Razones trigonométricas de los ángulos notables entre 0 y 2$\pi$ [0º, 360º]. Conversiones varias.

Un Ángulo Un ángulo es una figura geométrica formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice. Estas semirrectas se conocen como los lados del ángulo, y la abertura o separación entre ellas determina su medida, que generalmente se expresa en grados sexagesimales radianes.

El sentido de un ángulo depende de cómo se mide, y sí, generalmente se sigue el criterio de medición en sentido contrario a las agujas del reloj. Esto es un convenio estándar en matemáticas y trigonometría.

Detalles sobre el sentido:

Sentido contrario a las agujas del reloj, se considera el sentido positivo. Comienza desde el lado inicial (habitualmente el eje $x$ positivo) y gira hacia el lado terminal. Por ejemplo, un ángulo de $\gss{90}$ positivo apunta hacia arriba desde el eje $x$.

Sentido en el mismo sentido de las agujas del reloj, se considera el sentido negativo. El giro comienza en el lado inicial y va hacia el lado terminal en dirección opuesta al sentido estándar. Por ejemplo, un ángulo de $\gss{-90}$ apunta hacia abajo desde el eje $x$.

En resumen:

1. Contrario a las agujas del reloj: positivo.
2. A favor de las agujas del reloj: negativo.

Este criterio es clave en sistemas como las coordenadas cartesianas y las funciones trigonométricas.

Partes de un ángulo:

1. Vértice: El punto común del cual parten las dos semirrectas.
2. Lados: Las dos semirrectas que forman el ángulo.
3. Amplitud: La medida de la abertura entre los lados del ángulo.

Cómo se mide:

1. En grados sexagesimales: Un círculo completo mide $\gss{360}$
2. En radianes: Un círculo completo equivale a $2\pi$ radianes.

Tipos de ángulos:

1. Ángulo agudo: Menor de $\gss{90}$.
2. Ángulo recto: Exactamente $\gss{90}$.
3. Ángulo obtuso: Mayor de $\gss{90}$ y menor de $\gss{180}$.
4. Ángulo llano o plano: Exactamente $\gss{180}$.
5. Ángulo convexo: Mayor de $\gss{0}$ y menor de $\gss{180}$. Un ángulo agudo, recto o llano son convexos.
6. Ángulo cóncavo: Mayor de $\gss{180}$ y menor de $\gss{360}$.
7. Ángulo completo: Exactamente $\gss{360}$.

En geometría y trigonometría, los ángulos son esenciales para describir la orientación y la relación entre líneas o planos.

Grado sexagesimal tiene como base el número 60. El grado sexagesimal se define como una de las 360 partes iguales en las que se divide una circunferencia. Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos, y cada minuto se divide en 60 segundos. Los grados, minutos y segundos se representan respectivamente como: $\gss{a}, b'$ y $c''$.

Un radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma.

2$\pi$ radianes = $\gss{360} \Rightarrow $ 1 radián $ = \dfrac{\ \gss{180} \ }{\ \pi \ } = 57,2957 ... = \gss{57} 17' 44,81''$ 

Circle radians, de Lucas V. Barbosa. Licencia bajo dominio público vía Wikimedia Commons.

¿Cómo pasar de grados a radianes?

Multiplicamos los grados por $\dfrac{\pi}{ \gss{180} }$ Ejemplo:

$$\gss{30} \Rightarrow \gss{30} \cdot \dfrac{\pi}{ \gss{180} } = \dfrac{\gss{30} \cdot \pi}{ \gss{180} } = \dfrac{\pi}{6} \text{ rad.}$$ 

¿Cómo pasar de radianes a grados?

Multiplicamos los radianes por $\dfrac{ \gss{180} }{\pi}$. Ejemplo:

$$\dfrac{3\pi}{4} \text{ rad. }  \Rightarrow \dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{ \gss{180} }{\pi} = \dfrac{3 \pi \gss{180} }{ 4 \pi } = \dfrac{ 3 \cdot \gss{180} }{ 4 } = \dfrac{ \gss{540} }{ 4 } = \gss{135} $$ 

¿Cómo pasar de grados decimales a grados, minutos y segundos sexagesimales?

