Operaciones con fracciones algebraicas. Ejercicios resueltos.

Vamos a repasar una serie de cosas antes de entrar en materia con las fracciones algebraicas:

Vocabulario:

1. Amplificar: Multiplicar numerador y denominador por el mismo número o expresión algebraica.
   
2. Polinomio irreducible: Es el polinomio que ya no se puede factorizar más, puede ser de grado 1 o de grado 2. Ejemplos: $x^2 + 3$, $x + 7$.
   

1. Las identidades notables:
   
   • $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
   
   
   • $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
   
   
   • $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $
   
   
   • $ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $
   
   
   • $ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $
   
   
   • $ a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2) $
   
   
   • $ a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2) $
   
   
2. TEOREMA DEL FACTOR (Ruffini)
   Teorema del factor: Un polinomio $p(x)$ tiene como factor el término $x - a$ si el valor numérico del polinomio $p(x)$ para $x = a$ es 0.
   
   Si dividimos el polinomio $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 4$ entre $x - 2$, haciéndolo por Ruffini vemos que el resto es 0.
   
   
   Utilizando la comprobación de la división tenemos que: $$ d(x) = c(x) \cdot d(x) + r(x) $$ al ser el resto $r(x) = 0$ tenemos que $$p(x) = c(x) \cdot d(x)$$ por lo tanto: $ 3x^3 - 5x^2 - 4 = \left(3x^2 + x + 2 \right) \cdot (x - 2) $, y por lo tanto $ x - 2$ es un factor de $p(x)$.
   
   
3. Fórmula cuadrática: Factorizar $x^2 + x - 6$ es lo mismo que resolver la ecuación $x^2 + x - 6 = 0$
   
   $$ x = \dfrac{\ -b \pm \sqrt{\ b^2 - 4ac\ }\ }{ 2a } = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 1 + 24\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 25\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ -1 \pm 5\ }{ 2 } = $$
   $$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 4 }{ 2 } = 2   \Rightarrow x_1 = 2 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -6 }{ 2 } = -3 \Rightarrow x_2 = -3 \end{array}. $$ Luego $$ x^2 + x - 6 = (x - 2) \cdot (x + 3) $$
4. Sacando factor común: $$ x^2 + 5x - 6 = x^2 + 5x + x - x - 6 = x^2 + 6x - x - 6 = x(x + 6) - (x + 6) = (x - 1)(x + 6) $$ Así las raíces de este polinomio son 1 y -6.
   
   $$ x^2 - x - 2 = x^2 - 2x + x - 2 = x(x - 2) - (x - 2) = (x - 1)(x - 2) $$ Las raíces del polinomio son 1 y 2.
   
   $$ 2x^2 - x - 15 = 2x^2 - 6x + 5x - 15 = 2x(x - 3) + 5(x - 3) = (2x + 5)(x -3) $$ Las raíces del polinomio son 3 y $\dfrac{\ -5\ }{ 2 }$.
   
   $$ x^2 - 7x + 12 = x^2 - 3x - 4x - 12 = x(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 4)(x -3) $$ Las raíces del polinomio son 3 y 4.
   
   $$ 7x^2 + 33x - 10 = 7x^2 + 35x - 2x - 10 = 7x(x + 5) - 2(x + 5) = (7x - 2)(x + 5) $$ Las raíces del polinomio son -5 y $\dfrac{\ 2\ }{ 7 }$.
   
   $$ x^2 + 2x - 15 = x^2 + 5x - 3x -15 = x(x + 5) - 3(x + 5) = (x - 3)(x + 5) $$ Las raíces del polinomio son 3 y -5.
   
   $$ 3x^2 + 7x - 26 = 3x^2 - 6x + 13x - 26 = 3x(x - 2) + 13(x - 2) = (3x + 13)(x - 2) $$ Las raíces del polinomio son 2 y $\dfrac{\ -13\ }{ 3 }$.
   
   
5. Aplicando las fórmulas de Cardano-Vietta para un polinomio de $\odn{2}{o}$ grado: Un polinomio de $\odn{2}{o}$ grado es de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$. Las dos raíces del polinomio $x_1$ y $x_2$ cumplen lo siguiente, si divido el polinomio por $a$, tengo $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}$ y como he calculado sus ráices tengo que: $$ x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x_1)(x - x_2)$$ Desarrollando $ (x - x_1)(x - x_2)$ me queda: $$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$$ Como los dos polinomios han de ser iguales, sus coeficientes han de ser iguales, igualando coeficientes, el de $x^2$ está claro, ya que es 1: $$ \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{b}{a} = -(x_1 + x_2) \cr \cr \dfrac{c}{a} = x_1 x_2 \end{array} \right . $$ Para el caso particular de $a = 1$ las condiciones son lasa siguientes: $$ \left \{ \begin{array}{l} b = -(x_1 + x_2) \cr \cr c = x_1 \cdot x_2 \end{array} \right . $$ Veamos unos ejemplos:
   
   $\bullet \ x^2 - 11x + 28$
   
   $$ \left \{ \begin{array}{l} -11 = -(x_1 + x_2) \Rightarrow 11 = x_1 + x_2 \cr \cr 28 = x_1 \cdot x_2 \end{array} \right . $$ Es decir, dos números cuya suma sea 11 y su producto sea 28, son 4 y 7, que claramente cumplen las condiciones de Cardano-Vieta.
   
   $\bullet \ $ Otro ejemplo: $ x^2 + 6x - 7$
   
   A veces sólo con la condición de que el producto de las raíces es el término independiente podemos sacar las raíces.
   
   En este polinomio se ve fácilmente que 1 es raíz, la suma de los coeficientes da 0. Como el producto de las raíces es -7 y una raíz es 1, la otra es -7. Ya hemos calculado las dos raíces sin problemas.
   
   Vamos a comprobar que cumplen las fórmulas de Cardano-Vieta: $$ \left \{ \begin{array}{l} 6 = -(1 - 7) = -(-6) \checkmark \cr \cr -7 = 1 \cdot (-7) \checkmark \end{array} \right . $$ Así las raíces de este polinomio son 1 y -7.
   
   $\bullet \ $ Otro ejemplo: $ 5x^2 - 7x - 12$
   
   En este ejemplo $a \neq 1$, las relaciones nos dicen que: $$ \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{7}{5} = -(x_1 + x_2) \cr \cr \dfrac{ -12 }{5} = x_1 x_2 \end{array} \right . $$ En este caso vemos que -1 es raíz. Como el producto de las raíces es $\dfrac{ -12 }{5}$ y una raíz es -1, la otra es $\dfrac{ 12 }{5}$. Ya hemos calculado las dos raíces sin problemas.
   
   Vamos a comprobar que cumplen las fórmulas de Cardano-Vieta: $$ \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{- 7}{5} = - \left (- 1 + \dfrac{12}{5} \right ) = - \left (- \dfrac{5}{5} + \dfrac{12}{5} \right ) = - \dfrac{7}{5} \checkmark \cr \cr \dfrac{ -12 }{5} = - 1 \cdot \dfrac{ 12 }{5} \checkmark \end{array} \right . $$ Así las raíces de este polinomio son -1 y $\dfrac{ -12 }{5}$.
   
   Te doy unos ejemplos para que practiques:
   
   $$x^2 - 2x - 8 \qquad \qquad x^2 + x - 12 \qquad \qquad 5x^2 + 4x - 9 \qquad \qquad 3x^2 - 4x - 7 $$

Vamos con algunos ejercicios de simplificación de F. A.:

Factorizamos el denominador y nos queda: $x^2 + x - 6 = (x - 2) \cdot (x + 3) $

En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ x - 2 }{\ x^2 + x - 6\ } = \dfrac{ x - 2 }{\ (x - 2) \cdot (x + 3) \ } = \dfrac{ \cancel{x - 2} }{\ \cancel{(x - 2)} \cdot (x + 3) \ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 3 \ } $$

Factorizamos el denominador, lo podemos hacer por Ruffini o con la fórmula cuadrática o también de esta forma:
$$ 2x^2 - 3x + 1 = 2x^2 - 2x - x + 1 = 2x(x - 1) - 1(x - 1) = (2x - 1)(x - 1) $$
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ x - 1 }{\ 2x^2 - 3x + 1\ } = \dfrac{x - 1}{\ (2x - 1) \cdot (x - 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ (2x - 1) \cdot \cancel{(x - 1)}\ } = \dfrac{ 1 }{\ 2x - 1 \ } $$

Factorizamos el numerador, en este caso ya lo hemos hecho antes:
$$ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) $$

Factorizamos el denominador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $$
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{\ x^2 + x - 6\ }{\ x^2 - 4\ } = \dfrac{ (x - 2)(x + 3) }{\ (x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ \cancel{(x - 2)} (x + 3) }{\ \cancel{(x - 2)} \cdot (x + 2)\ } = \dfrac{ x + 3 }{\ x + 2 \ } $$

