Racionalizar

¿Qué es racionalizar?

$\mathbf{\text{¿Qué es un radical?}}$ Es aquel número que no puede ser simplificado para extraer su raíz, es decir, que no es una raíz exacta y por ello el signo del radical aparece, es decir, una potencia cuyo exponente es una fracción irreducible. Ejemplos:

$$\sqrt{2};\sqrt[3]{2};\sqrt[7]{5};...$$

Recordemos que:
$$\sqrt[n]{a}=a^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}\text{ y }\sqrt[n]{a^m}=a^{{\displaystyle \frac{m}{n}}}$$ Ejemplos:
$$\sqrt{5}=5^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\sqrt[3]{7}=7^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt[5]{16}={16}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}=2^{{\displaystyle \frac{4}{5}}}$$ Además: $$\sqrt[n]{a^n}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$ o lo que es lo mismo: $$\stackrel{2\text{- veces}}{\overbrace{\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}}}=a$$
$$\stackrel{3\text{- veces}}{\overbrace{\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a}}}=a$$
$$\stackrel{4\text{- veces}}{\overbrace{\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}}}=a$$
$$\cdots$$
$$\stackrel{n\text{- veces}}{\overbrace{\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{a}\cdots \cdot \sqrt[n]{a}}}=a$$
Ejemplos:
$${\left(\sqrt{5}\right)}^2=\sqrt{5^2}=5\sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{7}=7$$ $$\sqrt[6]{5^6}=5\sqrt[4]{3}\cdot \sqrt[4]{3}\cdot \sqrt[4]{3}\cdot \sqrt[4]{3}=3$$

Antes de racionalizar vamos a recordar algunas propiedades. La primera, potencias, con algunos ejercicios sencillos:

1. $\sqrt{3}\cdot x=3,¿x?$
   $x=\sqrt{3}$ ya que $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$



2. $\sqrt[4]{5^3}\cdot x=5,¿x?$
   $x=\sqrt[4]{5}$ ya que $\sqrt[4]{5^3}\cdot \sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{5^4}=5$



3. $\sqrt[3]{7}\cdot x=7,¿x?$
   $x=\sqrt[3]{7^2}$ ya que $\sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{7^2}=\sqrt[3]{7^3}=7$



4. $\sqrt[10]{{11}^7}\cdot x=11,¿x?$
   $x=\sqrt[10]{{11}^3}$ ya que $\sqrt[10]{{11}^7}\cdot \sqrt[10]{{11}^3}=\sqrt[10]{{11}^{10}}=11$



5. $\sqrt[n]{a^s}\cdot x=a,¿x?$
   $x=\sqrt[n]{a^{n-s}}$ ya que $\sqrt[n]{a^s}\cdot \sqrt[n]{a^{n-s}}=\sqrt[n]{a^{s+n-s}}=\sqrt[n]{a^n}=a$

La segunda, una identidad notable: $$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$ Para ello volveremos a realizar estos ejercicios:

11. $¿(\sqrt{3}-3)\cdot (\sqrt{3}+3)=?$
    $={\left(\sqrt{3}\right)}^2-3^2=3-9=-6$



12. $¿(2\sqrt{5}-1)\cdot (2\sqrt{5}+1)=?$
    $={\left(2\sqrt{5}\right)}^2-1^2=4\cdot 5-1=20-1=19$



13. $¿(\sqrt{5}-\sqrt{2})\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2})=?$
    $={\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2=5-2=3$



14. $¿(\sqrt{3}-\sqrt{11})\cdot (\sqrt{11}+\sqrt{3})=?$
    $=(\sqrt{3}-\sqrt{11})\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{11})={\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{11}\right)}^2=3-11=-8$



15. $¿(7-\sqrt{13})\cdot (7+\sqrt{13})=?$
    $=7^2-{\left(\sqrt{13}\right)}^2=49-13=36$



16. ¿ Cuál sería el conjugado de $(-\sqrt{5}+\sqrt{21})?$
    ¿Ya te rindes ?

Para acabar, si tenemos $\sqrt{3}+\sqrt{11}$, entonces $\sqrt{3}-\sqrt{11}$ es su conjugado.

Si en lugar de tener la suma, tenemos la resta, su conjugado será la suma. Es decir, si tenemos $\sqrt{2}-\sqrt{21}$ entonces su conjugado es $\sqrt{2}+\sqrt{21}$

¿Qué es racionalizar fracciones con radicales en el denominador?

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes que no tengan radicales en el denominador.

• Veamos el caso en que el denominador tiene un solo término. Racionalizar en estos casos se puede ver como poner exponente «1» al radical. Veamos algunos casos:

1) Tiene una raíz cuadrada en el denominador, se multiplica numerador y denominador por la misma raíz.

Ejemplo 1:
$${\displaystyle \frac{7}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{7\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{7}{5}}\sqrt{5}={\displaystyle \frac{7\sqrt{5}}{5}}$$

Con exponentes fraccionarios:

$${\displaystyle \frac{7}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{7}{5^{\frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{7\cdot 5^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}{5}^{\frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{7}{5^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}}}\sqrt{5}={\displaystyle \frac{7\sqrt{5}}{5}}$$ \

Ejemplo 2:
$${\displaystyle \frac{13}{3\sqrt{11}}}={\displaystyle \frac{13\sqrt{11}}{3\sqrt{11}\sqrt{11}}}={\displaystyle \frac{13}{3\cdot 11}}\sqrt{11}={\displaystyle \frac{13\sqrt{11}}{33}}$$

Con exponentes fraccionarios:

$${\displaystyle \frac{13}{3\sqrt{11}}}={\displaystyle \frac{13}{3\cdot {11}^{\frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{13\cdot {11}^{\frac{1}{2}}}{3\cdot {11}^{\frac{1}{2}}\cdot {11}^{\frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{13}{3\cdot {11}^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}}}\sqrt{11}={\displaystyle \frac{13\sqrt{11}}{3\cdot 11}}={\displaystyle \frac{13\sqrt{11}}{33}}$$

2) Tiene una raíz cuadrada en el denominador y no es necesario multiplicar y dividir por la raíz cuadrada del denominador, basta simplificar. Ejemplo:

$${\displaystyle \frac{7}{\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{\cancel{\sqrt{7}}\cdot \sqrt{7}}{{\cancel{\sqrt{7}}}^1}}=\sqrt{7}$$

3) Antes de racionalizar, se pueden extraer factores en el radical del denominador. Ejemplo:

$${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{18}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}}=$$

Simplificamos:

$$={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$$

4) Tiene una raíz de índice cualquiera $n$, ($n\ne 2$), se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice $n$ que complete una potencia de exponente $n$ o de forma que los exponentes en forma de fracción sumen «1», es decir, amplifica la fracción por $\sqrt[n]{c^{n-m}}$.

