$ \huge{ \ \text{ Autor del blog } \ \mathbb{R}a\!\!\int\!\!{\alpha}{\varepsilon}\ell \ \ {\rm I\!R}{\acute{\textrm{a}}}\pi\partial{\in} z \ \ \mathbf{G}a\tau\varsigma\acute{\iota}@} \quad \mathbb{R}^2 \mathbb{G} $


El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


Cuando uno enseña, dos aprenden. «Robert Heinlein»


Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

jueves, 21 de septiembre de 2023

Potencias de base un número real y exponente fraccionario.

Vamos a repasar las propiedades de las potencias, empezando por la definición: $$ \huge \textcolor{blue}{ \fcolorbox{red}{white}{ $a^n = \underbrace{ a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\text{«}n\text{»-veces}} $ } } $$ Vamos con las propiedades:

  • $ \huge { a^1 = a } $ Preguntar a vuestros alumnos cuántas vecen han usado esta propiedad desde que la vieron (al menos) desde 1ª de la ESO. Os vais a sorprender.
    $0^1 = 0$
    $(-3)^1 = -3$
    $50594095049832^1 = 50594095049832$

    $\left ( \mfrac{4}{5} \right )^1 = \dfrac{4}{5} $
    grado de ( $xy^2z^3$ ) = 6

    Cualquier número se escribiría así: $+7^1$, el signo y el exponente se omiten.

  • Potencias con la misma base:
  • $\huge{ a^n \cdot a^m = a^{n + m} } $

    $2^7 \cdot 2^3 = 2^{10}$
  • $ \huge{ a^n : a^m = \mfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} } $

    $3^{75} : 3^{100} = 3^{-25}$

    Potencias con el mismo exponente:
  • $\huge{ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^{n} } $

    $2^{13} \cdot 5^{13} = (2 \cdot 5)^{13} = 10^{13}$
  • $\huge{ a^n : b^n = \mfrac{a^n}{b^n} = (a : b)^{n} = \left ( \mfrac{a}{b} \right )^n } $

    $15^{20} : 5^{20} =\left ( \mfrac{15^{20}}{5^{20}} \right ) = (15 : 5)^{20} = 3^{20}$
  • $ \huge{ \left ( a^r \right )^s = a^{r \cdot s} } $

    $\left ( 7^4 \right )^5 = 7^{20} $

  • $ \huge { a^0 = 1, a \neq 0 } $ Vamos a demostrarla: $$ \huge { a^0 = a^{1 - 1} = a^{2 - 2} = \ldots = a^{n - n} = \mfrac{a^n}{a^n} = 1 } $$ Está claro que $a$ no puede ser cero, en el denominador no puede haber un cero.

  • $ \huge { a^{-1} = \mfrac{ 1 }{a^n}, a \neq 0 } $ Vamos a demostrarla: $$ \huge { 1 = a^0 \Leftrightarrow a = a^{n - n} \Leftrightarrow 1 = a^n \cdot a^{-n} } $$ Para despejar $a^{-n}$, hacemos: $$ \huge{ a^{-n} = \mfrac{ 1 }{ a^n } } $$

    $ 2^{-1} = \mfrac{1}{2}$

    $ \left ( \mfrac{1}{5} \right )^{-1} = 5$

    $ \left ( \mfrac{7}{13} \right )^{-1} = \mfrac{13}{7}$

    $11^{-3} = \mfrac{1}{11^3} = \mfrac{1}{1331} $

$$ \huge \textcolor{blue}{ \fcolorbox{red}{white}{ $\text{ Exponente fraccionario } \qquad \huge \sqrt[n]{\ a\ } = a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \qquad \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } $ } } $$ Para empezar a trabajar con potencias de exponente fraccionario vamos a demostrar las dos propiedades que tenemos en el recuadro anterior. Vamos con la $1^{\underline{a}}$ propiedad: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } = a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } }$$ Por definición de raíz n-ésima $( n \neq 1)$ tenemos que: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } = b \Leftrightarrow b^n = a } \qquad \normalsize{ (1) } $$ Si multiplicamos los exponentes en esta igualdad por $\dfrac{\ 1\ }{n}$ tenemos: $$ \huge{ (b^n)^{\frac{\ 1\ }{n}} = a^{\frac{\ 1\ }{n}} \Rightarrow b = a^{\frac{\ 1\ }{n}} } \qquad \normalsize{ (2) } $$ De $(1)$ y de $(2)$ nos queda: $$ \huge{ b = \sqrt[n]{\ a\ } \text{ y además } b = a^{\frac{\ 1\ }{n}} \Rightarrow \sqrt[n]{\ a\ } = a^{\frac{\ 1\ }{n}} } \qquad \normalsize{ QED } $$