Factorizamos el numerador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$

Factorizamos el denominador, vamos a calcular sus raíces: Está claro que 1 es raíz, ¿cómo sacamos la otra?
$$ 5x^2 + 4x - 9 = 5 \cdot (x^2 + \dfrac{4}{5}x - \dfrac{9}{5}) $$
Las raíces de $5x^2 + 4x - 9$ y $x^2 + \dfrac{4}{5}x - \dfrac{9}{5}$ son las mismas. Como 1 es raíz de ambos polinomios y el producto de las raíces es $- \dfrac{9}{5}$, entonces la otra ráiz es $- \dfrac{9}{5}$ y el factor se indica así: $(x - 1)(5x + 9)$ En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{\ x^2 - 1\ }{\ 5x^2 + 4x - 9\ } = \dfrac{ (x - 1)(x + 1) }{\ (x - 1)(5x + 9)\ } = \dfrac{ \cancel{(x - 1)} (x + 1) }{\ \cancel{(x - 1)} \cdot (5x + 9)\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ 5x + 9 \ } $$

Factorizamos el denominador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) $$
El numerador es irreducible. Luego no podemos simplificar nada, se queda igual $ \dfrac{ x + 2 }{\ x^2 - 1\ } $

El denominador es irreducible.
En el numerador vemos que -2 es raíz, luego como el polinomio es mónico (coeficiente de la mayor potencia de $x$ es 1) y el producto de las raíces es -2, entonces a la fuerza la otra raíz es 1. Luego $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$ En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ (x + 2)(x - 1) }{\ x + 2\ } = \dfrac{ \cancel{(x + 2)} (x - 1) }{\ \cancel{x + 2}\ } = x - 1 $$

Vamos con algunos ejercicios de sumas y restas:

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, es el producto de los denominadores $b(a - b)(a + b)$. Así la primera fracción la amplificamos por $b(a + b)$, la segunda por $b(a - b)$ y la tercera $(a + b)(a - b)$: $$ \dfrac{ a + b }{\ a - b\ } - \dfrac{ a - b }{\ a + b\ } - \dfrac{ a }{\ b\ } = \dfrac{ b(a + b)^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } - \dfrac{ b(a - b)^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } - \dfrac{ a(a^2 - b^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } = $$ $$ = \dfrac{ b(a + b)^2 - b(a - b)^2 - a(a^2 - b^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ b(a^2 + 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) - a^3 + ab^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{a^2b} + 2ab^2 + \xcancel{b^3} \cancel{- a^2b} + 2ab^2 - \xcancel{b^3} - a^3 + ab^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ 5ab^2 - a^3 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ a(5b^2 - a^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, es $xyzt$. Así la primera fracción la amplificamos por $xzt$, la segunda por $xyt$, la tercera $xyt$ y la cuarta $yzt$: $$ \dfrac{ x }{\ y\ } - \dfrac{ y }{\ z\ } + \dfrac{ z }{\ t\ } - \dfrac{ t }{\ x\ } = \dfrac{ x^2zt }{\ xyzt\ } - \dfrac{ xy^2t }{\ xyzt\ } + \dfrac{ xyz^2 }{\ xyzt\ } - \dfrac{ yzt^2 }{\ xyzt\ } = \dfrac{ x^2zt - xy^2t + xyz^2 - yzt^2 }{\ xyzt\ } $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $2(x + 2)$ y el de la segunda fracción es $(x + 2)(x - 2)$, luego el común denominador es $2(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x - 2$ y la segunda por 2: $$ \dfrac{ 3 }{\ 2x + 4\ } + \dfrac{ 2x }{\ x^2 - 4\ } = \dfrac{ 3 }{\ 2(x + 2)\ } + \dfrac{ 2x }{\ (x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ 3(x - 2) }{\ 2(x + 2)(x - 2)\ } + \dfrac{ 2 \cdot 2x }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{ 3x - 6 + 4x }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ 7x - 6 }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $x^3$ que no se puede factorizar más y el de la segunda fracción es $x^2 + 7)$ que también es irreducible, luego el común denominador es $x^3(x^2 + 7)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x^2 + 7$ y la segunda por $x^3$: $$ \dfrac{ x^2 - 1 }{\ x^3\ } - \dfrac{ 2x }{\ x^2 + 7\ } = \dfrac{\ (x^2 - 1)(x^2 + 7)\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } - \dfrac{ 2x \cdot x^3 }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = \dfrac{\ x^4 + 7x^2 - x^2 - 7\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } - \dfrac{ 2x^4 }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^4 + 6x^2 - 7 - 2x^4\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = \dfrac{\ -x^4 + 6x^2 - 7\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x - 2$ y la segunda por $x + 2$: $$ \dfrac{\ x - 2\ }{\ x + 2 \ } + \dfrac{ x + 2 }{\ x - 2\ } = \dfrac{\ (x - 2)^2\ }{\ (x -2)(x + 2) \ } + \dfrac{ (x + 2)^2 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 4 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ x^2 \cancel{- 4x} + 4 + x^2 \cancel{+ 4x} + 4 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ 2 x^2 + 8 }{\ (x -2)(x + 2)\ } $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $4(x - 2)(x + 2)$, el de la segunda es $4(x -2)$, luego el común denominador es $4(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por 4 y la segunda por $x + 2$: $$ \dfrac{\ 2x\ }{\ x^2 - 4 \ } + \dfrac{ x + 1 }{\ 4x - 8\ } = \dfrac{\ 8x\ }{\ 4(x -2)(x + 2) \ } + \dfrac{\ (x + 2)(x + 1)\ }{\ 4(x -2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 8 + x^2 + x + 2x + 2 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ x^2 + 3x + 10\ }{\ 4(x -2)(x + 2)\ } $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x - 1)(x + 1)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x + 1$ y la segunda por $x - 1$: $$ \dfrac{\ x + 1 \ }{\ x - 1\ } - \dfrac{ x - 1 }{\ x + 1\ } = \dfrac{\ (x + 1)^2\ }{\ (x - 1)(x + 1) \ } - \dfrac{ (x - 1)^2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1) }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ \xcancel{x^2} + 2x \cancel{+ 1} \xcancel{- x^2} + 2x \cancel{- 1} }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ 4x\ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $y$. Así la primera fracción la podemos poner $1 = \dfrac{\ y \ }{y}$: $$ 1 - \dfrac{\ x \ }{\ y\ } = \dfrac{\ y \ }{\ y\ } - \dfrac{\ x \ }{\ y\ } = \dfrac{\ y - x \ }{\ y\ } $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $x$. Así la primera fracción la podemos poner $x = \dfrac{\ x^2 \ }{x}$: $$ x - \dfrac{\ x^2 - 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ x^2 \ }{\ x\ } - \dfrac{\ x^2 - 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ x^2 - x^2 + 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ 1 \ }{\ x\ } $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x - 1)(x + 1)$. Así la primera fracción la dejamos como está y la segunda la amplificamos por $x + 1$: $$ \dfrac{\ 3x - 2 \ }{\ x^2 - 1\ } + \dfrac{ x + 2 }{\ x - 1\ } = \dfrac{\ 3x - 2 \ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } + \dfrac{ (x + 2)(x + 1) }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 3x - 2 + x^2 + x + 2x + 2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ 3x \cancel{- 2} + x^2 + x + 2x \cancel{+ 2} }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ x^2 + 6x }{\ (x - 1)(x + 1)\ } $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello factorizamos los denominadores. Así la primera fracción es $6(x + 2)$ y la segunda fracción es $2(x + 2)(x - 2)$, luego el común denominador es $6(x - 2)(x + 2)$. Tendremos que amplificar la primera fracción por $(x - 2)$ y la segunda por 3: $$ \dfrac{\ 7x\ }{\ 6x + 12 \ } - \dfrac{ x + 5 }{\ 2x^2 - 8\ } = \dfrac{\ 7x(x - 2)\ }{\ 6(x - 2)(x + 2) \ } - \dfrac{ 3(x + 5) }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 7x^2 - 14x - 3x - 15 }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ 7x^2 - 17x - 15 }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello factorizamos los denominadores. Los denominadores de estas fracciones son irreducibles, luego el común denominador es $(x^2 + 1)(x - 3)$. Tendremos que amplificar la primera fracción por $(x - 3)$ y la segunda por $x^2 + 1$: $$ \dfrac{\ x + 3\ }{\ x^2 + 1 \ } - \dfrac{ 2x }{\ x - 3\ } = \dfrac{\ (x + 3)(x - 3)\ }{\ (x^2 + 1)(x - 3) \ } - \dfrac{ 2x(x^2 + 1) }{\ (x^2 + 1)(x - 3)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 - 9 - (2x^3 + 2x)\ }{\ (x^2 + 1)(x - 3) \ } = \dfrac{ - 2x^3 + x^2 - 2x - 9 }{\ (x^2 + 1)(x - 3)\ } $$

Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello antes de nada simplificamos las fracciones y para ello factorizamos. Vamos por la primera fracción: $ \dfrac{\ x - x^2\ }{\ 1 - x^2 \ } = \dfrac{\ x(1 - x)\ }{\ (1 - x)(1 + x) \ } = \dfrac{\ x\cancel{(1 - x)}\ }{\ \cancel{(1 - x)}(1 + x) \ } = \dfrac{\ x\ }{\ 1 + x\ }$

Ahora con la segunda fracción: $ \dfrac{\ 1 + x\ }{\ x^2 + 2x + 1\ } = \dfrac{\ 1 + x\ }{\ (1 + x)^2 \ } = \dfrac{\ \cancel{1 + x}\ }{\ \cancel{(1 + x)}(1 + x) \ } = \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ }$

Y con la tercera fracción no podemos simplificar nada, no comparten ningún factor.

