Vocabulario:
- Amplificar: Multiplicar numerador y denominador por el mismo número o expresión algebraica.
- Polinomio irreducible: Es el polinomio que ya no se puede factorizar más, puede ser de grado 1 o de grado 2. Ejemplos: $x^2 + 3$, $x + 7$.
- Las identidades notables:
- $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
- $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
- $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $
- $ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $
- $ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $
- $ a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2) $
- $ a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2) $
- TEOREMA DEL FACTOR (Ruffini)
Teorema del factor: Un polinomio $p(x)$ tiene como factor el término $x - a$ si el valor numérico del polinomio $p(x)$ para $x = a$ es 0.
Si dividimos el polinomio $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 4$ entre $x - 2$, haciéndolo por Ruffini vemos que el resto es 0.
Utilizando la comprobación de la división tenemos que: $$ d(x) = c(x) \cdot d(x) + r(x) $$ al ser el resto $r(x) = 0$ tenemos que $$p(x) = c(x) \cdot d(x)$$ por lo tanto:
$ 3x^3 - 5x^2 - 4 = \left(3x^2 + x + 2 \right) \cdot (x - 2) $, y por lo tanto $ x - 2$ es un factor de $p(x)$.
- Fórmula cuadrática: Factorizar $x^2 + x - 6$ es lo mismo que resolver la ecuación $x^2 + x - 6 = 0$
$$ x = \dfrac{\ -b \pm \sqrt{\ b^2 - 4ac\ }\ }{ 2a } = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 1 + 24\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 25\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ -1 \pm 5\ }{ 2 } = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 4 }{ 2 } = 2 \Rightarrow x_1 = 2 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -6 }{ 2 } = -3 \Rightarrow x_2 = -3 \end{array}. $$ Luego $$ x^2 + x - 6 = (x - 2) \cdot (x + 3) $$ - Sacando factor común:
$$ x^2 + 5x - 6 = x^2 + 5x + x - x - 6 = x^2 + 6x - x - 6 = x(x + 6) - (x + 6) = (x - 1)(x + 6) $$
Así las raíces de este polinomio son 1 y -6.
$$ x^2 - x - 2 = x^2 - 2x + x - 2 = x(x - 2) - (x - 2) = (x - 1)(x - 2) $$ Las raíces del polinomio son 1 y 2.
$$ 2x^2 - x - 15 = 2x^2 - 6x + 5x - 15 = 2x(x - 3) + 5(x - 3) = (2x + 5)(x -3) $$ Las raíces del polinomio son 3 y $\dfrac{\ -5\ }{ 2 }$.
$$ x^2 - 7x + 12 = x^2 - 3x - 4x - 12 = x(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 4)(x -3) $$ Las raíces del polinomio son 3 y 4.
$$ 7x^2 + 33x - 10 = 7x^2 + 35x - 2x - 10 = 7x(x + 5) - 2(x + 5) = (7x - 2)(x + 5) $$ Las raíces del polinomio son -5 y $\dfrac{\ 2\ }{ 7 }$.
$$ x^2 + 2x - 15 = x^2 + 5x - 3x -15 = x(x + 5) - 3(x + 5) = (x - 3)(x + 5) $$ Las raíces del polinomio son 3 y -5.
$$ 3x^2 + 7x - 26 = 3x^2 - 6x + 13x - 26 = 3x(x - 2) + 13(x - 2) = (3x + 13)(x - 2) $$ Las raíces del polinomio son 2 y $\dfrac{\ -13\ }{ 3 }$.
- Aplicando las fórmulas de Cardano-Vietta para un polinomio de $\odn{2}{o}$ grado:
Un polinomio de $\odn{2}{o}$ grado es de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$. Las dos raíces del polinomio $x_1$ y $x_2$ cumplen lo siguiente, si divido el polinomio por $a$, tengo $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}$ y como he calculado sus ráices tengo que:
$$ x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x_1)(x - x_2)$$
Desarrollando $ (x - x_1)(x - x_2)$ me queda:
$$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$$
Como los dos polinomios han de ser iguales, sus coeficientes han de ser iguales, igualando coeficientes, el de $x^2$ está claro, ya que es 1:
$$ \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{b}{a} = -(x_1 + x_2) \cr \cr
\dfrac{c}{a} = x_1 x_2 \end{array} \right . $$
Para el caso particular de $a = 1$ las condiciones son lasa siguientes:
$$ \left \{ \begin{array}{l} b = -(x_1 + x_2) \cr \cr
c = x_1 \cdot x_2 \end{array} \right . $$
Veamos unos ejemplos:
$\bullet \ x^2 - 11x + 28$
$$ \left \{ \begin{array}{l} -11 = -(x_1 + x_2) \Rightarrow 11 = x_1 + x_2 \cr \cr 28 = x_1 \cdot x_2 \end{array} \right . $$ Es decir, dos números cuya suma sea 11 y su producto sea 28, son 4 y 7, que claramente cumplen las condiciones de Cardano-Vieta.
