Operaciones con expresiones algebraicas. Simplificar. Ejercicios resueltos.
Usar que $ x^3 - y^3 = (x - y) \cdot (x^2 + xy + y^2)$ y $ x^3 + y^3 = (x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2)$
Sustituimos $\dfrac{x^3 - y^3}{x - y}$ por $x^2 + xy + y^2$ y $ x^3 + y^3 = (x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2)$:
$$ \dfrac{x^3 - y^3}{x - y} \cdot \dfrac{x + y}{x^3 + y^3 + 2xy(x + y)} = \dfrac{ (x^2 + xy + y^2) \cdot (x + y) }{(x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y)} = $$
Sacamos factor común en el denominador a $x + y$ tenemos que:
$$ = \dfrac{ (x^2 + xy + y^2) \cdot (x + y) }{(x + y) \cdot ( x^2 - xy + y^2 + 2xy ) } = \dfrac{ (x^2 + xy + y^2) \cdot (x + y) }{(x + y) \cdot ( x^2 + xy + y^2 ) } = 1 $$
Vayamos por partes:
$ 1 - \dfrac{m}{m + 1} = \dfrac{ m + 1 - m}{m + 1} = \dfrac{1}{m + 1}$
$ 1 + \dfrac{m}{m + 1} = \dfrac{m + 1 + m }{m + 1} = \dfrac{2m + 1}{m + 1} $
$\dfrac{2}{m} + \dfrac{1}{m^{2}} = \dfrac{2m + 1}{m^{2}} $
$ 1 - \dfrac{1}{m} = \dfrac{m - 1}{m} $
Así:
$$ \dfrac{\left(1 - \dfrac{m}{m + 1} \right )^2 }{1 + \dfrac{m}{m + 1}} \cdot \dfrac{\dfrac{2}{m} + \dfrac{1}{m^{2}}}{1 - \dfrac{1}{m}} = \dfrac{ \dfrac{1}{(m + 1)^2} \cdot \dfrac{2m + 1}{m^{2}} }{ \dfrac{2m + 1}{m + 1} \cdot \dfrac{m - 1}{m} } = \dfrac{ \dfrac{1}{(m + 1)^{\cancel{2}}} \cdot \dfrac{\cancel{2m + 1}}{m^{\cancel{2}}} }{ \dfrac{\cancel{2m + 1}}{\cancel{m + 1}} \cdot \dfrac{m - 1}{\cancel{m}} } = \dfrac{ \dfrac{1}{m + 1} \cdot \dfrac{ 1 }{m} }{ m - 1 } = \dfrac{1}{m \cdot (m^2 - 1) }$$
Vamos por partes, 1º:
$ \dfrac{1 + x}{1 - x} - \dfrac{1 - x}{1 + x} = \dfrac{(1 + x)^2}{(1 - x) \cdot (1+ x)} - \dfrac{(1 - x)^2}{(1 + x) \cdot (1 - x)} = \dfrac{(1 + x)^2 - (1 - x)^2}{(1 + x) \cdot (1 - x)} = \dfrac{1 + 2x + x^2 - 1 + 2x - x^2}{(1 + x) \cdot (1 - x)} = $
$ = \dfrac{4x}{(1 + x) \cdot (1 - x)} $
Ahora hacemos:
$ \dfrac{1 + x}{1 - x} - 1 = \dfrac{1 + x}{1 - x} - \dfrac{1 - x}{1 - x} = \dfrac{1 + x - 1 + x}{1 - x} = \dfrac{2x}{1 - x} $
Y por último:
$ 1 - \dfrac{1}{1 + x } = \dfrac{1 + x}{1 + x} - \dfrac{1}{1 + x } = \dfrac{1 + x - 1}{1 + x } = \dfrac{x}{1 + x } $
Juntando todo tenemos:
$ \left ( \dfrac{1 + x}{1 - x} - \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) : \left [ \left ( \dfrac{1 + x}{1 - x} - 1 \right ) \cdot \left ( 1 - \dfrac{1}{1 + x } \right ) \right ] = \dfrac{4x}{(1 + x) \cdot (1 - x)} : \left [ \dfrac{2x}{1 - x} \cdot \dfrac{x}{1 + x } \right ] = $
$ = \dfrac{4x}{(1 + x) \cdot (1 - x)} : \dfrac{2x^2}{(1 + x) \cdot (1 - x)} = \dfrac{4x}{2x^2} = \dfrac{2}{x} $
Vamos con la primera fracción:
$$ \dfrac{ \dfrac{2x}{\ x - y\ }}{\ \ \dfrac{4 x}{\ x^{2} + 2xy + y^{2}\ } \ \ } = \dfrac{ \ 2x (x + y)^2\ }{ 4 x(x - y) } = \dfrac{ \ (x + y)^2\ }{ 2(x - y) } $$
Vamos con la segunda fracción:
$$ \dfrac{ \ x(x^2 - y^2) \ }{ x + y } = \dfrac{\ x(x + y )(x - y)\ }{\ x + y \ } = x(x - y) $$