Ya tienen las tres fracciones el mismo denominador, vamos a realizar la suma y la resta: $$ \dfrac{\ x - x^2\ }{\ 1 - x^2 \ } + \dfrac{\ 1 + x\ }{\ x^2 + 2x + 1\ } - \dfrac{ 1 - 2x }{\ 1 + x\ } = \dfrac{\ x\ }{\ 1 + x\ } + \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ } - \dfrac{ 1 - 2x }{\ 1 + x\ } = \dfrac{\ x + 1 - 1 + 2x \ }{\ 1 + x \ } = \dfrac{ 3x }{\ 1 + x\ } $$

Vamos con algunos ejercicios de productos y divisiones de F. A.:

Podemos simplificar el factor $x + 1$, ya que multiplica al numerador y denominador: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{\cancel{x + 1}}{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{\cancel{x + 1}}{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ x + 3\ }{ x + 2 } $$

Factorizamos los denominadores de la fracciones y nos queda: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x^2 - 4\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ x^2 - 4x + 4\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ (x - 2)(x + 2)\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ (x - 2)^2\ }\ \ \ \ } = $$ Podemos simplificar el factor $x - 2$ de los denominadores, ya que divide al numerador y denominador: $$ = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ \cancel{(x - 2)}(x + 2)\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ (x - 2)^{\cancel{2}}\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ x - 2\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ (3x + 1)(x - 2) }{\ x(x + 2)\ } = \dfrac{\ 3x^2 - 6x + x - 2 }{\ x(x + 2)\ } = \dfrac{\ 3x^2 - 5x - 2 }{\ x(x + 2)\ } $$

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre ellos y luego los denominadores: $$ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x^2\ } \cdot \dfrac{ x + 1 }{\ x^5\ } = \dfrac{ (3x + 1)(x + 1) }{\ x^2 \cdot x^5\ } = \dfrac{\ 3x^2 + 3x + x + 1\ }{\ x^2 \cdot x^5\ } = \dfrac{\ 3x^2 + 4x + 1\ }{\ x^7\ } $$

En este caso, no factorizamos los denominadores ya que no podemos simplificar nada: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 - 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 + 2\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ (x + 1)(x^2 + 2)\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } = \dfrac{\ x^3 + 2x + x^2 + 2\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } = \dfrac{\ x^3 + x^2 + 2x + 2\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } $$

En este caso lo que tenemos es una identidad notable, diferencia de cuadrados. Podemos aplicar que es igual a suma por diferencia: $$ \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } \right )^2 - \left ( \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right )^2 = \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } + \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } - \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) = $$ $$ = \left ( \dfrac{ m^2 + 1 + m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ m^2 + 1 - m^2 + 1 }{\ 2\ } \right ) = \left ( \dfrac{ 2m^2 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ 2 }{\ 2\ } \right ) = m^2 \cdot 1 = m^2 $$

Vamos a simplificar las fracciones del numerador y de nominador por separado. Empezamos por el numerador viendo que el denominador es una identidad notable $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$:

$ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ \cancel{(x - 1)}(x + 1)\ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } $

Ahora el denominador, viendo que $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$:

$ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 + 2x + 1\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ (x + 1)^2\ } = \dfrac{ \cancel{x + 1} }{\ (x + 1)^{\cancel{2}}\ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } $

Ahora lo juntamos todo y tenemos: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 - 1\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 + 2x + 1\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ }\ \ \ \ } = 1 $$

$$ \dfrac{ 3x^3yz^4 }{\ 5a^2b^3c^6\ } \cdot \dfrac{ 6a^3b^4c^2 }{\ 4x^2y^3z^7\ } = \dfrac{ 3x^3yz^4 6a^3b^4c^2\ }{\ 5a^2b^3c^6 4x^2y^3z^7\ } =\dfrac{ 3 \cdot 6 a^3 b^4 c^2 x^3 y z^4 \ }{\ 4 \cdot 5a^2 b^3 c^6 x^2 y^3 z^7\ } = \dfrac{ 9 a b x \ }{\ 10 c^4 y^2 z^3\ } $$

En la primera fracción, sacamos factor común al numerador y el denominador lo factorizamos, Con la segunda fracción no hacemos nada: $$ \dfrac{ x^2 - xy }{\ x^2 - y^2\ } \cdot \dfrac{ xy }{\ x + y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } \cdot \dfrac{ xy }{\ x + y\ } = \dfrac{ x^2y(x - y) }{\ (x + y)^2(x - y)\ } = $$ $$ = \dfrac{ x^2y\cancel{(x - y)} }{\ (x + y)^2\cancel{(x - y)}\ } = \dfrac{ x^2y }{\ (x + y)^2\ } $$

En la primera fracción, factorizamos el denminador y sacamos factor común al denominador. Con la segunda fracción no hacemos nada: $$ \dfrac{ x^2 - y^2 }{\ 4a - 4b\ } \cdot \dfrac{ a - b }{\ x + y\ } = \dfrac{\ (x - y)(x + y)\ }{\ 4(a - 4)\ } \cdot \dfrac{ a - b }{\ x + y\ } = \dfrac{\ (x - y)(x + y)(a - b)\ }{\ 4(a - b)(x + y)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ (x - y) \xcancel{(x + y)} \cancel{(a - b)}\ }{\ 4 \cancel{(a - b)} \xcancel{(x + y)}\ } = \dfrac{\ x - y\ }{ 4 } $$

Aplicamos las identidades notables siguientes: $ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $ y $ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $ Sustituimos en las fracciones y nos queda:

$$ \dfrac{ x^3 - y^3 }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ x^3 + y^3 + 2xy(x + y)\ } = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y)\ } = $$ Sacamos factor común a $(x + y)$ en el denominador de la segunda fracción: $$ = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 - xy + y^2 + 2xy)\ } = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 + xy + y^2)\ } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{(x - y)} (x^2 + xy + y^2) }{\ \cancel{x - y}\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 + xy + y^2)\ } = (x^2 + xy + y^2) \cdot \dfrac{ \cancel{x + y} }{\ \cancel{(x + y)} (x^2 - xy + y^2 + 2xy)\ } = $$ $$ = (x^2 + xy + y^2) \cdot \dfrac{ 1 }{\ x^2 + xy + y^2\ } = 1 $$

Factorizamos los polinomios de los numeradores de la dos primeras fraciones y aplicamos identidades notables en el numerador y denominador de la tercera fracción.

Vamos con el numerador de la primera fracción: $ x^2 - x - 2 $ Está claro que 2 es raíz, y como el producto de las raíces es -2, -1 es la otra raíz, luego $ x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$

Ahora el numerador de la segunda fracción: $x^2 + 2x - 3$ Está claro que 1 es un raíz ya que la suma de los coeficientes es cero y como el producto de las raíces es -3 la otra raíz es -3, luego $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$

En la trecera fracción aplicamos identidades notables, en el numerador $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $ y en el denominador $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$.