Ejemplo 1:
$${\displaystyle \frac{7}{\sqrt[3]{5^2}}}={\displaystyle \frac{7\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5^2}\cdot \sqrt[3]{5}}}={\displaystyle \frac{7}{5}}\sqrt[3]{5}={\displaystyle \frac{7\sqrt[3]{5}}{5}}$$

Con exponentes fracconarios:

$${\displaystyle \frac{7}{\sqrt[3]{5^2}}}={\displaystyle \frac{7}{5^{\frac{2}{3}}}}={\displaystyle \frac{7\cdot 5^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}}}={\displaystyle \frac{7}{5^{(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})}}}={\displaystyle \frac{7}{5}}\sqrt[3]{5}={\displaystyle \frac{7\sqrt[3]{5}}{5}}$$

Ejemplo 2:
$${\displaystyle \frac{11}{\sqrt[7]{2^3}}}={\displaystyle \frac{11\sqrt[7]{2^4}}{\sqrt[7]{2^3}\cdot \sqrt[7]{2^4}}}={\displaystyle \frac{11}{2}}\sqrt[7]{2^4}={\displaystyle \frac{11\sqrt[7]{2^4}}{2}}$$

Con exponentes fracconarios:

$${\displaystyle \frac{11}{\sqrt[7]{2^3}}}={\displaystyle \frac{11}{2^{\frac{3}{7}}}}={\displaystyle \frac{11\cdot 2^{\frac{4}{7}}}{2^{\frac{3}{7}}\cdot 2^{\frac{4}{7}}}}={\displaystyle \frac{11\cdot 2^{\frac{4}{7}}}{2^{(\frac{4}{7}+\frac{3}{7})}}}={\displaystyle \frac{11\cdot 2^{\frac{4}{7}}}{2}}={\displaystyle \frac{11}{2}}\sqrt[7]{2^4}={\displaystyle \frac{11\sqrt[7]{2^4}}{2}}$$

• Si el denominador de la fracción contiene dos términos, y los dos son una raíz cuadrada o una raíz cuadrada y un número, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, es decir, si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa. Vamos a utilizar la siguiente identidad notable «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados»:

$$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$

a) En el denominador hay dos raíces restando, mutiplicamos numerador y denominador por la suma de raíces y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$${\displaystyle \frac{8}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{8(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})}}={\displaystyle \frac{8(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{8(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}}=4(\sqrt{5}+\sqrt{3})$$

b) En el denominador hay dos raíces sumando, mutiplicamos numerador y denominador por la resta de raíces y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{12(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})\cdot (\sqrt{7}-\sqrt{3})}}={\displaystyle \frac{12(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{{\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{12(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}}=3(\sqrt{7}-\sqrt{3})$$

c) En el denominador hay un número restando a una raíz o al revés, mutiplicamos numerador y denominador por la suma del número y la raíz y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$${\displaystyle \frac{25}{4-\sqrt{11}}}={\displaystyle \frac{25(4+\sqrt{11})}{(4-\sqrt{11})(4+\sqrt{11})}}={\displaystyle \frac{25(4+\sqrt{11})}{16-11}}={\displaystyle \frac{25(4+\sqrt{11})}{5}}=5(4+\sqrt{11})$$

d) En el denominador hay un número sumando a una raíz, mutiplicamos numerador y denominador por la resta del número y la raíz y aplicamos la identidad notable anterior. Ejemplo:

$${\displaystyle \frac{6}{3+\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{6(3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}}={\displaystyle \frac{6(3-\sqrt{7})}{9-7}}={\displaystyle \frac{6(3-\sqrt{7})}{2}}=3(3-\sqrt{7})$$

e) Si una o las dos raíces están multiplicados por un número. Ejemplo:

$${\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-1}{2\sqrt{5}-\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{(3\sqrt{2}-1)\cdot (2\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(2\sqrt{5}-\sqrt{2})\cdot (2\sqrt{5}+\sqrt{2})}}={\displaystyle \frac{6\sqrt{10}+6-2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{{\left(2\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{6\sqrt{10}+6-2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{18}}$$

f) En el denominador hay tres raíces cuadradas, aplicamos la propiedad asociativa. Ejemplo:

$${\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})\cdot [(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}]}{[(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{6}]\cdot [(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}]}}=$$

$$={\displaystyle \frac{{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^2-(\sqrt{2}+\sqrt{3})\cdot \sqrt{6}}{{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^2-{\left(\sqrt{6}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{2+2\sqrt{6}+3-\sqrt{12}-\sqrt{18}}{2+2\sqrt{6}+3-6}}={\displaystyle \frac{5+2\sqrt{6}-2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}-1}}=$$

Ahora ya puedo aplicar alguno de los casos comentados anteriormente:

$$={\displaystyle \frac{(5+2\sqrt{6}-2\sqrt{3}-3\sqrt{2})\cdot (2\sqrt{6}-1)}{(2\sqrt{6}-1)\cdot (2\sqrt{6}+1)}}={\displaystyle \frac{10\sqrt{6}+24-4\sqrt{18}-6\sqrt{12}-5-2\sqrt{6}-2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{{\left(2\sqrt{6}\right)}^2-{\left(1\right)}^2}}=$$

$${\displaystyle \frac{8\sqrt{6}+19-12\sqrt{2}-12\sqrt{3}-2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{{\left(2\sqrt{6}\right)}^2-{\left(1\right)}^2}}={\displaystyle \frac{8\sqrt{6}+19-15\sqrt{2}-14\sqrt{3}}{23}}$$

g) En el denominador hay tres raíces cuadradas, y podemos sacar factores y agrupar radicales. Ejemplo:

$${\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{8}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}=$$

Y ahora puedo aplicar alguno de los casos anteriores:

$$={\displaystyle \frac{(1+\sqrt{2})\cdot (3\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}+\sqrt{3})\cdot (3\sqrt{2}-\sqrt{3})}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}+6-\sqrt{6}}{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}+6-\sqrt{6}}{15}}$$

Veamos una serie de ejercicios para repasar lo que hemos visto:

Amplificamos la fracción por $\sqrt{3}$: $${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$$

Amplificamos la fracción por $\sqrt{5}$: $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$$

Amplificamos la fracción por $\sqrt{3}$: $${\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2\cdot 3}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{6}}$$