Los grados se quedan igual. La parte decimal la multiplicamos por 60, la parte entera del resultado serán los minutos; cogemos la parte decimal y la volvemos a multiplicar por 60, redondeamos y eso serán los segundos. 

Ejemplo: $130,646^{\circ}$ 

Los grados serán $130^{\circ}$ 

Ahora multiplicamos la parte decimal por 60 $ \Rightarrow  0,646 \times 60 = 38,76  \Rightarrow 38'$ 

Cogemos de nuevo la parte decimal y la volvemos a multiplicar por 60 $\Rightarrow 0,76 \times 60 = 45,6 \Rightarrow 46''$

 $$ 130,646^{\circ} = 130^{\circ} 38' 46'' $$

¿Cómo pasar de grados, minutos y segundos sexagesimales a grados decimales?

Los grados se quedan igual; cogemos los minutos y los dividimos por 60; cogemos los segundos y los dividimos por 3600; sumamos todas las cantidades anteriores y tendremos los grados decimales. 

Ejemplo: $130^{\circ} 38' 46''$ 

Los grados decimales serán $130^{\circ} + \dfrac{38}{60} + \dfrac{46}{3600} = 130^{\circ} + \dfrac{38 \times 60}{3600} + \dfrac{46}{3600} = 130^{\circ}.646111... $ 

$$ 130^{\circ} 38' 46'' = 130^{\circ},646111...$$

   Aquí dejo una tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables en los distintos cuadrantes. No hay que aprenderse esta tabla de memoria  «craso error».

N.D. es No definido.

Veamos una imagen que explica la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante:

Pongo este esquema, pero es más sencillo relacionar el eje X o de abscisas con el coseno y ele eje Y o de ordenadas con el seno, pero para gustos los colores.

A veces los alumn@s quieren algunos trucos para aprender de manera fácil las razones trigonométricas de los ángulos principales, veamos algunas: 

En esta imagen vemos que una forma fácil de aprender las razones trigonométricas de los ángulos principales del primer cuadrante:

Otra forma fácil, con los dedos de la mano, para calcular

• el seno, en azul, cuento los dedos que tengo por debajo;
• el coseno, en rojo, los dedos que tengo que tengo por arriba.

Curiosidades trigonométricas, gracias a Antonius Benedictus:

Sabiendo una razón trigonométrica, vamos a calcular el resto:

$ \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha\ } = 5 \Rightarrow \sen \alpha = \dfrac{ 1 }{\ 5\ } $

Ahora sustituimos en la RFT:

$$ \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha = 1 - \left ( \dfrac{ 1 }{\ 5\ } \right )^2 = 1 - \dfrac{ 1 }{\ 25\ } = \dfrac{ 24 }{\ 25\ } $$ $$ \cos \alpha = \pm \sqrt{\ \dfrac{ 24 }{\ 25\ }\ } = \pm \dfrac{ \sqrt{\ 24\ }\ }{\ \sqrt{\ 25\ }\ } = \pm \dfrac{ 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } $$ Estamos en el $\odn{2}{o}$ cuadrante, el coseno es negativo, así $ \cos \alpha = \dfrac{ - 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } $

Ahora calculamos la tangente:

$$ \tg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha\ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \dfrac{ 1 }{\ 5\ }\ }{ \dfrac{ - 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } } = \dfrac{\ \dfrac{ 1 }{\ \cancel{5}\ }\ }{ \dfrac{ - 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ \cancel{5}\ } } = \dfrac{ -1 }{ 2\sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{ - \sqrt{\ 6\ } }{ 2 \cdot 6 \ } = \dfrac{ - \sqrt{\ 6\ } }{ 12 } $$ $$ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{\ -5\ }{\ 2\sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{\ -5 \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 2 \cdot 6\ } = \dfrac{\ -5 \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 12\ } $$ $$ \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \tg \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \dfrac{ -1 }{ 2\sqrt{\ 6\ }\ }\ } = - 2\sqrt{\ 6\ } $$

Como $\tg \alpha = 2 \Rightarrow \cotg \alpha = \dfrac{\ 1\ }{ 2 }$

Como $\tg \alpha = 2 \Rightarrow \dfrac{\ \sen \alpha\ }{ \cos \alpha } = 2 \Rightarrow \sen \alpha = 2 \cdot \cos \alpha $