Sustituyendo los polinomios por sus factores tenemos:

$$ \dfrac{ x^2 - x - 2 }{\ x + 3\ } \cdot \dfrac{ x^2 + 2x - 3 }{\ (x - 2)^3\ } \cdot \dfrac{ x^2 - 4x + 4 }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ (x + 1)(x - 2) }{\ x + 3\ } \cdot \dfrac{ (x - 1)(x + 3) }{\ (x - 2)^3\ } \cdot \dfrac{ (x - 2)^2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{ (x + 1)(x - 2)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^2 }{\ (x + 3)(x - 2)^3 (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^3 }{\ (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^3 \ } = 1 $$

Vamos con algunos ejercicios de operaciones combinadas de F. A.:

Vamos a hacer los paréntesis por separado y por orden. Vamos con el $\odn{1}{o}$: $$ 1 - \dfrac{ 1 }{\ x\ } = \dfrac{ x }{\ x\ } - \dfrac{ 1 }{\ x\ } = \dfrac{ x - 1 }{\ x\ } $$ Vamos con el $\odn{2}{o}$ paréntesis: $$ \dfrac{2 x}{\ x^2 - 1\ } - \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } = \dfrac{2 x}{\ (x - 1)(x + 1)\ } - \dfrac{ x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ 2x - x + 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x + 1} }{\ (x - 1)\cancel{(x + 1)}\ } = \dfrac{ 1 }{\ x - 1 \ } $$ Juntamos los paréntesis y nos queda: $$ \left ( 1 - \dfrac{1}{\ x\ } \right) \cdot \left ( \dfrac{2 x}{\ x^2 - 1\ } - \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } \right ) = \dfrac{ x - 1 }{\ x\ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ x - 1 \ } = \dfrac{ x - 1 }{\ x(x - 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ x\cancel{(x - 1)} \ } = \dfrac{ 1 }{\ x\ } $$

Para poder hacer la suma tenemos que tener el mismo denominador, el denominador de la segunda fracción ya está factorizada, y el denominador de la primera es una identidad notable: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Luego el mínimo común múltiplo es $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$. Amplificamos la primera fracción por $x -2$ y la segunda por $x - 1$: $$ \dfrac{\ x^2 + 1\ }{\ x^2 - 1\ } + \dfrac{\ x + 2\ }{\ x - 2\ } \dfrac{\ x - 1\ }{\ x + 1\ } = \dfrac{\ x^2 + 1\ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } + \dfrac{\ (x + 2)(x - 1)\ }{\ (x + 1)(x - 2)\ } = \dfrac{\ (x^2 + 1)(x -2)\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ (x +2)(x - 1)^2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ x^3 - 3x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2 + x^3 - 3x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = \dfrac{\ 2x^3 - 2x^2 - 2x\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } $$

Hacemos primero el paréntesis, es una resta, la primera fracción tiene por denominador una identidad notable: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. Para hacer la resta amplifico la segunda fracción por $a + b$: $$ \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ a^2 - b^2 } - \dfrac{\ a + b\ }{ a - b } = \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } - \dfrac{\ (a + b)^2\ }{ (a + b)(a - b) } = \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } - \dfrac{\ a^2 + 2ab + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } = $$ $$ = \dfrac{\ a^2 + b^2 - a^2 - 2ab - b^2\ }{ (a + b)(a - b) } = \dfrac{\ - 2ab\ }{ (a + b)(a - b) } $$ Sustituimos el paréntesis por su resultado: $$ \left ( \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ a^2 - b^2 } - \dfrac{\ a + b\ }{ a - b } \right ) \cdot \dfrac{\ a + b\ }{ ab } = \dfrac{\ - 2ab\ }{ (a + b)(a - b) } \cdot \dfrac{\ a + b\ }{ ab } = $$ Para el producto de fracciones no tienen que tener el mismo denominador, luego: $$ = \dfrac{\ - 2ab(a + b)\ }{ ab(a + b)(a - b) } = \dfrac{\ - 2\cancel{ab}\xcancel{(a + b)}\ }{ \cancel{ab}\xcancel{(a + b)}(a - b) } = \dfrac{\ - 2\ }{\ a - b\ } = \dfrac{\ 2\ }{\ b - a\ } $$

Tenemos que hacer primero la división, que no han de tener el mismo denominador y después la suma. Vamos con la división: $$ $\dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } : \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } \cdot \dfrac{\ x - y\ }{ y } = \dfrac{ xy(x - y) }{\ y(x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } $$ No simplificamos, ya que al hacer la suma el mínimo común múltiplo es $ (x - y)(x + y)$: $$\dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } : \dfrac{ y }{\ x - y\ } + \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } + \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } + \dfrac{ y(x + y) }{\ (x - y)(x + y)\ } = $$ $$ = \dfrac{ x(x - y) + y(x + y) }{\ (x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x^2 - xy + yx + y^2 }{\ (x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x^2 + y^2 }{\ (x - y)(x + y)\ } $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Sucesiones numéricas. Recurrentes. Progresiones Aritméticas y Geométricas. Fracciones generatrices.

Sucesión numérica: es un conjunto ordenado de números. Cada un de ellos es denominado término, elemento o miembro de la sucesión.
Una de las sucesiones numéricas más famosas es la de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Sucesión recurrente: es una sucesión de números cuyos términos se calculan a partir de los anteriores, puede ser del anterior, de los anteriores , etc.
Volviendo al ejemplo de la sucesión de Fibonacci es además una sucesión recurrente que se calcula a partir de los dos anteriores. Por esa razón, tenemos que saber los dos primeros elementos:
$$ a_1 = 1 \text{ y } a_2 = 1$$ y la fórmula para obtener el resto de términos de la sucesión es $$ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} $$ Como ya tenemos $a_1$ y $a_2$ vamos a calcular $a_3$, sustituimos en la fórmula de recurrencia la $n$ por 3: $$ a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2 $$ $$ \text{Ahora } n = 4 \ \ a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3 $$ $$ \text{Ahora } n = 5 \ \ a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5 $$ y así sucesivamente.

El incoveniente de este tipo de sucesiones es que para calcular el término 10, tienes que haber calculado previamente los términos $\odn{8}{o}$ y $\odn{9}{o}$.

Las sucesiones recurrentes se pueden calcular a partir de dos términos anteriores, de 3, de 4, de 1 o los que queramos.

Un ejercicio interesante es generar nuestra propia sucesión recurrente. Ahí va una: $$ a_1 = -1, a_2 = 2 \text{ y } a_n = 2 \cdot a_{n_1} - a_{n-2}$$ $$ \text{Ahora } n = 3 \ \ a_3 = 2 \cdot a_2 - a_1 = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5 $$ $$ \text{Ahora } n = 4 \ \ a_4 = 2 \cdot a_3 - a_2 = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8 $$ y así sucesivamente.

Dentro de las preogresiones recurrentes nos vamos a centrar en las Progresiones Aritméticas y Geométricas.

Progresiones Aritméticas, aquellas sucesiones donde cada término se obtiene sumando un número al término que le precede. Este número se denomina diferencia y se denota por $d$. O lo que es lo mismo, la diferencia entre dos términos consecutivos es constante, esa constante es la diferencia $d$.

Ejemplos:

La sucesión de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... La diferencia es 1


La sucesión de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... La diferencia es 2


La sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12,... La diferencia es 2


La sucesión de los múltiplos de 7 ($\dot{\ 7\ }$): 7, 14, 21, 28, 35, 42,... La diferencia es 7

A partir de la definición que hemos dado de progresión aritmética tenemos que:

$a_2 = a_1 + d$ Si lo aplicamos a la sucesión de los múltiplos de 7 tenemos: $a_2 = a_1 + d = 7 + 7 = 14 $

$a_3 = a_2 + d = a_1 + d = a_1 + 2 \cdot d$ En los múltiplos de 7: $a_3 = 14 + 7 = 7 + 2 \cdot 7 = 21$

$a_4 = a_3 + d = a_1 + 2 \cdot d = a_1 + 3 \cdot d$ En los múltiplos de 7: $ a_4 = 21 + 7 = 7 + 2 \cdot 7 = 7 + 3 \cdot 7 = 28$

$a_5 = a_4 + d = a_1 + 3 \cdot d = a_1 + 4 \cdot d$

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots $

$a_{10} = a_9 + d = a_1 + 8 \cdot d + d = a_1 + 9 \cdot d$

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots $

y en general vemos que:

$a_{n} = a_1 + (n - 1) \cdot d $

Término general de la progresión aritmética
$$\Large \fbox{ $a_{n} = a_1 + (n - 1) \cdot d$ } $$

Sabiendo $a_1$ y $d$ podemos calcular $a_n$, es decir, el término general de la progresión aritmética y por tanto cualquier término de la misma, por ejemplo, el $a_5$, el $a_{10}$, el $a_{100}$, etc. Veamos un par de ejemplos:

$\bullet$ Halla la diferencia y el término general de la progresión aritmética: -8, -4, 0, 4, ...

Aquí tenemos que $a_1 = -8$ y la diferencia entre dos términos consecutivos es: $d = -4 - (-8) = -4 + 8 = 4 $ Vemos que esa diferencia es la misma entre todos los términos consecutivos de la misma. Una vez tenemos $a_1$ y $d$ vamos a calcular a $a_n$:

$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = -8 + 4 \cdot (n -1) = -8 + 4n - 4 = 4 \cdot n - 12$

Comprobamos que el término general de la suceción nos da la misma: $$ n = 1 \Rightarrow a_1 = 4 \cdot 1 - 12 = \ 4 - 12 = - 8 $$ $$ n = 2 \Rightarrow a_2 = 4 \cdot 2 - 12 = \ 8 - 12 = - 4 $$ $$ n = 3 \Rightarrow a_3 = 4 \cdot 3 - 12 = 12 - 12 = \ 0 $$ $$ n = 4 \Rightarrow a_4 = 4 \cdot 4 - 12 = 16 - 12 = \ 4 $$ $$ \qquad \qquad \vdots $$ $\bullet$ En una progresión aritmética conocemos el tercer término que vale 20 y el término trigésimo que vale 101. Halla la diferencia y el término 60.

