Identidades notables. Sacar factor común (Propiedad distributiva). Ejercicios con soluciones.

Empezaremos por definir lo que es una expresión algebraica, es una combinación de números, variables (letras) y operaciones matemáticas (+, -, $\times$, $\div$).
Ejemplos de expresiones algebraicas:

• \( 3x + 5 \)
• \( a^2 - 4b \)
• \( \dfrac{2x + 1}{x - 3} \)
• \( 5xyz - 2y^2 + 7 \)

Componentes de una expresión algebraica:

• Números: Se llaman coeficientes si están multiplicando una variable (por ejemplo, en \( 3x \), el número 3 es el coeficiente).
• Variables: Representan valores desconocidos y suelen ser letras (como \( x, y, z, \alpha, ... \)).
• Exponentes: Indican cuántas veces se multiplica una variable por sí misma (por ejemplo, en \( x^2 \), el exponente es 2).
• Operaciones: Son las sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, etc.

Las expresiones algebraicas no incluyen signos de igualdad (\( = \)). Cuando se añade un signo de igualdad, se convierte en una igualdad algebraica.

Una identidad notable es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se cumple para cualquier valor de las variables involucradas. Se llaman «notables» porque aparecen con frecuencia, facilitan el cálculo y la factorización de expresiones algebraicas.

1. La propiedad conmutativa de la suma y del producto: \[ a + b = b + a \qquad \qquad a \times b = b \times a \]
2. La propiedad asociativa de la suma (resta) y del producto: \[ a + (b + c) = (a + b) + c \qquad \qquad a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \]
3. La propiedad distributiva del producto respecto de la suma: \[ a \times (b + c) = a \times c + b \times c \] \[ a \times (b - c) = a \times c - b \times c \]
4. Cuadrado de una suma: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
5. Cuadrado de una diferencia: \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
6. Diferencia de cuadrados \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
7. Cubo de una suma: \[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
8. Cubo de una diferencia: \[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
9. Suma y diferencia de cubos: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]

Vamos con unos ejercicios de desarrollar identidades notables, el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta y suma por diferencia, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:

$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \qquad \qquad a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)$

1. \( (x + 5y)^2 \)
   
   
2. $(2x + y)^2$
   
   
3. $(3x + 4y)^2$
   
   
4. $(x^2 + 1)^2$
   
   
5. $(2x + 3x^2)^2$
   
   
6. $ (x - 5y)^2$
   
   
7. $(2x - y)^2$
   
   
8. $(3x - 4y)^2$
   
   
9. $(x^2 - 1)^2 $
   
   
10. $(2x - 3x^2)^2$
    
    
11. $(x + 5y)(x - 5y)$
    
    
12. $ (2x + y)(2x - y) $
    
    
13. $ (3x + 4y)(3x - 4y) $
    
    
14. $ (x^2 + 1)(x^2 - 1) $
    
    
15. $ (2x + 3x^2)(2x - 3x^2) $
    
    
16. $ (-x + 2y)^2 $
    
    
17. $ (- s - 2z)^2 $
    
    
18. $ (-s + 2t)(-s - 2t) $
    
    
19. $ \left(x + \dfrac{1}{2}y \right)^2 $
    
    
20. $ - \left ( \dfrac{3x}{5} + 7 \right )^2 $
    
    
21. $ \left ( \dfrac{\ 2\ }{ 3 } - x \right )^2 $
    
    
22. $ \left (3ab - 4 \right )^2 $
    
    

Ahora vamos con otro tipo de ejercicios, vamos a hacer justo lo contrario, convertir expresiones en cuadrados o productos, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:

1. \( \dfrac{\ 25x^2\ }{9} - 9 \)
   