Recordemos que ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$
Amplificamos la fracción por $\sqrt{3}$: $${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2\cdot 3}}{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$$

Amplificamos la fracción por $\sqrt{7}$: $${\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}(2-\sqrt{2})}{\sqrt{7}\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}(2-\sqrt{2})}{7}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{7}-\sqrt{2\cdot 7}}{7}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{7}-\sqrt{14}}{7}}$$

Este ejercicio se puede hacer de dos formas:
$1^{\underset{―}{a}}$ Amplificamos la fracción por $\sqrt{3}$: $${\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}}={\displaystyle \frac{\cancel{3}\sqrt{3}}{2\cdot \cancel{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$2^{\underset{―}{a}}$ Simplificando, recordemos que $3=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}$: $${\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\cdot \cancel{\sqrt{3}}}{2\cancel{\sqrt{3}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$

¿Amplificamos la fracción por $\sqrt{8}$ o pensamos si podemos hace algo antes? ¿podemos sacar algún factor de la raíz? $${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{8}}}={\displaystyle \frac{12}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{{\cancel{12}}^6}{\cancel{2}\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{2}}}$$

Y ahora podemos amplificar o simplificar por $\sqrt{2}$, en este caso amplifico: $${\displaystyle \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{6\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{{\cancel{6}}^3\sqrt{2}}{\cancel{2}}}=3\sqrt{2}$$

Ahora el índice de la raíz no es 2. $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$$

Ahora el índice de la raíz no es 2.

Veamos que ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt[5]{9}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt[5]{3^2}}}$

Tenemos que amplificar la fracción por $\sqrt[5]{3^3}$
$${\displaystyle \frac{3\cdot \sqrt[5]{3^3}}{\sqrt[5]{3^2}\cdot \sqrt[5]{3^3}}}={\displaystyle \frac{3\cdot \sqrt[5]{3^3}}{\sqrt[5]{3^5}}}={\displaystyle \frac{3\cdot \sqrt[5]{3^3}}{3}}={\displaystyle \frac{\cancel{3}\cdot \sqrt[5]{3^3}}{\cancel{3}}}=\sqrt[5]{3^3}=\sqrt[5]{27}$$

Ahora el índice de la raíz no es 2.

Veamos que ${\displaystyle \frac{10}{3\sqrt[4]{125}}}={\displaystyle \frac{10}{3\sqrt[4]{5^3}}}$

Tenemos que amplificar la fracción por $\sqrt[4]{5}$
$${\displaystyle \frac{10\cdot \sqrt[4]{5}}{3\sqrt[4]{5^3}\cdot \sqrt[4]{5}}}={\displaystyle \frac{10\cdot \sqrt[4]{5}}{3\sqrt[4]{5^4}}}={\displaystyle \frac{10\cdot \sqrt[4]{5}}{3\cdot 5}}={\displaystyle \frac{{\cancel{10}}^2\cdot \sqrt[4]{5}}{3\cdot \cancel{5}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt[5]{3^3}}{3}}$$

Ahora el índice de la raíz no es 2.

Solamente queremos quitar la raíz del denominador, la del numerador no nos molesta.

Tenemos que amplificar la fracción por $\sqrt[3]{5^2}$
$${\displaystyle \frac{\sqrt[5]{25}\cdot \sqrt[3]{5^2}}{5\cdot \sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{5^2}}}=(\ast )$$ Para juntar estas dos raíces de distinto índice en una raíz con el mismo índice tenemos que poner índice común, que será el mínimo común múltiplo de ambos índices, es decir, usamos la propiedad:
$$x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}=\sqrt[p\cdot n]{x^{p\cdot m}}=x^{\frac{p\cdot m}{p\cdot n}}$$ Además usaremos la siguiente propiedad: $$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\iff a^{\frac{1}{n}}\cdot b^{\frac{1}{n}}={(a\cdot b)}^{\frac{1}{n}}$$ Haciendo operaciones con el numerador tenemos que:
$$\sqrt[5]{25}\cdot \sqrt[3]{5^2}=\sqrt[5]{5^2}\cdot \sqrt[3]{5^2}=\sqrt[15]{5^6}\cdot \sqrt[15]{5^{10}}=\sqrt[15]{5^6\cdot 5^{10}}=\sqrt[15]{5^{16}}=5\cdot \sqrt[15]{5}$$ Sustituyendo en $(\ast )$: $$(\ast )={\displaystyle \frac{10\cdot \sqrt[4]{5}}{5\cdot \sqrt[3]{5^3}}}={\displaystyle \frac{10\cdot \sqrt[4]{5}}{3\cdot 5}}={\displaystyle \frac{{\cancel{10}}^2\cdot \sqrt[4]{5}}{5\cdot \cancel{5}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt[5]{3^3}}{3}}$$

Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $\sqrt{7}-\sqrt{3}$, para aplicar la identidad notable:
$$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$
$${\displaystyle \frac{9}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{9(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})\cdot (\sqrt{7}+\sqrt{3})}}={\displaystyle \frac{9(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{{\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{9(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3}}={\displaystyle \frac{9(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}}$$

Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $7+\sqrt{7}$, para aplicar la identidad notable:
$$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$
$${\displaystyle \frac{7}{7-\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{7(7+\sqrt{7})}{(7-\sqrt{7})\cdot (7+\sqrt{7})}}={\displaystyle \frac{7(7+\sqrt{7})}{7^2-{\left(\sqrt{7}\right)}^2}}=$$ $$={\displaystyle \frac{7(7+\sqrt{7})}{49-7}}={\displaystyle \frac{7(7+\sqrt{7})}{42}}={\displaystyle \frac{\cancel{7}(7+\sqrt{7})}{\cancel{42}6}}={\displaystyle \frac{7+\sqrt{7}}{6}}$$

Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $\sqrt{3}-\sqrt{2}$, para aplicar la identidad notable:
$$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$
$${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})\cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})}}={\displaystyle \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}}=$$ $$={\displaystyle \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{3})}{3-2}}={\displaystyle \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1}}=4(\sqrt{3}-\sqrt{2})$$

Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $\sqrt{8}-2$, para aplicar la identidad notable:
$$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$
$${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{8}+2}}={\displaystyle \frac{5(\sqrt{8}-2)}{(\sqrt{8}+2)\cdot (\sqrt{8}-2)}}={\displaystyle \frac{5(\sqrt{8}-2)}{{\left(\sqrt{8}\right)}^2-2^2}}=$$ $$={\displaystyle \frac{5(\sqrt{8}-2)}{8-4}}={\displaystyle \frac{5(\sqrt{8}-2)}{4}}$$