Por un lado $a_3 = a_1 + 2 \cdot d$ y por otro $a_3 = 20 \Rightarrow a_1 + 2 \cdot d = 20 $

Lo mismo con $a_{30}$, es decir, $a_{30} = a_1 + 29 \cdot d $ y $a_{30} = 101 \Rightarrow a_1 + 19 \cdot d = 101 $

Juntamos estas dos ecuaciones formando un sistema de ecuaciones lineales:

$$ \large \color{blue} \cases{ a_1 + \ 2 d = \ 20 \cr \cr a_1 + 29 d = 101 } $$

A la $\odn{1}{a}$ ecuación le restamos la $\odn{2}{a}$ y nos queda:

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ a_1 + \ 2 d = \ 20 \cr \cr a_1 + 29 d = 101 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - 27d = -91 \Rightarrow d = \dfrac{\ -91\ }{ -27 } = 3\end{array} $$ Ahora sustituimos el valor de $d$ en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo, en la $\odn{1}{a}$:

$$ a_1 + 2 \cdot 3 = 20 \Rightarrow a_1 + 6 = 20 \Rightarrow a_1 = 20 - 6 = 14 $$ Ahora puedo calcular el término general $a_n$ y puedo calcular el término que quiera de dicha sucesión.

$$ a_n = a_1 + (n -1) \cdot d = 14 + (n -1) \cdot 3 = 14 + 3n - 3 = 3n + 11 \Rightarrow a_n = 3n + 11 $$ Ahora puedo calcular cualquier término de la progresión, así $a_{60} = 3 \cdot 60 + 11 = 180 + 11 = 191 $

$$\large \fbox{ Suma de los «$n$» primeros términos de una Progresión Aritmética } $$

Para calcular la suma de los «$n$» primeros términos de una Progresión Aritmética, seguiremos la idea de Carl Friedrich Gau$\beta$: $$ \begin{array}{rccccccc} S_n = & a_1 & + a_2 & + a_3 & + \ldots & + a_{n - 2} & + a_{n - 1} & + a_{n} \cr \cr + \ \ \ \ \ \ \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ \cr S_n = & a_{n} & + a_{n - 1} & + a_{n - 2} & + \ldots & + a_3 & + a_2 & + a_1 \cr \hline \cr 2 \cdot S_n = & (a_1 + a_n) & + (a_2 + a_{n - 1}) & + (a_3 + a_{n - 2}) & + \ldots & + (a_{n - 2} + a_3) & + (a_{n - 1} + a_2) & + (a_n + a_1 ) \end{array} $$

Sabemos que $a_2 = a_1 + d$ y también que $a_{n - 1} = a_n - d \Rightarrow a_2 + a_{n - 1} = a_1 + d + a_n - d = a_1 \cancel{+ d} + a_n \cancel{- d} = a_1 + a_n$

Sabemos que $a_3 = a_1 + 2d$ y también que $a_{n - 2} = a_n - 2d \Rightarrow a_3 + a_{n - 2} = a_1 + 2d + a_n - 2d = a_1 \cancel{+ 2d} + a_n \cancel{- 2d} = a_1 + a_n$

y así sucesivamente.

Sustituimos en la expresión: $$ 2 \cdot S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n - 1}) + (a_3 + a_{n - 2}) + \ldots + (a_{n - 2} + a_3) + (a_{n - 1} + a_2) + (a_n + a_1 ) $$ Tenemos «$n$» sumandos iguales: $$ 2 \cdot S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \ldots + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) $$ Agrupamos y despejamos $S_n$ $$ 2 \cdot S_n = (a_1 + a_n) \cdot n \Rightarrow S_n = \dfrac{\ (a_1 + a_n) \cdot n\ }{ 2 } $$ Obteniendo la fórmula que nos da:

La suma de los «$n$» primeros términos de la progresión aritmética
$$\Large \fbox{ $ S_n = \dfrac{\ (a_1 + a_n) \cdot n\ }{ 2 }$ } $$

Veamos unos ejemplos:

$\bullet$ Dado el término general de la progresión aritmética $a_n = 4n + 5$. Halla la suma de los cincuenta primeros términos.

$$S_{50} = \dfrac{\ (a_1 + a_{50}) \cdot 50\ }{ 2 } $$ Necesitamos saber $a_1$ y $a_{50}$, Vamos a calcularlos:

$a_1 = 4 \cdot 1 + 5 = 4 + 5 = 9$ y $a_{50} = 4 \cdot 50 + 5 = 200 + 5 = 205$.

Sustituimos en la fórmula $S_{50}$ y nos queda:

$S_{50} = \dfrac{\ (a_1 + a_{50}) \cdot 50\ }{ 2 } = \dfrac{\ (9 + 205) \cdot 50\ }{ 2 } = \dfrac{\ 214 \cdot 50\ }{ 2 } = 107 \cdot 50 = 5350 $$

Se trata de una progresión aritmética de diferencia 3:

$$ a_n = a_1 + (n − 1) \cdot d = 7 + (n - 1) \cdot 3 = 7 + 3n - 3 = 3n + 4 $$ Para saber cuántos términos hemos de sumar aplicaremos la fórmula $S_n = \dfrac{\ (a_1 + a_n) \cdot n\ }{ 2 }$ para calcular «$n$».

Por un lado sabemos que $S_n = 282$, $a_1 = 7$ y $a_n = 3n + 4$ juantando todo esto tenemos: $$ 282 = \dfrac{\ (7 + 3n + 4) \cdot n\ }{ 2 } \Leftrightarrow 564 = (11 + 3n) \cdot n \Leftrightarrow 564 = 11n + 3n^2 \Leftrightarrow 3n^2 + 11n - 564 = 0$$ Hemos obtenido una ecuación de $\odn{2}{o}$ que tenemos que resolver: $$ n = \dfrac{\ -11 \pm \sqrt{\ (11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-564)\ }\ }{ 2 \cdot 6 } = \dfrac{\ -11 \pm \sqrt{\ 121 + 6768\ }\ }{ 6 } = \dfrac{\ -11 \pm \sqrt{\ 6889\ } }{ 2 } = $$ $$\dfrac{\ -11 \pm 83\ }{ 2 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow = \dfrac{\ -11 + 83\ }{ 6 } = \dfrac{ 72 }{ 6 } = 12 \Rightarrow n = 12 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{\ -11 - 83\ }{ 6 } = \dfrac{\ -94\ }{ 6 } \Rightarrow n = \dfrac{\ -47\ }{ 3 } \end{array} $$ La solución $ n = \dfrac{\ -47\ }{ 3 } $ es negativa y el número de términos que sumo no puede ser negativo. Luego la solución es $n = 12$ los términos que tengo que sumar.

Se trata de una progresión aritmética de diferencia 6:

$$a_n = a_1 + (n − 1) \cdot d = 3 + (n - 1) \cdot 6 = 3 + n - 6 = 6n - 3 $$ Para saber cuántos términos hemos de sumar aplicaremos la fórmula $S_n = \dfrac{\ (a_1 + a_n) \cdot n\ }{ 2 }$ para calcular «$n$».

Por un lado sabemos que $S_n = 192$, $a_1 = 3$ y $a_n = 6n - 3$ juantando todo esto tenemos: $$ 192 = \dfrac{\ (3 + 6n - 3) \cdot n\ }{ 2 } \Leftrightarrow 192 = \dfrac{\ 6n \cdot n\ }{ 2 } \Leftrightarrow 192 = \dfrac{\ 6n^2\ }{ 2 } \Leftrightarrow 192 = 3n^2 \Leftrightarrow \dfrac{\ 192\ }{3} = n^2 \Leftrightarrow 164 = n^2 \Leftrightarrow n = \pm \sqrt{\ 8\ } $$ La solución $ n = -8 $ es negativa y el número de términos que sumo no puede ser negativo. Luego la solución es $n = 8$ los términos que tengo que sumar.

