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Ejercicios de planteamiento - Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer grado.

Fases para resolver problemas en Matemáticas:

1. Entender el problema
Leer las veces que haga falta el enunciado, hacer cualquier dibujo o esquema que ayude a su comprensión. Obtener todos los datos, directos e indirectos, que nos da el problema.
2. Plantear las ecuaciones
Escribir las ecuaciones que se adecúen al problema en cuestión.
3. Resolver el sistema de ecuaciones
Resolver el sistema.
4. Comprobar la solución obtenida
Coherencia del resultado y la comprobación de la misma.

Si el número es dos cifras, lo representamos así $xy = 10x + y$. Es decir, $x=$ son las decenas e $y$ = a las unidades.
La suma de las cifras es 10 $ \Rightarrow x + y = 10$

El número, invirtiendo las cifras es $yx = 10y + x$, hemos cambiado las decenas por las unidades y viceversa:

Luego la $\odn{2}{a}$ ecuación será: $10x + y = 10y + x - 36 \Rightarrow 9x - 9y = - 36 \Rightarrow x - y = - 4$

Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 10 \cr \cr x - y = -4 } $$

Si el número es dos cifras, lo representamos así $xy = 10x + y$. Es decir, $x=$ son las decenas e $y$ = a las unidades.
La $\odn{1}{a}$ ecuación se obtiene de al saber que la $\odn{1}{a}$ cifra es la tercera parte de la segunda: $x = \dfrac{\ y\ }{3}$
Si invertimos las cifras del número, es decir $ yx = 10y + x$ entonces $ 10y + x = 10x + y + 54 \Rightarrow 9y - 9x = 54 \Rightarrow y - x = 6 $
Así el sistema quedará:
$$ \large \color{blue} \cases{ x = \dfrac{y}{3} \cr \cr y - x = 6 } $$

$x = $ la edad de la $\odn{1}{a}$ persona

$y = $ la edad de la $\odn{2}{a}$ persona

De la razón tenemos que $ \dfrac{\ x\ }{y} = \dfrac{\ 2\ }{3} $

De la diferencia de edades tenemos: $ y = x + 15 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ \dfrac{\ x\ }{y} = \dfrac{\ 2\ }{3} \cr \cr y = x + 15 } $$

El número de tres cifras y capicúa es de la forma $xyx = 100x + 10y + x$

$x = $ número de las centenas y de las unidades.

$y = $ número de las decenas.

La suma de las cifras es 12 luego $2x + y = 12$

La suma de las decenas excede en 4 al doble de las centenas luego $y = 2x + 4$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ 2x + y = 12 \cr \cr y = 2x + 4 } $$

$x = $ litros de 0,94 €/l

$y = $ litros de 0,86 €/l

Sabemos que la mezcla es de 40 litros luego $x + y = 40$ litros

Como la mezcla debe salir a 0,89 €/litro entonces hemos de calcular el importe en € que echamos a la mezcla y lo dividimos por el número de litros de la misma, así sabemos a qué precio sale el litro: $ \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 40 \cr \cr \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 \cr } $$

Este ejercicio se puede plantear con una sola incógnita, $x =$ litros de aceite de 0,94 €/l y $40 - x$ serán los litros de aceite de 0,86€/l: $$ \dfrac{\ 0,94x + 0,86 \cdot (40 - x)\ }{ 40 } = 0,89 $$

$x = $ el $\odn{1}{er}$ número.

$y = $ el $\odn{2}{o}$ número.

De la $\odn{1}{a}$ frase tenemos $ 2x + \dfrac{\ y\ }{2} = 7 $

De la $\odn{2}{a}$ frase tenemos $ 7 + x = 5y$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 40 \cr \cr \dfrac{\ 0,94x + 0,86y\ }{ 40 } = 0,89 \cr } $$

$x = $ el nº de olivos.

$y = $ el nº de almendros.