$\bullet \ $ Otro ejemplo: $ x^2 + 6x - 7$
A veces sólo con la condición de que el producto de las raíces es el término independiente podemos sacar las raíces.
En este polinomio se ve fácilmente que 1 es raíz, la suma de los coeficientes da 0. Como el producto de las raíces es -7 y una raíz es 1, la otra es -7. Ya hemos calculado las dos raíces sin problemas.
Vamos a comprobar que cumplen las fórmulas de Cardano-Vieta: $$ \left \{ \begin{array}{l} 6 = -(1 - 7) = -(-6) \checkmark \cr \cr -7 = 1 \cdot (-7) \checkmark \end{array} \right . $$ Así las raíces de este polinomio son 1 y -7.
$\bullet \ $ Otro ejemplo: $ 5x^2 - 7x - 12$
En este ejemplo $a \neq 1$, las relaciones nos dicen que: $$ \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{7}{5} = -(x_1 + x_2) \cr \cr \dfrac{ -12 }{5} = x_1 x_2 \end{array} \right . $$ En este caso vemos que -1 es raíz. Como el producto de las raíces es $\dfrac{ -12 }{5}$ y una raíz es -1, la otra es $\dfrac{ 12 }{5}$. Ya hemos calculado las dos raíces sin problemas.
Vamos a comprobar que cumplen las fórmulas de Cardano-Vieta: $$ \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{- 7}{5} = - \left (- 1 + \dfrac{12}{5} \right ) = - \left (- \dfrac{5}{5} + \dfrac{12}{5} \right ) = - \dfrac{7}{5} \checkmark \cr \cr \dfrac{ -12 }{5} = - 1 \cdot \dfrac{ 12 }{5} \checkmark \end{array} \right . $$ Así las raíces de este polinomio son -1 y $\dfrac{ -12 }{5}$.
Te doy unos ejemplos para que practiques:
$$x^2 - 2x - 8 \qquad \qquad x^2 + x - 12 \qquad \qquad 5x^2 + 4x - 9 \qquad \qquad 3x^2 - 4x - 7 $$
Vamos con algunos ejercicios de simplificación de F. A.:
Factorizamos el denominador y nos queda: $x^2 + x - 6 = (x - 2) \cdot (x + 3) $
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ x - 2 }{\ x^2 + x - 6\ } = \dfrac{ x - 2 }{\ (x - 2) \cdot (x + 3) \ } = \dfrac{ \cancel{x - 2} }{\ \cancel{(x - 2)} \cdot (x + 3) \ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 3 \ } $$
Factorizamos el denominador, lo podemos hacer por Ruffini o con la fórmula cuadrática o también de esta forma:
$$ 2x^2 - 3x + 1 = 2x^2 - 2x - x + 1 = 2x(x - 1) - 1(x - 1) = (2x - 1)(x - 1) $$
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ x - 1 }{\ 2x^2 - 3x + 1\ } = \dfrac{x - 1}{\ (2x - 1) \cdot (x - 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ (2x - 1) \cdot \cancel{(x - 1)}\ } = \dfrac{ 1 }{\ 2x - 1 \ } $$
Factorizamos el numerador, en este caso ya lo hemos hecho antes:
$$ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) $$
Factorizamos el denominador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $$
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{\ x^2 + x - 6\ }{\ x^2 - 4\ } = \dfrac{ (x - 2)(x + 3) }{\ (x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ \cancel{(x - 2)} (x + 3) }{\ \cancel{(x - 2)} \cdot (x + 2)\ } = \dfrac{ x + 3 }{\ x + 2 \ } $$
Factorizamos el numerador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$
Factorizamos el denominador, vamos a calcular sus raíces: Está claro que 1 es raíz, ¿cómo sacamos la otra?
