Una vez que tenemos este resultado, vamos a demostrar la $2^{\underline{a}}$ propiedad, es decir, veamos que $ \Large{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } }$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } \qquad \normalsize{ (3) } $$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = \sqrt[n]{\ a^m\ } } \qquad \normalsize{ (4) } $$ De $(3)$ y de $(4)$ nos queda: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } \qquad \normalsize{ QED } $$
Esto siempre cuando los valores a $a$, $n$ y $m$ tengan sentido, por ejemplo: $$ \sqrt{\ -4\ } \qquad n = 2; m = 1; a = -4 \ \ \text{ No tiene sentido, no puedo calcular con números reales la raíz cuadrada de } -4 $$
Recordemos que:
$$ \Large{ \sqrt[\color{red}{n}]{a} = a^{ \dfrac{1}{\color{red}{n}} } \qquad \text{ y } \qquad \sqrt[\color{red}{n}]{a^m} = a^{ \dfrac{m}{ \color{red}{n} } } } $$ Ejemplos:
$$ \sqrt{5} = 5^{\dfrac{1}{2} } \qquad \sqrt[3]{7} = 7^{\dfrac{1}{3} } \qquad \sqrt[5]{16} = 16^{\dfrac{1}{5} } = 2^{\dfrac{4}{5} } $$
Vamos ahora a demostrar el resto de las propiedades de los radicales:
$\blacksquare \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $
$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = a^{\frac{\ 1 \ }{n} } \cdot b^{\frac{\ 1 \ }{n} } = \left (a \cdot b\right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $$
$\blacksquare \huge{ \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a \ }{ b } } } $
$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } : \sqrt[n]{\ b\ } = \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \dfrac{\ a^{\frac{\ 1 \ }{n} }\ }{ b^{\frac{\ 1 \ }{n} } } = \left (\dfrac{\ a\ }{ b} \right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a\ }{ b } } } $$
$\blacksquare \huge{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $
$$ \Large{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \left ( a^{ \frac{\ 1 \ }{n} } \right )^{\frac{\ 1 \ }{m}} = a^{ \frac{\ 1 \ }{\ m \cdot n\ } } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $$
$\blacksquare \huge{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = \sqrt[n \cdot s]{\ a^{m \cdot s}\ } } $
$$ \Large{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } = a^{ \frac{\ m \cdot s\ }{\ n \cdot s\ } } = \sqrt[m \cdot s]{\ a^{n \cdot s}\ } } $$
Veamos una consecuencia de estas propiedades: $$ \Large{ \begin{array}{ccc} a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } & \qquad & \begin{array}{c} \xrightarrow{Introducir factores} \cr a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } \cr \xleftarrow{sacar factores} \cr \end{array} \end{array} } $$ Si $n$ es par $ \Large{ |a| \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } } $ Si $n$ es impar $ \Large{ a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } } $
Aquí tenemos las propiedades de los radicales en una tabla con ejemplos:
| Propiedad | Ejemplo |
| $ \sqrt[n]{\ a b\ } = \sqrt[n]{\ a\ } \sqrt[n]{\ b\ }$ | $ \sqrt[3]{\ -8 \cdot 27} = \sqrt[3]{\ -8\ } \sqrt[3]{\ 27\ } = (-2)(3) = -6 $ |
| $ \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a\ }{b}\ } = \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ }\ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } $ | $ \sqrt[4]{\ \dfrac{\ 16\ }{81}\ } = \dfrac{\ \sqrt[4]{\ 16\ }\ }{\sqrt[4]{\ 81\ } } = \dfrac{\ 2\ }{3} $ |
| $ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ }\ } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ }$ | $ \sqrt{\ \sqrt[3]{\ 729\ }\ } = \sqrt[6]{\ 729\ } = 3 $ |
| $ \sqrt[n]{\ a^n\ } = a \quad $ si $n$ es impar | $ \sqrt[3]{\ (-5)^3\ } = -5; \quad \sqrt[5]{\ 2^5\ } = 2 $ |
| $ \sqrt[n]{\ a^n\ } = | a |$ si $n$ es par | $ \sqrt[4]{\ (-3)^4\ } = |-3| = 3; \quad \sqrt[6]{\ (5)^6\ } = | 5 | = 5$ |
| $ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = \sqrt[n \cdot s]{\ a^{m \cdot s}\ } $ | $ \sqrt[6]{\ 125\ } = \sqrt[6]{\ 5^3\ } = 5^{ \frac{3}{6} } = 5^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{5} $ |
| $ a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } $ | $ \begin{array}{l} \sqrt[3]{\ 7^3 \cdot 11^2\ } = 7 \cdot \sqrt[3]{\ 11^2} \cr \cr \sqrt{\ 5^8 \cdot 7 \cdot 13\ } = \sqrt{\ (5^4)^2 \cdot 7 \cdot 13\ } = 5^4 \cdot \sqrt{\ 7 \cdot 13\ } \end{array}$ |