Factorización de polinomios y operaciones con fracciones algebraicas.

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Factorización de polinomios

Operaciones con fracciones algebraicas

Identidades trigonométricas III. Ejercicios con soluciones.

Aguí tienes otra entrada de ejercicios de identidades trigonométricas por si los ejercicios de esta entrada te han parecido difíciles.

La primera, si te das cuenta $a = \alpha + \beta $ y entonces tenemos:

$\dfrac{\tg (a) - \tg \alpha}{1 + \tg (a) \cdot \tg \alpha} = \tg (a - \alpha) = \tg (\alpha + \beta - \alpha) = \tg(\beta)$

La segunda, desarrollamos la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos:

$\dfrac{\tg (\alpha + \beta) - \tg \alpha}{1 + \tg (\alpha + \beta) \cdot \tg \alpha} = \dfrac{ \dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{ 1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta} - \tg \alpha}{1 + \dfrac{ \left ( \tg \alpha + \tg \beta \right ) \cdot \tg \alpha }{ 1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta} } = \dfrac{ \dfrac{\tg \alpha + \tg \beta - \tg \alpha (1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta ) }{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta } }{ \dfrac{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta + \left ( \tg \alpha + \tg \beta \right ) \cdot \tg \alpha }{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta } } =$


$ = \dfrac{ \dfrac{\tg \alpha + \tg \beta - \tg \alpha (1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta ) }{ \cancel{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta} } }{ \dfrac{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta + \left ( \tg \alpha + \tg \beta \right ) \cdot \tg \alpha }{ \cancel{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta} } } = \dfrac{ \tg \alpha + \tg \beta - \tg \alpha + \tg^2 \alpha \cdot \tg \beta } { 1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta + \tg^2 \alpha + \tg \beta \tg \alpha } = \dfrac{ \tg \beta \cdot ( 1 + \tg^2 \alpha) } { 1 + \tg^2 \alpha } = $

$ = \dfrac{ \tg \beta \cdot \cancel{ ( 1 + \tg^2 \alpha) } } { \cancel{1 + \tg^2 \alpha} } = \tg \beta = $

$\sen 3 \alpha = \sen (2\alpha + \alpha) = \sen 2\alpha \cdot \cos \alpha + \cos 2\alpha \cdot \sen \alpha = $

$= 2 \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha + (\cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha) \cdot \sen \alpha = $

$= 2 \sen \alpha \cdot (1 - \sen^2 \alpha ) + (1 - \sen^2 \alpha - \sen^2 \alpha) \cdot \sen \alpha = $

$= 2 \sen \alpha - 2 \sen^3 \alpha + \sen \alpha - 2 \sen^3 \alpha = $

$= 3 \sen \alpha - 4 \sen^3 \alpha $

$ \cos 4 \alpha = \cos ( 2 \alpha + 2 \alpha ) = $

$ = \cos^2 2 \alpha - \sen^2 2\alpha = $

$ = (\cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha)^2 - (2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha )^2 = $

$ = (\cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha ) )^2 - 4 \cdot \sen^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = $

$ = (2 \cos^2 \alpha - 1)^2 - 4 \cdot (1 - \cos^2 \alpha ) \cdot \cos^2 \alpha = $

$ = 4 \cos^4 \alpha - 4 \cos^2 \alpha + 1 - 4 \cos^2 \alpha + 4 \cdot \cos^4 \alpha = $

$ = 8 \cos^4 \alpha - 8 \cos^2 \alpha + 1 $

$\dfrac{\cos \alpha + \sen \alpha}{\cos \alpha - \sen \alpha} - \dfrac{\cos \alpha - \sen \alpha}{\cos \alpha + \sen \alpha} = \dfrac{ ( \cos \alpha + \sen \alpha)^2}{ (\cos \alpha - \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha + \sen \alpha)} - \dfrac{ (\cos \alpha - \sen \alpha)^2 }{ (\cos \alpha + \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) } = $

