3} \mfrac{1}{y^3} = 4 \Rightarrow 2 \cdot \log_{2} x + \log_{3}y^{-3} = 4 \Rightarrow 2 \cdot \log_{2} x - 3 \cdot \log_{3} y = 4 \Rightarrow 2s - 3t = 4 \] \[ \log_{2} x + \log_{3} y^4 = 13 \Rightarrow \log_{2} x + 4 \cdot \log_{3} y = 13 \Rightarrow s + 4t = 13 \] Hemos cambiado un sistema no lineal en uno lineal que es mucho más fácil de resolver:
\( \begin{cases} 2s - 3t = 4 \\ \\ \ s + 4t = 13 \end{cases} \)
Vamos a resolver el sistema por reducción:
\( \begin{cases} 2s - 3t = 4 \\ \\ -2s - 8t = -26 \\ \hline \end{cases} \)
\( \ \ \ \ \ -11 t = - 22 \Rightarrow t = 2 \)
Como $t = 2$ entonces $s = \mfrac{4 + 3t}{ 2 } = \mfrac{4 + 3 \cdot 2 }{ 2 } = \mfrac{4 + 6 }{ 2 } = \mfrac{ 10 }{ 2 } = 5 $
Deshacemos los cambios de variable:
\( s = log_{2} x \Rightarrow 5 = log_{2} x \Rightarrow x = 2^5 = 32 \)
\( t = log_{3} y \Rightarrow 2 = log_{3} y \Rightarrow y = 3^2 = 9 \)
Comprobación:
\( \begin{cases} \log_{2} x^2 + \log_{3} \mfrac{1}{y^3} = \log_{2} (2^5)^2 + \log_{3} \mfrac{1}{(3^2)^3} = \log_{2} 2^{10} + \log_{3} 3^{-6} = 10 - 6 = 4 \checkmark \\ \\ \log_{2} x + \log_{3} y^4 = \log_{2} 2^5 + \log_{3} (3^2)^4 = \log_{2} 2^5 + \log_{3} 3^8 = 5 + 8 = 13 \checkmark \end{cases} \)
Despejamos la $x$ o la $y$ de la segunda ecuación y sustituimos en la primera ecuación: \[ x = 24 - y \Rightarrow (24 - y)^2 + y^2 = 290 \Rightarrow 576 - 48y + y^2 + y^2 = 290 \rightarrow 2y^2 - 48y + 286 = 0 \Rightarrow y^2 - 24y + 143 = 0 \] Ecuación de segundo grado que se puede resolver por Cardano-Vieta, $y_1 = 11$ e $y_2 = 13$.
Si $y_1 = 11 \Rightarrow x = 24 - y = 24 - 11 = 13$ y,
Si $y_2 = 13 \Rightarrow x = 24 - y = 24 - 13 = 11$.
Las soluciones son $(x, y) = (11, 13)$ y $(x, y) = (13, 11)$. Veamos la comprobación:
Si $(x, y) = (11, 13)$:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 290 \Rightarrow (11)^2 + (13)^2 = 121 + 169 = 290 \checkmark \\[6pt] x + y = 24 \Rightarrow 11 + 13 = 24 \end{cases}$
La comprobación de la otra solución $(x, y) = (13, 11)$ es exactamente igual.
Aplicamos propiedades de logaritmos a la segunda ecuación: $\log(x \cdot y) = 1 \Rightarrow \log x + \log y = 1 $ y el sistema nos queda: \[ \begin{cases} 2\log x + \log y = 5 \\[6pt] \log(x \cdot y) = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2\log x + \log y = 5 \\[6pt] \log x + \log y = 1 \end{cases} \] Este sistema lo podemos resolver por reducción, si se quiere se pude hacer un cambio de variable $s = \log x$ y $ t = \log y$, pero no es necesario ya que restando la segunda ecuación a la primera tenems: \[ \log x = 4 \Rightarrow x = 10^4 \] y sustituyendo en la segunda ecuación nos queda: \[ \log x + \log y = 1 \Rightarrow 4 + \log y = 1 \Rightarrow \log y = -3 \Rightarrow y = 10^{-3} \] Luego la solución $(x, y ) = \left (10^4, 10^{-3} \right)$. Veamos la comprobación:
\( \begin{cases} 2\log x + \log y = 5 \Rightarrow 2 \log 10^4 + \log 10^{-3} = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5 \checkmark \\[6pt] \log(x \cdot y) = 1 \Rightarrow \log(10^4 \cdot 10^{-3}) = \log 10 = 1 \checkmark \end{cases} \)