$$ 5x^2 + 4x - 9 = 5 \cdot (x^2 + \dfrac{4}{5}x - \dfrac{9}{5}) $$
Las raíces de $5x^2 + 4x - 9$ y $x^2 + \dfrac{4}{5}x - \dfrac{9}{5}$ son las mismas. Como 1 es raíz de ambos polinomios y el producto de las raíces es $- \dfrac{9}{5}$, entonces la otra ráiz es $- \dfrac{9}{5}$ y el factor se indica así: $(x - 1)(5x + 9)$ En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{\ x^2 - 1\ }{\ 5x^2 + 4x - 9\ } = \dfrac{ (x - 1)(x + 1) }{\ (x - 1)(5x + 9)\ } = \dfrac{ \cancel{(x - 1)} (x + 1) }{\ \cancel{(x - 1)} \cdot (5x + 9)\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ 5x + 9 \ } $$
Factorizamos el denominador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) $$
El numerador es irreducible. Luego no podemos simplificar nada, se queda igual $ \dfrac{ x + 2 }{\ x^2 - 1\ } $
El denominador es irreducible.
En el numerador vemos que -2 es raíz, luego como el polinomio es mónico (coeficiente de la mayor potencia de $x$ es 1) y el producto de las raíces es -2, entonces a la fuerza la otra raíz es 1. Luego $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$ En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ (x + 2)(x - 1) }{\ x + 2\ } = \dfrac{ \cancel{(x + 2)} (x - 1) }{\ \cancel{x + 2}\ } = x - 1 $$
Vamos con algunos ejercicios de sumas y restas:
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, es el producto de los denominadores $b(a - b)(a + b)$. Así la primera fracción la amplificamos por $b(a + b)$, la segunda por $b(a - b)$ y la tercera $(a + b)(a - b)$: $$ \dfrac{ a + b }{\ a - b\ } - \dfrac{ a - b }{\ a + b\ } - \dfrac{ a }{\ b\ } = \dfrac{ b(a + b)^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } - \dfrac{ b(a - b)^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } - \dfrac{ a(a^2 - b^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } = $$ $$ = \dfrac{ b(a + b)^2 - b(a - b)^2 - a(a^2 - b^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ b(a^2 + 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) - a^3 + ab^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{a^2b} + 2ab^2 + \xcancel{b^3} \cancel{- a^2b} + 2ab^2 - \xcancel{b^3} - a^3 + ab^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ 5ab^2 - a^3 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ a(5b^2 - a^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, es $xyzt$. Así la primera fracción la amplificamos por $xzt$, la segunda por $xyt$, la tercera $xyt$ y la cuarta $yzt$: $$ \dfrac{ x }{\ y\ } - \dfrac{ y }{\ z\ } + \dfrac{ z }{\ t\ } - \dfrac{ t }{\ x\ } = \dfrac{ x^2zt }{\ xyzt\ } - \dfrac{ xy^2t }{\ xyzt\ } + \dfrac{ xyz^2 }{\ xyzt\ } - \dfrac{ yzt^2 }{\ xyzt\ } = \dfrac{ x^2zt - xy^2t + xyz^2 - yzt^2 }{\ xyzt\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $2(x + 2)$ y el de la segunda fracción es $(x + 2)(x - 2)$, luego el común denominador es $2(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x - 2$ y la segunda por 2: $$ \dfrac{ 3 }{\ 2x + 4\ } + \dfrac{ 2x }{\ x^2 - 4\ } = \dfrac{ 3 }{\ 2(x + 2)\ } + \dfrac{ 2x }{\ (x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ 3(x - 2) }{\ 2(x + 2)(x - 2)\ } + \dfrac{ 2 \cdot 2x }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{ 3x - 6 + 4x }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ 7x - 6 }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $x^3$ que no se puede factorizar más y el de la segunda fracción es $x^2 + 7)$ que también es irreducible, luego el común denominador es $x^3(x^2 + 7)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x^2 + 7$ y la segunda por $x^3$: $$ \dfrac{ x^2 - 1 }{\ x^3\ } - \dfrac{ 2x }{\ x^2 + 7\ } = \dfrac{\ (x^2 - 1)(x^2 + 7)\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } - \dfrac{ 2x \cdot x^3 }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = \dfrac{\ x^4 + 7x^2 - x^2 - 7\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } - \dfrac{ 2x^4 }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^4 + 6x^2 - 7 - 2x^4\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = \dfrac{\ -x^4 + 6x^2 - 7\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x - 2$ y la segunda por $x + 2$: $$ \dfrac{\ x - 2\ }{\ x + 2 \ } + \dfrac{ x + 2 }{\ x - 2\ } = \dfrac{\ (x - 2)^2\ }{\ (x -2)(x + 2) \ } + \dfrac{ (x + 2)^2 