Sustituyendo en la RFT tenemos:
$$ \cos^2 \alpha + 4 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow 5 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{\ 5\ } \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt{\ \dfrac{ 1 }{\ 5\ }\ } = \pm \dfrac{ 1 }{\ \sqrt{\ 5\ }\ } = \pm \dfrac{\ \sqrt{\ 5\ }\ }{ 5 } $$ Como $\alpha$ está en el tercer cuadrante, el $\cos \alpha$ es negativo, luego $\cos \alpha = \dfrac{\ - \sqrt{\ 5\ }\ }{ 5 }$

Despejamos en $ \sen \alpha = 2 \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \dfrac{\ - \sqrt{\ 5\ }\ }{ 5 } = \dfrac{\ - 2\sqrt{\ 5\ }\ }{ 5 } $

Ahora calculamos la secante $\sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = - \sqrt{\ 5\ }$

Y la cosecante $\cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha\ } = \dfrac{ -5 }{\ 2\sqrt{\ 5\ }\ } = \dfrac{ -5\sqrt{\ 5\ } }{\ 2 \cdot 5 \ } = \dfrac{ - \sqrt{\ 5\ } }{\ 2 \ } $

Un ángulo agudo es aquel que es menor de $\gss{90}$, es lo mismo que decir que está en el primer cuadrante. Dicho esto vamos a calcular el resto de las rrtt de $\alpha$:
$\cos \alpha = 5 \Rightarrow \sec \alpha = \dfrac{\ 1\ }{ 5 }$
Sustituyendo en la RFT tenemos: $$ \sen^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left ( \dfrac{ 1 }{\ 5\ } \right )^2 = 1 - \dfrac{ 1 }{\ 25\ } = \dfrac{ 24 }{\ 25\ } $$ $$ \sen \alpha = \pm \sqrt{\ \dfrac{ 24 }{\ 25\ }\ } = \pm \dfrac{ \sqrt{\ 24\ }\ }{\ \sqrt{\ 25\ }\ } = \pm \dfrac{ 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } $$ Estamos en el $\odn{1}{er}$ cuadrante, el seno positivo, así $\sen \alpha = \dfrac{\ 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } $
$$ \tg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha\ }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \dfrac{ 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } }{\ \dfrac{ 1 }{\ 5\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ \cancel{5}\ } }{\ \dfrac{ 1 }{\ \cancel{5}\ }\ } = 2\sqrt{\ 6\ } $$ % $$ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \dfrac{\ 1\ }{ 5 }\ } = 5 $$ $$ \cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha\ } = \dfrac{ 5 }{\ 2\sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{\ 5\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 2\cdot 6\ } = \dfrac{\ 5\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 12\ } $$ $$ \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \tg \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ 2\sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 2 \cdot 6\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 6\ }\ }{ 12 } $$

Ahora sustituimos en la RFT:
$$ \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha = 1 - \left ( \dfrac{\ - \sqrt{7}\ }{ 3 } \right )^2 = 1 - \dfrac{ 7 }{\ 9\ } = \dfrac{ 2 }{\ 9\ } $$ $$ \cos \alpha = \pm \sqrt{\ \dfrac{ 2 }{\ 9\ }\ } = \pm \dfrac{ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ \sqrt{\ 9\ }\ } = \pm \dfrac{ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ 3\ } $$ Estamos en el $\odn{4}{o}$ cuadrante, el coseno es positivo, así $ \cos \alpha = \dfrac{\ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ 3\ } $

Ahora calculamos la tangente:
$$ \tg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha\ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \dfrac{\ - \sqrt{7}\ }{ 3 }\ }{ \dfrac{\ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ 3\ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - \sqrt{7} }{\ \cancel{3}\ }\ }{ \dfrac{\ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ \cancel{3}\ } } = \dfrac{\ -\sqrt{7} }{\ \sqrt{\ 2\ }\ } = \dfrac{ - \sqrt{\ 14\ } }{\ 2\ } $$ Ahora calculamos el resto de razones trigonométricas: $$ \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \tg \alpha\ } = \dfrac{ -2 }{\ \sqrt{\ 14\ }\ } = \dfrac{\ -2\sqrt{\ 14\ }\ }{\ 14\ } = \dfrac{\ -\sqrt{\ 14\ }\ }{ 7 } $$ $$ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \dfrac{\ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ 3\ }\ } = \dfrac{\ 3\ }{\ \sqrt{\ 2\ }\ } = \dfrac{\ 3\sqrt{\ 2\ }\ }{\ 2\ } $$ $$ \cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha\ } = \dfrac{ -3 }{\ \sqrt{\ 7\ }\ } = \dfrac{\ -3\sqrt{\ 7\ }\ }{\ 7\ }$$