Vamos a resolver el sistema por el método de reducción, para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por 2 y las sumamos: $$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x^2 + 3y^2 = 32 \qquad \xrightarrow{\ \ \ 3\ \ \ } \\ \\ -3x^2 + 4y^2 = -48 \ \ \xrightarrow {\ \ \ 2\ \ \ } \\ \end{array} \right. \\ \phantom{ \dfrac{\ 12,5\ }{ 2 } } \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} \ \ \ 6x^2 + 9y^2 = 96 \\ \\ -6x^2 + 8y^2 = -96 \\ \hline \end{array} \right . \\ \qquad \qquad \ \ 17y^2 = 0 \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0 \end{array}$$ Sustituimos en la primera ecuación la $x$ por su valor tenemos que: \[ 2x^2 = 32 \rightarrow x^2 = 16 \rightarrow x = \pm 4 \] Las soluciones son: \( (4,0) \text{ y } (-4,0) \). Veamos la comprobación:
\( (x, y) = (4,0) \Rightarrow \begin{cases} 2 \cdot (4)^2 + 3 \cdot 0^2 = 2 \cdot 16 = 32 \checkmark \\[6pt] -3 \cdot 4^2 + 4 \cdot 0^2 = -3 \cdot 16 = -48 \checkmark \end{cases} \)
\( (x, y) = (-4,0) \Rightarrow \begin{cases} 2 \cdot (-4)^2 + 3 \cdot 0^2 = 2 \cdot 16 = 32 \checkmark \\[6pt] -3 \cdot (-4)^2 + 4 \cdot 0^2 = -3 \cdot 16 = -48 \checkmark \end{cases} \)
De la primera ecuación despejo $2x$: \[ 2x = 8 - y \Rightarrow x = \mfrac{8 - y}{2} \] Sustituimos en la segunda ecuación, desarrollamos y agrupamos: \[ 8 - y + 3y^3 = 22 \Rightarrow 3y^2 - y - 14 = 0 \] Resolvemos la ecuación, se puede ver que $y = -2$ es una solución de la ecuación, por las fórmulas de Cardano-Vieta vemos que la otra solución es $y = \mfrac{7}{3}$. Entonces
\( \text{Si } y = -2 \Rightarrow x = \mfrac{8 - (-2)}{2} = \mfrac{10}{2} = 5 \)
\( \text{Si } y = \mfrac{7}{3} \Rightarrow x = \mfrac{8 - \mfrac{7}{3}}{2} = \mfrac{\mfrac{24 - 7}{3}}{2} = \mfrac{\mfrac{17}{3}}{2} = \mfrac{17}{6} \)
Luego las soluciones son: \[ (5, -2) \text{ y }\ \left ( \mfrac{17}{6}, \mfrac{7}{3} \right) \] Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución }(5, -2): \)
\( \begin{cases} 2 \cdot 5 + (-2) = 10 - 2 = 8 \checkmark \\[6pt] 2 \cdot 5 + 3(-2)^2 = 1 0 + 3 \cdot 4 = 10 + 12 = 22 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución }\left ( \mfrac{17}{6}, \mfrac{7}{3} \right): \)
\( \begin{cases} 2 \cdot \mfrac{17}{6} + \mfrac{7}{3} = \mfrac{17}{3} + \mfrac{7}{3} = \mfrac{24}{3} = 8 \checkmark \\[20pt] 2 \cdot \mfrac{17}{6} + 3\left (\mfrac{7}{3} \right )^2 = \mfrac{17}{3} + 3 \cdot \mfrac{49}{9} = \mfrac{17}{3} + \mfrac{49}{3} = \mfrac{66}{3} = 22 \checkmark \end{cases} \)
De la primera ecuación despejamos $y$: \[ 5y = - 8 - 2x \Rightarrow y = -\mfrac{8 + 2x}{5} \] Sustituimos en la segunda ecuación: \[ xy - 3x = -5 \Rightarrow x \left(- \mfrac{4 + 5y}{2} \right) - 3x = -5 \Rightarrow -x\left(\mfrac{8 + 2x}{5} \right) - 3x = -5 \] Multiplicamos por -5 ambos lados de la ecuación y agrupamos : \[ (-5)\left ( -x\left(\mfrac{8 + 2x}{5} \right)\right) - 3x (-5) = -5(-5) \Rightarrow (5x)\left ( \mfrac{8 + 2x}{5} \right) + 15x = 25 \Rightarrow \] \[ \Rightarrow x(8 + 2x) + 15x = 25 \Rightarrow 8x + 2x^2 + 15x = 25 \Rightarrow 2x^2 + 23x - 25 = 0 \] Fácilmente se ve que $x = 1$ es ráiz de la ecuación y aplicando las fórmulas de Cardano-Vieta la otra raíz es $x = \mfrac{-25}{2}$. Ahora calculamos los valores de $y$:
\( \text{Si } x_1 = 1 \Rightarrow y_1 = -\mfrac{8 + 2 \cdot 1}{5} = - \mfrac{10}{5} = -2 \)
\( \text{Si } x_2 = \mfrac{-25}{2} \Rightarrow = -\mfrac{8 + 2 \cdot \mfrac{-25}{2}}{5} = -\mfrac{8 - 25}{5} = -\mfrac{ - 17}{5} = \mfrac{17}{5} \)
Las soluciones son $(1, -2)$ y $\left(\mfrac{-25}{2}, \mfrac{17}{5}\right)$.
