Vemos explicado gráficamente los diferentes tipos de discontinuidades que se pueden dar. Gráfico obtenido de la siguiente web.
$ \large{ \ \text{ Autor del blog } \ \mathbb{R}a\!\!\int\!\!{\alpha}{\varepsilon}\ell \ \ {\rm I\!R}{\acute{\textrm{a}}}\pi\partial{\in} z \ \ \mathbf{G}a\tau\varsigma\acute{\iota}@} \quad \mathbb{R}^2 \mathbb{G} $
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miércoles, 27 de marzo de 2019
Continuidad y tipos de discontinuidad de funciones
Vemos explicado gráficamente los diferentes tipos de discontinuidades que se pueden dar. Gráfico obtenido de la siguiente web.
- $ \exists \milmt{ x}{a}{ f(x) } \Leftrightarrow \milmt{ x }{ a^+}{ f(x) } = \milmt{ x }{ a^-}{ f(x) } $
- $ \exists f(a)$
- $ \milmt{x}{a}{ f(x) } = f(a) $
Por ejemplo, la función $f(x) = \mfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ cuyo dominio son todos los reales excepto el 1. $Dom f(x) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. En esta función no existe $f(1)$, pero el límite cuando $x$ tiende a 1 sí que existe: $$ \milmt{ x }{ 1 }{ \mfrac{x^2 - 1}{x - 1} } = \mfrac{0}{0} = \milmt{ x }{ 1 }{ \mfrac{(x - 1) \cdot (x + 1)}{x - 1} } = \milmt{ x }{ 1}{ (x + 1) } = 2 $$ Definimos $F(x) = \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \ \text{ si } \ x \neq 2 \cr \cr 2 \quad \text{ si } \ x = 2 \end{array} \right. $ $F(x)$ es una función continua, cumple las 3 condiciones que hemos comentado anteriormente.
Las discontinuidades que no son evitables se dividen en tipos, de primera especie o de segunda. Las de primera especie o de primer orden si los límites laterales son distintos o uno de ellos es infinito.
Las de segunda especie o de segundo orden si al menos en uno de los lados del punto, la función no existe o no tienen límite.
Discontinuidades de $1^{\underline{a}}$ especie o de $1^{\underline{er}}$ orden: $$ \milmt{ x }{ a^+ }{ f(x) } \neq \milmt{ x }{ a^-}{ f(x) }$$ $$ \text{ salto } \ = \left | \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^+} f(x) - \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^-} f(x) \right | $$ Nota: $f(a)$ puede estar definida o no y puede coincidir o no con alguno de los límites laterales si es finito. Ejemplo de funciones de $1^{\underline{a}}$ especie o de $1^{\underline{er}}$ orden:
- de salto finito: $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ y $\milmt{ x }{ 1^- }{ \mfrac{|x|}{x} } = -1$ y $milmt{x}{1^+}{ \mfrac{|x|}{x} } = 1$
- de salto infinito: $$ f(x) = \left \{ \begin{array}{l} \mfrac{ 1 }{x} \fsi x < 0 \milmt{ x }{ 0^-}{ \mfrac{ 1 }{x} } = - \infty \\[0.25cm] x \quad \text{ si } \ x \geq 0 \milmt{ x }{ 0^+}{ x } = 0 \end{array} \right. $$
- asintótica: $f(x) = \mfrac{ 1 }{x}$ con los límites laterales $\milmt{ x }{ 0^-}{ \mfrac{ 1 }{x} } = - \infty$ y $\milmt{ x }{ 0^+}{ \mfrac{ 1 }{x} } = + \infty$
Una función $f(x)$ tiene una discontinuidad de este tipo si no existe alguno de los límites laterales o la función no está definida.
Nota: $f(a)$ puede estar definida o no. Ejemplo: $f(x) = \sin \left ( \mfrac{ 1 }{x} \right )$
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