Sabemos que:

$a_{11} = a_1 + 10d $, pero también sabemos que:

$a_{11} = a_{10} + d = a_{9} + 2d = a_{8} + 3d = a_{7} + 4d$ y así sucesivamente hasta $a_{11} = a_1 + 10d $. Si nos quedamos en: $$ a_{11} = a_3 + 8d$$ Ya tenemos los dos elementos relacionados que nos dan y podemos encontrar la diferencia $d$: $$ 97 = 33 + 8 \cdot d \Leftrightarrow 64 = 8d \Leftrightarrow 64 = 8d \Leftrightarrow d = \dfrac{\ 64\ }{ 8 } = 8 $$ Ahora calculamos $a_1$: $$a_3 = a_1 + 2d \Leftrightarrow 33 = a_1 + 2 \cdot 8 \Leftrightarrow 33 = a_1 + 16 \Leftrightarrow a_1 = 33- 16 = 17 $$

Sabemos que $a_2 = a_1 + d$ y que $a_7 = a_1 + 6d$ con esto planteamos un sistema de ecuaciones:

$$ \cases{ a_1 + \ d = 1 \cr \cr a_1 + 4d = 7 } $$

A la $\odn{1}{a}$ ecuación le restamos la $\odn{2}{a}$ y nos queda:

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ a_1 + \ d = 1 \cr \cr a_1 + 4d = 7 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - 3d = -6 \Rightarrow d = \dfrac{\ -6\ }{ -3 } = 2\end{array} $$ Susituimos en al $\odn{1}{a}$ ecuación y tenemos que: $$ 1 = a_1 + 2 \Rightarrow a_1 = -1$$ Ya podemos calcular el término general: $$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = -1 + 2 \cdot (n - 1) = -1 + 2n - 2 = 2n - 3 $$ Ya tenemos todo para calcular la suma de los 15 primeros términos: $$ S_{15} = \dfrac{\ (a_1 + a_{15}) \cdot 15\ }{2} $$ Tenemos que calcular $a_{15} = 2 \cdot 15 - 3= 30 - 3 = 27$ y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: $$ S_{15} = \dfrac{\ (-1 + 27) \cdot 15\ }{2} = \dfrac{\ 26 \cdot 15\ }{2} = 13 \cdot 15 = 195 $$

Sabemos que:

$a_{6} = a_1 + 10 \cdot d $, $d = 1,5$ entonces podemos calcular $a_1$

$$ 10,5 = a_{1} + 5 \cdot 1,5 \Rightarrow 10,5 = a_{1} + 7,5 \Rightarrow a_1 = 10,5 - 7,5 = 3 $$ Ya podemos calcular el término general: $$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = 3 + 1,5 \cdot (n - 1) = 3 + 1,5n - 1,5 = 1,5n + 1,5 $$ Ya tenemos todo para calcular la suma de los 9 primeros términos: $$ S_{9} = \dfrac{\ (a_1 + a_{9}) \cdot 9\ }{2} $$ Tenemos que calcular $a_{9} = 1,5 \cdot 9 + 1,5 = 13,5 + 1,5 = 15$ y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: $$ S_{9} = \dfrac{\ (3 + 15) \cdot 9\ }{2} = \dfrac{\ 18 \cdot 9\ }{2} = 9 \cdot 9 = 81 $$

Sabemos que:

$a_{5} = a_1 + 4d $, y $d = -3$ entonces podemos calcular $a_1$

$$ -7 = a_{1} + 4 \cdot (-3) \Leftrightarrow -7 = a_{1} - 12 \Leftrightarrow a_{1} = -7 + 12 = 5 $$ Ya podemos calcular el término general: $$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = 5 + (-3) \cdot (n - 1) = 5 - 3n + 3 = 8 - 3n $$ Ya tenemos todo para calcular la suma de los 12 primeros términos: $$ S_{12} = \dfrac{\ (a_1 + a_{12}) \cdot 12\ }{2} $$ Tenemos que calcular $a_{12} = 8 - 3 \cdot 12 = 8 - 36 = - 28$ y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: $$ S_{12} = \dfrac{\ (5 - 28) \cdot 12\ }{2} = \dfrac{\ -23 \cdot 12\ }{2} = -23 \cdot 6 = -138 $$

Sabemos que $a_3 = a_1 + 2d$ y que $a_7 = a_1 + 6d$ con esto planteamos un sistema de ecuaciones:

$$ \cases{ a_1 + 2d = 1 \cr \cr a_1 + 6d = -7 } $$

A la $\odn{1}{a}$ ecuación le restamos la $\odn{2}{a}$ y nos queda:

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ a_1 + 2d = 1 \cr \cr a_1 + 6d = -7 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - 4d = 8 \Rightarrow d = \dfrac{\ 8\ }{ -4 } = -2\end{array} $$ Sustituimos $d$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y calculamos $a_1$: $$ a_1 + 2d = 1 \Leftrightarrow a_1 + 2 \cdot (-2) = 1 \Leftrightarrow a_1 - 4 = 1 \Leftrightarrow a_1 = 1 + 4 = 5 $$ Ya podemos calcular el término general: $$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = 5 + (-2) \cdot (n - 1) = 5 - 2n + 2 = 7 - 2n $$ Ya tenemos todo para calcular la suma de los 15 primeros términos: $$ S_{15} = \dfrac{\ (a_1 + a_{15}) \cdot 15\ }{2} $$ Tenemos que calcular $a_{15} = 7 - 2 \cdot 15 = 7 - 30 = -23$ y ya tenemos todos los datos para calcular la suma: $$ S_{15} = \dfrac{\ (5 - 23) \cdot 15\ }{2} = \dfrac{\ -18 \cdot 15\ }{2} = -9 \cdot 15 = - 135 $$

Sabemos que $ a_7 = a_4 + 3d $, de donde podemos despejar $d$: $$ a_7 = a_4 + 3d \Leftrightarrow 16 = 7 + 3d \Leftrightarrow 16 - 7 = 3d \Leftrightarrow 3d = 9 \Leftrightarrow d = 3 $$ Ahora podemos calcular $a_{16}$ y $a_1$ sin necesidad de calcular el término general: $a_{16} = a_7 + 9d$ o $a_{16} = a_4 + 12_d$

$$a_{16} = a_{7} + 9d = 16 + 9 \cdot 3 = 16 + 27 = 43 $$ $$a_{4} = a_{1} + 3d \Leftrightarrow 7 = a_1 + 3 \cdot 3 \Leftrightarrow 7 = a_1 + 9 \Leftrightarrow a_1 = 7 - 9 = -2 $$ Ya tenemos todo para calcular la suma de los 16 primeros términos: $$ S_{16} = \dfrac{\ (a_1 + a_{16}) \cdot 16\ }{2} $$ $$ S_{16} = \dfrac{\ (-2 + 43) \cdot 16\ }{2} = \dfrac{\ 41 \cdot 16\ }{2} = 41 \cdot 8 = 328 $$

Tenemos que es una progresión aritmética y $e_1 = 1$, la diferencia es 2. Para saber los ejercicios que habrá hecho el día 15 de septiembre calculamos el término general $e_n$: $$ e_n = e_1 + (n - 1) \cdot d = 1 + 2(n - 1) = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$$ Por tanto el día 15 ha hecho: $$ e_{15} = 1 + (15 - 1) \cdot 2 = 1 + 14 \cdot 2 = 1 + 28 = 29 \text{ ejercicios.} $$ Para saber cuántos ha hecho en total, calculamos la suma de los primeros 15 términos que son los 15 primeros días de septiembre: $$ S_{15} = \dfrac{\ (a_1 + a_{15}) \cdot n \ }{ 2 } $$ $$ S_{15} = \dfrac{\ (1 + 29) \cdot 15 \ }{ 2 } = \dfrac{\ 30 \cdot 15 \ }{ 2 } = 15 \cdot 15 = 225 \text{ ejercicios ha hecho hasta el 15 de septiembre} $$

Es una progresión aritmética, donde el primer término $p_1 = 7,4$ y la diferencia es $d = 3,8$
El noveno piso está a la siguiente altura: $$ p_9 = p_1 + 8 \cdot d = 7,4 + 8 \cdot 3,4 = 7,4 + 27,2 = 34,6 \text{m. de altura}$$ Para el piso «$n$», es calcular el término general de la progresión aritmética: $$ p_n = p_1 + (n -1) \cdot d = 7,4 + (n - 1) \cdot 3,4 = 7,4 + 3,4n - 3,4 = 4 + 3,4n $$

Tenemos que el primer término de la sucesión es $c_1 = 1999 $ y la diferencia es $ d = 3$ años.

La décima revisión será $c_{10} = 1999 + 9 \cdot 3 = 1999 + 27 = 2026$.

En el año 2035, $2035 = 1999 + n \cdot 3 \Rightarrow 2035 - 1999 = 3n \Rightarrow 36 = 3n \Rightarrow n = 12$, la duodécima o decimosegunda revisión será.