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución }(1, -2): \)
\( \begin{cases} 2 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) = 2 - 10 = -8 \checkmark \\[6pt] 1 \cdot (-2) - 3 = -5 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución }\left(\mfrac{-25}{2}, \mfrac{17}{5}\right): \)
\( \begin{cases} 2 \cdot \mfrac{-25}{2} + 5 \cdot \mfrac{17}{5} = -25 + 17 = -8 \checkmark \\[10pt] \mfrac{-25}{2} \cdot \mfrac{17}{5} - 3 \cdot \mfrac{-25}{2} = \mfrac{-85}{2} + \mfrac{75}{2} = \mfrac{-10}{2} = -5 \checkmark \end{cases} \)
De la primera ecuación : \[ y = -x \] Sustituimos y resolvemos: \[ x^2 - x = 1 \Rightarrow x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \mfrac{1 \pm \msqrt{5}}{2} \] Ahora calculamos $y$: \[ y = - x = - \mfrac{1 \pm \msqrt{5}}{2} = \mfrac{-1 \mp \msqrt{5}}{2} \] Soluciones: \[ \left(\mfrac{1 + \msqrt{5}}{2},-\mfrac{1 + \msqrt{5}}{2}\right); \qquad \left(\mfrac{1 - \msqrt{5}}{2},\mfrac{- 1 + \msqrt{5}}{2}\right) \] Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución }\left(\mfrac{1 + \msqrt{5}}{2},-\mfrac{1 + \msqrt{5}}{2}\right): \)
$x^2$ lo calculamos aparte: \[ \left(\mfrac{1 + \msqrt{5}}{2}\right)^2 = \mfrac{1 + 2\msqrt{5} + 5}{4} = \mfrac{6 + 2\msqrt{5}}{4} = \mfrac{3 + \msqrt{5}}{2} \] \( \begin{cases} x + y = \mfrac{1 + \msqrt{5}}{2} + \left (- \mfrac{1 + \msqrt{5}}{2} \right ) = 0 \checkmark \\[10pt] \mfrac{3 + \msqrt{5}}{2} - \mfrac{1 + \msqrt{5}}{2} = \mfrac{2}{2} = 1 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución }\left(\mfrac{1 - \msqrt{5}}{2}, \mfrac{-1 + \msqrt{5}}{2}\right): \)
$x^2$ lo calculamos aparte: \[ \left(\mfrac{1 - \msqrt{5}}{2}\right)^2 = \mfrac{1 - 2\msqrt{5} + 5}{4} = \mfrac{6 - 2\msqrt{5}}{4} = \mfrac{3 - \msqrt{5}}{2} \] \( \begin{cases} x + y = \mfrac{1 - \msqrt{5}}{2} + \mfrac{-1 + \msqrt{5}}{2} = 0 \checkmark \\[10pt] \mfrac{3 - \msqrt{5}}{2} + \mfrac{-1 + \msqrt{5}}{2} = \mfrac{2}{2} = 1 \checkmark \end{cases} \)
De la primera ecuación: \[ y = 2x - 3 \] Sustituimos en la segunda ecuación : \[ x^2 - (2x - 3)^2 = 3 \Rightarrow x^2 - (4x^2 - 12x + 9) = 3 \Rightarrow x^2 - 4x^2 + 12x - 9 - 3 = 0 \Rightarrow \] \[ \Rightarrow -3x^2 + 12x - 12 = 0 \] Dividimos por (-3): \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2. \] Entonces \[ y = 2\cdot2 - 3 = 1 \] Solución: \( (2, 1) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución }(2, 1) \Rightarrow \begin{cases} 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3 \checkmark \\[6pt] 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 \checkmark \end{cases} \)
Despejamos $x$ en la primera ecuación \( x = \mfrac{-3}{y} \) y sustituimos en la segunda:
\[ \left ( \mfrac{-3}{y} \right )^2 + 2y^2 = 19 \Rightarrow \mfrac{9}{y^2} + 2y^2 = 19 \] Multiplicamos por $y^2$: \[ \mfrac{9}{y^2} + 2y^2 = 19 \Rightarrow y^2 \mfrac{9}{y^2} + y^2 2 y^2 = 19 y^2 \Rightarrow 9 + 2y^4 = 19y^2 \Rightarrow 2y^4 - 19y^2 + 9 = 0 \] Es una ecuación bicuadrada. hacemos el cambio de variable $t = y^2$ y la convertimos en una ecuación de segundo grado en $t$: \[ 2t^2 - 19t + 9 = 0 \] \[ t = \mfrac{19 \pm \msqrt{19^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9} }{4} = \mfrac{19 \pm \msqrt{361 - 72} }{4} = \mfrac{19 \pm \msqrt{289} }{4} = \mfrac{19 \pm 17 }{4} = \] \[ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 36 }{ 4 } = 9 \Rightarrow t = 9 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3 \\ \\ \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 4 } = \dfrac{ 1 }{ 2 } \Rightarrow t = \dfrac{ 1 }{ 2 } \Rightarrow y^2 = \dfrac{ 1 }{ 2 } \Rightarrow y = \pm \msqrt{ \dfrac{ 1 }{ 2 } } \Rightarrow y = \pm \dfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } \end{array} . \]
\( \text{Si } y = 3 \Rightarrow x = \mfrac{-3}{y} = \mfrac{-3}{3} = -1 \)
\( \text{Si } y = -3 \Rightarrow x = \mfrac{-3}{y} = \mfrac{-3}{-3} = 1 \)
\( \text{Si } y = \dfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } \Rightarrow x = \mfrac{-3}{\dfrac{ \msqrt{2} }{ 2 }} = - 3\msqrt{2} \)
\( \text{Si } y = \dfrac{ -\msqrt{2} }{ 2 } \Rightarrow x = \mfrac{-3}{\dfrac{ -\msqrt{2} }{ 2 }} = 3\msqrt{2} \)
Las soluciones son: \( (-1, 3) \qquad (1, -3) \qquad \left (-3\msqrt{2}, \dfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } \right ) \qquad \left (-3\msqrt{2}, \dfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } \right ) \) \\ \\ Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución }(-1, 3) \Rightarrow \begin{cases} -1 \cdot 3 = -3 \checkmark \\[6pt] (-1)^2 + 2(3)^2 = 1 + 2 \cdot 9 = 1 + 18 = 19 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución }(1, -3) \Rightarrow \begin{cases} 1 \cdot (-3) = -3 \checkmark \\[6pt] 1^2 + 2(-3)^2 = 1 + 2 \cdot 9 = 1 + 18 = 19 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución }\left (-3\msqrt{2}, \dfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } \right ) \Rightarrow \begin{cases} -3\msqrt{2} \cdot \dfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } = -3 \checkmark \\[6pt] (-3\msqrt{2})^2 + 2\left (\dfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } \right)^2 = 18 + 2 \cdot \mfrac{1}{2} = 18 + 1 = 19 \checkmark \end{cases} \) \\ \\ \( \bullet \ \text{ Solución }\left (3\msqrt{2}, \dfrac{ -\msqrt{2} }{ 2 } \right ) \Rightarrow \begin{cases} 3\msqrt{2} \cdot \left (\dfrac{ -\msqrt{2} }{ 2 } \right ) = -3 \checkmark \\[6pt] (3\msqrt{2})^2 + 2\left (\dfrac{ -\msqrt{2} }{ 2 } \right)^2 = 18 + 2 \cdot \mfrac{1}{2} = 18 + 1 = 19 \checkmark \end{cases} \)
De la primera ecuación despejamos $y$: \[ 2x + 4y = 10 \Rightarrow x + 2y = 5 \Rightarrow 2y = 5 - x \Rightarrow y = \mfrac{5 - x}{2} \] Sustituimos en la segundda ecuación, quitamos denominadores y agrupamos: \[ x^2 + 3x \cdot \left ( \mfrac{5 - x}{2} \right ) = - 8 \Rightarrow 2x^2 + 2\cdot 3x \cdot \left ( \mfrac{5 - x}{2} \right ) = - 8 \cdot 2 \Rightarrow 2x^2 + 3x(5 - x) = -16 \Rightarrow \] \[ \Rightarrow 2x^2 + 15x - 3x^2 + 16 = 0 \Rightarrow -x^2 + 15x - 16 = 0 \Rightarrow x^2 - 15x - 16 = 0 \] Fácilmente se ve que $x = -1$ es una raíz y por las fórmulas de \textit{Cardano-Vieta} la otra raíz es $x = 16$.