Tenemos que amplificar la fracción por su «conjugado», es decir, por $1+\sqrt{3}$, para aplicar la identidad notable:
$$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$
$${\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{2}\sqrt{3}}{1-(\sqrt{3}{)}^2}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{1-3}}=$$ $$={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{-2}}={\displaystyle \frac{-(1+\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}}$$

Tenemos que amplificar la fracción por $\sqrt{x}$:
$${\displaystyle \frac{2-\sqrt{x}}{2\cdot \sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x})}{2\cdot \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{2\cdot \sqrt{x}-x}{2\cdot x}}$$

Este ejercicio tiene una raíz de raíz en el denominador. Vamos poco a poco, $1^{\underset{―}{o}}$ quitamos la raíz que contiene a la raíz:
$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{2}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3+\sqrt{2}}}{\sqrt{3+\sqrt{2}}\cdot \sqrt{3+\sqrt{2}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3+\sqrt{2}}}{3+\sqrt{2}}}=$$
Ahora quitamos la raíz que queda, multiplicando por el conjugado $3-\sqrt{2}$

$$={\displaystyle \frac{\sqrt{3+\sqrt{2}}\cdot (3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})\cdot (3-\sqrt{2})}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3+\sqrt{2}}\cdot (3-\sqrt{2})}{3^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3+\sqrt{2}}\cdot (3-\sqrt{2})}{9-2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3+\sqrt{2}}\cdot (3-\sqrt{2})}{7}}$$

Tenemos que amplificar la fracción por $a\cdot \sqrt{x}-3\cdot \sqrt{a}$, para aplicar la identidad notable:
$$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$
$${\displaystyle \frac{2\cdot a}{a\cdot \sqrt{x}+3\cdot \sqrt{a}}}={\displaystyle \frac{2\cdot a\cdot (a\cdot \sqrt{x}-3\cdot \sqrt{a})}{(a\cdot \sqrt{x}+3\cdot \sqrt{a})\cdot (a\cdot \sqrt{x}-3\cdot \sqrt{a})}}={\displaystyle \frac{2\cdot a\cdot (a\cdot \sqrt{x}-3\cdot \sqrt{a})}{(a\cdot \sqrt{x}{)}^2-(3\cdot \sqrt{a}{)}^2}}=$$
$$={\displaystyle \frac{2\cdot a\cdot (a\cdot \sqrt{x}-3\cdot \sqrt{a})}{a^2\cdot x-9\cdot a}}={\displaystyle \frac{2\cdot \cancel{a}\cdot (a\cdot \sqrt{x}-3\cdot \sqrt{a})}{\cancel{a}\cdot (a\cdot x-9)}}={\displaystyle \frac{2\cdot (a\cdot \sqrt{x}-3\cdot \sqrt{a})}{a\cdot x-9}}$$

Tenemos que amplificar la fracción por $2\cdot a\cdot \sqrt{x}+x\cdot \sqrt{a}$, para aplicar la identidad notable:
$$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$
$${\displaystyle \frac{4\cdot a-x}{2\cdot a\cdot \sqrt{x}-x\cdot \sqrt{a}}}={\displaystyle \frac{(4\cdot a-x)\cdot (2\cdot a\cdot \sqrt{x}+x\cdot \sqrt{a})}{(2\cdot a\cdot \sqrt{x}-x\cdot \sqrt{a})\cdot (2\cdot a\cdot \sqrt{x}+x\cdot \sqrt{a})}}={\displaystyle \frac{(4\cdot a-x)\cdot (2\cdot a\cdot \sqrt{x}+x\cdot \sqrt{a})}{4\cdot a^2\cdot x-x^2\cdot a}}=$$
$$={\displaystyle \frac{(4\cdot a-x)\cdot (2\cdot a\cdot \sqrt{x}+x\cdot \sqrt{a})}{a\cdot x\cdot (4\cdot a-x)}}={\displaystyle \frac{\cancel{(4\cdot a-x)}\cdot (2\cdot a\cdot \sqrt{x}+x\cdot \sqrt{a})}{a\cdot x\cdot \cancel{(4\cdot a-x)}}}={\displaystyle \frac{2\cdot a\cdot \sqrt{x}+x\cdot \sqrt{a}}{a\cdot x}}$$

Tenemos que amplificar la fracción por $2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})$, para aplicar la identidad notable:
$$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$
$${\displaystyle \frac{6}{2+(\sqrt{5}-\sqrt{3})}}={\displaystyle \frac{6\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]}{[2+(\sqrt{5}-\sqrt{3})]\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]}}={\displaystyle \frac{6\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]}{2^2-(\sqrt{5}-\sqrt{3}{)}^2}}=$$
$$={\displaystyle \frac{6\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]}{4-(5-2\sqrt{15}+3)}}={\displaystyle \frac{6\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]}{4-8+2\sqrt{15}}}={\displaystyle \frac{6\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]}{4-(8-2\sqrt{15})}}={\displaystyle \frac{6\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]}{2\sqrt{15}-4}}=$$ $$={\displaystyle \frac{{\cancel{6}}^3\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]}{\cancel{2}\cdot (\sqrt{15}-2)}}={\displaystyle \frac{3\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]}{\sqrt{15}-2}}=$$
Ahora ya tenemos una ráiz y amplificamos por $\sqrt{15}+2$: $$={\displaystyle \frac{3\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]\cdot (\sqrt{15}+2)}{(\sqrt{15}-2)\cdot (\sqrt{15}+2)}}={\displaystyle \frac{3\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]\cdot (\sqrt{15}+2)}{15-4}}={\displaystyle \frac{3\cdot [2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]\cdot (\sqrt{15}+2)}{11}}$$

Agrupamos convenientemente para aplicar suma por diferencia de cuadrados:
$${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}}}\cdot {\displaystyle \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})-\sqrt{6}}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})-\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{4\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{6})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2-{\sqrt{6}}^2}}=$$ $$={\displaystyle \frac{4\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{6})}{8+2\cdot \sqrt{15}-6}}={\displaystyle \frac{4\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{6})}{2+2\cdot \sqrt{15}}}={\displaystyle \frac{4\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{6})}{2\cdot (1+\sqrt{15})}}=$$ Ahora ya tenemos una sola raíz cuadrada, amplificamos por el conjugado: $$={\displaystyle \frac{{\cancel{4}}^2\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{6})}{\cancel{2}\cdot (1+\sqrt{15})}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{15}-1}{\sqrt{15}-1}}={\displaystyle \frac{2\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{6})\cdot (\sqrt{15}-1)}{{\sqrt{15}}^2-1^2}}=$$ $$={\displaystyle \frac{2\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{6})\cdot (\sqrt{15}-1)}{15-1}}={\displaystyle \frac{\cancel{2}\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{6})\cdot (\sqrt{15}-1)}{{\cancel{14}}^7}}=$$ $$={\displaystyle \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{6})\cdot (\sqrt{15}-1)}{7}}$$

Racionalización de suma y resta de raíces cúbicas

• Si el denominador de la fracción contiene dos términos, y los dos son una raíz cúbica, resta o suma de ellas.

