Funciones cuadráticas - Parábolas - En la ESO

Parábolas - Funciones cuadráticas

Vamos a estudiar las parábolas como la representación geométrica de una función polinómica de grado 2, es decir, $f(x) = ax^2 + bx + c$. 

Siguiendo esta serie de pasos podemos dibujar cualquier parábola: 

$1^{\underline{\circ}}$ Saber la dirección de las ramas de la parábola viendo el signo del coeficiente del monomio $a \cdot x^2$, es decir, por $a$: 

Si $a > 0$ las ramas de la parábola van hacia arriba; si $a < 0$ las ramas de la parábola van hacia abajo.

Cuánto mayor sea el valor absoluto de $|a|$ menos amplitud tendrá la parábola y 

cuánto menor sea el valor absoluto de $|a|$ más amplitud tendrá la parábola.

$2^{\underline{\circ}}$ Calcular el vértice de la parábola $V = \left ( \dfrac{-b}{2a}, f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) \right )$.  Tenemos que calcular $f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right )$ 

$$f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) = a  \cdot \left ( \dfrac{-b}{2a} \right )^2 + b \cdot \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) + c = \dfrac{ab^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{2a} + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{2b^2}{4a} + \dfrac{4ac}{4a} = \dfrac{4ac - b^2}{4a} $$

NOTAS: 

• Si la parábola va hacia arriba el vértice es un mínimo.
• Si la parábola va hacia abajo el vértice es un máximo. 

$3^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OY$, «siempre» va a cortar a este eje $Y$, el eje de ordenadas, lo hará cuando $x = 0$ y así el punto de corte será el punto de coordenadas $(0, c)$.

$4^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OX$, cortará a este eje $X$ , el eje de abscisas, cuando la $y = 0$, para saber en que puntos corta la parábola a dicho tenemos que resolver la siguiente ecuación: 

$$ 0 = ax^2 + bx + c$$ 

Al eje $X$ «NO siempre» le corta. Ya sabemos que resolviendo este ecuación tenemos tres casos: 

1. No hay solución $\rightarrow$ la parábola no corta al eje $X$; 
2. Hay una solución (doble) $x_1 \rightarrow$ la parábola corta al eje $X$ en un único punto de coordenadas $(x_1, 0)$, es decir, el eje $X$ es tangente a la parábola;
3. Hay dos soluciones distintas $x_1$ y $x_2$, la parábola corta al eje $X$ en dos puntos distintos de coordenadas respectivamente $(x_1, 0)$ y $(x_2, 0)$.  

NOTA: 

Si la parábola va hacia arriba y el vértice está por encima del eje $X$, es claro que la parábola no cortará al eje $X$ (Caso 1).

Lo mismo si la parábola va hacia abajo y el vértice está por debajo del eje X. 

Parábolas hacia abajo: 

$5^{\underline{\circ}}$ Eje de simetría: La recta $x = \mfrac{-b}{2a}$ es el eje de simetría, es una recta paralela al eje $Y$ que pasa por el vértice de la parábola. Si doblaramos el plano por dicha recta las dos ramas de la prábola coincidirían.

$6^{\underline{\circ}}$ Dibujar la gráfica con los puntos calculados. Si hicieran falta más puntos se pueden calcular haciendo una tabla numérica.

Vamos a ver dos ejemplos: 

El $1^{\underline{er}}$ ejemplo, la parábola $y = x^2 - 12x + 11 $. Vamos a calcular los pasos anteriores:

1. $a = 1 > 0$ luego las ramas de la parábola van hacia arriba.
2. Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $  \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{12}{2} = 6$ y la componente $y$ es $f(6) = 36 - 72 + 11 = -25$ luego el vértice tiene de coordenadas $V = (6, -25)$. Como el vértice está por debajo del eje $X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes. 
3. Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$ así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, 11)$ 
4. Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la ecuación $x^2 - 12x + 11 = 0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto de las raíces es 11 entonces la otra raíz es 11. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $(11, 0)$. 
5. Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados: 

El $2^{\underline{\circ}}$ ejemplo, la parábola $y = -3x^2 + 5x -2 $. Vamos a calcular los pasos anteriores:

1. $a = -3 < 0$ luego las ramas de la parábola van hacia abajo.
2. Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $  \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-5}{-6} = \dfrac{5}{6}$ y la componente $y$ es $f \left (\dfrac{5}{6} \right) = \dfrac{24 - 25}{-12} = \dfrac{1}{12}$ luego el vértice tiene de coordenadas $V = \left (\dfrac{5}{6}, \dfrac{1}{12} \right )$. Como el vértice está por encima del eje $X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes. 
3. Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$ así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, -2)$ 
4. Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la ecuación $-3x^2 + 5x - 2 = 0$ que es lo mismo que resolver $3x^2 - 5x + 2 = 0$, sacamos 3 factor común $x^2 - \dfrac{5x}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto de las raíces es $\dfrac{2}{3}$ entonces la otra raíz es $\dfrac{2}{3}$. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $\left (\dfrac{2}{3}, 0 \right )$. 
5. Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados:

Y eso es todo ... por ahora.