Aplicamos la propiedad del logaritmo $\ln a^p = p \cdot \ln a$ y tenemos que:
$ \left ( \ln x \right )^{\ln x} = \ln x^{\ln x} \Rightarrow \left ( \ln x \right )^{\ln x} = \left ( \ln x \right )^2 $
Tenemos entonces dos opciones:
$$ \left \{ \begin{array}{l}
\ln x = 2 \Rightarrow x = e^2 \cr \cr
\ln x = 1 \Rightarrow x = e \cr
\end{array} \right. $$
Comprobación:
Si $x = e \Rightarrow \left ( \ln e \right )^{\ln e} = \ln e^{\ln e} \Rightarrow 1^1 = \ln e^1 \Rightarrow 1 = \ln e \checkmark $
Un sistema de ecuaciones no lineales es un grupo de ecuaciones donde al menos una de ellas es no lineal, es decir, es de grado 2 o más, o es una ecuación exponencial, logarítmica o irracional.
No hay una regla mágica para resolver los sistemas no lineales, pero para los que son polinómicos no lineales podemos usar métodos de resolución ya conocidos.
Veamos algunos casos:
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineales con una ecuación no lineal y otra lineal:
Podremos usar el método de sustitución. Veamos un ejemplo:
$$ \left\{\begin{array}{l}
x^{2}+ xy = 12 \\ \\
x - y = 2
\end{array}\right. $$
Despejamos en la 2ª ecuación la $y = x - 2$ y sustituimos en la 1ª ecuación:
$$ x^2 + x \cdot (x - 2) = 12 \Rightarrow x^2 + x^2 - 2x - 12 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 2x - 12 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x - 3) = 0$$
Si $x = -2 \rightarrow y = -2 - 2 = -4 $
Si $x = 3 \rightarrow y = 3 - 2 = 1 $
A la hora de realizar la comprobación lo tenemos que hacer en el sistema de partida y en cada una de las ecuaciones:
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineales donde las dos ecuaciones no son de primer grado.
$$ \left \{ \begin{array}{l}
x^{2} + xy = 30 \\ \\
xy + y^{2} = 6
\end{array} \right. $$
Podemos despejar $x$ o $y$ en una de las ecuaciones y sustituir pero hay otras formas de hacerlo más sencillo. Vamos a sumar y restar las dos ecuaciones del sitema y obtenemos otro sistema equivaente (es decir, un sistema que tiene las mismas soluciones:
$$ \left \{ \begin{array}{l}
x^{2} - y^2 = 24 \\ \\
(x + y)^{2} = 36
\end{array} \right.
\qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad
\left \{ \begin{array}{l}
(x + y) \cdot (x - y) = 24 \\ \\
(x + y)^{2} = 36
\end{array} \right. $$
Este último sistema se separa en dos sistemas lineales muy sencillos ya que tenemos que $(x + y)^{2} = 36$, lo que quiere decir que $x + y = \pm 6$, por eso un sistema sale con $x + y = 6$ y en el otro $x + y = -6$. Hay que darse cuenta que en la 1ª ecuación de cada sistema he sustituido $x + y$ por 6 y -6 respectivamente.
$$ \left \{ \begin{array}{l}
x - y = 4 \\ \\
x + y = 6
\end{array} \right.
\qquad \text{ y } \qquad
\left \{ \begin{array}{l}
x - y = -4 \\ \\
x + y = -6
\end{array} \right.$$
Dichos sistemas se resuelven rápidamente, vamos con el $1^{\underline{er}}$ sistema:
$ \left \{ \begin{array}{l}
x - y = 4 \\ \\
x + y = 6
\end{array} \right.$
Sumamos las dos ecuaciones y tenemos que $2x = 10 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow y = 6 - x = 6 - 5 = 1$. La solución es $x = 5$ e $ y = 1$
Vamos con el 2º sistema:
$\left \{ \begin{array}{l}
x - y = -4 \\ \\
x + y = -6
\end{array} \right.$
Sumamos las dos ecuaciones y tenemos que $2x = -10 \Rightarrow x = -5 \Rightarrow y = -6 - x = -6 - (-5) = -6 + 5 = -1$. La solución es $x = -5$ e $ y = -1$
Comprobación de la solución en cada una de las ecuaciones del sistema de partida:
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde las dos ecuaciones no son lineales y no hay término «$x \cdot y$»
$$ \left \{ \begin{array}{l}
2x^{2} - 3y^{2} = -6 \\
4x^{2} - y^{2} = 8
\end{array} \right . $$
En este caso podemos aplicar el método de reducción, en este caso multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y le restamos la 2ª ecuación y nos queda:
$$ - 6y^2 + y^2 = -12 - 8 \Rightarrow -5y^2 = -20 \rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2 $$
Sustituimos $y^2 = 4$ en cualquiera de las dos encuaciones, por ejemplo, en la 1ª ecuación tenemos:
En este caso a la hora de comprobar una solución estamos comprobando las 4 posibles, ya que al elevar al cuadrado los signos desaparecen. Así comprobando en el sistema de ecuaciones, en cada una de las ecuaciones tenemos:
Despejamos la $x$ de la segunda ecuación, mejor dicho $2x$ y sustituimos en la primera, pero antes elevamos al cuadrado la priemra ecuación ya que es irracional y la raíz la tenemos aislada:
\[ 2 \msqrt{x + 1} = y + 1 \Rightarrow 4(x + 1) = (y + 1)^2 \Rightarrow 4x + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow (*) \]
Despejamos la $x$ y sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2x - 3y = 1 \Rightarrow 2x = 3y + 1 \]
Ahora sustituimos la $x$ en (*) y agrupamos:
\[ \Rightarrow (*) \quad 2(3y + 1) + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow 6y + 2 + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow y^2 - 4y - 5 = 0 \]
Es una ecuación de segundo grado y con las fórmulas de Cardano-Vieta vemos que las soluciones son $y_1 = - 1$ y $y_2 = 5$.
Si $y_1 = -1 $ entonces $x = \mfrac{3y + 1}{2} = \mfrac{-3 + 1}{2} = \mfrac{-2}{2} = - 1$
Si $y_2 = 5$ entonces $y = \mfrac{3\cdot 5 + 1}{2} = \mfrac{16}{2} = 8 $
$\bullet$ Sistema de ecuaciones no lineal donde una de las dos ecuaciones es irracional:
\( \begin{cases}
y^{2} - 2y + 1 = x \\ \\
\sqrt{x} + y = 5
\end{cases} \)
Despejamos la $x$ de la segunda ecuación, para ello la elevamos al cuadrado y la sustituiremos en la primera ecuación:
\[ \sqrt{x} + y = 5 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 - y \]
Ahora elevamos al cuadrado:
\[ ( \sqrt{x} )^2 = (5 - y)^2 \Rightarrow x = 25 - 10y + y^2 \]
sustituimos en la primera ecuación:
En este sistemas vamos a hacer un cambio de variable, muy importante deshacerlo una vez resuelto el sistema con el cambio:
\[ s = \mfrac{1}{x} \text{ y } t = \mfrac{1}{y} \]
Entonces el sitema nos queda: \( \begin{cases}
s^{2} + t^{2} = 13 \\ \\
s - t = 1
\end{cases} \)
Ahora despejamos $s$ o $t$ en la segunda ecuación y sustituimos en la primera ecuación. Vamos a despejar $s$, $s = 1 + t$:
\[ s^{2} + t^{2} = 13 \Rightarrow (1 + t)^2 + t^2 = 13 \Rightarrow 1 + 2t + t^2 + t^2 = 13 \Rightarrow 2t^2 + 2t - 12 = 0 \Rightarrow t^2 + t - 6 = 0\]
Ecuación de segundo grado que podemos resolver con las fórmulas de Cardano-Vieta: $t_1 = 2$ y $t_2 = - 3$. Vamos a calcular $s$:
Si $t_1 = 2 \Rightarrow s_1 = 1 + 2 = 3 $
Si $t_2 = -3 \Rightarrow s_2 = 1 - 3 = -2 $
Ahora tenemos que deshacer el cambio:
\[ \text{Si } s = \mfrac{1}{x} \Rightarrow x = \mfrac{1}{s} \text{ y } t = \mfrac{1}{y} \Rightarrow y = \mfrac{1}{t} \]
La solución $(s, t) = \left (3, 2 \right )$ se convierte en la solución $(x, y) = \left (\mfrac{1}{3} , \mfrac{1}{2} \right )$
La solución $(s, t) = \left (-2, -3 \right )$ se convierte en la solución $(x, y) = \left (\mfrac{-1}{2} , \mfrac{-1}{3} \right )$
Además nos pregunatan cuánto vale $\log_{4} x - \log_{y} 9 $.
Primero vamos a resolver el sistema, ¿cuál es la mejor manera para resolver este sistema donde hay bases diferentes para los logaritmos? Cambio de variable:
\[ s = log_{2} x \text{ y } t = log_{3} y \]
Antes de aplicar el cambio de variable, vamos a aplicar propiedades de los logaritmos para poner de forma más sencilla este sistema:
\[ \log_{2} x^2 + \log_{3} \mfrac{1}{y^3} = 4 \Rightarrow 2 \cdot \log_{2} x + \log_{3}y^{-3} = 4 \Rightarrow 2 \cdot \log_{2} x - 3 \cdot \log_{3} y = 4 \Rightarrow 2s - 3t = 4 \]
\[ \log_{2} x + \log_{3} y^4 = 13 \Rightarrow \log_{2} x + 4 \cdot \log_{3} y = 13 \Rightarrow s + 4t = 13 \]
Hemos cambiado un sistema no lineal en uno lineal que es mucho más fácil de resolver:
Despejamos la $x$ o la $y$ de la segunda ecuación y sustituimos en la primera ecuación:
\[ x = 24 - y \Rightarrow (24 - y)^2 + y^2 = 290 \Rightarrow 576 - 48y + y^2 + y^2 = 290 \rightarrow 2y^2 - 48y + 286 = 0 \Rightarrow y^2 - 24y + 143 = 0 \]
Ecuación de segundo grado que se puede resolver por Cardano-Vieta, $y_1 = 11$ e $y_2 = 13$.