I) En el denominador hay una resta de dos raíces cúbicas. Utilizaremos la siguiente identidad

$$a^3-b^3=(a-b)\cdot (a^2+ab+b^2)$$

Ejemplo:

Vamos a racionalizar la siguiente expresión ${\displaystyle \frac{8}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{5}}}$

En este caso $a=\sqrt[3]{7}$ y $b=\sqrt[3]{7}$, multiplicamos numerador y denominador por $a^2+ab+b^2$,

que en este caso será $\sqrt[3]{7^2}+\sqrt[3]{7\cdot 5}+\sqrt[3]{5^2}$

$${\displaystyle \frac{8}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{5}}}={\displaystyle \frac{8\cdot (\sqrt[3]{7^2}+\sqrt[3]{7\cdot 5}+\sqrt[3]{5^2})}{(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{5})\cdot (\sqrt[3]{7^2}+\sqrt[3]{7\cdot 5}+\sqrt[3]{5^2})}}=$$

$$={\displaystyle \frac{8\cdot (\sqrt[3]{7^2}+\sqrt[3]{7\cdot 5}+\sqrt[3]{5^2})}{\sqrt[3]{7^3}+\sqrt[3]{7^2\cdot 5}+\sqrt[3]{7\cdot 5^2}-\sqrt[3]{5\cdot 7^2}-\sqrt[3]{5^2\cdot 7}-\sqrt[3]{5^3}}}={\displaystyle \frac{8\cdot (\sqrt[3]{7^2}+\sqrt[3]{7\cdot 5}+\sqrt[3]{5^2})}{7-5}}=$$

$$={\displaystyle \frac{8\cdot (\sqrt[3]{7^2}+\sqrt[3]{7\cdot 5}+\sqrt[3]{5^2})}{2}}=4(\sqrt[3]{7^2}+\sqrt[3]{7\cdot 5}+\sqrt[3]{5^2})$$

II) En el denominador hay una suma de dos raíces cúbicas. Utilizaremos la siguientidad identidad

$$a^3+b^3=(a+b)\cdot (a^2-ab+b^2)$$

Ejemplo:

Vamos a racionalizar la siguiente expresión ${\displaystyle \frac{18}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}}}$

En este caso $a=\sqrt[3]{6}$ y $b=\sqrt[3]{3}$, multiplicamos numerador y denominador por $a^2-ab+b^2$,

que en este caso será $\sqrt[3]{6^2}-\sqrt[3]{6\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2}$

$${\displaystyle \frac{18}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}}}={\displaystyle \frac{18\cdot (\sqrt[3]{6^2}-\sqrt[3]{6\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2})}{(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3})\cdot (\sqrt[3]{6^2}-\sqrt[3]{6\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2})}}=$$

$$={\displaystyle \frac{18\cdot (\sqrt[3]{6^2}-\sqrt[3]{6\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2})}{\sqrt[3]{6^3}-\sqrt[3]{6^2\cdot 3}+\sqrt[3]{6\cdot 3^2}+\sqrt[3]{6^2\cdot 3}-\sqrt[3]{6\cdot 3^2}+\sqrt[3]{3^3}}}={\displaystyle \frac{18\cdot (\sqrt[3]{6^2}-\sqrt[3]{6\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2})}{6+3}}=$$

$$={\displaystyle \frac{18\cdot (\sqrt[3]{6^2}-\sqrt[3]{6\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2})}{9}}=2(\sqrt[3]{6^2}-\sqrt[3]{6\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2})$$

¿Como se racionalizaría por ejemplo una suma o una resta de raíces de índice superior a 3?

Veamos unos ejemplos: $${\displaystyle \frac{18}{\sqrt[4]{7}-\sqrt[4]{3}}}$$ $${\displaystyle \frac{18}{\sqrt[4]{6}+\sqrt[4]{13}}}$$ $${\displaystyle \frac{14}{\sqrt[5]{11}-\sqrt[5]{4}}}$$ $${\displaystyle \frac{19}{\sqrt[5]{6}+\sqrt[4]{13}}}$$ Proximamente en otra entrada.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Notación científica

Curiosidad: En inglés notación científica se dice «Standard Form».

En el mundo científico, con frecuencia se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una forma de evitar manejar demasiados dígitos es utilizar la notación científica.

Todo número en notación científica siempre viene expresado de la misma forma:

$$a\cdot {10}^b\text{ donde }|a|\in [1,10)\text{ y }b\in \mathbb{Z}$$ 

$a$ es un número real cuyo módulo está en el intervalo $[1,10)$, es decir, $a$ es mayor o igual que 1 y menor que 10;

$a$ se llama «mantisa» y a $b$ (el exponente de la potencia de 10) es un número entero cualquiera y se denomina orden de magnitud.

¿Cómo pasar un número decimal muy grande a notación científica?

Movemos el punto decimal a la izquierda tantas posiciones numéricas hasta obtener un número mayor o igual que 1 y menor que 10; lo multiplicamos por una potencia de 10 que tenga por exponente el número de veces que hemos movido la coma decimal. Veamos un ejemplo: 

Poner en notación científica el número 7 983 000 000 000 000 

El número $a$ será 7,983 y el exponente de 10 será 15, las 15 posiciones que hemos movido la coma decimal a la izquierda.

7 983 000 000 000 000  = 7,983 $\cdot {10}^{15}$

¿Cómo pasar un número decimal muy pequeño a notación científica?

Movemos el punto decimal a la derecha tantas posiciones numéricas hasta obtener un número mayor o igual que 1 y menor que 10; lo multiplicamos por una potencia de 10 que tenga por exponente el número de veces que hemos movido la coma decimal. Veamos un ejemplo:

Poner en notación científica el número 0,000 000 000 001 543

El número $a$ será 1,543 y el exponente de 10 será -12, las 12 posiciones que hemos movido la coma decimal a la derecha.

0,000 000 000 001 543  = 1,543 $\cdot {10}^{-12}$

¿Como pasar un número en notación científica con exponente positivo a número decimal?

Se coge el número $a$ y se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente positivo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros.