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 4 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ x^2 \cancel{- 4x} + 4 + x^2 \cancel{+ 4x} + 4 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ 2 x^2 + 8 }{\ (x -2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $4(x - 2)(x + 2)$, el de la segunda es $4(x -2)$, luego el común denominador es $4(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por 4 y la segunda por $x + 2$: $$ \dfrac{\ 2x\ }{\ x^2 - 4 \ } + \dfrac{ x + 1 }{\ 4x - 8\ } = \dfrac{\ 8x\ }{\ 4(x -2)(x + 2) \ } + \dfrac{\ (x + 2)(x + 1)\ }{\ 4(x -2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 8 + x^2 + x + 2x + 2 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ x^2 + 3x + 10\ }{\ 4(x -2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x - 1)(x + 1)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x + 1$ y la segunda por $x - 1$: $$ \dfrac{\ x + 1 \ }{\ x - 1\ } - \dfrac{ x - 1 }{\ x + 1\ } = \dfrac{\ (x + 1)^2\ }{\ (x - 1)(x + 1) \ } - \dfrac{ (x - 1)^2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1) }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ \xcancel{x^2} + 2x \cancel{+ 1} \xcancel{- x^2} + 2x \cancel{- 1} }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ 4x\ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $y$. Así la primera fracción la podemos poner $1 = \dfrac{\ y \ }{y}$: $$ 1 - \dfrac{\ x \ }{\ y\ } = \dfrac{\ y \ }{\ y\ } - \dfrac{\ x \ }{\ y\ } = \dfrac{\ y - x \ }{\ y\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $x$. Así la primera fracción la podemos poner $x = \dfrac{\ x^2 \ }{x}$: $$ x - \dfrac{\ x^2 - 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ x^2 \ }{\ x\ } - \dfrac{\ x^2 - 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ x^2 - x^2 + 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ 1 \ }{\ x\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x - 1)(x + 1)$. Así la primera fracción la dejamos como está y la segunda la amplificamos por $x + 1$: $$ \dfrac{\ 3x - 2 \ }{\ x^2 - 1\ } + \dfrac{ x + 2 }{\ x - 1\ } = \dfrac{\ 3x - 2 \ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } + \dfrac{ (x + 2)(x + 1) }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 3x - 2 + x^2 + x + 2x + 2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ 3x \cancel{- 2} + x^2 + x + 2x \cancel{+ 2} }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ x^2 + 6x }{\ (x - 1)(x + 1)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello factorizamos los denominadores. Así la primera fracción es $6(x + 2)$ y la segunda fracción es $2(x + 2)(x - 2)$, luego el común denominador es $6(x - 2)(x + 2)$. Tendremos que amplificar la primera fracción por $(x - 2)$ y la segunda por 3: $$ \dfrac{\ 7x\ }{\ 6x + 12 \ } - \dfrac{ x + 5 }{\ 2x^2 - 8\ } = \dfrac{\ 7x(x - 2)\ }{\ 6(x - 2)(x + 2) \ } - \dfrac{ 3(x + 5) }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 7x^2 - 14x - 3x - 15 }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ 7x^2 - 17x - 15 }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello factorizamos los denominadores. Los denominadores de estas fracciones son irreducibles, luego el común denominador es $(x^2 + 1)(x - 3)$. Tendremos que amplificar la primera fracción por $(x - 3)$ y la segunda por $x^2 + 1$: $$ \dfrac{\ x + 3\ }{\ x^2 + 1 \ } - \dfrac{ 2x }{\ x - 3\ } = \dfrac{\ (x + 3)(x - 3)\ }{\ (x^2 + 1)(x - 3) \ } - \dfrac{ 2x(x^2 + 1) }{\ (x^2 + 1)(x - 3)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 - 9 - (2x^3 + 2x)\ }{\ (x^2 + 1)(x - 3) \ } = \dfrac{ - 2x^3 + x^2 - 2x - 9 }{\ (x^2 + 1)(x - 3)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello antes de nada simplificamos las fracciones y para ello factorizamos. Vamos por la primera fracción: $ \dfrac{\ x - x^2\ }{\ 1 - x^2 \ } = \dfrac{\ x(1 - x)\ }{\ (1 - x)(1 + x) \ } = \dfrac{\ x\cancel{(1 - x)}\ }{\ \cancel{(1 - x)}(1 + x) \ } = \dfrac{\ x\ }{\ 1 + x\ }$
Ahora con la segunda fracción: $ \dfrac{\ 1 + x\ }{\ x^2 + 2x + 1\ } = \dfrac{\ 1 + x\ }{\ (1 + x)^2 \ } = \dfrac{\ \cancel{1 + x}\ }{\ \cancel{(1 + x)}(1 + x) \ } = \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ }$
Y con la tercera fracción no podemos simplificar nada, no comparten ningún factor.