El ángulo más pequeño vale $a$, si están en progresión aritmética, entonces sabemos que los ángulos son $a$, $a + d$ y $a + 2d$. Y tambíen sabemos que la suma de los 3 ángulos es $\gss{180}$ y el mayor es $a + 2d = \gss{105}$ con lo que tenemos un sistema de ecuaciones: $$ \cases{ a + 2d = \gss{105} \cr \cr 3a + 3d = \gss{180} } \Leftrightarrow \cases{ a + 2d = \gss{105} \cr \cr a + d = \gss{60} } $$ A la $\odn{1}{a}$ ecuación le restamos la $\odn{2}{a}$ y nos queda:

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ a + 2d = \gss{105} \cr \cr a + d = \gss{60} \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d = \gss{45} \end{array} $$ Sustituimos en la $\odn{2}{a}$ ecuación tenemos: $$ a + d = \gss{60} \Rightarrow a = \gss{60} - d = \gss{60} - \gss{45} = \gss{15} $$ Los ángulos son $\gss{15}, \gss{60} y \gss{105}$ respectivamente.

Tenemos que $b_1 = 5$ y la diferencia $d = 2$. Podemos calcular el término general fácilmente: $$ a_n = a_1 + (n -1) \cdot d = 5 + 2(n - 1) = 5 + 2n - 2 = 2n + 3 $$ Si estamos 7 hora entonces: $$ a_7 = 2 \cdot 7 + 3 = 17 \text{€ será el precio final} $$

Progresiones Geométricas (P. G.)

Progresiones Geométricas: Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión en la que cada término $a_n$ se obtiene multiplicando al término anterior $a_{n - 1}$ por un número $r$ llamado razón. La razón de una sucesión geométrica se denota por $r$ y debe ser constante en toda la sucesión.

En una progresión geométrica tenemos que:

El primer término es $a_1$.

El segundo término es $a_2 = a_1 \cdot r$.

El tercer término es $a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r^2 $.

El cuarto término es $a_4 = a_3 \cdot r = a_2 \cdot r^2 = a_1 \cdot r^3 $.

El quinto término es $a_5 = a_4 \cdot r = a_3 \cdot r^2 = a_2 \cdot r^3 = a_1 \cdot r^4 $.

...

Así el n-ésimo término es $a_n = a_{n - 1} \cdot r = a_{n - 2} \cdot r^2 = a_{n - 3} \cdot r^3 = \ldots = a_1 \cdot r^{n - 1} $.

Término general de la progresión geomética
$$\Large \fbox{ $a_{n} = a_1 \cdot r^{n - 1}$ } $$

$$\large \fbox{ Suma de los «$n$» primeros términos de una Progresión Geométrica (P. G.) } $$

Para calcular la suma de los «$n$» primeros términos de una Progresión Geométrica, veamos lo siguiente: La suma viene dada por esta expresión: $ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n}$, si multiplico por la razón $r$ (tenemos que tener en cuenta que $r \neq 1$) ambos lados tenemos: $$ r \cdot S_n = \ \ \ \ \ \ r \cdot a_{1} + r \cdot a_{2} + r \cdot a_{3} + \ldots + r \cdot a_{n-2} + r \cdot a_{n - 1} + r \cdot a_{n} $$ y si nos damos cuenta de que: $ r \cdot a_{1} = a_2$; $r \cdot a_{2} = a_3$ y así sucesivamente $r \cdot a_{n - 1} = a_n$ y $ r \cdot a_{n} = a_{n + 1} $

Juntando ambas expresiones y restándolas tenemos:

$$ \begin{array}{rcccc} S_n & = & a_1 + & a_2 + a_3 + \ldots + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n} & \ \cr \cr -\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \ & \ & \ & \ \cr r \cdot S_n & = & \ & a_{2} + a_3 + \ldots + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n} & + a_{n + 1} \cr \hline \cr S_{n} - r \cdot S_n & = & a_1 & \ & - a_{n + 1} \end{array} $$

Sacamos factor común a $S_n$ y despejamos: $$ (1 - r) \cdot S_n = a_1 - a_{n + 1} \Rightarrow S_n = \dfrac{\ a_1 - a_{n + 1}\ }{ 1 - r } $$ Si sustituimos $a_{n + 1}$ por sus posibles expresiones $a_{n + 1} = r \cdot a_n = a_1 \cdot r^n$ podemos obtener las siguientes expresiones para calcular la suma de «$n$» primeros términos de la progresión geométrica:

La suma de los «$n$» primeros términos de la progresión geométrica con $r \neq 1$
$$\Large \fbox{ $ S_n = \dfrac{\ a_1 - a_{n + 1}\ }{ 1 - r } = \dfrac{\ a_1 \cdot (1 - r^n) \ }{ 1 - r } = \dfrac{\ a_1 \cdot (r^n - 1) \ }{ r - 1 } = \dfrac{\ a_1 - a_n \cdot r\ }{ 1 - r } = \dfrac{\ a_n \cdot r - a_1 \ }{ r - 1 } $ } $$

Si $r = 1$, la suma de los $n$ primeros términos es: $\Large{ \fbox{ $S_n = n \cdot a_1$ } }$

Fracciones generatrices usando Progresiones Geométricas (P. G.)

Si $| r | < 1 $ podemos sumar todos los términos de la sucesión, los infinitos término: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} \text{ ya que } r^n \longrightarrow 0 \text{ cuando } n \longrightarrow \infty $$

La suma de los infinitos términos de la progresión geométrica (P. G.)
$$\Large \fbox{ $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{ 1 - r }$ } $$

Ejercicio: Cogemos la calculadora, elegimos un número $r$ de forma que $|r| < 1$, por ejemplo, $r = 0,9$ o $r = \dfrac{\ -1\ }{ 3}$ o $r = 0.01$ y lo empezamos a multiplicar por si mismo sin parar. ¿A qué valor vamos a llegar? Efectivamente a cero. Por este motivo la fórmula de la suma infinita se simplifica tanto.

Una aplicación de la suma infinita de los términos de una progresión geométrica es el cálculo de fracciones generatrices. Veamos un número periódico sencillo: $$ 0,7777777 \ldots $$ Podemos escribir este número como una P. G.: $$0,7;\ \ 0,07;\ \ 0,007;\ \ 0,0007; \ldots $$ Es decir, una progresión geométrica con $a_1 = 0,7 = \dfrac{ 7 }{\ 10\ }$ y razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$. Aplicamos la fórmula de la suma infinita y tenemos que: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 7 }{\ 10\ } \ \ }{ 1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 7 }{\ 10\ } \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = \dfrac{ 7 }{\ 9\ } $$
Si el número es periódico puro y el periodo tiene longitud 2, por ejemplo, 1,272727 ... se pone como una sucesión de números así: $$ 1;\ \ 0,27;\ \ 0,0027;\ \ 0,000027;\ \ 0,00000027; \ldots $$ Se deja el 1 aparte, se suma el resto de términos y depués le sumamos el 1 y ya estaría. Tenemos una progresión geométrica, con $a_1 = 0,27 = \dfrac{ 27 }{\ 100\ }$ y la razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$, aplicando la fórmula tenemos: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{ 1 - r } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 27 }{\ 100\ } \ \ }{ 1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 27 }{\ 100\ } \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{ 27 }{\ 99\ } $$
Sumamos el 1, y nos queda: $ 1 + \dfrac{ 27 }{\ 99\ } = \dfrac{ 126 }{\ 99\ } $

¿y qué pasa si es un número periódico mixto? Vamos con un ejemplo: 3,41111111111...

La sucesión asociada es $3;\ \ 0,4;\ \ 0,01;\ \ 0,001;\ \ 0,0001;\ \ ... \ldots $

En este caso separamos los dos primeros términos y el resto forman una progresión geométrica con $a_1 = 0,01 = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$ y razón $r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$. Aplicando la fórmula de nuevo tenemos: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{ 1 - r } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 1 }{\ 100\ } \ \ }{ 1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 1 }{\ 100\ } \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ 1\ }{ 90 } $$ A este resultado le tenemos que sumar $3,4 = \dfrac{ 34 }{\ 10\ }$. Así nos queda:
$$ \dfrac{ 34 }{\ 10\ } + \dfrac{\ 1\ }{ 90 } = \dfrac{ 306 }{\ 90\ } + \dfrac{\ 1\ }{ 90 } = \dfrac{ 307 }{\ 90\ } $$
Acabamos de comprobar que podemos calcular la fracción generatriz de cualquier número periódico, tanto puro como mixto.

Aquí tienes un applet de GeoGebra donde poder comprobar tus ejercicios de cálculo de fracción generatriz.

