Potencias de base un número real y exponente fraccionario.

Vamos a repasar las propiedades de las potencias, empezando por la definición: $$ \huge \textcolor{blue}{ \fcolorbox{red}{white}{ $a^n = \underbrace{ a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\text{«}n\text{»-veces}} $ } } $$ Vamos con las propiedades:

• $ \huge { a^1 = a } $ Preguntar a vuestros alumnos cuántas vecen han usado esta propiedad desde que la vieron (al menos) desde 1ª de la ESO. Os vais a sorprender.
  $0^1 = 0$
  $(-3)^1 = -3$
  $50594095049832^1 = 50594095049832$
  
  $\left ( \mfrac{4}{5} \right )^1 = \dfrac{4}{5} $
  grado de ( $xy^2z^3$ ) = 6
  
  Cualquier número se escribiría así: $+7^1$, el signo y el exponente se omiten.
  
  
Potencias con la misma base:
• $\huge{ a^n \cdot a^m = a^{n + m} } $
  
  $2^7 \cdot 2^3 = 2^{10}$
$ \huge{ a^n : a^m = \mfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} } $

$3^{75} : 3^{100} = 3^{-25}$

Potencias con el mismo exponente:
• $\huge{ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^{n} } $
  
  $2^{13} \cdot 5^{13} = (2 \cdot 5)^{13} = 10^{13}$
• $\huge{ a^n : b^n = \mfrac{a^n}{b^n} = (a : b)^{n} = \left ( \mfrac{a}{b} \right )^n } $
  
  $15^{20} : 5^{20} =\left ( \mfrac{15^{20}}{5^{20}} \right ) = (15 : 5)^{20} = 3^{20}$
• $ \huge{ \left ( a^r \right )^s = a^{r \cdot s} } $
  
  $\left ( 7^4 \right )^5 = 7^{20} $
  
  
• $ \huge { a^0 = 1, a \neq 0 } $ Vamos a demostrarla: $$ \huge { a^0 = a^{1 - 1} = a^{2 - 2} = \ldots = a^{n - n} = \mfrac{a^n}{a^n} = 1 } $$ Está claro que $a$ no puede ser cero, en el denominador no puede haber un cero.
  
  
• $ \huge { a^{-1} = \mfrac{ 1 }{a^n}, a \neq 0 } $ Vamos a demostrarla: $$ \huge { 1 = a^0 \Leftrightarrow a = a^{n - n} \Leftrightarrow 1 = a^n \cdot a^{-n} } $$ Para despejar $a^{-n}$, hacemos: $$ \huge{ a^{-n} = \mfrac{ 1 }{ a^n } } $$
  
  $ 2^{-1} = \mfrac{1}{2}$
  
  $ \left ( \mfrac{1}{5} \right )^{-1} = 5$
  
  $ \left ( \mfrac{7}{13} \right )^{-1} = \mfrac{13}{7}$
  
  $11^{-3} = \mfrac{1}{11^3} = \mfrac{1}{1331} $
  
  

$$ \huge \textcolor{blue}{ \fcolorbox{red}{white}{ $\text{ Exponente fraccionario } \qquad \huge \sqrt[n]{\ a\ } = a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \qquad \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } $ } } $$ Para empezar a trabajar con potencias de exponente fraccionario vamos a demostrar las dos propiedades que tenemos en el recuadro anterior. Vamos con la $1^{\underline{a}}$ propiedad: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } = a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } }$$ Por definición de raíz n-ésima $( n \neq 1)$ tenemos que: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } = b \Leftrightarrow b^n = a } \qquad \normalsize{ (1) } $$ Si multiplicamos los exponentes en esta igualdad por $\dfrac{\ 1\ }{n}$ tenemos: $$ \huge{ (b^n)^{\frac{\ 1\ }{n}} = a^{\frac{\ 1\ }{n}} \Rightarrow b = a^{\frac{\ 1\ }{n}} } \qquad \normalsize{ (2) } $$ De $(1)$ y de $(2)$ nos queda: $$ \huge{ b = \sqrt[n]{\ a\ } \text{ y además } b = a^{\frac{\ 1\ }{n}} \Rightarrow \sqrt[n]{\ a\ } = a^{\frac{\ 1\ }{n}} } \qquad \normalsize{ QED } $$


