Ejercicios «diferentes» o encontrados por la web

Vamos a estrenar este entrada con otro tipo de ejercicios, diferentes a los que se ven en clase (¡espero!) ...

Las soluciones son $x=-4,x=-3,x=5$ y $x=7$

Si $x^2+x=1\Rightarrow x^2=1-x$

Entonces $x^4={\left(x^2\right)}^2=(1-x{)}^2=1-2x+x^2=1-2x+1-x=2-3x$

Luego $x^5=x\cdot x^4=x\cdot (2-3x)=2x-3x^2=2x-3(1-x)=2x-3+3x=5x-3$

Entonces $x^5+8=5x-3+8=5x+5=5\cdot (x+1)$
$${\displaystyle \frac{x^5+8}{x+1}}={\displaystyle \frac{5\cdot (x+1)}{x+1}}=5$$

$1=({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta {)}^3\Rightarrow 1={\sin }^6\theta +3{\sin }^4\theta {\cos }^2\theta +3{\sin }^2\theta {\cos }^4\theta +{\cos }^6\theta$

$1={\displaystyle \frac{1}{4}}+3{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta ({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )\Rightarrow 1={\displaystyle \frac{1}{4}}+3{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$

Luego

$1-{\displaystyle \frac{1}{4}}=3{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta \Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{4}}=3{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta \Rightarrow {\sin }^2\theta {\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{4}}$

${\displaystyle \frac{1}{{\sin }^6\theta }}+{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^6\theta }}={\displaystyle \frac{{\sin }^6\theta +{\cos }^6\theta }{{\sin }^6\theta \cdot {\cos }^6\theta }}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^3}}={\displaystyle \frac{4^3}{4}}=4^2=16$

Tenemos que poner $2^{56}$ y $4^{26}$ como potencias de 8.

Como $8=2^3$, así $2^{56}=2^{3\cdot 18+2}=2^{3\cdot 17+5}=2^{3\cdot 17}\cdot 2^5=2^5\cdot 8^{17}$ y $4^{26}=2^{52}=2^{3\cdot 17+1}=2\cdot 2^{3\cdot 17}=2\cdot 8^{17}$

sustituyendo tenemos:

$2^{56}-4^{26}=2^5\cdot 8^{17}-2\cdot 8^{17}=8^{17}\cdot (32-2)=8^{17}\cdot 30$

Para acabar:

$8^x={\displaystyle \frac{2^{56}-4^{26}}{30}}={\displaystyle \frac{8^{17}\cdot 30}{30}}={\displaystyle \frac{8^{17}\cdot \xcancel{30}}{\xcancel{30}}}=8^{17}\Rightarrow x=17$

Aplicamos la propiedad del logaritmo $\ln a^p=p\cdot \ln a$ y tenemos que:

${(\ln x)}^{\ln x}=\ln x^{\ln x}\Rightarrow {(\ln x)}^{\ln x}={(\ln x)}^2$

Tenemos entonces dos opciones: $$\{\begin{array}{l}\ln x=2\Rightarrow x=e^2\\ \\ \ln x=1\Rightarrow x=e\end{array}$$ Comprobación:

Si $x=e\Rightarrow {(\ln e)}^{\ln e}=\ln e^{\ln e}\Rightarrow 1^1=\ln e^1\Rightarrow 1=\ln e✓$

Si $x=e^2\Rightarrow {(\ln e^2)}^{\ln e^2}=\ln (e^2{)}^{\ln e^2}\Rightarrow 2^2=\ln (e^2{)}^2\Rightarrow 4=\ln e^4\Rightarrow 4=4✓$

Aplicamos la propiedad del logaritmo $\ln a^p=p\cdot \ln a$ y tenemos que:

$$\ln \sqrt[3]{x}=\sqrt{\ln x}$$ Comprobación:

$✓$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com