\( \text{Si } x = -1 \Rightarrow y = \mfrac{5 - (-1)}{2} = \mfrac{5 + 1}{2} = \mfrac{6}{2} = 3 \)
\( \text{Si } x = 16 \Rightarrow y = y = \mfrac{5 - 16}{2} = \mfrac{-11}{2} \)
Las soluciones son: \( (-1, 3) \text{ y } \left (16 , \mfrac{-11}{2} \right) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución } (-1, 3) \Rightarrow \begin{cases} 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 3 = -2 + 12 = 10 \checkmark \\[6pt] (-1)^2 + 3 \cdot (-1) \cdot 3 = 1 - 9 = -8 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución } \left (16 , \mfrac{-11}{2} \right) \Rightarrow \begin{cases} 16 \cdot 2 + 4\mfrac{-11}{2} = 32 - 22 = 10 \checkmark \\ [10pt] (16)^2 + 3 \cdot 16 \cdot \left (\mfrac{-11}{2} \right) = 256 - 3 \cdot 88 = 256 - 264 = -8 \checkmark \end{cases} \)
En este ejercicio podemos aplicar el método de reducción o el de sustitución. Esta vez lo haremos por sustitución. En la segunda ecuación despejamos $y^2$: \[ 4x^2 - y^2 = -4 \Rightarrow 4x^2 + 4 = y^2 \] Ahora sustituimos en la primera ecuación: \[ 3x^2 + 5(4x^2 + 4) = 20 \Rightarrow 3x^2 + 20x^2 + 20 = 20 \Rightarrow 23x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \] Sustituimos en la primera ecuación: \[ 5y^2 = 20 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2 \] Las soluciones son: \( (0, 2) \text{ y } (0, -2) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución } (0, 2) \Rightarrow \begin{cases} 3 \cdot 0^2 + 5\cdot 2^2 = 0 + 5 \cdot 4 = 20 \checkmark \\[6pt] 4 \cdot 0^2 - 2^2 = 0 - 4 = -4 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución } (0, -2) \Rightarrow \begin{cases} 3 \cdot 0^2 + 5\cdot (-2)^2 = 0 + 5 \cdot 4 = 20 \checkmark \\[6pt] 4 \cdot 0^2 - (-2)^2 = 0 - 4 = -4 \checkmark \end{cases} \)
Primero simplificamos la segunda ecuación para despejar una de las variables: \[ \mfrac{x}{2} + \mfrac{y}{3} = 5 \Rightarrow \mfrac{3x + 2y}{6} = 5 \Rightarrow 3x + 2y = 30 \Rightarrow 2y = 30 - 3x \Rightarrow y = 15 - \mfrac{3}{2}x \] Ahora sustituimos en la primera ecuación, desarrollamos y agrupamos: \[ x^2 - 2(x - y)^2 = 36 \Rightarrow x^2 - 2 \left(x - 15 + \mfrac{3}{2} x \right)^2 = 36 \Rightarrow x^2 - 2\left(\mfrac{5}{2}x - 15\right)^2 = 36 \Rightarrow \] \[ \Rightarrow x^2 - 2 \left( \mfrac{25x^2}{4} - 2 \cdot 15 \cdot \mfrac{5x}{2} + 15^2 \right ) = 36 \Rightarrow x^2 - \mfrac{25x^2}{2} + 150x - 450 = 36 \Rightarrow \] \[ \Rightarrow 2x^2 - 25x^2 + 300x - 900 = 72 \Rightarrow -23x^2 + 300x - 972 = 0 \Rightarrow 23x^2 - 300x + 972 = 0 \] Resolvemos: \[ x = \mfrac{300 \pm \msqrt{300^2 - 4 \cdot 23 \cdot 972} }{2 \cdot 23} = \mfrac{300 \pm \msqrt{90.000 - 89.424} }{46} = \mfrac{300 \pm \msqrt{576} }{43} = \] \[ = \mfrac{300 \pm 24 }{46} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \mfrac{ 324 }{ 46 } = \mfrac{ 162 }{ 23 } \\ \\ \ominus \searrow \mfrac{ 276 }{ 46 } = 6 \end{array} . \]
\( \text{Si } x = \mfrac{ 162 }{ 23 } \Rightarrow y = 15 - \mfrac{3}{2}\mfrac{ 162 }{ 23 } = 15 - \mfrac{3 \cdot 81 }{ 23 } = \mfrac{345 - 243}{23} = \mfrac{102}{23} \)
\( \text{Si } x = 6 \Rightarrow y = 15 - \mfrac{3 \cdot 6}{2} = 15 - 9 = 6 \)
Las soluciones son \( (6, 6) \text{ y } \left ( \mfrac{ 162 }{ 23 }, \mfrac{102}{23} \right ) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución } (6, 6) \Rightarrow \begin{cases} 6^2 - 2(6 - 6)^2 = 36 - 0 = 36 \\[6pt] \mfrac{6}{2} + \mfrac{6}{3} = 3 + 2 = 5 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución } \left ( \mfrac{ 162 }{ 23 }, \mfrac{102}{23} \right ) \Rightarrow \begin{cases} \left ( \mfrac{ 162 }{ 23 } \right)^2 - 2\left (\mfrac{ 162 }{ 23 } - \mfrac{102}{23} \right )^2 = \mfrac{ 26244 - 7200 }{ 23^2 } = \\ \\[6pt] = \mfrac{ 19044 }{ 23^2 } = 36 \\ \\ \mfrac{\mfrac{ 162 }{ 23 }}{2} + \mfrac{\mfrac{102}{23}}{3} = \mfrac{ 81 }{ 23 } + \mfrac{ 34 }{ 23 } = \mfrac{ 115 }{ 23 } = 5 \checkmark \end{cases} \)
De la segunda ecuación despejamos $x$: \[ \mfrac{x}{y} = \mfrac{5}{3} \Rightarrow x = \mfrac{5y}{3} \] Sustituimos en la primera ecuación: \[ \mfrac{5y}{3} \cdot y = 15 \Rightarrow 5y^2 = 45 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3 \] \( \text{Si } y = 3 \Rightarrow x = \mfrac{5 \cdot 3}{3} = 5 \)
\( \text{Si } y = -3 \Rightarrow x = \mfrac{5 \cdot (-3)}{3} = -5 \)
Las soluciones son: \( \left (3, 5 \right ) \text{ y } \left(-3, -5 \right) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución } (3, 5) \Rightarrow \begin{cases} 3 \cdot 5 = 15 \checkmark \\[6pt] \mfrac{5}{3} = \mfrac{5}{3} \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución } (-3, -5) \Rightarrow \begin{cases} -3 \cdot (-5) = 15 \checkmark \\[6pt] \mfrac{-5}{-3} = \mfrac{5}{3} \checkmark \end{cases} \)
Vamos a revisar y transformar la primera ecuación: \[ \mfrac{1}{x} + \mfrac{1}{y} = \mfrac{5}{6} \Rightarrow \mfrac{y}{xy} + \mfrac{x}{xy} = \mfrac{5}{6} \Rightarrow \mfrac{y + x}{xy} = \mfrac{5}{6} \Rightarrow 6x + 6y = 5xy \] Despejamos $x$ en la segunda ecuación: \[ 2x + 3y = 2 \Rightarrow 2x = 2 - 3y \Rightarrow x = \mfrac{2 - 3y}{2} \] Ahora sustituimos en la primera ecuación que hemos transformado: \[ 6x + 6y = 5xy \Rightarrow 6 \left ( \mfrac{2 - 3y}{2} \right ) + 6y = 5y\left ( \mfrac{2 - 3y}{2} \right ) \Rightarrow 6 - 9y + 6y = 5y\left ( \mfrac{2 - 3y}{2} \right ) \Rightarrow \] \[ \Rightarrow 6 - 3y = 5y\left ( \mfrac{2 - 3y}{2} \right ) \Rightarrow 12 - 6y = 5y( 2 - 3y ) \Rightarrow 12 - 6y = 10y - 15y^2 \Rightarrow 15y^2 - 16y + 12 = 0 \] Resolvemos: \[ y = \mfrac{16 \pm \msqrt{16^2 - 4 \cdot 12 \cdot 15} }{2 \cdot 15} = \mfrac{16 \pm \msqrt{256 - 720} }{30} = \mfrac{16 \pm \msqrt{-464} }{30} \nexists \text{ Solución}\]
Vamos a aplicar el método de reducción, para ello restamos la segunda ecuación a la primera: $$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 - 5x - 5y + 10 = 0 \\ \\ x^2 - y^2 - 5x + 5y + 2 = 0 \\[6pt] \hline \end{array} \right. \\ \qquad \ \ \ \ 2y^2 \qquad - 10y + 8 = 0 \Rightarrow y^2 - 5y + 4 = 0 \end{array}$$ Por las fórmulas de \textit{Cardano-Vieta} se ve que las soluciones son $y = 1$ e $y = 4$.
Sustituimos en la primera ecuación $y$ por 1: \[ x^2 + 1^2 - 5x - 5 \cdot 1 + 10 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ o } x = 3 \] Sustituimos en la primera ecuación $y$ por 4: \[ x^2 + 4^2 - 5x - 5 \cdot 4 + 10 = 0 \Rightarrow x^2 + 16 - 5x - 20 + 10 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ o } x = 3 \] Las soluciones son: \( (2, 1), (3, 1), (2, 4) \text{ y } (3, 4) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución } (2, 1) \Rightarrow \begin{cases} 2^2 + 1^2 - 5 \cdot 2 - 5 \cdot 1 + 10 = 4 + 1 - 10 - 5 + 10 = 0 \checkmark \\[6pt] 2^2 - 1^2 - 5 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 2 = 4 - 1 - 10 + 5 + 2 = 0 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución } (3, 1) \Rightarrow \begin{cases} 3^2 + 1^2 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 1 + 10 = 9 + 1 - 15 - 5 + 10 = 0 \checkmark \\[6pt] 3^2 - 1^2 - 5 \cdot 3 + 5 \cdot 1 + 2 = 9 - 1 - 15 + 5 + 2 = 0 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución } (2, 4) \Rightarrow \begin{cases} 2^2 + 4^2 - 5 \cdot 2 - 5 \cdot 4 + 10 = 4 + 16 - 10 - 20 + 10 = 0 \checkmark \\[6pt] 2^2 - 4^2 - 5 \cdot 2 + 5 \cdot 4 + 2 = 4 - 16 - 10 + 20 + 2 = 0 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución } (3, 4) \Rightarrow \begin{cases} 3^2 + 4^2 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4 + 10 = 9 + 16 - 15 - 20 + 10 = 0 \checkmark \\[6pt] 3^2 - 4^2 - 5 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 2 = 9 - 16 - 15 + 20 + 2 = 0 \checkmark \end{cases} \)