Ya tienen las tres fracciones el mismo denominador, vamos a realizar la suma y la resta: $$ \dfrac{\ x - x^2\ }{\ 1 - x^2 \ } + \dfrac{\ 1 + x\ }{\ x^2 + 2x + 1\ } - \dfrac{ 1 - 2x }{\ 1 + x\ } = \dfrac{\ x\ }{\ 1 + x\ } + \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ } - \dfrac{ 1 - 2x }{\ 1 + x\ } = \dfrac{\ x + 1 - 1 + 2x \ }{\ 1 + x \ } = \dfrac{ 3x }{\ 1 + x\ } $$
Vamos con algunos ejercicios de productos y divisiones de F. A.:
Podemos simplificar el factor $x + 1$, ya que multiplica al numerador y denominador: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{\cancel{x + 1}}{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{\cancel{x + 1}}{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ x + 3\ }{ x + 2 } $$
Factorizamos los denominadores de la fracciones y nos queda: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x^2 - 4\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ x^2 - 4x + 4\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ (x - 2)(x + 2)\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ (x - 2)^2\ }\ \ \ \ } = $$ Podemos simplificar el factor $x - 2$ de los denominadores, ya que divide al numerador y denominador: $$ = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ \cancel{(x - 2)}(x + 2)\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ (x - 2)^{\cancel{2}}\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ x - 2\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ (3x + 1)(x - 2) }{\ x(x + 2)\ } = \dfrac{\ 3x^2 - 6x + x - 2 }{\ x(x + 2)\ } = \dfrac{\ 3x^2 - 5x - 2 }{\ x(x + 2)\ } $$
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre ellos y luego los denominadores: $$ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x^2\ } \cdot \dfrac{ x + 1 }{\ x^5\ } = \dfrac{ (3x + 1)(x + 1) }{\ x^2 \cdot x^5\ } = \dfrac{\ 3x^2 + 3x + x + 1\ }{\ x^2 \cdot x^5\ } = \dfrac{\ 3x^2 + 4x + 1\ }{\ x^7\ } $$
En este caso, no factorizamos los denominadores ya que no podemos simplificar nada: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 - 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 + 2\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ (x + 1)(x^2 + 2)\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } = \dfrac{\ x^3 + 2x + x^2 + 2\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } = \dfrac{\ x^3 + x^2 + 2x + 2\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } $$
En este caso lo que tenemos es una identidad notable, diferencia de cuadrados. Podemos aplicar que es igual a suma por diferencia: $$ \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } \right )^2 - \left ( \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right )^2 = \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } + \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } - \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) = $$ $$ = \left ( \dfrac{ m^2 + 1 + m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ m^2 + 1 - m^2 + 1 }{\ 2\ } \right ) = \left ( \dfrac{ 2m^2 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ 2 }{\ 2\ } \right ) = m^2 \cdot 1 = m^2 $$
Vamos a simplificar las fracciones del numerador y de nominador por separado. Empezamos por el numerador viendo que el denominador es una identidad notable $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$:
$ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ \cancel{(x - 1)}(x + 1)\ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } $
Ahora el denominador, viendo que $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$:
$ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 + 2x + 1\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ (x + 1)^2\ } = \dfrac{ \cancel{x + 1} }{\ (x + 1)^{\cancel{2}}\ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } $
Ahora lo juntamos todo y tenemos: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 - 1\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 + 2x + 1\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ }\ \ \ \ } = 1 $$
$$ \dfrac{ 3x^3yz^4 }{\ 5a^2b^3c^6\ } \cdot \dfrac{ 6a^3b^4c^2 }{\ 4x^2y^3z^7\ } = \dfrac{ 3x^3yz^4 6a^3b^4c^2\ }{\ 5a^2b^3c^6 4x^2y^3z^7\ } =\dfrac{ 3 \cdot 6 a^3 b^4 c^2 x^3 y z^4 \ }{\ 4 \cdot 5a^2 b^3 c^6 x^2 y^3 z^7\ } = \dfrac{ 9 a b x \ }{\ 10 c^4 y^2 z^3\ } $$
En la primera fracción, sacamos factor común al numerador y el denominador lo factorizamos, Con la segunda fracción no hacemos nada: $$ \dfrac{ x^2 - xy }{\ x^2 - y^2\ } \cdot \dfrac{ xy }{\ x + y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } \cdot \dfrac{ xy }{\ x + y\ } = \dfrac{ x^2y(x - y) }{\ (x + y)^2(x - y)\ } = $$ $$ = \dfrac{ x^2y\cancel{(x - y)} }{\ (x + y)^2\cancel{(x - y)}\ } = \dfrac{ x^2y }{\ (x + y)^2\ } $$
En la primera fracción, factorizamos el denminador y sacamos factor común al denominador. Con la segunda fracción no hacemos nada: $$ \dfrac{ x^2 - y^2 }{\ 4a - 4b\ } \cdot \dfrac{ a - b }{\ x + y\ } = \dfrac{\ (x - y)(x + y)\ }{\ 4(a - 4)\ } \cdot \dfrac{ a - b }{\ x + y\ } = \dfrac{\ (x - y)(x + y)(a - b)\ }{\ 4(a - b)(x + y)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ (x - y) \xcancel{(x + y)} \cancel{(a - b)}\ }{\ 4 \cancel{(a - b)} \xcancel{(x + y)}\ } = \dfrac{\ x - y\ }{ 4 } $$
Aplicamos las identidades notables siguientes: $ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $ y $ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $ Sustituimos en las fracciones y nos queda:
$$ \dfrac{ x^3 - y^3 }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ x^3 + y^3 + 2xy(x + y)\ } = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y)\ } = $$ Sacamos factor común a $(x + y)$ en el denominador de la segunda fracción: $$ = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 - xy + y^2 + 2xy)\ } = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 + xy + y^2)\ } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{(x - y)} (x^2 + xy + y^2) }{\ \cancel{x - y}\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 + xy + y^2)\ } = (x^2 + xy + y^2) \cdot \dfrac{ \cancel{x + y} }{\ \cancel{(x + y)} (x^2 - xy + y^2 + 2xy)\ } = $$ $$ = (x^2 + xy + y^2) \cdot \dfrac{ 1 }{\ x^2 + xy + y^2\ } = 1 $$
Factorizamos los polinomios de los numeradores de la dos primeras fraciones y aplicamos identidades notables en el numerador y denominador de la tercera fracción.
Vamos con el numerador de la primera fracción: $ x^2 - x - 2 $ Está claro que 2 es raíz, y como el producto de las raíces es -2, -1 es la otra raíz, luego $ x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$
Ahora el numerador de la segunda fracción: $x^2 + 2x - 3$ Está claro que 1 es un raíz ya que la suma de los coeficientes es cero y como el producto de las raíces es -3 la otra raíz es -3, luego $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$
En la trecera fracción aplicamos identidades notables, en el numerador $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $ y en el denominador $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$.