   
2. $x^4 + 2x^2 + 1$
   
   
3. $81x^4 + 18x^2y + y^2$
   
   
4. $4x^2y^4 - 1$
   
   
5. $4x^2 + 12x^3 + 9x^4$
   
   
6. $ x^6 - 10x^3 + 25$
   
   
7. $x^2 + 16x + 64$
   
   
8. $\dfrac{\ y^4\ }{ 16 } - 121$
   
   
9. $64x^{10} - y^{12}$
   
   
10. $ 25x^4 + 100y^2 + 100x^2y $
    
    
11. $ 3x^2 - 5y^8 $
    
    
12. $ x + y + 2\sqrt{\ xy\ }$
    
    

Ahora vamos con ejercicios de sacar factor común, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio. Veamos unos ejemplos:

$a^4 + 2a^3 - 3a^2 = a^2 \cdot (a^2 + 2a - 3)$
$12x^4 - 6x^3 + 15x^2 = 3x^3 \cdot (4x^2 - 2x + 5)$
$1x^3y^3z - 6x^2y^2z^4 + 4x^3yz = 2x^2yz \cdot (5xy^2 - 3yz^3 + x)$

Para sacar factor común de una expresión algebraica seguiremos los siguientes pasos:

1. Sacar el Máximo común divisor de los coeficientes de cada uno de los términos que forman la expresión algebraica.


2. Determinar las variables con el menor exponente.


3. Para comprobar si hemos hecho correctamente el ejercicio podemos aplicar la propiedad distributiva al resultado obtenido y nos dará por resultado la expresión inicial.

1. \( 3x + 12 \)
   
   
2. \( mx + m \)
   
   
3. $ a^2 + ab$
   
   
4. \( 8m^2 + 12m \)
   
   
5. \( 3am^3 + 6a^3m \)
   
   
6. \( 3x^4 - 15x^3 \)
   
   
7. $t^3 - 8t^2 + t$
   
   
8. $6a^2b - 12ab^2 + 3a^3b^3$
   
   
9. $15abc^2 + 45a^2bc$
   
   
10. $15abx - 9b^2x$
    
    
11. $x^5 + 2x^3 - 5x^2$
    
    
12. $ 16x^3 - 4x^2 $
    
    
13. $ am^2 - an^2 + a^2mn $
    
    
14. $ 2a^2b + 4ab^2 - 10a^3b^3$
    
    
15. $ 9a^3 - 6a^2 $
    
    
16. $21a^5 + 49a^3$
    
    
17. $ 14acd - 7cd + 21c^2d^2 $
    
    
18. $ 3a^3 - 6a^2 + 9a $
    
    
19. $ 8q^4t + 2q^3t^2 - 6q^2t^4 $
    
    
20. $ 5x^2y^2 - 15xy + 20xyz $
    
    
21. $ 17m^3n^3 - 51m^2n^2 + 85mn $
    
    
22. $ 12m^3n^3 - 18m^2n^2 - 24m^4n^4 $
    
    
23. $ x^4 + x^3 - x^2 + x $
    
    
24. $ m^2n^2 + mn^2 - 2m^2n^4 $
    
    

Ahora vamos con ejercicios de sacar factor común agrupando por términos, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio. Veamos unos ejemplos:

$ ax + bx + ay + by = (a + b) \cdot (x + y)$

Para sacar factor común agrupando por términos de una expresión algebraica seguiremos los siguientes pasos:

1. Agrupar términos que tienen factor común: \[ ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) \]


2. Sacamos factor común a los términos agrupados: \[ = x (a + b) + y(a + b) = \]


3. Formamos factores: uno con los términos con factor común y otros con los términos no comunes, que es la solución. \[ = (a + b)(x + y) \]

$\bullet $ Veamos otro ejemplo: $3m^2 - 6mn + 4m - 8n$

\[ 3m^2 - 6mn + 4m - 8n = (3m^2 - 6mn) + (4m - 8n) = \] \[ 3m(m - 2n) + 4(m - 2n) = (3m + 4)(m - 2n) \] $\bullet $ Veamos otro ejemplo: $ax - 2bx - 2ay + 4by$

\[ ax - 2ay - 2bx + 4by = a(x - 2y) - 2b(x - 2y) = \] \[ (a - 2b)(x - 2y) \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com