$$ \tg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cotg \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \dfrac{\ - \sqrt{5}\ }{ 5 }\ } = \dfrac{\ -5\ }{\ \sqrt{5}\ } = -\sqrt{5} $$ Sabemos que: $$ 1 + \tg^2 \alpha = \cosec^2 \alpha \Rightarrow 1 + ( -\sqrt{5})^2 = \cosec^2 \alpha \Rightarrow 1 + 5 = \cosec^2 \alpha \Rightarrow 6 = \cosec^2 \alpha \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \cosec \alpha = \pm \sqrt{\ 6\ } $$ Estamos en el segundo cuadrante, la secante (la inversa del seno es positiva, luego \\ \\ $\cosec \alpha = \sqrt{\ 6\ }$

A partie de la cosecante calculamos el seno de $\alpha$: $$ \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \ } = \sqrt{\ 6\ } \Rightarrow \sen \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \sqrt{\ 6\ } \ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 6 \ } $$ Usamos la tangente para calcular el coseno de $\alpha$: $$ \dfrac{\ \sen \alpha\ }{ \ \cos \alpha\ } = - \sqrt{\ 5\ } \Rightarrow \dfrac{\ \dfrac{\ \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 6 \ }\ }{ \ \cos \alpha\ } = - \sqrt{\ 5\ } \Rightarrow \dfrac{\ \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 6 \ } = - \sqrt{\ 5\ } \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{\ - \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 6 \sqrt{\ 5\ } \ } = $$ $$ = \dfrac{\ - \sqrt{\ 30\ }\ }{\ 6 \cdot 5 \ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 30\ }\ }{\ 30 \ } $$ $$ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{ -30 }{\ \sqrt{\ 30\ }\ } = - \sqrt{\ 30\ } $$

$$ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } \Rightarrow \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{\ - 4\sqrt{7}\ }{ 7 } \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{ 7 }{\ - 4\sqrt{7}\ } = \dfrac{ - 7 \sqrt{7} }{\ 4 \cdot 7\ } = \dfrac{ - \cancel{7} \sqrt{7} }{\ 4 \cdot \cancel{7}\ } = \dfrac{ - \sqrt{7} }{\ 4\ } $$ Sabemos el valor del coseno y ahora sustituimos en la RFT: $$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sen^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left ( \dfrac{ - \sqrt{7} }{\ 4\ } \right)^2 = 1- \dfrac{ 7 }{\ 16\ } = \dfrac{ 9 }{\ 16\ } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt{\ \dfrac{ 9 }{\ 16\ }\ }= \pm \dfrac{ \sqrt{\ 9\ } }{\ \sqrt{\ 16\ }\ } = \pm \dfrac{ 3 }{\ 4\ } $$ Estamos en el tercer cuadrante, el seno es negativo, luego $\sen \alpha = \dfrac{ -3 }{\ 4\ }$
Luego $\cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha\ } = \dfrac{\ -4\ }{ 3 } $
$$ \tg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha\ }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{ \dfrac{ -3 }{\ 4\ } }{ \dfrac{ - \sqrt{7} }{\ 4\ } } = \dfrac{ \dfrac{ -3 }{\ \cancel{4}\ } }{ \dfrac{ - \sqrt{7} }{\ \cancel{4}\ } } = \dfrac{ -3 }{ - \sqrt{7} } = \dfrac{ 3\sqrt{7} }{ 7 } $$ $$ \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \tg \alpha\ } = \dfrac{ 7 }{\ 3 \sqrt{7} \ } = \dfrac{ \sqrt{7} }{\ 3 \ } $$

Entrada del blog donde se explican la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, y el seno, coseno de la suma de ángulos.

Entrada del blog donde se explican los teoremas del seno, coseno y de la tangente.

Seguiremos actualizando.