Sustituyendo los polinomios por sus factores tenemos:
$$ \dfrac{ x^2 - x - 2 }{\ x + 3\ } \cdot \dfrac{ x^2 + 2x - 3 }{\ (x - 2)^3\ } \cdot \dfrac{ x^2 - 4x + 4 }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ (x + 1)(x - 2) }{\ x + 3\ } \cdot \dfrac{ (x - 1)(x + 3) }{\ (x - 2)^3\ } \cdot \dfrac{ (x - 2)^2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{ (x + 1)(x - 2)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^2 }{\ (x + 3)(x - 2)^3 (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^3 }{\ (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^3 \ } = 1 $$
Vamos con algunos ejercicios de operaciones combinadas de F. A.:
Vamos a hacer los paréntesis por separado y por orden. Vamos con el $\odn{1}{o}$: $$ 1 - \dfrac{ 1 }{\ x\ } = \dfrac{ x }{\ x\ } - \dfrac{ 1 }{\ x\ } = \dfrac{ x - 1 }{\ x\ } $$ Vamos con el $\odn{2}{o}$ paréntesis: $$ \dfrac{2 x}{\ x^2 - 1\ } - \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } = \dfrac{2 x}{\ (x - 1)(x + 1)\ } - \dfrac{ x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ 2x - x + 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x + 1} }{\ (x - 1)\cancel{(x + 1)}\ } = \dfrac{ 1 }{\ x - 1 \ } $$ Juntamos los paréntesis y nos queda: $$ \left ( 1 - \dfrac{1}{\ x\ } \right) \cdot \left ( \dfrac{2 x}{\ x^2 - 1\ } - \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } \right ) = \dfrac{ x - 1 }{\ x\ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ x - 1 \ } = \dfrac{ x - 1 }{\ x(x - 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ x\cancel{(x - 1)} \ } = \dfrac{ 1 }{\ x\ } $$
Para poder hacer la suma tenemos que tener el mismo denominador, el denominador de la segunda fracción ya está factorizada, y el denominador de la primera es una identidad notable: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Luego el mínimo común múltiplo es $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$. Amplificamos la primera fracción por $x -2$ y la segunda por $x - 1$: $$ \dfrac{\ x^2 + 1\ }{\ x^2 - 1\ } + \dfrac{\ x + 2\ }{\ x - 2\ } \dfrac{\ x - 1\ }{\ x + 1\ } = \dfrac{\ x^2 + 1\ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } + \dfrac{\ (x + 2)(x - 1)\ }{\ (x + 1)(x - 2)\ } = \dfrac{\ (x^2 + 1)(x -2)\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ (x +2)(x - 1)^2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ x^3 - 3x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2 + x^3 - 3x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = \dfrac{\ 2x^3 - 2x^2 - 2x\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } $$
Hacemos primero el paréntesis, es una resta, la primera fracción tiene por denominador una identidad notable: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. Para hacer la resta amplifico la segunda fracción por $a + b$: $$ \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ a^2 - b^2 } - \dfrac{\ a + b\ }{ a - b } = \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } - \dfrac{\ (a + b)^2\ }{ (a + b)(a - b) } = \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } - \dfrac{\ a^2 + 2ab + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } = $$ $$ = \dfrac{\ a^2 + b^2 - a^2 - 2ab - b^2\ }{ (a + b)(a - b) } = \dfrac{\ - 2ab\ }{ (a + b)(a - b) } $$ Sustituimos el paréntesis por su resultado: $$ \left ( \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ a^2 - b^2 } - \dfrac{\ a + b\ }{ a - b } \right ) \cdot \dfrac{\ a + b\ }{ ab } = \dfrac{\ - 2ab\ }{ (a + b)(a - b) } \cdot \dfrac{\ a + b\ }{ ab } = $$ Para el producto de fracciones no tienen que tener el mismo denominador, luego: $$ = \dfrac{\ - 2ab(a + b)\ }{ ab(a + b)(a - b) } = \dfrac{\ - 2\cancel{ab}\xcancel{(a + b)}\ }{ \cancel{ab}\xcancel{(a + b)}(a - b) } = \dfrac{\ - 2\ }{\ a - b\ } = \dfrac{\ 2\ }{\ b - a\ } $$
Tenemos que hacer primero la división, que no han de tener el mismo denominador y después la suma. Vamos con la división: $$ $\dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } : \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } \cdot \dfrac{\ x - y\ }{ y } = \dfrac{ xy(x - y) }{\ y(x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } $$ No simplificamos, ya que al hacer la suma el mínimo común múltiplo es $ (x - y)(x + y)$: $$\dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } : \dfrac{ y }{\ x - y\ } + \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } + \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } + \dfrac{ y(x + y) }{\ (x - y)(x + y)\ } = $$ $$ = \dfrac{ x(x - y) + y(x + y) }{\ (x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x^2 - xy + yx + y^2 }{\ (x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x^2 + y^2 }{\ (x - y)(x + y)\ } $$
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com