Una vez que tenemos este resultado, vamos a demostrar la $2^{\underline{a}}$ propiedad, es decir, veamos que $ \Large{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } }$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } \qquad \normalsize{ (3) } $$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = \sqrt[n]{\ a^m\ } } \qquad \normalsize{ (4) } $$ De $(3)$ y de $(4)$ nos queda: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } \qquad \normalsize{ QED } $$


Esto siempre cuando los valores a $a$, $n$ y $m$ tengan sentido, por ejemplo: $$ \sqrt{\ -4\ } \qquad n = 2; m = 1; a = -4 \ \ \text{ No tiene sentido, no puedo calcular con números reales la raíz cuadrada de } -4 $$

Recordemos que:
$$ \Large{ \sqrt[\color{red}{n}]{a} = a^{ \dfrac{1}{\color{red}{n}} } \qquad \text{ y } \qquad \sqrt[\color{red}{n}]{a^m} = a^{ \dfrac{m}{ \color{red}{n} } } } $$ Ejemplos:
$$ \sqrt{5} = 5^{\dfrac{1}{2} } \qquad \sqrt[3]{7} = 7^{\dfrac{1}{3} } \qquad \sqrt[5]{16} = 16^{\dfrac{1}{5} } = 2^{\dfrac{4}{5} } $$

Vamos ahora a demostrar el resto de las propiedades de los radicales:

$\blacksquare \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $

$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = a^{\frac{\ 1 \ }{n} } \cdot b^{\frac{\ 1 \ }{n} } = \left (a \cdot b\right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $$

$\blacksquare \huge{ \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a \ }{ b } } } $

$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } : \sqrt[n]{\ b\ } = \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \dfrac{\ a^{\frac{\ 1 \ }{n} }\ }{ b^{\frac{\ 1 \ }{n} } } = \left (\dfrac{\ a\ }{ b} \right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a\ }{ b } } } $$

$\blacksquare \huge{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $

$$ \Large{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \left ( a^{ \frac{\ 1 \ }{n} } \right )^{\frac{\ 1 \ }{m}} = a^{ \frac{\ 1 \ }{\ m \cdot n\ } } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $$

$\blacksquare \huge{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = \sqrt[n \cdot s]{\ a^{m \cdot s}\ } } $

$$ \Large{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } = a^{ \frac{\ m \cdot s\ }{\ n \cdot s\ } } = \sqrt[m \cdot s]{\ a^{n \cdot s}\ } } $$

Veamos una consecuencia de estas propiedades: $$ \Large{ \begin{array}{ccc} a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } & \qquad & \begin{array}{c} \xrightarrow{ Introducir factores } \cr a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } \cr \xleftarrow{ Sacar factores } \cr \end{array} \end{array} } $$ $ \msqrt{2^9 \cdot x^3 \cdot y^8} = 2^4 \cdot x \cdot y^4 \ \cdot \msqrt{2x} $

$ \mmsqrt{3}{(-3)^3 \cdot x^4 \cdot y^{12}} = -3 \cdot x \cdot y^4 \ \cdot \mmsqrt{3}{x} $

Si $n$ es par: $$ \Large{ \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } = |a| \cdot \sqrt[n]{\ x\ } } $$ Si $n$ es impar: $$ \Large{ \sqrt[n]{\ (\pm a)^n \cdot x\ } = \pm a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } } $$ $\msqrt{4} = + 2 \qquad \mmsqrt{4}{-16} $ No está definida.

$\mmsqrt{3}{-27} = - 3 \qquad \mmsqrt{5}{32} = 2 $




$\bullet \huge{ a^{\frac{\ -1\ }{\ n\ }} = \mfrac{1}{a^{\frac{\ 1\ }{\ n\ }}} = \mfrac{1}{ \mmsqrt{n}{a} } } $

$$ 3^{\frac{\ -1\ }{\ 4\ }} = \mfrac{1}{3^{\frac{\ 1\ }{\ 4\ }}} = \mfrac{1}{ \mmsqrt{4}{3} } $$ \( \bullet\ \) Un ejercicio interesante: