Las soluciones son $x = -4, x = -3, x = 5$ y $x = 7$
Si $x^2 + x = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 - x $
Entonces $x^4 = \left ( x^2 \right )^{2} = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 = 1 - 2x + 1 - x = 2 - 3x$
Luego $x^5 = x \cdot x^4 = x \cdot(2 - 3x) = 2x - 3x^2 = 2x - 3(1 - x) = 2x - 3 + 3x = 5x - 3$
Entonces $x^5 + 8 = 5x - 3 + 8 = 5x + 5 = 5 \cdot (x + 1)$
$$ \dfrac{\ \ x^5 + 8\ \ }{x + 1} = \dfrac{\ \ 5 \cdot(x + 1)\ \ }{x + 1} = 5 $$
$ 1 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 \Rightarrow 1 = \sin^{6} \theta + 3\sin^4 \theta \cos^2 \theta + 3\sin^2 \theta \cos^4 \theta + \cos^{6} \theta $
$ 1 = \dfrac{1}{4} + 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{4} + 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta $
Luego
$ 1 - \dfrac{1}{4} = 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta \Rightarrow \dfrac{3}{4} = 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta \Rightarrow \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \dfrac{1}{4} $
$ \dfrac{1}{\sin^{6} \theta} + \dfrac{1}{\cos^{6} \theta} = \dfrac{\ \ \sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta \ \ }{\sin^{6} \theta \cdot \cos^{6} \theta} = \dfrac{ \ \ \dfrac{1}{4} \ \ }{ \left ( \dfrac{1}{4} \right )^3 } = \dfrac{\ \ 4^3 \ \ }{ 4 } = 4^2 = 16 $
Tenemos que poner $2^{56}$ y $4^{26}$ como potencias de 8.
Como $8 = 2^3$, así $2^{56} = 2^{3 \cdot 18 + 2} = 2^{3 \cdot 17 + 5} = 2^{3 \cdot 17} \cdot 2^5 = 2^5 \cdot 8^{17}$ y $4^{26} = 2^{52} = 2^{3 \cdot 17 + 1} = 2 \cdot 2^{3 \cdot 17} = 2 \cdot 8^{17}$
sustituyendo tenemos:
$ 2^{56} - 4^{26} = 2^5 \cdot 8^{17} - 2 \cdot 8^{17} = 8^{17} \cdot (32 - 2) = 8^{17} \cdot 30 $
Para acabar:
$ 8^x = \dfrac{\ \ 2^{56} - 4^{26}\ \ }{30} = \dfrac{\ \ 8^{17} \cdot 30 \ \ }{30} = \dfrac{\ \ 8^{17} \cdot \xcancel{30} \ \ }{ \xcancel{30} } = 8^{17} \Rightarrow x = 17 $
Aplicamos la propiedad del logaritmo $\ln a^p = p \cdot \ln a$ y tenemos que:
$ \left ( \ln x \right )^{\ln x} = \ln x^{\ln x} \Rightarrow \left ( \ln x \right )^{\ln x} = \left ( \ln x \right )^2 $
Tenemos entonces dos opciones: $$ \left \{ \begin{array}{l} \ln x = 2 \Rightarrow x = e^2 \cr \cr \ln x = 1 \Rightarrow x = e \cr \end{array} \right. $$ Comprobación:
Si $x = e \Rightarrow \left ( \ln e \right )^{\ln e} = \ln e^{\ln e} \Rightarrow 1^1 = \ln e^1 \Rightarrow 1 = \ln e \checkmark $
Si $x = e^2 \Rightarrow \left ( \ln e^2 \right )^{\ln e^2} = \ln (e^2)^{\ln e^2} \Rightarrow 2^2 = \ln (e^2)^2 \Rightarrow 4 = \ln e^4 \Rightarrow 4 = 4 \checkmark $
Aplicamos la propiedad del logaritmo $\ln a^p = p \cdot \ln a$ y tenemos que:
$$ \ln \sqrt[3]{x} = \sqrt{\ \ln x\ } $$ Comprobación:
$ \checkmark $
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com