Ejemplo: La masa de Urano $8,68\cdot {10}^{25}kg=86.800.000.000.000.000.000.000.000kg$ 

¿Como pasar un número en notación científica con exponente negativo a número decimal?

Se pone el número $a$ y se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como indica el exponente negativo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros. Al final se pone delante de la coma un cero.

Ejemplos:

• Peso de un átomo de plutonio $3,9\cdot {10}^{-21}g=$ 0,000 000 000 000 000 000 003 9 $g$
• La masa de un electrón $9,109\cdot {10}^{-31}kg=$ 0,0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 009 109 $kg$

Veamos un ejemplos muy básicos de notación científica:

$10={10}^1$	$0,1={\displaystyle \frac{1}{10}}={10}^{-1}$
$100={10}^2$	$0,01={\displaystyle \frac{1}{100}}={10}^{-2}$
$1.000={10}^3$	$0,001={\displaystyle \frac{1}{1.000}}={10}^{-3}$
$10.000={10}^4$	$0,0001={\displaystyle \frac{1}{10.000}}={10}^{-4}$
$100.000={10}^5$	$0,00001={\displaystyle \frac{1}{100.000}}={10}^{-5}$
$1.000.000={10}^6$	$0,000001={\displaystyle \frac{1}{1.000.000}}={10}^{-6}$
$10.000.000={10}^7$	$0,0000001={\displaystyle \frac{1}{10.000.000}}={10}^{-7}$
$100.000.000={10}^8$	$0,00000001={\displaystyle \frac{1}{100.000.000}}={10}^{-8}$
$1.000.000.000={10}^9$	$0,000000001={\displaystyle \frac{1}{1.000.000.000}}={10}^{-9}$
...	...

y así sucesivamente.

Constantes famosas en notación científica:

Velocidad de la luz	$c=3\cdot {10}^{8}m/s$
Constante gravitaoria	$G=6,674\cdot {10}^{-11}N\cdot m^2/k{g}^2$
Constante de Plank	$h=6,626\cdot {10}^{-34}J\cdot s$
Carga elemental	$e=1,602\cdot {10}^{-19}C$
Constante de Boltzmann	$k_B=1,381\cdot {10}^{-23}J/K$
Número de Avogadro	$N_A=6,022\cdot {10}^{23}mo{l}^{-1}$
Permitividad del vacío	${ϵ}_0=8,854\cdot {10}^{-12}F/m$
Permeabilidad del vacío	${\mu }_o=4\pi \cdot {10}^{-7}T\cdot m/A$
Masa del Electrón	$m_e=9,109\cdot {10}^{-31}kg$
Masa del Protón	$m_p=1,673\cdot {10}^{-27}kg$
Masa del Neutrón	$m_n=1,675\cdot {10}^{-27}kg$

Suma y resta de números en notación científica

Para sumar o restar números en notación científica tienen que tener el mismo exponente en el 10, es decir, el mismo orden de magnitud. Si no tienen el mismo orden, hemos de hacer los cambios necesarios en los órdenes de uno de los dos números o en ambos, para poder hacer la suma o la resta y si el resultado no está en notación científica, convertirlo a la misma. 

En la suma, los exponentes deben ser iguales para realizar la operación:

$$(4\times {10}^5)+(3\times {10}^5)=(4+3)\times {10}^5=7\times {10}^5$$

$$(3\times {10}^3)+(2\times {10}^3)=5\times {10}^3$$ 

$$(5\times {10}^{-2})+(4\times {10}^{-2})=9\times {10}^{-2}$$

Si los exponentes son diferentes, deben igualarse:

$(6\times {10}^3)+(2\times {10}^2)=$ no se pueden sumar, no tienen el mismo orden.

Pasamos uno de ellos a orden 3 y ya se pueden sumar:

$$(6\times {10}^3)+(0,2\times {10}^3)=6,2\times {10}^3$$

O bien pasamos uno de ellos a orden 2 y el resultado a notación científica:

$$(60\times {10}^2)+(2\times {10}^2)=62\times {10}^2=6,2\times {10}^3$$ 

Veamos algunos ejemplos:

1. $(25\times {10}^3)+(30\times {10}^2)=$ No se pueden sumar, no tienen el mismo orden, cambiamos a orden 3 el segundo sumando: $$(25\times {10}^3)+(3,0\times {10}^3)=28\times {10}^3=2,8\times {10}^4$$ o bien a orden 2 el primer sumando: $$(250\times {10}^2)+(30\times {10}^2)=280\times {10}^2=28\times {10}^3=2,8\times {10}^4$$
2.     $(5\times {10}^{-3})+(4\times {10}^{-2})=$  No se pueden sumar, no tienen el mismo orden, cambiamos a orden -3 el segundo sumando: $$(5\times {10}^{-3})+(40\times {10}^{-3})=45\times {10}^{-3}$$ o bien a orden 2 el primer sumando: $$(0.5\times {10}^{-2})+(4\times {10}^{-2})=4.5\times {10}^{-2}$$
3. En la resta ocurre exactamente lo mismo, los exponentes deben ser iguales para poder efectuarse la operación: $$(6\times {10}^3)-(4\times {10}^3)=(6-4)\times {10}^3=2\times {10}^3$$ $$(5\times {10}^{-2})-(2\times {10}^{-2})=3\times {10}^{-2}$$
   
4. Si los exponentes no son iguales, deben igualarse:
   
   $$(4\times {10}^3)-(3\times {10}^2)=$$ no se pueden restar, se deben igualar los exponentes haciendo los ajustes correspondientes en los exponentes de la base 10, en los órdenes de magnitud, cambiando el segundo término a orden 3: $$(4\times {10}^3)-(0,3\times {10}^3)=3,7\times {10}^3$$ o bien cambiamos el primer término a orden 2: $$(40\times {10}^2)-(3\times {10}^2)=37\times {10}^2=3,7\times {10}^3$$
   
5. $$(5,7\times {10}^{14})+(4,87\times {10}^{15})=$$ $$=(0,57\times {10}^{15})+(4,87\times {10}^{15})=$$ $$=(0,57+4,87)\times {10}^{15}=5,44\times {10}^{15}$$
   
6. $$1,32\times {10}^{26}+5,2\times {10}^{25}=$$ $$=1,32\times {10}^{26}+0,52\times {10}^{26}=$$ $$=(1,32+0,52)\times {10}^{26}=1,84\times {10}^{26}$$
   
7. $$5,42\times {10}^{16}-3,21\times {10}^{14}=$$ $$=5,42\times {10}^{16}-0,0321\times {10}^{16}=$$ $$=(5,42-0,0321)\times {10}^{16}=5,3879\times {10}^{16}$$
   