Ahora elevamos al cuadrado:
$$ \left [ \dfrac{ \dfrac{2x}{\ x - y\ }}{\ \ \dfrac{4 x}{\ x^{2} + 2xy + y^{2}\ } \ \ } : \dfrac{ \dfrac{x}{\ x + y \ }}{\dfrac{1}{\ x^{2} - y^{2}\ }} \right ]^2 = \left [ \dfrac{ \ (x + y)^2\ }{ 2(x - y) } : x(x - y) \right ]^2 = \left [ \dfrac{ \ (x + y)^2\ }{ 2x(x - y)^2 } \right ]^2 = \dfrac{ \ (x + y)^4\ }{ 4x^2(x - y)^4 } $$
Vamos con la tercera fracción, primero el numerador:
$ 1 + \dfrac{\ y\ }{x} = \dfrac{\ x + y\ }{x} $ y ahora el denominador: $1 - \dfrac{\ y\ }{x} = \dfrac{\ x - y\ }{x} $. Juntando ambos:
$$ \dfrac{1 + \dfrac{\ y\ }{x}}{\ 1 - \dfrac{\ y\ }{x} \ } = \dfrac{ \dfrac{\ x + y\ }{x} }{ \dfrac{\ x - y\ }{x} } = \dfrac{\ x + y\ }{ x - y } $$
Elevamos a la cuarta y tenemos:
$$ \left [ \dfrac{\ x + y\ }{ x - y } \right ]^4 = \dfrac{ \ (x + y)^4\ }{ (x - y)^4 } $$
Juntando todo tenemos:
$$ \dfrac{ (x + y)^4 }{\ 4x^2(x - y)^4 \ } : \dfrac{ (x + y)^4 }{\ (x - y)^4\ } = \dfrac{ (x + y)^4 (x - y)^4 }{\ 4x^2(x - y)^4 (x + y)^4\ } = \dfrac{ \cancel{(x + y)^4} \xcancel{(x - y)^4} }{\ 4x^2 \xcancel{(x - y)^4} \cancel{(x + y)^4}\ } = \dfrac{ 1 }{ \ 4x^2 \ } $$
Vamos con la primera fracción, con el denominador:
$ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} = \dfrac{\ x + y\ }{xy} $ cogemos el numerador y tenemos:
$$\dfrac{\ \ x^{2} - y^{2} \ \ }{ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} } = \dfrac{\ x^{2} - y^{2} \ }{ \dfrac{\ x + y\ }{xy} } = \dfrac{\ xy (x^{2} - y^{2}) \ }{ x + y} = \dfrac{\ xy (x - y) (x + y) \ }{ x + y} = xy(x - y)$$
Vamos con la segunda fracción:
con el numerador $ x - \dfrac{x^{2}}{x + y} = \dfrac{x^2 + xy - x^2}{x + y} = \dfrac{xy}{\ x + y\ } $
cogemos el denominador y tenemos: $ y - \dfrac{y^{2}}{\ x + y \ } = \dfrac{xy + y^2 - y^2 }{\ x + y \ } = \dfrac{ xy }{\ x + y \ } $
juntando ambas tenemos:
$$\dfrac{\ x - \dfrac{x^{2}}{x+y}\ }{ \ y - \dfrac{y^{2}}{\ x + y \ } } = \dfrac{ \dfrac{xy}{\ x + y\ } }{ \dfrac{ xy }{\ x + y \ } } = 1 $$ Vamos con la tercera fracción:
con el numerador: $ \dfrac{\ 1\ }{x} - \dfrac{\ 1\ }{y} = \dfrac{\ y - x\ }{xy} $ y el denominador lo hemos hecho antes: $ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} = \dfrac{\ x + y\ }{xy}$
juntando tenemos que
$$ \dfrac{\dfrac{\ 1\ }{x} - \dfrac{\ 1\ }{y}}{ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} } = \dfrac{ \dfrac{\ y - x\ }{xy} }{ \dfrac{\ x + y\ }{xy} } = \dfrac{\ y - x\ }{x + y} $$
Juntando todo tenemos:
$$\dfrac{\ x^{2} - y^{2} \ }{ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} } \cdot \dfrac{\ x - \dfrac{x^{2}}{x+y}\ }{ \ y - \dfrac{y^{2}}{\ x + y \ } } \cdot \dfrac{\dfrac{\ 1\ }{x} - \dfrac{\ 1\ }{y}}{ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} } = xy(x - y) \cdot 1 \cdot \dfrac{\ y - x\ }{x + y} = \dfrac{\ - xy(x - y)^2 \ }{x + y} $$
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com