Potencias de base un número real y exponente fraccionario.

$$\text{ Exponente fraccionario }\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$$ Para empezar a trabajar con potencias de exponente fraccionario vamos a demostrar las dos propiedades que tenemos en el recuadro anterior. Vamos con la $1^{\underset{―}{a}}$ propiedad: $$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$ Por definición de raíz n-ésima $(n\ne 1)$ tenemos que: $$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a(1)$$ Si multiplicamos los exponentes en esta igualdad por ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ tenemos: $$(b^n{)}^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}\Rightarrow b=a^{\frac{1}{n}}(2)$$ De $(1)$ y de $(2)$ nos queda: $$b=\sqrt[n]{a}\text{ y además }b=a^{\frac{1}{n}}\Rightarrow \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}QED$$


Una vez que tenemos este resultado, vamos a demostrar la $2^{\underset{―}{a}}$ propiedad, es decir, veamos que $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ $${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m={\left(a^m\right)}^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}}(3)$$ $${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m={\left(a^m\right)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^m}(4)$$ De $(3)$ y de $(4)$ nos queda: $$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}QED$$


Esto siempre cuando los valores a $a$, $n$ y $m$ tengan sentido, por ejemplo: $$\sqrt{-4}n=2;m=1;a=-4\text{ No tiene sentido, no puedo calcular con números reales la raíz cuadrada de }-4$$

Recordemos que:
$$\sqrt[n]{a}=a^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}\text{ y }\sqrt[n]{a^m}=a^{{\displaystyle \frac{m}{n}}}$$ Ejemplos:
$$\sqrt{5}=5^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\sqrt[3]{7}=7^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt[5]{16}={16}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}=2^{{\displaystyle \frac{4}{5}}}$$

Vamos ahora a demostrar el resto de las propiedades de los radicales:

$◼\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$

$$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=a^{\frac{1}{n}}\cdot b^{\frac{1}{n}}={(a\cdot b)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a\cdot b}$$

$◼{\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}=\sqrt[n]{{\displaystyle \frac{a}{b}}}$

$$\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}={\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}={\displaystyle \frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}}={\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{{\displaystyle \frac{a}{b}}}$$

$◼\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{m\cdot n}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$$

$◼\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot s]{a^{m\cdot s}}$

$$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m\cdot s}{n\cdot s}}=\sqrt[m\cdot s]{a^{n\cdot s}}$$

Veamos una consecuencia de estas propiedades: $$\begin{array}{ccc}a\cdot \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a^n\cdot x}& & \begin{array}{c}\stackrel{Introducirfactores}{\to }\\ a\cdot \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a^n\cdot x}\\ \stackrel{sacarfactores}{\leftarrow }\end{array}\end{array}$$ Si $n$ es par $|a|\cdot \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a^n\cdot x}$ Si $n$ es impar $a\cdot \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a^n\cdot x}$


Aquí tenemos las propiedades de los radicales en una tabla con ejemplos:

Propiedad	Ejemplo
$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$	$\sqrt[3]{-8\cdot 27}=\sqrt[3]{-8}\sqrt[3]{27}=(-2)(3)=-6$
$\sqrt[n]{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$	$\sqrt[4]{{\displaystyle \frac{16}{81}}}={\displaystyle \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$	$\sqrt{\sqrt[3]{729}}=\sqrt[6]{729}=3$
$\sqrt[n]{a^n}=a$ si $n$ es impar	$\sqrt[3]{(-5{)}^3}=-5;\sqrt[5]{2^5}=2$
$\sqrt[n]{a^n}=|a|$ si $n$ es par	$\sqrt[4]{(-3{)}^4}=|-3|=3;\sqrt[6]{(5{)}^6}=|5|=5$
$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot s]{a^{m\cdot s}}$	$\sqrt[6]{125}=\sqrt[6]{5^3}=5^{\frac{3}{6}}=5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$
$a\cdot \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a^n\cdot x}$	$\begin{array}{l}\sqrt[3]{7^3\cdot {11}^2}=7\cdot \sqrt[3]{{11}^2}\\ \\ \sqrt{5^8\cdot 7\cdot 13}=\sqrt{(5^4{)}^2\cdot 7\cdot 13}=5^4\cdot \sqrt{7\cdot 13}\end{array}$