8. $$7,5\times {10}^{33}+5,25\times {10}^{35}=$$ $$=0,075\times {10}^{35}+5,25\times {10}^{35}=$$ $$=(0,075+5,25)\times {10}^{35}=5,325\times {10}^{35}$$
   
9. $$1,32\times {10}^{-13}+3,44\times {10}^{-14}=$$ $$=1,32\times {10}^{-13}+0,344\times {10}^{-13}=$$ $$=(1,32+0,344)\times {10}^{-13}=1,664\times {10}^{-13}$$
   
10. $$4,567\times {10}^{-12}-12,3\times {10}^{-14}=$$ $$=4,567\times {10}^{-12}-0,123\times {10}^{-12}=$$
    $$=4,444\times {10}^{-12}$$
    
11. $$5,321\times {10}^{-32}+4,5\times {10}^{-34}=$$ $$=5,321\times {10}^{-32}+0,045\times {10}^{-32}=$$ $$=(5,321+0,045)\times {10}^{-32}=5,366\times {10}^{-32}$$
    

Producto y división en notación científica

Para multiplicar, dividir y calcular potencias números en notación científica se opera con los números y las potencias de 10 por separado, utilizando las propiedades de las potencias.

Veamos algunos ejemplos: 

• $3\times {10}^3\cdot 1,5\times {10}^8=3\times 1,5\times {10}^3\times {10}^8=4,5\times {10}^{11}$
  
• $4,2\times {10}^3\cdot 2\times {10}^{-7}=4,2\times 2\times {10}^3\times {10}^{-7}=8,4\times {10}^{-4}$
  
• $5\times {10}^5\cdot 5\times {10}^7=5\times 5\times {10}^5\times {10}^7=25\times {10}^{12}=2,5\times {10}^{13}$
  
• $2,4\times {10}^6\cdot 6,2\times {10}^{-4}=2,4\times 6,2\times {10}^6\times {10}^{-4}=14,88\times {10}^2=1,488\times {10}^3$
  
• $7,2\times {10}^{-4}\cdot 2,1\times {10}^{-5}=7,2\times 2,1\times {10}^{-4}\times {10}^{-5}=15,12\times {10}^{-9}=1,512\times {10}^{-8}$
  
• $6,4\times {10}^3\cdot 4,5\times {10}^6\times 5\times {10}^5=6,4\times 4,5\times 5\times {10}^3\times {10}^6\times {10}^5=6,4\times 4,5\times 5\times {10}^{14}=144\times {10}^{14}=1,44\times {10}^{16}$
  
• ${\displaystyle \frac{6\times {10}^5}{3\times {10}^2}}={\displaystyle \frac{6}{3}}\times {10}^3=2\times {10}^3$
  
• ${\displaystyle \frac{8\times {10}^{-7}}{2\times {10}^{-9}}}={\displaystyle \frac{8}{2}}\times {10}^2=4\times {10}^2$
  
• ${\displaystyle \frac{3\times {10}^6}{6\times {10}^{15}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {10}^{-9}=0,5\times {10}^{-9}=5\times {10}^{-10}$
  
• ${\displaystyle \frac{3,5\times {10}^{15}}{7\times {10}^{20}}}={\displaystyle \frac{3,5}{7}}\times {10}^{-5}=0,5\times {10}^{-5}=5\times {10}^{-6}$
  
• ${\displaystyle \frac{(2,49\times {10}^3)(2\times {10}^{-8})}{5\times {10}^{-10}}}={\displaystyle \frac{4,98\times {10}^{-5}}{5\times {10}^{-10}}}={\displaystyle \frac{4,98}{5}}\times {10}^5=0,996\times {10}^5=9,96\times {10}^4$
  
• ${\displaystyle \frac{6,3506\times {10}^{-5}}{5,62\times {10}^{-12}}}={\displaystyle \frac{6,3506}{5,62}}\times {10}^7=1,13\times {10}^7$
  
• ${\displaystyle \frac{2,2\cdot {10}^5+880\cdot {10}^3}{20\cdot {10}^{-5}}}={\displaystyle \frac{2,2\cdot {10}^5+8,80\cdot {10}^5}{20\cdot {10}^{-5}}}={\displaystyle \frac{11\cdot {10}^5}{20\cdot {10}^{-5}}}={\displaystyle \frac{11\cdot {10}^5}{2\cdot {10}^{-4}}}=5,5\times {10}^9$
  

Potencias y raíces de números en notación científica

Veamos algunos ejemplos:

1. ${(6\times {10}^3)}^2=6^2\times {\left({10}^3\right)}^2=36\times {10}^6=3,6\times {10}^7$
2. ${(2\times {10}^5)}^4=2^4\times {\left({10}^5\right)}^4=16\times {10}^{20}=1,6\times {10}^{21}$
3. ${(5\times {10}^2)}^2=5^2\times {\left({10}^2\right)}^2=25\times {10}^4=2,5\times {10}^5$
4. ${\left({10}^5\right)}^2={10}^{5\times 2}={10}^{10}$
5. ${\left({10}^{-3}\right)}^3={10}^{-3\times 3}={10}^{-9}$
6. ${(2\times {10}^{-2})}^3=8\times {10}^{-6}$
7. $\sqrt[3]{2,7\times {10}^{-11}}=\sqrt[3]{27\times {10}^{-12}}=\sqrt[3]{27}\times \sqrt[3]{{10}^{-12}}=3\times {10}^{-4}$

Ejercicios de consolidación

• $125.100.000.000=1,1251\times {10}^{11}$ hemos movido la coma decimal a la izquierda 11 posiciones.
  
• La décima parte de una diezmilésima = ${\displaystyle \frac{{10}^{-4}}{10}}={10}^{-5}$
  
• $0,0000000000127=1,27\times {10}^{-12}$ hemos desplazado la coma decimal a la derecha 12 posiciones.
  
• 5 billones de billón = $5\times {10}^{12}\cdot {10}^{12}=5\times {10}^{24}$
  

Pulsa en el botón «+» para verla solución.