De la segunda ecuación despejamos $x$: \[ 3x = 4y \Rightarrow x = \mfrac{4y}{3} \] Sustituimos en la primera ecuación: \[ (x + y)(x - y) = 7 \Rightarrow x^2 - y^2 = 7 \Rightarrow \left( \mfrac{4y}{3} \right )^2 - y^2 = 7 \Rightarrow \mfrac{16y^2}{9} - y^2 = 7 \Rightarrow \mfrac{16y^2}{9} - \mfrac{9y^2}{9} = 7 \Rightarrow \] \[ \mfrac{7y^2}{9} = 7 \Rightarrow \mfrac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3 \] \( \text{Si } y = 3 \Rightarrow x = \mfrac{4 \cdot 3}{3} = 4 \)
\( \text{Si } y = -3 \Rightarrow x = \mfrac{4 \cdot (-3)}{3} = -4 \)
Las soluciones son: \( (4, 3) \text{ y } (-4, -3) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución } (4, 3) \Rightarrow \begin{cases} (4 + 3)(4 - 3) = 7 \cdot 1 = 7 \checkmark \\[6pt] 3x - 4y = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 3 = 12 - 12 = 0 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución } (-4, -3) \Rightarrow \begin{cases} (-4 - 3)(- 4 - (-3)) = -7 \cdot (-1) = 7 \checkmark \\[6pt] 3x - 4y = 3 \cdot (-4) - 4 \cdot (-3) = - 12 + 12 = 0 \checkmark \end{cases} \)
De la segunda ecuación despejamos $x$: \[ 2x = 1 + 3y \Rightarrow x = \mfrac{1 + 3y}{2} \] Quitamos la raíz elevando al cuadrado y sustituimos la $x$ en la primera ecuación: \[ 2\sqrt{x + 1} = y + 1 \Rightarrow 4(x + 1) = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow 2(2x) + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow \] \[ \Rightarrow 2(1 + 3y) + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow 2 + 6y + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow y^2 - 4y - 5 = 0 \] Con las fórmulas de \textit{Cardano-Vieta} se ve fácilmente que las raíces son $y = -1$ e $y = 5$.
\( \text{Si } y = -1 \Rightarrow x = \mfrac{1 + 3 \cdot (-1)}{2} = \mfrac{1 - 3}{2} = \mfrac{-2}{2} = -1 \)
\( \text{Si } y = 5 \Rightarrow x = \mfrac{1 + 3 \cdot 5}{2} = \mfrac{1 + 15}{2} = \mfrac{16}{2} = 8 \)
Las soluciones son: \( (-1, -1) \text{ y } (8, 5) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución } (-1, -1) \Rightarrow \begin{cases} 2\msqrt{-1 + 1} = -1 + 1 \Rightarrow 0 = 0 \checkmark \\[6pt] 2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1) = -2 + 3 = 1 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución } (8, 5) \Rightarrow \begin{cases} 2\msqrt{8 + 1} = 5 + 1 \Rightarrow 2 \cdot 3 = 5 + 1 \checkmark \\[6pt] 2 \cdot (8) - 3 \cdot (5) = 16 - 15 = 1 \checkmark \end{cases} \)
De la segunda ecuación despejamos $y$: \[ 2x - y = 6 \Rightarrow y = 2x - 6 \] Sustituimos la $y$ en la primera ecuación, quitamos la raíz y resolvemos : \[ \msqrt{3x + 3y} + x = 12 \Rightarrow \msqrt{3x + 3y} = 12 - x \rightarrow 3x + 3y = 144 - 24x + x^2 \Rightarrow \] \[ \Rightarrow 3x + 3(2x - 6) = 144 - 24x + x^2 \Rightarrow 3x + 6x - 18 = 144 - 24x + x^2 \Rightarrow x^2 - 33x + 162 = 0\] Resolvemos: \[ x = \mfrac{33 \pm \msqrt{33^2 - 4 \cdot 1 \cdot 162} }{2 \cdot 1} = \mfrac{33 \pm \msqrt{1.089 - 648} }{2} = \mfrac{33 \pm \msqrt{441} }{2} = \] \[ = \mfrac{33 \pm 21 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \mfrac{ 54 }{ 2 } = 27 \\ \\ \ominus \searrow \mfrac{ 12 }{ 2 } = 6 \end{array} . \]
\( \text{Si } x = 27 \Rightarrow y = 2x - 6 = 2 \cdot 27 - 6 =21 54 - 6 = 48 \)
\( \text{Si } x = 6 \Rightarrow y = 2x - 6 = 2 \cdot 6 - 6 = 12 - 6 = 6 \)
Las soluciones son: \( (27, 48) \text{ y } (6, 6) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución } (27, 48) \Rightarrow \begin{cases} \msqrt{3(27 + 48)} + 27 = 15 + 27 = 44 \neq 12 ✘ \\[6pt] 2 \cdot 27 - 48 = 54 - 48 = 6 \checkmark \end{cases} \) NO es solución.
\( \bullet \ \text{ Solución } (6, 6) \Rightarrow \begin{cases} \msqrt{3(6 + 6)} + 6 = 6 + 6 = 12 \checkmark \\[6pt] 2 \cdot 6 - 6 = 12 - 6 = 6 \checkmark \end{cases} \)
De la segunda ecuación despejamos la $y$: \[ 2x - y = 5 \Rightarrow y = 2x - 5 \] En la primera ecuación, agrupamos, quitamos la raíz, agrupamos y resolvemos: \[ \msqrt{x + y} = x - 1 \Rightarrow x + y = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x + 2x - 5 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \] Con las fórmulas de \textit{Cardano-Vieta} fácilmente se ve que las raíces son $x = 2$ y $x = 3$.
\( \text{Si } x = 2 \Rightarrow y = 2x - 5 = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = - 1 \)
\( \text{Si } x = 3 \Rightarrow y = 2x - 5 = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1 \)
Las soluciones son: \( (2, -1) \text{ y } (3, 1) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución } (2, -1) \Rightarrow \begin{cases} \msqrt{2 - 1} + 2 = 2 + 1 \Rightarrow 3 = 3 \checkmark \\[6pt] 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución } (3, 1) \Rightarrow \begin{cases} \msqrt{3 + 1} + 2 = 3 + 1 \Rightarrow 4 = 4 \checkmark \\[6pt] 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5 \checkmark \end{cases} \)
De la segunda ecuación tenemos: \[ \log_2 x + \log_2 y = 2 \Rightarrow \log_2 (x \cdot y) = 2 \Rightarrow x \cdot y = 2^2 \] Sustituimos en la primera ecuación tenemos: \[ xy = 3 + 2x \Rightarrow 4 = 3 + 2x \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \mfrac{1}{2} = 2^{-1} \] \( \text{Si } x = 2^{-1} \Rightarrow x \cdot y = 2^2 \Rightarrow y = 2^2 \cdot x^{-1} = 2^2 \cdot 2 = 8 \)
La solución es: \( \left (\mfrac{1}{2}, 8 \right ) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución } \left (\mfrac{1}{2}, 8 \right ) \Rightarrow \begin{cases} \mfrac{1}{2} \cdot 8 = 3 + 2 \cdot \mfrac{1}{2} \Rightarrow 4 = 3 + 1 \checkmark \\[6pt] \log_2 \mfrac{1}{2} + \log_2 8 = -1 + 3 = 2 \checkmark \end{cases} \)
Vamos a transformar las ecuaciones. Empezaamos por la primera ecuación: \[ \mfrac{10^y}{10^{2x}} = 10 \rightarrow 10^{y - 2x} = 10^1 \Rightarrow y - 2x = 1 \] Y ahora cambiamos la segunda ecuación: \[ log x + \log y = \log 21 \Rightarrow \log (xy) = \log 21 \Rightarrow xy = 21 \] Es decir, el sistema original lo hemos transformado en el siguiente: \[ \begin{cases} y - 2x = 1 \\[6pt] x \cdot y = 21 \\ \end{cases} \] Vamos a resolver este sistema por sustitución, despejamos $y$ en la segunda ecuación y sustituimos en la primera. Vamos a ello: \[ y - 2x = 1 \Rightarrow y = 1 + 2x \] Ahora susituimos en la primera: \[ x \cdot y = 21 \Rightarrow x(1 + 2x) = 21 \Rightarrow x + 2x^2 = 21 \Rightarrow 2x^2 + x - 21 = 0 \] Usamos las fórmulas de \textit{Cardano-Vieta} vemos que usa raíz es $x = 3$ y la otra es $ x = \mfrac{-7}{2} $
\( \text{Si } x = 3 \Rightarrow y = 1 + 2 \cdot 3 = 1 + 6 = 7 \)
\( \text{Si } x = \mfrac{-7}{2} \Rightarrow y = 1 + 2 \cdot \left ( \mfrac{-7}{2} \right ) = 1 - 7 = -6 \)
Las soluciones son: \( (3, 7) \text{ y } \left (\mfrac{-7}{2}, -6 \right ) \)
Comprobación:
\( \bullet \ \text{ Solución } (3, 7) \Rightarrow \begin{cases} \mfrac{10^7}{10^{2 \cdot 3}} = \mfrac{10^7}{10^{6}} = 10 \checkmark \\[6pt] 3 \cdot 7 = 21 \checkmark \end{cases} \)
\( \bullet \ \text{ Solución } \left (\mfrac{-7}{2}, -6 \right ) \Rightarrow \begin{cases} \mfrac{10^{-6}}{10^{2 \cdot (-7/2)}} = \mfrac{10^{-6}}{10^{-7}} = 10 \checkmark \\[6pt] \mfrac{-7}{2} \cdot (-6) = \mfrac{42}{2} = 21 \checkmark \end{cases} \)
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
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