Teorema del seno:
Para entender mejor el teorema del seno necesitamos 3 resultados geométricos:
1.- Dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales.
2.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Teorema del seno:
El teorema del seno es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos
$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}} = \dfrac{c}{\sen \hat{C} } = 2R} \quad \cr \quad } $ } } $$
donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo $\triangle{ABC}$.
Teorema del coseno:
Teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos. El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.
$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} } \quad \cr \quad \mathbf{ b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \hat{B} } \quad \cr \quad \mathbf{ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \hat{C} } \quad \cr \quad } $ } } $$
Veamos como podemos saber el tipo de triángulo según sus ángulos usando el Teorema del coseno:
- Si tiene una ángulo recto $\hat{A} = \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} = 0 $, triángulo rectángulo se cumple:
$$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 \qquad \text{ (Teorema de Pitágoras)} } $$
- Si tiene una ángulo obtuso $\hat{A} > \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} < 0 $, triángulo obtusángulo se cumple:
$$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 > b^2 + c^2 } $$
- Si tiene una ángulo agudo $\hat{A} < \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} > 0 $, triángulo acutángulo se cumple:
$$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 < b^2 + c^2 } $$
Teorema del coseno (Usando el Producto Escalar)
El teorma del coseno se puede demostrar también usando el producto escalar. Del dibujo tenemos:
$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} $$
$$ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} = \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} - 2 \cdot \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} $$
Recapitulando:
$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2 - 2 |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos \hat{A}$$
Es decir
$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} $$
Ventajas e incovenientes de usar el teorema del seno o del coseno
| Teorema del seno |
Teorema del coseno |
|
|---|---|---|
| Ventajas | Fácil de calcular | El coseno de un ángulo tiene un único valor entre 0 y $\pi$ radianes. |
| Incovenientes | El seno de un ángulo y su suplementario tienen el mismo valor. Dos posibles soluciones. |
No es tan fácil de calcular como el Teorema del seno. |
Teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos.
Para demostrar el teorema de la tangente tenemos que hacer uno de una propiedad de las proporciones:
$$ \dfrac{x}{y} = \dfrac{z}{t} \ \ \Longleftrightarrow \ \ x \cdot t = y \cdot z \ \ \ \ \text{entonces} \ \ \Longrightarrow \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{z + t}{z - t} $$
$$ \text{Tenemos } \ \ \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}} \ \ \Longleftrightarrow \ \ \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sen \hat{A}}{\sen \hat{B}} $$
Aplicando esta propiedad al teorema del seno:
$$ \dfrac{ a + b}{a - b} = \dfrac{\sen \hat{A} + \sen \hat{B}}{\sen \hat{A} - \sen \hat{B}} = \dfrac{2 \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) }{2 \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } $$
Entrada del
blog donde se explican
la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del
primer cuadrante, y el seno, coseno de la suma de ángulos.
Entrada del
blog donde se indican
las razones trigonométricas de los ángulos notables entre $[0, 2\pi]$ y las
conversiones de grados a radianes, de radianes a grados, de grados decimales a
sexagesimales y de grados sexagesimales a decimales.
Resolución de triángulos no rectángulos
Cosas a tener en cuenta:
- La suma de los ángulos internos de un triángulo suma $\gss{180} = \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}$.
- Las longitudes de los Lados del Triángulo deben cumplir la condición de existencia del triángulo que establece, que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera siempre debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Este es un pilar fundamental en la definición de un triángulo.
$$ \cases{ a + b > c \cr \cr a + c > b \cr \cr b + c > a \cr } $$ - El lado más largo se encuentra frente al ángulo más grande y el lado más pequeño frente al ángulo más pequeño.
Casos
Tenemos 5 casos:- $\odn{1}{er}$ CASO: Conocidos los 3 lados (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del coseno una vez para calcular un ángulo; después teorema del coseno para calcular el segundo ángulo. El tercer ángulo a partir de los dos anteriores.
- $\odn{2}{o}$ CASO: Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. (Si existe la solución es única) $\rightarrow$ Teorema del coseno para calcular el lado que falta. Después el teorema del coseno para calcular otro ángulo y después el tercer ángulo a partir de los dos anteriores.
- $\odn{3}{er}$ CASO: Conocidos dos lados y el $\underline{\underline{\textbf{ángulo agudo}}}$ no comprendido entre ellos.
$\rightarrow$ Teorema del seno para calcular uno de los ángulos que falta. Geométricamente puede ocurrir lo siguiente:
- El triángulo no existe. Al aplicar el teorema del seno, se obtiene mayor que la unidad o menor que -1.
- Triángulo existe y es único: Uno de los ángulos del teorema del seno no cumplirá que la suma de los ángulos interiores es $\pi$ radianes. El tercer ángulo con la resta y el tercer lado con el teorema del seno.
- Dos posibles triángulos solución, con el teorema del seno, ambas soluciones son válidas. El tercer ángulo con la resta y el tercer lado con el teorema del seno.
- El triángulo no existe. Al aplicar el teorema del seno, se obtiene mayor que la unidad o menor que -1.
- $\odn{4}{o}$ CASO: Conocidos dos lados y el «ángulo obtuso» no comprendido entre ellos (Si existe la solución es única).
$\rightarrow$ Teorema del seno para calcular uno de los ángulos que faltan, el tercero restando. Teorema del seno para el lado que falta.
- $\odn{5}{o}$ CASO: Conocidos un lado y dos ángulos, es decir, los tres ángulos. (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del seno dos veces para calcular los dos lados que faltan.
Ejemplos
- $\odn{1}{er}$ CASO: $a = 15$km, $b = 22$km y $c = 17$km.
Aplicamos el Teorem del coseno dos veces: $$ \cos \hat{A} = \mfrac{22^2 + 17^2 - 15^2 }{ 2 \cdot 17 \cdot 22 } = 0,73 \implies \hat{A} = \arccos(0,73) = cos^{-1} (0,73) = \gss{43} $$ $$ \cos \hat{B} = \mfrac{15^2 + 17^2 - 22^2 }{ 2 \cdot 17 \cdot 15 } = 0,06 \implies \hat{B} = \arccos(0,06) = cos^{-1} (0,06) = \gss{43} $$ $ \hat{C} = \gss{180} - \gss{43} - \gss{43} = \gss{50} $ - $\odn{2}{o}$ CASO:$a= 10$ dam, $b = 7$ dam y $\hat{C} = \gss{30}$.
Aplicamos el teorema del coseno para calcular el lado $c$: $$ c = \msqrt{10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos (\gss{30} ) } = 5.27 \text{dam} $$ Aplicamos el teorema del coseno para calcular el ángulo $\hat{A}$: $$ \cos ( \hat{A}) = \mfrac{7^2 + (5,27)^2 - 10^2}{ 2 \cdot 7 \cdot 5,27} = -0,31 \implies \hat{A} = \arccos(-0,31) = \cos^{-1}(-0,31) = \gss{108} $$ $ \hat{C} = \gss{180} - \gss{108} - \gss{30} = \gss{42} $ - $\odn{3}{er}$ CASO:
- $a = 5$ m, $b = 8$ m y $\hat{A} = \gss{72}$
$$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{8 \cdot \sen(\gss{72})}{5} = 1,52 \text{ No es posible} $$
- $a = 7,5$ cm, $b = 6,4$ cm y $\hat{A} = \gss{53}$.
$$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{6,4 \cdot \sen(\gss{53})}{7,5} = 0,81 \implies \hat{B} = \arcsen(0,81) = \sen^{-1} (0,81) \implies $$
$$ \implies \begin{cases} \hat{B_1} = \gss{43} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{53} - \gss{43} = \gss{84} \implies c = \dfrac{7,5 \cdot \sen(\gss{84})}{ \sen( \gss{53} ) } = 9,34 \text{ cm} \\ \\ \hat{B_2} = \gss{137} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{53} - \gss{137} = - \gss{10} \quad \nexists \text{ solución } \end{cases} $$
- $b = 6,5$ cm, $c = 7$ cm y $\hat{B} = \gss{67}$
$$ \sen(\hat{C}) = \mfrac{6,4 \cdot \sen(\gss{53})}{7,5} = 0,99 \implies \hat{B} = \arcsen(0,82) = \sen^{-1} (0,82) \implies $$
$$ \implies \begin{cases} \hat{C_1} = \gss{82} \implies \hat{A_1} = \gss{180} - \gss{67} - \gss{82} = \gss{31} \implies a_1 = \mfrac{6,5 \cdot \sen(\gss{31})}{ \sen(\gss{67}) } = 3,64 \\ \\ \hat{C_2} = \gss{98} \implies \hat{A_2} = \gss{180} - \gss{67} - \gss{98} = \gss{15} \implies a_2 = \mfrac{6,5 \cdot \sen(\gss{15})}{ \sen(\gss{67}) } = 1,83 \end{cases} $$
- $a = 5$ m, $b = 8$ m y $\hat{A} = \gss{72}$
$$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{8 \cdot \sen(\gss{72})}{5} = 1,52 \text{ No es posible} $$
- $\odn{4}{o}$ CASO: $a= 12$ cm, $b = 8$ cm y $\hat{A} = \gss{150}$.
$$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{8 \cdot \sen(\gss{150})}{ 12 } = 0,33 \implies \hat{B} = \arcsen(0,33) = \sen^{-1} (0,33) \implies $$
$$ \implies \begin{cases} \hat{B_1} = \gss{19} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{150} - \gss{19} = \gss{11} \implies c = \mfrac{12 \cdot \sen(\gss{22})}{ \sen(\gss{150}) } = 4,58 \text{ cm} \\ \\ \hat{B_2} = \gss{161} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{150} - \gss{161} = - \gss{131} \quad \nexists \text{ solución } \end{cases} $$
- $\odn{5}{o}$ CASO: $b= \msqrt{2}$ m, $\hat{A} = \gss{30}$ y $\hat{B} = \gss{45}$.
$$ \hat{C} = \gss{180} - \gss{30} - \gss{45} = \gss{105} $$
$$ a = \mfrac{b \cdot \sen(\gss{30})}{ \sen(\gss{45}) } = 1,04 \qquad \text{ y } \qquad c = \mfrac{b \cdot \sen(\gss{105})}{ \sen(\gss{45}) } = 3,65 $$
Otros ejercicios
Queremos calcular el lado $c$, para ello usaremos el Teorema del Coseno: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2bc \cos \widehat{C} $$ Sustituyendo las variables por su valor, que $\cos \gss{120} = \dfrac{\ -1\ }{ 2 } $ tenemos que:
$$ c^2 = 5^2 + 3^2 - 2\cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos \gss{120} \Rightarrow c^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left ( \dfrac{\ -1\ }{ 2 } \right) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow c^2 = 25 + 9 + 15 \Rightarrow c^2 = 49 \Rightarrow c= 7 $$ Ahora calculamos cualquiera de los ángulos que nos quedan $\widehat{A} $ o $\widehat{B}$, vamos con $\widehat{B}$: $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \widehat{B} \Rightarrow 2ac \cos \widehat{B} = a^2 + c^2 - b^2 \Rightarrow \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } $$ Sustituyendo los datos en las variables: $$ \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } = \dfrac{\ 5^2 + 7^2 - 3^2\ }{ 2 \cdot 5 \cdot 7 } = \dfrac{\ 65\ }{ 70 } = \dfrac{\ 13\ }{ 14 } $$ Es decir: $$ \widehat{B} = \arccos \left ( \dfrac{\ 13\ }{ 14 } \right) = \gss{21,79} = \gss{21} 47' 24''$$ Y por tanto $$ \widehat{A} = \gss{38,21} = \gss{38} 12' 36'' $$
Al darnos dos de los tres ángulos, podemos calcular el tercer ángulo restando: \[ \hat{B} = \gss{180} - \gss{32} - \gss{93} = \gss{55} \] Aplicando el teorema del seno dos veces calculamos los lados que nos faltan:
\[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{b}{\sen \hat{B} } \implies a = \mfrac{b \cdot \sen \hat{A} }{ \sen \hat{B} } = \mfrac{9,5 \cdot \sen(\gss{32}) }{ \sen(\gss{55}) } = 6,15 \] \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{6,15 \cdot \sen(\gss{93}) }{ \sen(\gss{32}) } = 11,59 m \] Ahora calculamos el área: $ \text{Área } = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C} = \mfrac{1}{2} \cdot 6,15 \cdot 9,5 \cdot \sen (\gss{93}) = 29,17m^2 $
Aplicamos el teorema del seno: \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies \sen \hat{A} = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ a } = \mfrac{7 \cdot \sen(\gss{65}) }{ \sen(\gss{5}) } = 1,27 m \quad \nexists { solución.} \]
Este es un triángulo imposible ya que $5 + 10 < 20$.
Aplicamos el teorema del cateto para calcular $a$: \[ a = \msqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\gss{75})} = \msqrt{(9,2)^2 + (6,7)^2 - 2 \cdot 9,2 \cdot 6,7 \cdot \cos(\gss{75})} = 9,88m \] Aplicamos el teorema del cateto para calcular $\hat{B}$: \[ \cos \hat{B} = \mfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \mfrac{(9,88)^2 + (6,7)^2 - (9,2)^2}{2 \cdot 9,88 \cdot 6,7} = 0,44 \implies \hat{B} =\arccos (0,44) = \cos^{-1} (0,44) = \gss{64} \] \( \hat{C} = \gss{180} - \gss{75} - \gss{64} = \gss{41} \)
Área = \( \mfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sen \hat{A} = \mfrac{1}{2} \cdot 9,2 \cdot 6,7 \cdot \sen (\gss{75}) = 29,77m^2\)
Aplicamos el teorema del coseno para calcular $\hat{A}$: \[ \cos \hat{A} = \mfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c} = \mfrac{(10,5)^2 + (8,2)^2 - (12,5)^2}{2 \cdot 10,5 \cdot 8,2} = 0,12 \implies \hat{A} =\arccos (0,12) = \cos^{-1} (0,12) = \gss{83} \] Aplicamos el teorema del coseno para calcular $\hat{A}$: \[ \cos \hat{B} = \mfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \mfrac{(12,5)^2 + (8,2)^2 - (10,5)^2}{2 \cdot 12,5 \cdot 8,2} = 0,55 \implies \hat{A} =\arccos (0,55) = \cos^{-1} (0,12) = \gss{57} \] \( \hat{C} = \gss{180} - \gss{83} - \gss{57} = \gss{40} \)
Área = \( \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C} = \mfrac{1}{2} \cdot 12,5 \cdot 10,5 \cdot \sen (\gss{40}) = 42,72m^2\)
Aplicamos el teorema del seno: \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{b}{\sen \hat{B} } \implies \sen \hat{B} = \mfrac{b \cdot \sen \hat{A} }{ b } = \mfrac{13,2 \cdot \sen(\gss{58}) }{ 11,5 } = 0,97 \implies \hat{B} = \arcsen(0,97) = \sen(0,97) = \gss{76} \] Pero su complementario tiene el mismo seno, es decir, $\hat{B_1} = \gss{76}$ y $\hat{B_1} = \gss{104}$. Ambos valores son compatibles con $\gss{58}$, luego tenemos dos posibles soluciones:
\( \bullet \ \text{Si } \hat{B_1} = \gss{76} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{58} - \gss{76} = \gss{46} \) \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c_1 = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{11,5 \cdot \sen(\gss{46}) }{ \sen(\gss{58}) } = 9,75 m \] Área \( \triangle{AB_1C_1} = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C_1} = \mfrac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot 13,2 \cdot \sen (\gss{46}) = 54,6m^2 \)
\( \bullet \ \text{Si } \hat{B_2} = \gss{104} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{58} - \gss{104} = \gss{18} \) \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c_2 = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{11,5 \cdot \sen(\gss{18}) }{ \sen(\gss{58}) } = 4,19 m \] Área \( \triangle{AB_2C_2} = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C_2} = \mfrac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot 13,2 \cdot \sen (\gss{18}) = 23,45 m^2 \)