1. $(6\times {10}^{13})+(2\times {10}^{12})=$
   $=6\times {10}^{13}+0,2\times {10}^{13}=(6+0,2)\times {10}^{13}=6,2\times {10}^{13}$


2. $(8\times {10}^{22})+(3\times {10}^{23})=$
   $=0,8\times {10}^{23}+3\times {10}^{23}=(0,8+3)\times {10}^{23}=3,8\times {10}^{23}$


3. $(9\times {10}^{-13})+(4\times {10}^{-13})=$
   $=(9+4)\times {10}^{-13}=13\times {10}^{-13}=1,3\times {10}^{-12}$


4. $(5\times {10}^{42})+(3\times {10}^{38})=$
   $=5\times {10}^{42}+0,0003\times {10}^{42}=(5+0,0003)\times {10}^{42}=5,0003\times {10}^{42}$


5. $(7\times {10}^{15})+(8\times {10}^{15})=$
   $=7\times {10}^{15}+8\times {10}^{15}=(7+8)\times {10}^{15}=15\times {10}^{15}=1,5\times {10}^{16}$


6. $(4\times {10}^{25})-(2\times {10}^{23})=$
   $=4\times {10}^{25}-0,02\times {10}^{25}=(4-0,02)\times {10}^{25}=3,98\times {10}^{25}$


7. $(5\times {10}^{-24})-(3\times {10}^{-22})=$
   $=0,05\times {10}^{-22}-3\times {10}^{-22}=(0,05-3)\times {10}^{-22}=-2,95\times {10}^{-22}$


8. $(6\times {10}^{56})-(4\times {10}^{53})=$
   $=6\times {10}^{56}-4\times {10}^{53}=6\times {10}^{56}-0,004\times {10}^{56}=(6-0,004)\times {10}^{56}=5,996\times {10}^{56}$


9. $(7\times {10}^{105})-(3\times {10}^{107})=$
   $=0,07\times {10}^{107}-3\times {10}^{107}=(0,07-3)\times {10}^{107}=-2,93\times {10}^{107}$


10. $(8\times {10}^{-33})-(5\times {10}^{-31})=$
    $=0,08\times {10}^{-31}-5\times {10}^{-31}=(0,08-5)\times {10}^{-31}=-4,92\times {10}^{-31}$


11. ${\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-15}+7\cdot {10}^{-14}}{{10}^6-5\cdot {10}^5}}=$
    $={\displaystyle \frac{0,3\cdot {10}^{-4}+7\cdot {10}^{-4}}{{10.10}^5-5\cdot {10}^5}}={\displaystyle \frac{7,3\cdot {10}^{-4}}{5\cdot {10}^5}}=1,46\cdot {10}^{-9}$


12. ${\displaystyle \frac{7,35\cdot {10}^4}{5\cdot {10}^{-3}}}+3,2\cdot {10}^7=$
    $=1,47\times {10}^7+3,2\cdot {10}^7=4,67\times {10}^7$


13. ${(4,3\cdot {10}^3-7,2\cdot {10}^5)}^2=$
    $={(4,3\cdot {10}^3-720\cdot {10}^3)}^2={(-715,7\cdot {10}^3)}^2=512.226,49\cdot {10}^6=5,1222649\cdot {10}^{11}$


14. ${\displaystyle \frac{1,3\cdot {10}^{10}-2,7\cdot {10}^9}{3\cdot {10}^{-5}-2,36\cdot {10}^{-4}}}=$
    $={\displaystyle \frac{1,3\cdot {10}^{10}-0,27\cdot {10}^{10}}{0,3\cdot {10}^{-4}-2,36\cdot {10}^{-4}}}={\displaystyle \frac{1,03\cdot {10}^{10}}{-2,06\cdot {10}^{-4}}}=-0,5\cdot {10}^{14}=-5\cdot {10}^{13}$


15. ${\displaystyle \frac{3,8\cdot {10}^9}{2,5\cdot {10}^{-8}}}+4,2\cdot {10}^{16}=$
    $=1,52\times {10}^{17}+0,42\times {10}^{17}=1,94\times {10}^{17}$


16. ${\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-5}+7\cdot {10}^{-4}}{{10}^6-5\cdot {10}^5}}=$
    $={\displaystyle \frac{0,3\cdot {10}^{-4}+7\cdot {10}^{-4}}{5\cdot {10}^5}}={\displaystyle \frac{7,3\cdot {10}^{-4}}{5\cdot {10}^5}}=1,46\times {10}^{-9}$


17. ${\displaystyle \frac{1,35\cdot {10}^{-23}}{1,5\cdot {10}^{-18}}}-2,14\cdot {10}^{-6}=$
    $=0,9\times {10}^{-5}-2,14\times {10}^{-6}=0,9\times {10}^{-5}-0,214\times {10}^{-5}=(0,9-0,214)\times {10}^{-5}=0,686\times {10}^{-5}=6,86\times {10}^{-6}$


18. ${\displaystyle \frac{2,28\cdot {10}^{44}+2,012\cdot {10}^{45}}{3,2\cdot {10}^{-7}}}=$
    $={\displaystyle \frac{0,228\times {10}^{45}+2,012\times {10}^{45}}{3,2\cdot {10}^{-7}}}={\displaystyle \frac{(0,228+2,012)\times {10}^{45}}{3,2\cdot {10}^{-7}}}={\displaystyle \frac{2,24\times {10}^{45}}{3,2\cdot {10}^{-7}}}=0,7\times {10}^{52}=7\times {10}^{51}$


19. $556,38\cdot {10}^{74}+39,1\cdot {10}^{76}-2,79\cdot {10}^{78}=$
    $=0,055638\cdot {10}^{78}+0,391\cdot {10}^{78}-2,79\cdot {10}^{78}=(0,055638+0,391-2,79)\times {10}^{78}=-2,343362\times {10}^{78}$


20. $\sqrt{4\times {10}^{18}}=$
    $\sqrt{4\cdot {10}^{18}}=2\cdot {10}^9$


21. $\sqrt{4,9\times {10}^{-5}}=$
    $\sqrt{4,9\cdot {10}^{-5}}=\sqrt{49\cdot {10}^{-6}}=7\cdot {10}^{-3}$


22. $\sqrt{0,000009}$
    $\sqrt{0,000009}=\sqrt{9\cdot {10}^{-6}}=3\cdot {10}^{-3}$

Sangre en $m{m}^3\Rightarrow 5l=5d{m}^3=5\times {10}^{6}m{m}^3$

$N^{\underset{―}{\circ }}\text{ de glóbulos rojos: }4,5\times {10}^6\text{ por }m{m}^3$

El $n^{\underset{―}{\circ }}\text{ total de glóbulos rojos es }4,5\times {10}^6\cdot 5\times {10}^6=22,5\times {10}^{12}=2,25\times {10}^{13}$

Masa en $g$ de una molécula de $H_{2}O={\displaystyle \frac{18}{6,02\cdot {10}^{23}}}=2,99\cdot {10}^{-23}$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com