Entre olivos y almendros 250 $ \Rightarrow x + y = 250 $

Si el doble de almendros son 10 menos que el total de olivos $ \Rightarrow 2x = y - 10 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 250 \cr \cr 2x = y - 10 } $$

$x = \odn{n}{o}$ de habitaciones simples.

$y = \odn{n}{o}$ de habitaciones dobles.

El número de habitaciones es 50: $ \Rightarrow x + y = 50 $

Ahora contamos camas, las dobles tienen 2 y las simples una: $ \Rightarrow x + 2y = 87 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 50 \cr \cr x + 2y = 87 } $$

$x = $ nº de bombillas que funcionan.

$y = $ nº de bombillas defectuosas, que fallan.

El total de bombillas fabricadas son 2100 $ \Rightarrow x + y = 2100 $

La $\odn{2}{a}$ ecuación es sobre el dinero que gana, por cada bombilla suma 0,6€ y por cada bombilla defectuosa -0,8€; haciendo la cuenta: $ 0,6x - 0,8y = 966$ Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 2100 \cr \cr 0,6x - 0,8y = 966 } $$

$x = $ nº de alumnos de $\odn{3}{o}\ A$.

$y = $ nº de alumnos de $\odn{3}{o}\ C$.

El número de alumnos de $\odn{3}{o}\ A$ es el doble de $\odn{3}{o}\ C$, luego: $ x = 2y$

Al pasar alumnos de una clasea otra tenemos: $x - 8 = y + 8$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x = 2y \cr \cr x - 8 = y + 8 } $$

$x = $ nº de coches.

$y = $ nº de motos.

El total de vehículos es 39 $ \Rightarrow x + y = 39$

Ahora contamos ruedas, las motos tienen 2 y los coches 4 (visibles), luego: $4x + 2y = 126$

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 39 \cr \cr 4x + 2y = 126 } $$

$ x =$ nº de discos de 18 €

$ y = \odn{n}{o}$ de discos de 14,4 €

En total 84 discos, luego $x + y = 84$

Ahora contamos dinero, $x$ discos a 18€ más $y$ discos a 14,4 € son 1242€ $ 18x + 14,4y = 1242 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 84 \cr \cr 18x + 14,4y = 1242 } $$

$ x =$ € que cuesta un tarro de berberechos.

$ y =$ € que cuesta un tarro de mejillones.

Todas las latas cuestan 35,7 €, es decir, 17 latas de berberechos por su precio más a 12 latas de mejillones por su precio son $17x + 12y = 35,7$ €

Sabiendo la relación que hay entre 5 botes de berberechos y los 3 de mejillones tenemos: $ 5x = 3y + 4,95 $ Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ 17x + 12y = 35,7 \cr \cr 5x = 3y + 4,95 } $$

$x =$ los $kg$ que pesa el agua que hay en el cubo.

$y =$ los $kg$ que pesa el cubo.

De la $\odn{1}{a}$ frase tenemos: $ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 $

De la $\odn{2}{a}$ frase tenemos: $ \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 $

Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ \dfrac{\ x \}{2} + y = 6 \cr \cr \dfrac{\ x \}{3} + y = 5 } $$

$ x = $ € del $\odn{1}{er}$ manuscrito.

$ y = $ € del $\odn{2}{o}$ manuscrito.

Por los dos manuscritos paga 2250 € $ \Rightarrow x + y = 2250$ Sacando un 40% de beneficio por la venta de ambos: $1,4 \cdot 2250 = 3150 $ €; Del $\odn{1}{o}$ saca un 25% más y del $\odn{2}{o}$ un 50 % más: $ \Rightarrow 1,25x + 1,5y = 3150 \Rightarrow 125x + 150y = 315.000 \Rightarrow 5x + 6y = 12600 $ Así el sistema quedará:

$$ \large \color{blue} \cases{ x + y = 2250 \cr \cr 5x + 6y = 12600 } $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Evolución «histórica» de la tabla periódica.