Es un número periódico puro, en este caso no separamos nada del número, ya que se puede poner como elementos de un progresión geométrica de razón $r = 10^{-1} = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$: $$ 8,\widehat{8} = 8,888... = 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + ... $

Primer término, $a_1 = 8 $, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ 8 \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ 8 \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ 8 \cdot 10 }{\ 9\ } = \dfrac{\ \ 80\ \ }{\ 9\ } $$

Es un número periódico puro, en este caso no separamos nada del número, ya que se puede poner como elementos de un progresión geométrica de razón $r = 10^{-2} = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$: $$ 21,\widehat{21} = 21,212121... = 21 + 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 21 + 0,21 + 0,0021 + ... $

Primer término, $a_1 = 21 $, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ 21 \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 21 \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 21 \cdot 100 }{\ 99\ } = \dfrac{\ \ 2100\ \ }{\ 99\ } = \dfrac{\ \ 700\ \ }{\ 33\ } $$

Es un número periódico mixto, separamos la parte entera y el anteperiodo. Así la parte periódica la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-2} = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$: $$ 3,8\widehat{95} = 3,8959595 ... = 3 + 0,8 + 0,095 + 0,00095 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,095 + 0,00095 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,095 = \dfrac{ 95 }{\ 1000\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 95 }{\ 1000\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 95 }{\ 1000\ } \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 95 \cdot 100 }{\ 99 \cdot 1000\ } = \dfrac{\ \ 95\ \ }{\ 990\ } = \dfrac{\ \ 19\ \ }{\ 198\ } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 19\ \ }{\ 198\ }$, la parte entera 3 y el anteperiodo 0,8 y el resultado es: $$ 3,8\widehat{95} = \dfrac{\ \ 95\ \ }{\ 990\ } + \dfrac{\ \ 2970\ \ }{\ 990\ } + \dfrac{ 792 }{\ 990\ } = \dfrac{ 95 + 2970 + 792 }{\ 990\ } = \dfrac{ 3857 }{\ 990\ } $$

Es un número periódico puro, en este caso tenemos que separar la parte entera y la parte periódica. Así la parte periódica la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-2} = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 1: $$ 5,\widehat{21} = 5,212121 ... = 5 + 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,21 = \dfrac{ 21 }{\ 100\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 21 }{\ 100\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 21 }{\ 100\ } \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 21\ \ }{\ 99\ } = \dfrac{\ \ 7\ \ }{\ 33\ } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 7\ \ }{\ 33\ }$, la parte entera 5 y el resultado es: $$ 3,8\widehat{95} = 5 + \dfrac{\ \ 7\ \ }{\ 33\ } = \dfrac{ 165 + 7 }{\ 33\ } = \dfrac{ 172 }{\ 33\ } $$

Es un número periódico puro, en este caso tenemos que separar la parte entera y la parte periódica. Así la parte periódica la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-1} = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 1: $$ 2,\widehat{\,9\,} = 2,999999 .... = 2 + 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,9 = \dfrac{ 9 }{\ 10\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = 1 $$ Ahora sumo a 1, la parte entera 2 y el resultado es: 1 + 2 = 3

Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-1} = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 1: $$ 1,\widehat{\,3222\,} = 1,32222 .... = 1 + 0,3 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,02 + 0,002 + 0,0002 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,02 = \dfrac{ 2 }{\ 100\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 2 }{\ 100\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 2 }{\ 100\ } \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ 2 \cdot 10 \ \ }{ 9 \cdot 100 } = \dfrac{\ \ 2 \ \ }{ 90 } = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 45 } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 45 }$ , la parte entera 1 y el anteperiodo $0,3 = \dfrac{\ 3\ }{ 10 }$ y el resultado es:

$$ 1,\widehat{\,3222\,} = 1,32222 .... = 1 + \dfrac{\ 3\ }{ 10 } + \dfrac{\ \ 2 \ \ }{ 90 } = \dfrac{\ \ 90 + 27 + 2 \ \ }{ 90 } = \dfrac{\ \ 119 \ \ }{ 90 } $$

Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-2} = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 2: $$ 3,5\,\widehat{63} = 3,5636363 ... = 3 + 0,5 + 0,063 + 0,00063 + 0,0000063 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,063 + 0,00063 + 0,0000063 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,063 = \dfrac{ 63 }{\ 1000\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 63 }{\ 1000\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 63 }{\ 1000\ } \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 63 \cdot 100 \ \ }{ 99 \cdot 1000 } = \dfrac{\ \ 63 \ \ }{ 990 } = \dfrac{\ \ 7 \ \ }{ 110 } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 7 \ \ }{ 110 }$ , la parte entera 3 y el anteperiodo $0,5 = \dfrac{\ 5\ }{ 10 }$ y el resultado es:

$$ 3,5\,\widehat{63} = 3,5636363 ... = 3 + \dfrac{\ 5\ }{ 10 } + \dfrac{\ \ 7 \ \ }{ 110 } = \dfrac{\ \ 330 + 55 + 7 \ \ }{ 110 } = \dfrac{\ \ 392 \ \ }{ 110 } = \dfrac{\ \ 196 \ \ }{ 55 } $$

Es un número periódico puro, en este caso tenemos que separar la parte entera y la parte periódica pura. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-3} = \dfrac{ 1 }{\ 1000\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 3: $$ 4,\widehat{123} = 4,123123123 ... = 4 + 0,123 + 0,000123 + 0,000000123 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,123 + 0,000123 + 0,000000123 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,123 = \dfrac{ 123 }{\ 1000\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 1000\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 123 }{\ 1000\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 1000\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 123 }{\ 1000\ } \ \ }{ \dfrac{ 999 }{\ 1000\ } } = \dfrac{\ \ 123 \ \ }{ 999 } = \dfrac{\ \ 41 \ \ }{ 333 } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 41 \ \ }{ 333 }$ , la parte entera 4 y el resultado es:

$$ 4,\widehat{123} = 4,123123123 ... = 4 + \dfrac{\ 41\ }{ 333 } = \dfrac{\ \ 1332 + 41 \ \ }{ 333 } = \dfrac{\ \ 1373 \ \ }{ 333 } $$

Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica pura. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-1} = \dfrac{ 1 }{\ 10\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 1: $$ 9,3\,\widehat{\,5\,} = 9,3555555 ... = 9 + 0,3 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,05 + 0,005 + 0,0005 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,05 = \dfrac{ 5 }{\ 100\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 10\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 5 }{\ 100\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 5 }{\ 100\ } \ \ }{ \dfrac{ 9 }{\ 10\ } } = \dfrac{\ \ 5 \cdot 10 \ \ }{ 9 \cdot 100 } = \dfrac{\ \ 5 \ \ }{ 90 } = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 18 } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 18 }$ , la parte entera 9, el anteperiodo $0,3 = \dfrac{3}{\ 10\ }$ y el resultado es:

$$ 9,3\,\widehat{\,5\,} = 9,3555555 ... = 9 + \dfrac{\ 3\ }{ 10 } + \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 18 } = \dfrac{\ \ 1620 + 54 + 10 \ \ }{ 180 } = \dfrac{\ \ 1684 \ \ }{ 180 } = \dfrac{\ \ 421 \ \ }{ 45 } $$

Es un número periódico mixto, en este caso tenemos que separar la parte entera, el anteperiodo y la parte periódica pura. Así la parte periódica pura la podemos poner como una progresión geométrica de razón $r = 10^{-2} = \dfrac{ 1 }{\ 100\ }$ ya que el periodo tiene amplitud 2: $$ 7,23\,\widehat{\,15\,}$ = 7,231515 ... = 7 + 0,23 + 0,0015 + 0,000015 + 0,00000015 + ... $$ Vamos a calcular la suma infinita de esta progresión geométrica: $ 0,0015 + 0,000015 + 0,00000015 + ... $

Primer término, $a_1 = 0,0015 = \dfrac{ 15 }{\ 10000\ }$, razón $ r = \dfrac{ 1 }{\ 100\ } $. Aplicamos la fórmula $ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r}$ y nos queda: $$ S_{\infty} = \dfrac{\ \ a_1 \ \ }{1 - r} = \dfrac{\ \ \dfrac{ 15 }{\ 10000\ } \ \ }{1 - \dfrac{ 1 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ \dfrac{ 15 }{\ 10000\ } \ \ }{ \dfrac{ 99 }{\ 100\ } } = \dfrac{\ \ 15 \cdot 100 \ \ }{ 99 \cdot 10000 } = \dfrac{\ \ 15 \ \ }{ 9900 } = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 660 } $$ Ahora sumo a $\dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 660 }$ , la parte entera 7, el anteperiodo $0,23 = \dfrac{23}{\ 100\ }$ y el resultado es:

$$ 7,23\,\widehat{\,15\,}$ = 7,231515 ... = 7 + \dfrac{\ 23\ }{ 100 } + \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 660 } = \dfrac{\ \ 46200 + 1518 + 10 \ \ }{ 660 } = \dfrac{\ \ 47728 \ \ }{ 6600 } = \dfrac{\ \ 5966 \ \ }{ 825 } $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com