$ = \dfrac{ ( \cos^2 \alpha + 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha + \sen^2 \alpha) }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } - \dfrac{ (\cos^2 \alpha - 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha + \sen^2 \alpha) }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

$ = \dfrac{ 1 + 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } - \dfrac{ 1 - 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

$ = \dfrac{ \cancel{1} + 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } - \dfrac{ \cancel{1} - 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 4 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

$ = \dfrac{ 2 \cdot 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 2 \cdot 2 \sen 2 \alpha }{ \cos 2 \alpha } = 2 \cdot \tg 2 \alpha $

$ \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2} \cdot \cos 2 \alpha + \dfrac{1}{8} \cdot \cos 4 \alpha = $ \\ \\ $= \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2} \cdot \left ( \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \right ) + \dfrac{1}{8} \cdot \left ( \cos^2 \left ( 2\alpha \right ) - \sen^2 \left ( 2\alpha \right ) \right ) = $

$= \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2} \cdot \left ( 1 - 2 \sen^2 \alpha \right ) + \dfrac{1}{8} \cdot \cos^2 \left ( 2\alpha \right ) - \dfrac{1}{8} \cdot \sen^2 \left ( 2\alpha \right ) = $

$= \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2} + \sen^2 \alpha + \dfrac{1}{8} \cdot \left ( \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \right )^2 - \dfrac{1}{8} \cdot 4 \sen^2 \alpha \cos^2 \cdot \alpha = $

$= \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2} + \sen^2 \alpha + \dfrac{1}{8} \cdot \left ( 1 - 2 \cdot \sen^2 \alpha \right )^2 - \dfrac{1}{8} \cdot 4 \sen^2 \alpha \cdot \left ( 1 - \sen^2 \alpha \right ) = $

$= \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2} + \sen^2 \alpha + \dfrac{1}{8} \cdot \left ( 1 - 4 \cdot \sen^2 \alpha + 4 \cdot \sen^4 \alpha \right ) - \dfrac{1}{2} \cdot \sen^2 \alpha + \dfrac{1}{2} \cdot \sen^4 \alpha = $

$= \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2} + \sen^2 \alpha + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2} \cdot \sen^2 \alpha + \dfrac{1}{2} \cdot \sen^4 \alpha - \dfrac{1}{2} \cdot \sen^2 \alpha + \dfrac{1}{2} \cdot \sen^4 \alpha = $

$= \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} + \sen^2 \alpha - \dfrac{1}{2} \cdot \sen^2 \alpha - \dfrac{1}{2} \cdot \sen^2 \alpha + \dfrac{1}{2} \cdot \sen^4 \alpha + \dfrac{1}{2} \cdot \sen^4 \alpha = $

$= \dfrac{3}{8} - \dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2} \cdot \sen^4 \alpha + \dfrac{1}{2} \cdot \sen^4 \alpha = $

$= \sen^4 \alpha $

$\cos 3 \alpha = \cos \left ( 2\alpha + \alpha \right ) = $

$= \cos 2 \alpha \cdot \cos \alpha - \sen 2\alpha \cdot \sen \alpha = $

$= \left ( \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \right ) \cdot \cos \alpha - 2 \cdot \sen^2 \alpha \cdot \cos \alpha = $

$= \left ( 2 \cdot \cos^2 \alpha - 1 \right ) \cdot \cos \alpha - 2 \cdot \left ( 1 - \cos^2 \alpha \right ) \cdot \cos \alpha = $

$= 2 \cdot \cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2 \cdot \cos \alpha + 2 \cdot \cos^3 \alpha = $

$= 4 \cdot \cos^3 \alpha - 3 \cdot \cos \alpha $

$\sen \alpha = 2 \cdot \sen \dfrac{\alpha}{2} \cdot \cos \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{2 \cdot \sen \dfrac{\alpha}{2} \cdot \cos \dfrac{\alpha}{2} }{ 1 } = \dfrac{ 2 \cdot \sen \dfrac{\alpha}{2} \cdot \cos \dfrac{\alpha}{2} }{ \ \ \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} + \sen^2 \dfrac{\alpha}{2} \ \ } = $

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ 2 \cdot \sen \dfrac{\alpha}{2} \cdot \cos \dfrac{\alpha}{2} }{ \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} } \ \ }{ \dfrac{ \ \ \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} + \sen^2 \dfrac{\alpha}{2} \ \ }{ \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} } } = \dfrac{ \ \ \dfrac{ 2 \cdot \sen \dfrac{\alpha}{2} \cdot \cancel{ \cos \dfrac{\alpha}{2} } }{ \cos^{\cancel{2}} \dfrac{\alpha}{2} } \ \ }{ \dfrac{ \ \ \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} + \sen^2 \dfrac{\alpha}{2} \ \ }{ \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} } } = $

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ 2 \cdot \sen \dfrac{\alpha}{2} }{ \cos \dfrac{\alpha}{2} } \ \ }{ 1 + \tg^2 \dfrac{\alpha}{2} } = \dfrac{ \ \ 2 \cdot \tg \dfrac{\alpha}{2} }{ 1 + \tg^2 \dfrac{\alpha}{2} } $

Primero vamos a desarrollar $\sen 3 \alpha$ y $\cos 3 \alpha$:

$$\sen 3 \alpha = \sen \left ( \alpha + 2 \alpha \right ) = \sen \alpha \cdot \cos 2 \alpha + \cos \alpha \cdot \sen 2 \alpha $$ $$\cos 3 \alpha = \cos \left ( \alpha + 2 \alpha \right ) = \cos \alpha \cdot \cos 2 \alpha - \sen \alpha \cdot \sen 2 \alpha $$
$\dfrac{ \sen 3 \alpha }{\sen \alpha } - \dfrac{\cos 3 \alpha }{ \cos \alpha } = $

$= \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos 2 \alpha + \cos \alpha \cdot \sen 2 \alpha }{\sen \alpha } - \dfrac{ \cos \alpha \cdot \cos 2 \alpha - \sen \alpha \cdot \sen 2 \alpha }{ \cos \alpha } = $

$= \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos 2 \alpha }{\sen \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha \cdot \sen 2 \alpha }{\sen \alpha } - \dfrac{ \cos \alpha \cdot \cos 2 \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha \cdot \sen 2 \alpha }{ \cos \alpha } = $

$= \dfrac{ \cancel{\sen \alpha} \cdot \cos 2 \alpha }{ \cancel{\sen \alpha} } + \dfrac{ \cos \alpha \cdot \sen 2 \alpha }{\sen \alpha } - \dfrac{ \cancel{ \cos \alpha} \cdot \cos 2 \alpha }{ \cancel{ \cos \alpha} } + \dfrac{ \sen \alpha \cdot \sen 2 \alpha }{ \cos \alpha } = $

$= \cos 2 \alpha + \cotg \alpha \cdot \sen 2 \alpha - \cos 2 \alpha + \tg \alpha \cdot \sen 2 \alpha = $

$= \cancel{\cos 2 \alpha} + \cotg \alpha \cdot \sen 2 \alpha - \cancel{\cos 2 \alpha} + \tg \alpha \cdot \sen 2 \alpha = $

$= \cotg \alpha \cdot \sen 2 \alpha + \tg \alpha \cdot \sen 2 \alpha = $

$= \sen 2 \alpha \cdot \left ( \cotg \alpha + \tg \alpha \right ) = $

$= \sen 2 \alpha \cdot \left ( \dfrac{1}{ \tg \alpha} + \tg \alpha \right ) = $

$= \sen 2 \alpha \cdot \left ( \dfrac{1 + \tg^2 \alpha }{ \tg \alpha} \right ) = $