Si $y_1 = 11 \Rightarrow x = 24 - y = 24 - 11 = 13$ y,
Si $y_2 = 13 \Rightarrow x = 24 - y = 24 - 13 = 11$.
Las soluciones son $(x, y) = (11, 13)$ y $(x, y) = (13, 11)$. Veamos la comprobación:
La comprobación de la otra solución $(x, y) = (13, 11)$ es exactamente igual.
Aplicamos propiedades de logaritmos a la segunda ecuación: $\log(x \cdot y) = 1 \Rightarrow \log x + \log y = 1 $ y el sistema nos queda:
\[ \begin{cases}
2\log x + \log y = 5 \\[6pt]
\log(x \cdot y) = 1
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
2\log x + \log y = 5 \\[6pt]
\log x + \log y = 1
\end{cases} \]
Este sistema lo podemos resolver por reducción, si se quiere se pude hacer un cambio de variable $s = \log x$ y $ t = \log y$, pero no es necesario ya que restando la segunda ecuación a la primera tenems:
\[ \log x = 4 \Rightarrow x = 10^4 \]
y sustituyendo en la segunda ecuación nos queda:
\[ \log x + \log y = 1 \Rightarrow 4 + \log y = 1 \Rightarrow \log y = -3 \Rightarrow y = 10^{-3} \]
Luego la solución $(x, y ) = \left (10^4, 10^{-3} \right)$. Veamos la comprobación:
De la primera ecuación despejo $2x$:
\[
2x = 8 - y \Rightarrow x = \mfrac{8 - y}{2}
\]
Sustituimos en la segunda ecuación, desarrollamos y agrupamos:
\[ 8 - y + 3y^3 = 22 \Rightarrow 3y^2 - y - 14 = 0 \]
Resolvemos la ecuación, se puede ver que $y = -2$ es una solución de la ecuación, por las fórmulas de Cardano-Vieta vemos que la otra solución es $y = \mfrac{7}{3}$. Entonces
\(
\text{Si } y = -2 \Rightarrow x = \mfrac{8 - (-2)}{2} = \mfrac{10}{2} = 5 \)
En este ejercicio podemos aplicar el método de reducción o el de sustitución. Esta vez lo haremos por sustitución. En la segunda ecuación despejamos $y^2$:
\[ 4x^2 - y^2 = -4 \Rightarrow 4x^2 + 4 = y^2 \]
Ahora sustituimos en la primera ecuación:
\[ 3x^2 + 5(4x^2 + 4) = 20 \Rightarrow 3x^2 + 20x^2 + 20 = 20 \Rightarrow 23x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ 5y^2 = 20 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2 \]
Las soluciones son: \( (0, 2) \text{ y } (0, -2) \)
De la segunda ecuación despejamos $x$:
\[ \mfrac{x}{y} = \mfrac{5}{3} \Rightarrow x = \mfrac{5y}{3} \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ \mfrac{5y}{3} \cdot y = 15 \Rightarrow 5y^2 = 45 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3 \]
\( \text{Si } y = 3 \Rightarrow x = \mfrac{5 \cdot 3}{3} = 5 \)
\( \text{Si } y = -3 \Rightarrow x = \mfrac{5 \cdot (-3)}{3} = -5 \)
Las soluciones son: \( \left (3, 5 \right ) \text{ y } \left(-3, -5 \right) \)
De la segunda ecuación despejamos la $y$:
\[ 2x - y = 5 \Rightarrow y = 2x - 5 \]
En la primera ecuación, agrupamos, quitamos la raíz, agrupamos y resolvemos:
\[ \msqrt{x + y} = x - 1 \Rightarrow x + y = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x + 2x - 5 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \]
Con las fórmulas de \textit{Cardano-Vieta} fácilmente se ve que las raíces son $x = 2$ y $x = 3$.
Vamos a transformar las ecuaciones. Empezaamos por la primera ecuación:
\[ \mfrac{10^y}{10^{2x}} = 10 \rightarrow 10^{y - 2x} = 10^1 \Rightarrow y - 2x = 1 \]
Y ahora cambiamos la segunda ecuación:
\[ log x + \log y = \log 21 \Rightarrow \log (xy) = \log 21 \Rightarrow xy = 21 \]
Es decir, el sistema original lo hemos transformado en el siguiente:
\[
\begin{cases}
y - 2x = 1 \\[6pt]
x \cdot y = 21 \\
\end{cases}
\]
Vamos a resolver este sistema por sustitución, despejamos $y$ en la segunda ecuación y sustituimos en la primera. Vamos a ello:
\[ y - 2x = 1 \Rightarrow y = 1 + 2x \]
Ahora susituimos en la primera:
\[ x \cdot y = 21 \Rightarrow x(1 + 2x) = 21 \Rightarrow x + 2x^2 = 21 \Rightarrow 2x^2 + x - 21 = 0 \]
Usamos las fórmulas de \textit{Cardano-Vieta} vemos que usa raíz es $x = 3$ y la otra es $ x = \mfrac{-7}{2} $