Una vez que tenemos este resultado, vamos a demostrar la $2^{\underline{a}}$ propiedad, es decir, veamos que $ \Large{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } }$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } \qquad \normalsize{ (3) } $$ $$ \huge{ \left ( a^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } \right )^m = \left ( a^m \right )^{ \frac{ 1 }{\ n\ } } = \sqrt[n]{\ a^m\ } } \qquad \normalsize{ (4) } $$ De $(3)$ y de $(4)$ nos queda: $$ \huge{ \sqrt[n]{\ a^m\ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } } \qquad \normalsize{ QED } $$


Esto siempre cuando los valores a $a$, $n$ y $m$ tengan sentido, por ejemplo: $$ \sqrt{\ -4\ } \qquad n = 2; m = 1; a = -4 \ \ \text{ No tiene sentido, no puedo calcular con números reales la raíz cuadrada de } -4 $$

Recordemos que:
$$ \Large{ \sqrt[\color{red}{n}]{a} = a^{ \dfrac{1}{\color{red}{n}} } \qquad \text{ y } \qquad \sqrt[\color{red}{n}]{a^m} = a^{ \dfrac{m}{ \color{red}{n} } } } $$ Ejemplos:
$$ \sqrt{5} = 5^{\dfrac{1}{2} } \qquad \sqrt[3]{7} = 7^{\dfrac{1}{3} } \qquad \sqrt[5]{16} = 16^{\dfrac{1}{5} } = 2^{\dfrac{4}{5} } $$

Vamos ahora a demostrar el resto de las propiedades de los radicales:

$\blacksquare \huge{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $

$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } \cdot \sqrt[n]{\ b\ } = a^{\frac{\ 1 \ }{n} } \cdot b^{\frac{\ 1 \ }{n} } = \left (a \cdot b\right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ a \cdot b \ } } $$

$\blacksquare \huge{ \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a \ }{ b } } } $

$$ \Large{ \sqrt[n]{\ a\ } : \sqrt[n]{\ b\ } = \dfrac{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ }{ \sqrt[n]{\ b\ } } = \dfrac{\ a^{\frac{\ 1 \ }{n} }\ }{ b^{\frac{\ 1 \ }{n} } } = \left (\dfrac{\ a\ }{ b} \right )^{ \frac{\ 1 \ }{n} } = \sqrt[n]{\ \dfrac{\ a\ }{ b } } } $$

$\blacksquare \huge{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $

$$ \Large{ \sqrt[m]{\ \sqrt[n]{\ a\ } \ } = \left ( a^{ \frac{\ 1 \ }{n} } \right )^{\frac{\ 1 \ }{m}} = a^{ \frac{\ 1 \ }{\ m \cdot n\ } } = \sqrt[m \cdot n]{\ a\ } } $$

$\blacksquare \huge{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = \sqrt[n \cdot s]{\ a^{m \cdot s}\ } } $

$$ \Large{ \sqrt[ n ]{\ a^m \ } = a^{ \frac{ m }{\ n\ } } = a^{ \frac{\ m \cdot s\ }{\ n \cdot s\ } } = \sqrt[m \cdot s]{\ a^{n \cdot s}\ } } $$

Veamos una consecuencia de estas propiedades: $$ \Large{ \begin{array}{ccc} a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } & \qquad & \begin{array}{c} \xrightarrow{ Introducir factores } \cr a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } = \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } \cr \xleftarrow{ Sacar factores } \cr \end{array} \end{array} } $$ $ \msqrt{2^9 \cdot x^3 \cdot y^8} = 2^4 \cdot x \cdot y^4 \ \cdot \msqrt{2x} $

$ \mmsqrt{3}{(-3)^3 \cdot x^4 \cdot y^{12}} = -3 \cdot x \cdot y^4 \ \cdot \mmsqrt{3}{x} $

Si $n$ es par: $$ \Large{ \sqrt[n]{\ a^n \cdot x\ } = |a| \cdot \sqrt[n]{\ x\ } } $$ Si $n$ es impar: $$ \Large{ \sqrt[n]{\ (\pm a)^n \cdot x\ } = \pm a \cdot \sqrt[n]{\ x\ } } $$ $\msqrt{4} = + 2 \qquad \mmsqrt{4}{-16} $ No está definida.

$\mmsqrt{3}{-27} = - 3 \qquad \mmsqrt{5}{32} = 2 $




$\bullet \huge{ a^{\frac{\ -1\ }{\ n\ }} = \mfrac{1}{a^{\frac{\ 1\ }{\ n\ }}} = \mfrac{1}{ \mmsqrt{n}{a} } } $

$$ 3^{\frac{\ -1\ }{\ 4\ }} = \mfrac{1}{3^{\frac{\ 1\ }{\ 4\ }}} = \mfrac{1}{ \mmsqrt{4}{3} } $$