$= 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha \left ( \dfrac{ \ \ \ \dfrac{1}{ \cos^{\cancel{2}} \alpha} \ \ \ }{ \dfrac{\sen \alpha }{ \cancel{\cos \alpha} } } \right ) = $

$= 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \left ( \dfrac{ 1 }{ \ \ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ \ } \right ) = $

$= 2 \cdot \cancel{ \sen \alpha \cdot \cos \alpha } \cdot \left ( \dfrac{ 1 }{ \ \ \ \cancel{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha} \ \ \ } \right ) = 2 $

En un triángulo sabemos que $A + B + C = \pi$ Luego

$\sen^2 A + \sen^2 B + \sen^2 \left [ \pi - \left ( A + B \right ) \right ] = 2 $
$$ \text{si los ángulos son suplementarios } \sen \left [ \pi - \left ( A + B \right ) \right ] = \sen \left ( A + B \right ) $$ $\sen^2 A + \sen^2 B + \sen^2 \left ( A + B \right ) = 2 $

$\sen^2 A + \sen^2 B + \left [ \sen A \cos B + \cos A \sen B \right ]^2 = 2 $

$\sen^2 A + \sen^2 B + \sen^2 A \cos^2 B + \cos^2 A \sen^2 B + 2 \cos A \cos B \sen A \sen B = 2 $

$\sen^2 A + \sen^2 B + \sen^2 A \left ( 1 - \sen^2 B \right ) + \sen^2 B \left ( 1 - \sen^2 A \right ) + 2 \cos A \cos B \sen A \sen B = 2 $

$\sen^2 A + \sen^2 B + \sen^2 A - \sen^2 A \sen^2 B + \sen^2 B - \sen^2 B \sen^2 A + 2 \cos A \cos B \sen A \sen B = 2 $

$2\sen^2 A + 2\sen^2 B - 2\sen^2 A \sen^2 B + 2 \cos A \cos B \sen A \sen B = 2 $
$$ \text{simplificando por 2} $$ $\sen^2 A + \sen^2 B - \sen^2 A \sen^2 B + \cos A \cos B \sen A \sen B = 1 $

$\sen^2 A + \sen^2 B - \sen^2 A \sen^2 B + \cos A \cos B \sen A \sen B = \cos^2 A + \sen^2 A $

$\sen^2 B - \sen^2 A \sen^2 B + \cos A \cos B \sen A \sen B = \cos^2 A$

$\sen^2 B (1 - \sen^2 A) + \cos A \cos B \sen A \sen B = \cos^2 A$

$\sen^2 B \cos^2 A + \cos A \cos B \sen A \sen B = \cos^2 A$

$\cos A \cos B \sen A \sen B = \cos^2 A (1 - \sen^2 B ) $

$\cos A \cos B \sen A \sen B = \cos^2 A \cos^2 B $

$\cos A \cos B \left ( \sen A \sen B - \cos A \cos B \right ) = 0 $

$\cos A \cos B \left [ - \cos( A + B ) \right ] = 0 $

Luego pueden ocurrir tres cosas:

$1^{\underline{a}} \ \cos A = 0 \Rightarrow A = \dfrac{\pi}{2} $, el triángulo es rectángulo.

$2^{\underline{a}} \ \cos B = 0 \Rightarrow B = \dfrac{\pi}{2} $, el triángulo es rectángulo.

$3^{\underline{a}} \ \cos (A + B) = 0 \Rightarrow A + B = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow C = \dfrac{\pi}{2} $, el triángulo es rectángulo.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Instalar MathJax en Blogger.

Para instalar MathJax en Blogger hacemos los siguientes pasos:

1. Vamos a la opción «Tema»: 







2. Pichamos en «Personalizar» y nos aparece el siguiente menú: 







3. Seleccionamos «Editar HTML» buscamos la etiqueta de final de cabecera «</head>» y añadimos justo antes el siguiente código: 


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4. Pulsamos en el icono de Guardar y ya hemos instalado MathJax.