Interés simple
El tiempo y el capital son directamente proporcionales al interés simple. Así, con el mismo capital, a mayor tiempo mayor interés; y en el mismo tiempo, a mayor capital más interés.
Si invertimos 1 € durante un año nos dará un interés «$r$», pero ¿qué interés nos darán si lo invertimos durante «$t$ años»? Aplicando la fórmula de la proporcionalidad compuesta tenemos:
- $C$ es el dinero que se va a invertir;
- $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 0,05$;
- $t$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc);
- $I$ es el cantidad de interés que produce el capital $C$;
Para calcular el capital final, tenemos que sumar el capital inicial más los intereses y ese será el capital total después de la inversión.
$$ \bbox[6px,border:4px solid teal] { \qquad C_{final} = C_{inicial} + I \qquad } $$Interés compuesto
La diferencia del interés simple con el interés compuesto, es que en este último los intereses generados vuelven a formar parte del capital que genera esos intereses. Veamos:
- $C_o$ es el dinero que se va a invertir al principio;
- $C_f$ es el dinero que se va a obtener después de la inversión;
- $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 0,05$;
- $n$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc);
|
Tiempo
|
Capital inicial | Capital final |
|---|---|---|
| $\odn{1}{er}$ año | ||
| $2^{\underline{\circ}}$ año | ||
| $\odn{3}{er}$ | ||
| $\cdots$ | ||
| $n^{\underline{ésimo}}$ año | ||
En el Interés compuesto, para calcular el interés, al capital final tenemos que restarle el capital inicial:
$$ \bbox[6px,border:4px solid teal] { \qquad I = C_{final} - C_{inicial} \qquad } $$$$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad \text{El primer año, tanto el interés simple como el compuesto dan el mismo interés.} \qquad } $$
Veamos un ejemplo:
Hallar el interés simple y compuesto producido durante un año, por un capital de 30.000 €, al 6%.
Simple:
$$ I = C \cdot r \cdot t = 30.000 \cdot 1 \cdot 0,06 = 1.800 \text{€} $$
Luego el Capital final es 30.000 + 1.800 = 31.800 €
Compuesto:
$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + r \right )^{n} = 30.000 \cdot \left ( 1 + 0,06 \right )^{1} = 30.000 \cdot 1,06 = 31.800 \text{€} $$
Luego los intereses son 1.800 €, que es lo mismo que en el interés simple.
Hallar el interés simple y compuesto producido durante dos años, por un capital de 30.000 €, al 7%.
Simple:
$$ I = C \cdot r \cdot t = 30.000 \cdot 2 \cdot 0,07 = 4.200 \text{€} $$
Luego el Capital final es 30.000 + 4.200 = 34.200 €
Compuesto:
$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + r \right )^{n} = 30.000 \cdot \left ( 1 + 0,07 \right )^{2} = 30.000 \cdot (1,07)^2 = 30.000 \cdot 1,1449 = 34.347 \text{€} $$
Luego los intereses son 1.800 €, que es lo mismo que en el interés simple.
El número «$e$»
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés (simple o compuesto) al cabo de un año, ¿cuánto obtenemos? 1€, en total 2€. $$ C_o = 1, C_f = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{100} \right ) = 2 \text{€} $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final del año, lo hacemos de forma semestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{200} \right ) = 1,5 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,5; C_1 = 1,5 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{200} \right ) = 2,25 \text{€} $$ $$ C_2 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{200} \right )^2 \approx 2,25 $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada semestre, lo hacemos de forma cuatrimestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1, C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 1,33 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,33, C_2 = 1,33 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 1,77 \text{€} $$ $$ C_2 = 1,7689, C_3 = 1,7689 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 2,35 \text{€} $$ $$ C_3 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{300} \right )^3 \approx 2,44 $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada cuatrimestre, lo hacemos de forma trimestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) = 1,25 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,25; C_2 = 1,25 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 1,56 \text{€} $$ $$ C_2 = 1,56; C_3 = 1,56 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 1,95 \text{€} $$ $$ C_3 = 1,95; C_3 = 1,95 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 2,44 \text{€} $$ $$ C_4 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{400} \right )^4 \approx 2,44 $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada cuatrimestre, lo hacemos de forma mensual durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{12} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{1200} \right )^{12} \approx 2,613 \text{€} $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada más pequeño durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{360} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{36000} \right )^{360} \approx 2,714 \text{€} $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, y hacemos que el número de plazos aumente de forma infinita, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{n} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{1}{n} \right )^{n} = 2,7182818284590452353602874713527 \cdots \text{€} $$
$$ \milmt{n}{\infty}{ \left ( 1 + \mfrac{1}{n} \right)^n } = 2,7182818284590452353602874713527 \cdots $$
Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$ y $(a^s)^t = a^{s\cdot t}$:
$$4^x = 8 + 2^{x + 1} \Leftrightarrow (2^x)^2 = 8 + 2 \cdot 2^x \Leftrightarrow (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 = 0 $$ Hacemos el cambio $2x = t $ y nos queda una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se resuelve fácilmente:
$$ t^2 - 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow (t - 4)(t + 2 ) = 0 \Leftrightarrow t = -2 \text{ o } t = 4 $$ Si $t = -2 \Rightarrow 2^x = -2 $ ✗ Lo que no puede ser.
Si $t = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 $
Comprobación:
Si $x = 2 \Rightarrow 4^2 = 8 + 2^{2 + 1} \Rightarrow 4^2 = 8 + 2^3 = 8 + 8 \checkmark $
